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1、2023年普通高等学校招生全国统一考试数 学注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题是，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选择其它答案标号。回答非选择题是，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。L若集合M =5 l N=-1,0,1,2 ,则M N =A.1,2 B.2 C.-1,0,1,2 D.1,5 1+5 i2 .若z=,z 的虚部是TTA.3 i B.
2、3 i C.3 D.33 .若一个数列为等差数列，前五项和为1 5,则第三项是A.5 B.-5 C.3 D.-34 .神舟十四号，简 称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船。已 经 于 2 0 2 2 年 6月5日上午1 0 时 4 4 分 07秒在酒泉卫星发射中心发射神舟十四号载人飞船，3名航天员进驻核心舱并在轨驻留6个月。神舟十四乘组将配合地面完成空间站组装建设工作，要经历9种组合体构型、5次交会对接、3次分离撤离和2次转位任务；将首次进驻“问天”“梦天”实验舱，建立载人环境；配合地面开展两舱组合体、三舱组合体、大小机械臂测试，气闸舱出舱相关功能测试等工作；首次利用气闸舱实施出
3、舱活动。其中，若神舟十四号的位移大小与时间的关系在0W t b 恒 成 立，则x xA I 1 1A a 1,b _eB.a 1,b：e(:6 与 丫 二,有 交 点D.h(x)=f (x)+(3 +a)x I n x与y =1 0 x 2没有交点三、填 空 题：本题共4小 题，每小题5分，共20分。I 3 .(x +X2 1)6的展开式中X5的系数是1 4.过 点(0,1)且 与 圆：(x 2)2+(y+3)2 =4相切的直线方程是4 e15.已知x e x=4,In y _ =1,则x y =y -5已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，X,1,+，且X X,都 有(x x )f (x )
4、f (x )0.X1 2 1 2 12 2 1则不等式f (22X+I+1)f (9)的解集为_ _ _ _ _ _ _ _四、解 答 题：本 题 共6小 题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。已知在AAB C中.入出 所 对 的 边 分 别 为&匕 若a z+b 2-C 2=8,AAB C的面积为2 3(1)求角C的大小；(2)若c=2妻，求s in A+s in B 的值.8记S为等差数列a 的前n项和，已知a =7,S=15.nn13(1)求a 的通项公式；n(2)求S,并求s的最小值.n n。如图所示的几何体中，A BC AB C为三棱柱，且A A 平 面A B C,四
5、边形A BCD为平行四边形，1 1 1 1-71 的AD=2CD,ADC=6 0.D12023年普通高等学校招生全国统一考试数学答案一、选择题.123456789101112BCADBBDCBCA BCDA CD1.【答案】B【详解】考察了集合的基本运算，易得：B2.【答案】C【详解】整理得：z 2 3 i,故虚部为33【答案】A【详解】a+a+a+a+a =3 a =15,故 a =51 2 3 4 5 3 34【答案】D【详解】求g(x)的导函数即可，可以求出答案为D5【答案】B【详解】由向量基本运算可以求出m5 1,g 故答案选B6.【答案】B【详解】f (x)3 s in3x 2c o
6、 s2x 2s in x 1a 0,化同名，将c o s 2x化为正弦的平方，再换元：s in x二t,则 f 3 t 3 2t 2 2t 3 a,t o j ，易求出答案为B7【答案】D【详解】a 4 2b 2 16 8 a 2 2b 2 2J l 6 a 2b 2a b a b a bo,故选Do【答案】C【详解】sABD所以 b e 3(b c)b e s in A D b s ins 得:_ _ _ _ _ _L _ _ _ _ _ _ _ _1ACD 2 2(b c)即(b c)2 12(b c)A D c s in320,因而b c1289.【答案】BC【详解】,2p,故A错误；以
7、AB为直径的圆与准线相切，故B正确；lABl 1 1 2jAF|+|BF|7)，故C正确，D错误10.【答案】AB【详解】E F与CD异面，故A正确；ABEC且A B面E F C而EC G面EFC,因此AB1 1 1 1面EFC，故B正确；AB与E F不垂直，故C错误；该四棱锥外接球与正方体外接球半1径相同，因此半径为n.【答案】CD【详解】v x+x=i x=i-x,1 2 2 I.,.0P=X 0A+X 0B=X 0 A+(l-XOB BP=X BA,；.A,B,P 之点共爹.A错误.V XjOAh=X|0B|2,.*.OPAB=(X 0A+X OB)(OB-OA)1 2-A -A -A=
8、(人一人)OAOB+X 0B-X 0A2=(X-X)()AOB.1 2 2 1 1 2A B错误.XJOA|=X OB,.,.OPOA=X 6 1+X OA.OB1 2=X|0A|2+x|0A|*|0B|cosZA0B=x|0A|2(1+COSZA0B),f 1 f 2 1OP*OA f|0A|(1+cosZAOB).0A|1又施施=X OA-OB+X O B.：=X|OA|-iOBicosZAOB+X|0B|2=X 0A|0B|(1+cosZAOB),1 -LOP*OB-OP*OA/.=入|0A|(1+cosZAOB)=I0B|1|0A|.OP平分NAOB.C正确.设AB的中点为M,则嬴+加
9、=2而1 2 f.入=入=-,.op=X 0A+X OB=-OM.12 3 1 2 3.p为AA0B的重心.D正确.12.【答案】ACD【详解】同构二、填空题13 .514 .x =0或3 x +4 y 4 =015 .4 e16 .（,1）三、解答题n 317 .【答案】（1）3；（2）解析】（1）E t l A A BC的面积为2晶可彳g a b s i n C =那，由a z+b 2 C2=8及余弦定理可得2a b e o s C=8 ,故 t a n C=f C =_ .（2）,/C=_,2a b e o s C=8,a b =8 ,3又az+b 2 C2=8,c=2/,可得a+b=6
10、,由正弦定理a =b =c ,s in A s in B s in C得s in A+s in B=a s in C.b s in C=，s in C _ 3c c c 2,18 .【答案】（1）a=2n-9；（2）S=r i2-8 n,最小值为-16.nn Of（1）设 a 的公差为d,由题意得3 a +3 d=-15.n 1由 a=-7 得d=2.1所以 a 的通项公式为a =2n-9.n n（2）由（1）得 S=n z-8 n=（n -4）2-16.n所以当n=4 时，S 取得最小值，最小值为-16.n19 .【答案】（1）见解析（2）4.【解析】（1）交 AC 于 E,因为A A =A
11、 C,又 A A1 1 1 1所以A A AC,所以四边形A A C C 为正方形，1 1 1所以 A C A C,在 4 A C D 中，A D =2CD,A D C =6 0,平面A BCD,由余弦定理得 A C2=A D 2+CD 2 2A D CD c o s 6 0，所以 A C=V 3 CD ,所以 A D2=A C2 +CD 2,所以CD A C,又 A A(CD ,所以CD平 面A A C C，1 1所以CD A C,又因为CD A C=C,A C_ L平面A BCD；1I 1（2）如图建立直角坐标系，则n D C=0 2x,+2 6 z,=0由 i 0 即 1,n 吁 2x
12、+2炳+S 3 =0解得 x =$z,y=0,n=,0,J,11 1 1设 平 面A CD的法向量为n =(x ,y ,z),12 2 2 2n CA=0 2)的准线为x,3 5由已知得M，m 到准线的距离为，223 p 5*,2+工 y P 2,方程 丫 24x,(2)由已知可设 1：x-m y+2,1：x=m y+2,112 2y2=4x.由 ，化简得y2 4m y 8=0,x=m y+2 1设 A(x：y)，C(x,y),贝 ij y+y=4m,12 2 1 2/1.y=2m,又x=2m2 +2,M 1 M 1同理可得：N(2m2+2,2m),227.k=L-2m,(叫_ _ _ _)二
13、城 七+2m2,、2+2m2/即 M 2m2+2,2mii211 2M N:y 2m=1 (x 2m2 2(m m+m+m 1 20)1 mi+m2 1即m+m122+2m m)1 2/1 1的斜率之积为-2,1 21 1=2 m m =1 ,m m ，即 2 71 2MN：y=-Hr Tx 3）即直线M N 过定点（3,0）,1 2当m+m二时，不妨设m 0,m 2即a 1 1 时，由 f （x）。得lxa 1,由 f （x）0得0 xl或x a 1 ；当a =2即a 1 =1时，当x 0时 都 有f（x）0；当a 2时，单调减区间是（l,a 1）,单调增区间是（0,1）,Q 1.+）；当a
14、 =2时，单调增区间是（0,+）,没 单俨减区间.（）（2）当a =e2+1时，由（1）知f（x）在1,e 2上单调递减，在e 2,+上单调递增,从 而f（x）在1,+）上的最小值为f仁）=e2 3.对任意x 1,+），存在x 1,+）,使得g（x）f（x）+2e z,艮 娱x 1,+）,1 2 2 1 2使g（x）的值不超过（）在区间）X上的最小值e 2 3.由 e 2 3 +2e 2 ex+mx 2 3 得 e x+n iX 2 e2,me2exX2令h(x)=二_ 二，则当x C l,+)时，m h(x)X2 maxh (x)=exX2 22 ex 7 xx ex+22 exX3当 X 1,2 时 h (x)x ex2&0,h(x)0.故h(x)在 1,+)上单调递减,从而 h(x)=h(l)=e 2 e,ma x从而m e 2e 得证.