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1、第 1 讲 坐标系与参数方程考点1极坐标1.极坐标与直角坐标的互化设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x,y),极坐标为(p,9).由图可知下面的关系式成立：I Kv)(fp2=x2+y2x=pcosS r J,或 yIx顺便指出，上式对p r r S 穴若手we，则一2 co se=S，解得。=学综上，P的极坐标为卜。，胃或卜,或卜8，等或O)在曲线C：p=4s加。上，直线 1过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.T T 当 a)=时，求 po及 1的极坐标方程；(2)当M 在 C 上运动且P 在线段OM上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.解析：本题主要考查直线的极坐标方程、轨迹方程的求
2、解，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.(1)因为M(po,曲)在 C 上，当。0=,时，po=4s比彳=2小.7 T由已知得|OP|=|OA|CQS g=2.设 Q(p,0)为1上除P 的任意一点.连接OQ,在放ZXOPQ 中，peas。一W=|OP|=2.经检验，点2,胃在曲线pcos(0胃=2 上.所以，1的极坐标方程为pcos(0=2.(2)设 P(p,9),在放OAP 中，|OP|=|OA|COSO=4CQSO,即 p=4cos因为P 在线段OM上，且 AP_LOM,故。的取值范围是 不 2-7 F T T所以，P 点轨迹的极坐标方程为p=4
3、cos。，2,考点2参数方程1.直线的参数方程直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为yyo=k（xx0）.其中k=s a,a 为直线的倾斜角，代入上式，得sin a/、z 7 iy _ y=7?（xxo）,aw,即二=口cosa sin a记上式的比值为t,整理后得x=xo+tcosa,J yo+t5ma（t 为参数）.这是直线的参数方程，其中参数t 有明显的几何意义.在直角三角形 MoAM 中，|MoA|=|x-xob|M A|=|y-y0|,|M0M|=|t|,即|t|表示直线上任一点M 到定点Mo的距离.2.圆的参数方程x=xo+Rcos。，若圆心在点M（x（）,
4、y）,半径为R,则圆的参数方程为.八（9为参数）.3.椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点Mo（x（）,y0）处，相应的椭圆的参数方程为x=x（）+acosO,.y=yo+bsi e（0 为参数）.通常规定参数9 的范围为 0,2兀）.例 2 2018全国卷H 在直角坐标系xO y中，曲 线 C 的参数方程为卜x=24c加os 0,（。为参数），直线 的参数方程为|x=1 +tcos a,y=2+M a -为参数）.（1）求 C 和 1的直角坐标方程；若曲线C 截直线1所得线段的中点坐标为（1,2）,求 I 的斜率.2 2【解析】（1）解：曲线C 的直角坐标方程为作+a=1.当c s a
5、/0 时，1的 直 角 坐 标 方 程 为 a，x+2a,当co sa=0时，1的直角坐标方程为x=L（2）解：将 1 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程（1 +3cos22+4(2C(7 5 a+s 加 a)t8=0.因为曲线C截直线1 所得线段的中点(1,2)在 C 内，所以有两个解，设为tl,t2,则 tl+t2=0.ci-p v/7又由得tl+t2=,故 2 c 0 s a+s 而a=0,于是直线1的斜1十3 c o s a率 k=tan a=2.(一 技 法 领 悟 -(1)参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式，
6、在消参时要注意参变量的范围.(2)在参数方程应用不够熟练的情况下，可将其先化成直角坐标系下的普通方程，这样思路会更加清晰.工 对接训练x=-1+当，2.2 0 18 天津卷 已知圆x2+y 2 2 x=0 的圆心为C,直线 厂y=3-当(t为参数)与该圆相交于A,B两点，则AABC的面积为.解析：将直线的参数方程化为普通方程，为 y=-x +2.y=x+2,联 立 方 程 组 2 1 ,c八 可求得A,B 两点的坐标分别为(1,1),(2,0).故.X，十 y/-2 x=(),|A B|=，1A/2又圆心C到直线AB的距离(1=弯，故 SAABC=1X/2 X =1.答案：考点3极坐标方程与参
7、数方程的综合 例3 2019全国卷I 选修4-4：坐标系与参数方程r i-t2X=T+?在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为j 4t。为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1 的极坐标方程为2pcos 0+小0+11=0.(1)求 C 和 1的直角坐标方程；(2)求 C 上的点到1距离的最小值.【解析】本题主要考查椭圆的参数方程与直线的极坐标方程、椭圆上的点到直线的距离最小值等知识，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.1 t2(1)因为一 1 用 忘 1,(j(1 12且 X2+U2=IT+?J1,所以C 的直角坐标方程为
8、x2+=l(xW 1).1的直角坐标方程为2x+小 y+ll=0.x=cos a,(2)由可设C 的参数方程为彳y=2sin a到1的距离为12cos a+z/isin a+111 3)+11(a 为参数，-XaQr).C 上的点W 小当a=一争寸，4cosa胃+1 1 取得最小值7,故 C 上的点到1距离的最小值为市.(一技法领悟 -极坐标方程与参数方程的综合问题，一般采用分别化为普通方程的方法，利 用 平 面 解 析 几 何 的 知 识 解 决.当 涉 及 线 段 长 度 时，也可以利用极径的几何意义和直线参数方程中参数的几何意义求解.对接训练3.2019河南新乡一模 在平面直角坐标系xO
9、 y中，直 线 1 的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴，建立极坐标 系.已知曲线C的极坐标方程为0.(1)求直线1的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)若直线1与曲线C交于A,B两点,P(-l,2),求I P A H P B I的值.解析：(1)消去参数，得直线1的普通方程为x+y 1=0.由 pcos2Q=sin 0,得 p2 c o s 2 =ps沅 0,则y=x 2,故曲线C由直角坐标方程为y=x2.(2)将彳1-旺-421代入 y=x2,得 t2+V 2 t2=0,设点A,B对应的参数分别为ti,t2,则地2=2,易知直线1过点P(-l,2),故|P A
10、 H P B|=|L t2|=2.课时作业1 9坐标系与参数方程1.2 0 19江苏卷 在极坐标系中，已知两点A(3,皆，BV2,野，直线1的方程为 ps z(0+g=3.(1)求A,B两点间的距离；(2)求点B到直线1的距离.解析：本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.(1)设极点为O.在 O A B中，A(3,1，B(V 2,胃，由余弦定罩 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _得A B =小2+?啦?2 2 X 3义正义c“一皆=巾.(2)因为直线1的方程为p s加(0+苧=3,则直线1过点(3姬
11、，技倾斜角为竽又8 b拉，胃，所以点B到直线1的距离为(3姬 一册)X s位 存一胃=2.2.2 01 9湖北八校第一次联考在平面直角坐标系x O y中，圆C的参数方程x =t+/co s a,为 厂 (a为参数，t为常数).以坐标原点O为极点，x轴的非负y=yl2sin a半轴为极轴，建立极坐标系，直线1的极坐标方程为p ca s je 竽)=啦.(1)求圆C的普通方程和直线1的直角坐标方程；(2)若直线1与圆C有两个交点，求实数t的取值范围.解析：(1)消去参数，得圆C的普通方程为(x t)2+y 2=2.将直线1的极坐标方程化为一 p co s e+p s加。=也，则一乎x+y=媳，化简
12、得y=x+2.故直线1的直角坐标方程为y=x+2.(2)二,圆C的普通方程为(x-t A+y 2=2,.圆C的圆心为C(t,O),半径为g,.圆心C到直线1的距离d=|t+2|.直线1与圆C有两个交点，1=第1也，解得一4 t=早，直线/2的直角坐标方程为产 殍,由=2 V co s 9+2 s in。得 p?=2小pcos e+2/)s in 3,p2=x2+y2,pcos 0=x,p s in 6=y,.曲线C的直角坐标方程为(%一小)2+(y l)2=4,.曲线C的参数方程为(a为参数).j=1 十2 s m a仿=三(2)联立方程，得，6，得|Q 4|=|=4,、=25co s 6+2
13、 s in 0,同理，得|O B|=|2 l=2小.jr又/AOB=%，Sa A 0B=；|04 H08|s in N A 08=g x 4 X 2巾 X；=2小,故 A Q B的面积为2小.4.2 01 9广东佛山质检在平面直角坐标系Q y中，曲线C：x=1 +2 co s (p,.y=V +2 s in (px=/co s a,”为参数)，直线尔,。为参数)，以坐标原点。为极点，轴的正j=/s in a半轴为极轴建立极坐标系.(1)求。与/|的极坐标方程；(2)当一套 a 削寸，直 线 与 曲 线C相交于O,A两点，过点O作6的垂线li，6与曲线。的另一个交点为B,求|。4|+|。用的最大
14、值.x=1 +2 co s (p,解析：(1)因为曲线C 为参数)，十 2 s m (p所以曲线C的普通方程为(1-1)2 +。一小)2 =4,由x=/)co s a y=p s in仇 得。的极坐标方程为加一2 2 co s夕 一2小/s in 8=0,化简得 0=2 co s 9+2小s in 3.1%=fco s a,因为直线h：,(t为参数),所以直线Z)的极坐标方程为0=y=/s m aSR).IT 7T I IT)(2)根据题意设点A的极坐标为S，a)，一铲a Q，点B的极坐标为，B,a+J，则 P A=2C O S a+2小s in a=4 s in(a+,p e=4 s in
15、fa+J=4 co s fa+7,所以1 0A|+1 03|=PA+p B=4 s in(a+,+4 co s|a+,=46 s in|a +相，所以当a=自时，|0川+|0周取得最大值，且(|Q A|+|08|)m a x=4 dl5.2 01 9四川泸州一诊在平面直角坐标系x O y中，以坐标原点。为极点，%轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为仆in 2 0=2 a co sx=-2+5/,0),过点P(2,-4)的直线I的参数方程为 一 u (Z为参数)，直y 4+5/线/与曲线。交于A,3两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线I的普通方程；(2)若解卜|尸引=|4
16、用2,求。的值.角 翠 析：(1)由 p s in26 =2 a co s 9(。0)得 p2s in2=2 a p co s 优。0),所以曲线C的直角坐标方程为/=2 a x(fl 0).消去参数，得直线/的普通方程为丁=%2.%=-2+但(2)将直线/的参数方程化为 r-(，为参数)，J4+冬代入 丁=2，得尸一2 5(4+。)/+3 2+8。=0,设点A,8对应的参数分别为jt2,则h +/2=2啦(4+a),，也=3 2+8a,介 0,r2 0,所 以 比|=|阴 囿=1尸 回，.一 句=网,由 4 Hp 8|=|A8|2 得 t 一?2 p=A2,所以|1 +及|2=5介/2,所以
17、 2娘(4+Q)2=5(32+8。)，即 +3。-4=0,解得Q=1或Q=4(舍去)，所以Q=l.6.2 0 19福建福州质量抽测 在平面直角坐标系x O y中，直线I的参数方程%=S+/co s a,为 .(/为参数，a为直线/的倾斜角)，以坐标原点。为极点，J=y o +/sin a轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆石的极坐标方程为p=4 sin/直 线9=,。=+1，9=W(p R),与圆E分别交于不同于极点O的三点A,B,C.兀 2 7 1若铲 行,求证：OB+OCOA；5兀(2)若当=不时，直线/过8,C两点，求州与a的值.解析：证明：依题意，得|O A|=|4 sin 阴，OB=4 sin+1j,OC=|4 sin 0,9得,.,.|O 8|+|O C|=4 sin 麻 劈+4 sin(一知=4 sin 片|O A|.(2)当=知时，易得直线9=+鼻与圆E的交点8的极坐标为(4 sin看t,篇=直线6=4一,与圆E的交点C的极坐标为(4 si苣，野=(4,外,从而B,。两点的直角坐标分别为(小，1),(0,4),.直线I的普通方程为y=-g x+4,故 yo=1,_2JTa=