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1、专题0 3 平面向量小题全归类【命题规律】平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现.近几年高考主要考查平面向量的坐标运算、模的最值、夹角等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等.【核心考点目录】核心考点一：平面向量基本定理及其应用核心考点二：平面向量共线的充要条件及其应用核心考点三：平面向量的数量积核心考点四：平面向量的模与夹角核心考点五：等和线问题核心考点六：极化恒等式核心考点七：矩形大法核心考点八：平面向量范围与
2、最值问题【真题回归】1.（2022 全国高考真题）已知向量i =（3,4）,b=（l,0）,c=a+m,若=,则，=（）A.-6 B.-5 C.5 D.6【答案】C【解析】C=（3+/,4）,cos（a,c）=cos仅,c），即一 汩 一=-p p，解得/=5,故选：C2.（2022全国高考真题）在中，点。在边AB上，BD=2 D A.记 CA=，则C B=（）A.3m2n B.2m+3n C.3m+2n D.2加+3【答案】B【解析】因为点。在边AB上，BD=2DA，所以8O=2 D 4,即CO-C8=2（CA-C）,所以 C8=3CD-2CA=3n-2m =-2，+3n.故 选:B.3.（
3、2022 北京 高考真题）在.ABC中，AC=3,BC=4,NC=90。.P 为 ABC所在平面内的动点，且 PC=1,则 P 4 P 8 的取值范围是（）A.-5,3 B.-3,5 C.-6,4 D.-4,6【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0,。)，A(3,o),3(0,4),因为PC=1,所以P 在以。为圆心，1为半径的圆上运动,设 尸(cos 0,sin 0),6 0,2司,所以 74=(3-cos0,-sin0),尸 8 =(-cos6,4-sin。),所以/4-PB=(-cos0)x(3-cos)+(4-sin)x(-sin 8)=cos*2 0-3cos-4s
4、in6+sin2 0,若 A B 工D E ,则/A C B 的最大值为3 1 7 T【答案】b-a 2 2 6【解析】方法一:二1 一 3cos。一 4sin。=l-5 sin(e+。),其中 sino=|y,因为-1 4 sin(0+e)4 1,所以-4 4 1-5 sin(6+0)4 6,PA-PBe-4,6；故选：D4.(2022 天津高考真题)在4 5 C 中，CA=a,CB=b,。是 AC中点，CB=2 B E,试用a,6 表示O E为A,2.2 /s n a b 3b+a、36+=4 c o s C B =.I =,I I H H TIH2V34 la4 4 C L I I-P
5、=-y，当且仅当同=退 村 时取等号，而7 T0 ZACB(x+l)2+/=4,所以点A 的轨迹是以M(-1,O)为圆心，以厂=2 为半径的2 2圆，当且仅当C4与 0 M 相切时，N C 最大，此时CM 4 2 63 1 7 1故答案为：:.2 2 6【方法技巧与总结】1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，总的思路有：(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程
6、进行求解.2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.【核心考点】核心考点一：平面向量基本定理及其应用【规律方法】1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置：（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结
7、果.【典型例题】例1.（2 0 2 2全国模拟预测）如图，在 中，点。是边A B上一点且2 AO,E是边8 C的中点，直|B C|线4 E和直线C D交于点E若B/是N A B C的平分线，贝!|焉=（）BAAA.4 B.3 C.2 D.y【答案】C/、【解析】因为B F是N A 8 C的平分线，所以存在一个实数;I使得8尸=2磐+普，（根据角平分线的条件，选择合适的基底）RA 2/?尸%2 X 因为E是边B C的中点，所以=4 口+1，又点A，E,尸共线，所 以 向+闲=1 三点共线的应用：0 A=/l 0 8+0 C （2,为实数），若4,B,C三点共线，则4+=1 ）因为班=24D所以B
8、F=/l又点C,F,。共线，所以34 A-1-2 网|BC|1，联立，得故选：C.例 2.(2022全国模拟预测)如图，在平行四边形ABC。中，点 E在线段8。上，且 E B n n D E (meR),若 AC=4AE+A(A,e R)且2+2=0,则机=()D CABA.B.3 C.-D.43 4【答案】B【解析】方 法 I：在平行四边形ABC。中，因为EB=m D E，所以4B-AE=m(AE-AZj),1in所以 AE=-A B+-A D ,+m +m乂：AB=D C A C-A D，AE=(AC-AD+-AD,1 +根 )+mA C =（+tn）A E +-m）A D,乂：A C =
9、XAE+/aAD,/./i=1 +/n,n i m,（平面向量基本定理的应用）又.,4+2 =0；AC=-2juAE+JLIAD.（a+b,c）、=-2（m-b-+-a m-e+（b,c）xV ZH+1 m+i Ja+b=-2a +b m）+b.I /H+1C=&!四）机+1由得=”,将其代入得m=3,m故选：B.例 3.（2022北京牛栏山一中高三期中）在平行四边形ABC 中，E 是边CQ的中点，AE与BD交于点F.若AB=a，AD=b，则 A F=（）A.4 4c 2 r 1 r3 33 1C.-a +-b4 4D-3 3【答案】D【解析】AE=AD+DE=AD+-A B.2T&AF=AA
10、E（0 A +gAB）-AB=2AO+d AB.又9=A D-A B，且 B，尸,。三点共线，则2户,8 万共线,即使得 8尸=BO,B P 2.AD+-A B =i.iAD-f.iAB,2=zz Z=3又AB,A。不共线，则有，解得 C，0 m 化简得xy=一彳c 5+J3 2 2 22ay=-a核心考点二：平面向量共线的充要条件及其应用【规律方法】1、平面向量共线定理：已知04=2 0 3+0 C,若+=1,则 A B,C 三点共线；反之亦然.2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量a=G，x）,b=（x2,y2y则“/,的充要条件是占%-天弘=0；（2）若 a/Z?g xO）
11、，则=劝.【典型例题】例 9.（2022 全国高三阶段练习（理）已知点G 是，ABC的 中 线 的 中 点，过点G 的 直 线 交 边 于 点 ）,交边 AC 于点 E.若 AO=A 3（/l（）,AE=AC（0）,则 4+的最小值为（）A.g B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】G是.中点，,AGWA尸=；（A8+AC）,AD=2A3（/l 0）,AG=AD+4A 4AE,AE=AC（0）,又A G,E三点共线，+2 2 =i（当且仅当号 时 取等号）,1-2一一4Z+AM+1-2X +=（?1 +）4-1-4/J.2+的最小值为1.故选：B.例10.(2 02 2.安徽.合肥一中高三阶
12、段练习)已知向量”=(-6,1),6 =(5,-2),且(。+，应/(3 a叫，则加=【答案】-【解析】由题设 a+?6 =(5/w-6,l-2,),3a -b-(-23,5),又(a+i)/(3 a匕)，所以 5(5?-6)=-2 3(1-2加)，解得a=；.故答案为：例11.(2 02 2全国高三专题练习)已知。=(1,2),。=(1,1),且。与“+劝 的 夹角为锐角，则实数4的取值范围为.【答案】(一(0卜(0,+8)【解析】因为。=。,2),6=(1,1),所以“+劝=(1+4 2+2),因为“与”+劝 的 夹角为锐角，所以(+汨0,且a与“+肪 不 共线，所以 1 +4+2(2 +
13、2)0 且 2(l +/l)x2 +2,解得义且九*0,所以;I的取值范围为1-(0)u(0,+o o),故答案为：(_|,0)u(0,+8)1 3例12.(2 02 2黑龙江哈尔滨三中模拟预测)在一ABC中，A D =-A B ,AE =-A C,B E 与 DC 交于点、F ,若4 F =2 4 B +A C,则义+的值为.【答案】71 3【解析】由已知可得，A D =-AB,AE =-AC.uuu uuu因为，尸,C三点共线，ViD F =m D C -0 c m e 1.ui ui ui nn uum uun i mu ui m uu uuu i uun/ui nn i ui m i
14、_ m mi l i o nD C =A C -A D =A C-A B ,则 A F =A D+D F =-A B +m A C-A B =-A B m A C .ui m ui mi um i _ m uun ui m uun 7 .m mm uuuBF =A F-A B =-AB+m A C-A B =-AB+m A C ,3 3uur uun 11m uun 3 uum)i B E=A E-A B =-AB+-AC,4uuu uui 2 +根1由 ui m(uun 3 111111、uun 3 uun因为民瓦厂三点共线，则存在 wR,使得8/7 =即一一 A B m A C =n-AB
15、+-A C =-nAB+A C12+m-=-n因为，A3,4 C 不共线，所以有:，解得3/7m=一4iiiiu 1 iiun 2uun i 9 7所以，AF=-A B +-A C,即4=，=一，+=一.9 3 9 3 92m=37故答案为：.2例 13.（2022.吉林.东北师大附中模拟预测）在一ABC中，M,N 分别是边AB,AC上的点，且 AN,点。是线段MV上异于端点的一点，且满足 OA+3OB+4OC=0（；lw 0）,则2=2 1【解析】因为A N=A C,A M=-A B,D1所以 AN=（OC-QA）,AM=-（O B-O A,3即 OC=A N +OA，OB=3AM+OAf因
16、为；LOA+3OB+4OC=0，所以4Q4+3（3AM+0 4）+4（?4 户 +。4）=0，即（+7）AO=6AN+94M,即 AO=61+7AN+92+7AM,因为M ,三点共线,故 搭+言解得x=8.故答案为：8例 14.（2022辽宁沈阳高三阶段练习）如图，点 G 为，IBC的重心，过点G 的直线分别交直线AB,AC点D，E两点，AB=3m AD(m 0)A C =3nAE(n0)则，+=-【解析】延长AG交5c于 尸，因为点G为 A B C的重心,T 2T I T贝l 4/=上4 8+上 4 C,，一A尸=-4 8+-A C ,2 2 3 3 31 f T所以 4 G =A B+4
17、C3 3因 为 几=3 m A（?0），A C =3nAE n0）所以 启=机 启+”启，因为C,G,E三点共线，所以/n +=l.故答案为：1核心考点三：平面向量的数量积【规律方法】1、向量的数量积：设 两 个 非 零 向 量 的 夹 角 为0,则|aH|.c o s e叫做与匕的数量积，记作2、数量积的几何意义：数量积“必等于a的 长 度 与/，在a的方向上的投影|加c o s。的乘积.3、设向量。=（X,）,J,=（孙 必），则力=玉工2 +%必，由此得到：若a=（x,y），则|。=4+/2或 =也2+尸（2）设4（%,3）,8仇,必），则A，B两点间的距离他=AB|=，（J+（丫2 -
18、/（3）设两个非零向量“力,且4=（耳,）1）,。=（,%），则a_L%+乂%=（4）若”,z,都是非零向量,8是&与b 的夹角，则 cos，=a-bab亚+y；收+【典型例题】例 15.（2022.黑龙江哈尔滨市第六中学校高三期中）已知A,B,C,。在同一平面上，其中BC=：B=6,若点B,C,力均在面积为36万的圆上，则（48-AC（8 4-D 4）=（）A.36 B.-36 C.18 D.-18【答案】B【解析】依题意可知：圆的半径为6,设圆心为。，因为BC=；8O=6,所以3。为圆的直径，因为BC=6,则“BCO为等边三角形，所以BC,BO所成的角为60。,则CB,8。所成的角为120
19、,所以（A8-AC）.（BA-DA）=CB.BD=|CB|B|COS 120=-36,故选：B.例 16.（2022山东淄博高三期中）在二ABC中，内角4 8,C 所对的边分别为a,c,且6=6,c=4,点。为外心，则A O-B C=（）A.-20 B.-10 C.10 D.20【答案】C【解析】记 BC的中点为。，连结A O,O Q,A D.如图，因为点。为 4 3 c 的外心，。为BC的中点，所以OZ）_ L 8 C,则。0 B C =O，所以 A0-8C=（A O-0O）BC=；（AC+A8）（A C-A 8）=；（4 c2-A 3）=g W-c 2）=；x（36-16）=10.故选：C
20、.例 17.（2022.江苏南京市天印高级中学高三期中）已知菱形A8CD的边长为2,ZBAD=120,G 是菱形A8CO内一点，若G4+GB+GC=0,则 4G.A B=（）A.!B.1 C.-D.222【答案】D【解析】在菱形ABCD,ZBAD=1 2 0,则*ABC为等边三角形,因为 G4+GB+GC=0，所以 G4=-（GB+GC）,设点”为 BC的中点，则 G4=-2G，所以 GAGO，所以G,A,三点共线，所以AM 为BC的中线，同理可得点A氏AC的中线过点G,所以点G 为一ABC的重心，故 AG=2AM=汉 1,3 3在等边 ABC中，M 为BC的中点，则NB4M=30。,所以 A
21、G-AB=x 2 x =2.3 2故选：D.DA例 18.（2022.四川省遂宁市教育局模拟预测（文）在中，A C =3,B C=5,。为线段8 c 的中点,4 =；忸4，E 为线段BC垂直平分线/上任一异于Q的点，则2 4 E C B=（）7A.-B.4 C.7 D.-63【答案】C【解析】因 为 在 ABC中，O 为线段BC的中点，所以 4D=g（AB+AC）,即 24O=A8+AC，因为 AC=3,BC=5,卜4 =；,0,所以4|AD|2=卜8+1 AC+2|AC|AB|cosA,即 16=|A8（+6|AB|COSA,因为 8C=A C-A 8，所以|B C i=k c +|AB 一
22、 2 k q|A co sA,即 16=|AR 一 6,月 卜。$4,所以，16=k 8 +6,8$4 =,2-6,8 卜 05 4,即 12kqeosA=0,所以8 sA =0,因为A e(O 7),所以A=5,即 JIB C 为直角三角形，所以=|BC-|AC=16因为E 为线段8C 垂直平分线/上任一异于O 的点，所以AE=AO+O E，CB=AB-ACEj.C8=24C B =2AZ(A 8-A C)=(AB+AC)(AB-4 0 =网 -“=16-9=7故选：C例 19.(2022江苏南通高三期中)已知ABC的外接圆的圆心为0,半径为1,AO=A B+A C,刚 在 BC上的投影向量
23、为：8 C,则。A.B C=()4A.一百 B.-1 C.1 D.6【答案】B【解析】A O=:A8 +：4 C,则。为8 c 中点，。又是外接圆圆心，2 2则-ABC为直角三角形，B C 为 朋 在 8 c 上的投影向量，4|B A|C OS|B A|C OSB|叫 4|BC|4/.cos2 B=L cos B=4 2=C=-,3 6OA BC=-AO BC=-g(A8+4C)(A C-48)=AC?-AB)一 ABC的外接圆半径为 1,，8 c =2,二/W=l,AC=6：.OA BC=-(3-l)=-l,故选：B.核心考点四：平面向量的模与夹角【规律方法】（1）向量的夹角要求向量“共起点
24、”，其范围为 0,刈.（2）求非零向量a的夹角一般利用公式cos6=*=-+即/先求出夹角的余弦值,然后求闻府7 病区夹角.也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象.【典型例题】例 20.（2022 湖北武汉市武钢三中高三阶段练习）设W=2,愀=内，若对V x e R,卜+也卜卜+6卜则 与人的夹角等于（）A.30 B.60 C.120 D.150【答案】D【解析】|a+xfe|tz+Z|,设cos（a/）=f|a+|a+/?|,即 a+2xa-b+xib a+2a-b+b 即 4+4Gxf+3/4+4百/+3 对 vxeR 恒成立，即3X2+4国-4后-3 2 0 对
25、Vx e R 恒成立，二（4后 丫-12（-4 -3）4 0,解得:一 当即cos（叫=一 等，X 0 （a,c r +2xa-b+x2b2 a2+2a-b+b2=x?+2逐xcos (1+2逐 cos6)NO,要想不等式,+xb卜卜+,恒成立，只需 =(26cos6)2+4(1+275cos6)c o s+1)2 +1)2 0,所以(石cos6+l)2=0,即&co s(9+l=0 n c o s，=一亭，。W0,何，则有 sin 0=71-cos2 0=2 一贝 I J 有 tan9=W=-2,cos。J5 T所以tan 20=2 tan。1-tan2 0-4 4T 4-3故选：D例 22
26、.（2022甘肃 兰州五十一中高三期中（理）已知向量 与人的夹角是V，且忖=|a+W，则向量与a+b的夹角是（）A.60 B.30 C.150 D.120【答案】D【解析】由向量的平方等于模长的平方可得忖*=|a+i|2=（a +2a-b+（b,所以,=卜+2 卜 05期+忖 ,解 得 退,卜 W，(a+M LI+a-b a +L|/?|cos 所以 cos=6/=I 1-.=U“I 干-a a+b a a2即向量a 与a+的夹角为120。,故选：D.例 23.（2022浙江绍兴 模）已知向量“，匕 满足忖=1,卜-2 4=4，,力）=150,则 忖=（）A.2 B.73 C.1 D.B2【答
27、案】D【解析】因为卜-勃 卜 近，所以/_2目=忖+4忖 4Q.=忖+4忖 _ 4,小阵05中，AB=4,AD=3,M,N 分别是AB,AD上的动点，且满足2AA/+4V=1,设 AC=x4M+y 4 N,则2x+3y的最小值为（）A.48 B.49 C.50 D.51【答案】B【解析】如图，建立平面直角坐标系，则 A（0,0）,5（4,0）,C（4,3）,）（0,3）.设N（0,），因为2AM+AV=1,所以2m+=l,0/n ,0 n 254-24=49.m n nJ m n当且仅当皿=则，即机=,=!时取等号.m n 7 7故选：B.例 27.（2022山东烟台三模）如图，边长为2 的等
28、边三角形的外接圆为圆。，P 为圆。上任一点，若APxAB+y A C,则2x+2y的最大值为（）【答案】A【解析】作8c的平行线与圆相交于点P,与直线A8相交于点E,与直线AC相交于点尸，设 A P =2 A E +A F,贝 lJ 2 +=l,Ap AJ7 4:BCHEF,设 把=2=氏，则女 0,2 AB AC 3J AE=kAB,AF=kAC,AP=AAE+juAF=kAB+jukACx=Ak,y=fdkQ2x+2y=2（4 +）k=2k/?|2=OB=（a-/）2=|a|2-2a -b+|z|2 两式相加得：|Ac|2+阿=2（问 2 +附=2（网 2 +|AD|2）（2）极化恒等式：
29、上面两式相减，得：+-极化恒等式平行四边形模式：a2=-口 砰 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差三角形模式：a-b=AM（M为8 0的中点）【典型例题】例 30.(2 0 2 2 山东师范大学附中模拟预测)边长为1 的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦,点户为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是.【答案】_ 4 _【解析】如下图所示：设正方形A B C。的内切圆为圆。，当弦MN的长度最大时，MN为圆。的一条直径,P M -P N =(P O+O M y(P O-O M =pd-pM=|p(?|2-,当产为正
30、方形A B C。的某边的中点时，|。耳 =1,I I m i n 2当P与正方形A B C。的顶点重合时，|OP|=,即，4|0 耳4立，I I m a x 2 2*1 2因此，P M PN=pof-e 0,-I I 4 4故答案为：*例 31.(20 22湖北省仙桃中学模拟预 测)如图直角梯形A B C。中，E 尸是C。边上长为6的可移动的线段，4)=4,AB=8&,BC=2,则3 足 8 尸的取值范围为 .【答案】9 9,14 8【解析】在B C 上取一点G,使得B G =4,取 E 尸的中点尸，连接。G,B P,如图所示：则 O G =8C，G C =8,C D =小82+(8=16,t
31、 a n N B C D =百，即 N B C D=6 0 .8BE B F B E+B F)2-(B E-B 尸=；(2BPJ -FE=BP-9,当B P，C D时，,耳 取得最小值，此时|B P|=12xsin 6 0 =6 6,所以(8 E.明=k扃_9 =9 9当尸与。重合时，CP =13,8 c =12,则 网 =122+13 2-2xl2xl3 xg=15 7,当E与C 重合时，CP=3,8 c =12,贝 =122+3?-2xl2x3 xg=117,所以(B E B F)_ =15 7-9 =14 8,即席 B F 的取值范围为 9 9,14 8 .故答案为：9 9,14 8 例
32、 3 2.(20 22 全国高一)设三角形A B C,P o 是边4 8上的一定点，满 足 八 庆!”，且对于边AB上任4一点P,恒有P 8 P C Z BC,则三角形A B C 形状为.【答案】等腰三角形【解析】取 BC 的中点。，连接P O,P M 如图所示：PB-PC=y PD +BC-PD-BC=|PD|2-1|BC|同理 PnB-P0C =一 j iS c f ,P B P C N R B R,C,.|PD|2-1|BC|2|D|2-1|BC|2.P D 2,4 P.D A B,设 O 为 A B 的中点，:.凡B=；O B n兄D O Cn O C _ L A B,，A C =BC
33、 即三.角形A B C 为以C 为顶角的等腰三角形.故答案为：等腰三角形.例 3 3.（20 22全国高三专题练习）已知直线/：y=x+2与圆C:（x-。）2+9=/任 0）相切于点M（-1,%）,设直线/与x 轴的交点为A,点P为圆C 上的动点，则的最大值为.【答案】3 6 +18 石【解析】圆C:（x a?+V =/（r 0）的 圆 心 的 为 0）,因为直线）与圆C 相切于点”（一 1,%）则%=2。-1M=r）所以 得/-4 +4 =（）,所以a =2,r=3 /2（a +1）2+（2a-l）2=r2所以直线方程为y=x+4,圆的方程为（x-2）2+y 2=i 8,所以A（y o）,M
34、（-l,3）,A M的中点，P!ij P A PM=（P e 4-（2A）（P e +0M）=P e2-A A/2(x-5,y)=x 2 -6x +5 +)3 =0 ,即(x-3 y +y 2=4,贝 l J l W x W 5,-2 这)，2,卜 +e卜 J(x +1)2 +V=8 x-4 ,当x =5 时，庖=Z取得最大值为6,BP|+e|的最大值为6.故选：C核心考点八：平面向量范围与最值问题【规律方法】平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第 一 步：根据
35、题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果【典型例题】例3 7.(2 0 2 2 全国高三专题练 习)已 知 在 中，OA=OB=2,AB=2 g,动点尸位于线段A 8上，当PAPO取得最小值时，向量R 4与P。的夹角的余弦值为()A 2币
36、 R 2 7 7 亚 门 后7 7 7 7【答案】C7 T【解析】因 为 在 中，OA=OB=2,AB=2y f3，所以=所以PA PO =PA-(PA+A。)=|PAF +|叫|A。co s葛=PA一 上网=网一_|-r当且仅 当 网=立 时 取 等号，因此在0 4尸中，00卜/+3 2 x与2*正=电,、J2j 4 2 2 27 347+4-4 5所以向量 总 与 尸。的夹角的余弦值为&忖&=-半，2 x、x 2 2故选：C.例38.(2 0 2 2全国高三阶段练 习)己知平面向量a,b,c，d,满足a，3 ”=恸=1,=1,若(3+d)(a-力2；，则|c+4的 取 值 范 围 是.【答
37、案】乎-2,孚+2【解析】由己知卜|=W =1，|b+c|=l，aV b 设C=(XQ,.)不妨设a=(l,O)，6 =(0,1)，d =(x,y)卜-卜)|=1 可得 x j+(K+1)2 =1又因为(2 6 +d)(a-d)(，故(x,2 +y M l-x，-y)=-x 2+x-y 2-2”；所以 x?-x+丁+2 y 4 w，即(x g)+(y +1 )2,所以当cos6=-l,即点P为AE的延长线与圆的交点时，P 4（PB+PC）取最大值2,故答案为：2.例40.（2022四川资阳一模（理）已知平面向量”，b,c,满足W=W =|a+6|=2,且卜一功-c卜 正，则耳 的 最 大 值
38、为.【答案】3币【解析】由题意，（a+/?）2=a+2a,b+Z?2=4，又。=6=2,故 a b=-2，故 卜-叫=J 彻2 =玳-4 a-b+4 b=J4+8+16=2币，由向量模长的三角不等式，|卜-26卜同怛,一26一 小K-力|+同，即即 一 卜 卜 近4 2曲+卜|,解得：近神机则向的最大值为3 故答案为：377例41.（2022.湖南.长沙一中高三阶段练习）如图，在直角梯形A B C D中，AD/BC,A B V B C,A D =,BC=2,P是线段A8上的动点，则pC+4P4的最小值为.【解析】如图，以8点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设A8=a,BP=x（魄*）,因为 A
39、D=1,BC=2,所以 P（0,x）,C（2,0）,（1,a）,所以 PC=（2,T）,P=（l,a x）,4P）=（4,4“4x）,所以 PC+4PO=(6,4 a-5 x),所以0 C+4P&=4 36+(4-Sx?.6,所以当加-5x=0,即x=时，|PC+4P4 的最小值为6.【新题速递】一、单选题1.(2022全国模拟预测)如图，在矩形ABC。中，AB=2BC=4,E 为边A 8上的任意一点(包含端点),。为 AC的中点，则OB-OE的取值范围是()B.-2,8C.2,8D.4,20【答案】A【解析】法一：设=因为O 为AC的中点，所以8 0 =；(B4+8。)=g 卜A8+AD),
40、所以 08=；(A 8-A ).又 E=AE-AO=XAB-A。，所以 O8.)E=；(48-A)(/IAB A)=g(4AB，+必 彰 义+2,因为所以82+2e2,10,所以 O B Q E e2/()；法 二:以A 为坐标原点，AB,AO的方向分别为x，y 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系,则 0(2,1),0(0,2),8(4,0),设矶加,0乂0 4 w 4 4),所以。8=(2,-1),DE=(m,-2),所以08.)=2加 +2.因为0 4 6 Ew2,10.A E故选：A.2.（2 0 2 2 江苏南京模拟预测）己知。为坐标原点，抛物线C：V=x.过点T（f,O）（f
41、0）的直线/与C 交于A,B两点，且则，的取值范围为（）A.（0,1 B.（0,2 C.1,问 D.2,+）【答案】A【解析】当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x =f,则因为 N A。8 2 所以 0 8.0 4 4 0 ,即 0 8.。4 =f?t 4。，解得：0 W/W 1,因为”0,所以0Y l；当直线/的斜 率&存在时，则K 0,设直线/的方程为y =&（x-r）,4（公 M）,5（孙必），由消去X,y =%彳 导 ky2-y-kt =0,所以X+）2=Z,因为NAO BN5,所以O 3.O A 4 0，即 OBOA=+yiy2-y：%?+y%=/-f 0,所以0 Ja2+4 b
42、2-4 a-b=J|a|2+4|f e|2-4 a-b=V l T ,同=#+（后=2,二解得a?8 2 ,a b,所以。在b 上的投影为 b=l,故选：B4.(2022广西贵港高三阶段练习(理)已知阳周=1 0,点 P 满足忸闾一|尸|=6,动点M,W满足|M N|=2,M F】=R N ,则 PM.P N 的最小值是()Q 10A.3 B.C.4 D.3 3【答案】A【解析】由题意知不妨设点P的轨迹为 以 爪-GO),玛(c,0)(c 0)为焦点的双曲线的左支，2 )设双曲线的标准方程 为*-专 =力0),则 2c=10,2a=6,c=5,。3,Z?=4,2 2 点尸的轨迹方程是工-匕=l
43、(x 4-3),9 16 I)M F、=F N,K 为 M、N 的中点，P M -P N =(PF+F M P F F1N)=PF.2-F,M2=PF12-MN2=PF12-1,|明N c-a=2,:.P M P N N 3,PM.PN 的最小值为3,当点P 在双曲线的左顶点时取等号.故选：A.5.(2022.贵州.高三阶段 练 习(理)如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角.A8C的斜边A B,直角边8C,A C.若 BC=2。A C =2,E为半圆。弧的中点，F 为半圆。2弧上的任一点，则 的 最 大 值 为()BOAA.2,/3 B
44、.4-6 C.25/6 D.4【答案】B【解析】如图，以C8,C4为x,y 轴建立平面直角坐标系，则A(0,2),B(2石,0),(收 0)，。2(0/)，E(6-6),半圆弧。2的方程为、+(y 1)2=1(X40),IT 37r设尸(8 s a i+s in。)(-?+-V 3sin6=73-sin(6 +-),4咛，则等呜守，孙如吟）取得最小值是T,所以A尸取得最大值6 +#.6.（2 0 2 2 全国高三阶段练习（理）如图所示，已知圆0的半径为5,。4 =3,圆。上有一点8满 足 他 J _ Q 4,u im u u点 C为圆。上任意一点，则 ABVB的取值范围是（）【答案】AC.-8
45、,3 6D.-1 0,1 6【解析】根据题意可得4（3,0）,3（3,4）,mu贝ij AB=(O,4)UL1设 C(x,y),其中-5 4 x 4 5,-5 4 y 4 5 ,则 C 8 =(3-x,4-y)UUU UU所以 A B-C 8 =6_ 4 y，f i-5 y 0),A C =A E(0),则+m m +4 n的最小值为（）A【答案】C【解析】因为BO=2OC，所以 AO-AB=2（4 C-A O）,B|J A 0=|A B+|AC,又因为G为线段A。的中点，所以 AG=TAB+5 4C=A8+!AC,2 3 3/6 3因为 AB=，A。，AC=nAEIYI n所以 AG=A O
46、 +A E,6 3因为 、G、E三点共线，tn n所以一+=1,即m+2=6,6 3r r i u1 9（1 9、（?+加+4）1 （ni+4n 9mm tn+4n m m+J 12 12 v m m+n I 10+2.12/n+4n 9m-、m m+4,=*0 +2西ni+4/7 Q/7 7当且仅当空空即加=2=3时取等号.m?+4故选：c.8.（2022重庆八中高三阶段练习）如图所示，平行四边形ABCO的对角线相交于点O,2AE=。，若DE=2AB+AD（a,R）,则兄 +等 于（）A.1B.-1c-4D.一81【答案】c【解析】因为平行四边形ABC 的对角线相交于点O,2AE=E O,所
47、以DE=-DA+-DO=-DA+-(DA+AB=-AB-AD.3 3 3 6、6 6因为=+AO(/l，M eR),所以 2=,=-.6 62所以4+=-2故选：C二、多选题9.(2022.全国.模拟预测)已知平面向量。=(1,1),6=(-3,4),则下列说法正确的是()A.c os(a,b=-B.在 方向上的投影向量为C.与b 垂直的单位向量的坐标为(土|)D.若向量 +劝 与 向 量 财 共线，则2=0【答案】AD【解析】由题意 知 小 J J +F=&,忖=卜 3+4?=5,a 力=1x(3)+lx4=l,则a b _ 1 _ 5/2丽 二 万 3 =而，A 正确;a 正 a 、B在a
48、 方向上的投影向量 为 阵 小 匕)百=5x而场=5 ，B 错误;设与6 垂宜的单位向量的坐标(七,),则有-3%+4%=0X02+%2=1%=一)；，所以与各垂直的单位向量的坐标为解得45 53W C错误;%=显然“与力不共线.因为4+26=0,1)+4(-3,4)=(1-341+42),a-AZ7=(l,l)-A(-3,4)=(l+3/l,l-4A),向量a 与向量a-义 匕 共线，根据共线向量的坐标表示可得，(1-3(1-4-(1+32)(1+42)=。，整理可得一 1 4 4=0,解得4=0,D 正确.故选：AD.10.(2022福建泉州五中高三期中)已知扇形AOB的半径为1,4405
49、=120,点 C 在弧AB上运动,O C =xOA+y OB,下列说法正确的有()A.当 C 位于A 点时，x+y 的值最小B.当 C 位于B 点时，x+y 的值最大C.C A C 3的取值范围为-g,。D.0 C 8 A 的取值范围【答案】ACD【解析】以。为原点，以。4 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系,设 NAOC=e,则 C(cose,sin。)，其中(W y,A(l,o),B因为 0C=xO4+y0B,cos 0=x y2所以 rsin0=yI 2)即 2 K .y=-sine/.3Q g Ax=cos 0+sin”3所以-V +.V =cos+/3 sin=2 sin I 0+所
50、以当。=1时，工+取得最大值2,此时点。为AB的中点，当6=0 或8=W 时，x+y 取得最小值1,此时点C 为A或 B点，故 A 正确，B 错误,jfij G4=(l-cos-sin 6),CB=一g-co s。,等一 sin。)，所以 CA.C3=(-cose+l)(-；-co sej+-s in e j(-s in e),=-cos-sin 9=-sinf+.2 2 2 2 I因为噫胆所以熬股+乎，故 屋sin(e+*l,因此一4 4一加1+外W0,所以C A C 8的取值范围为一；，。，故 C 正确,OC(OA OB)=(cos6,sin 0),因 为 城 昌,所 以 港+可,故-亭