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1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷（一）本试卷共9页，满分150分。考生注意：1 答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：共12题 每题5分 共60分1已知集合P=x|1x3,Q=x|2x2,那么P(RQ)=A.(1,3)B.
2、1,3C.1,+)D.2已知a+2ii=b+i(a,bR),则a+b=A.-1B.1C.-2D.23甲校有3600名学生,乙校有5400名学生,丙校有1800名学生,为统计三校学生的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个容量为90人的样本,应在这三校分别抽取学生（）人.A.30,30,30B.30,45,15C.20,30,10D.30,50,104在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),点A是椭圆C的右顶点,点B为椭圆C的上顶点,点F(-c,0)是椭圆C的左焦点,椭圆的长轴长为4,且BFAB,则c=A.5-1B.5-12C.25-2D.5+15设a,b是非零向量.
3、“ab=|a|b|”是“ab”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|2)的部分图象如图所示,则A.f(x)=2sin(2x-3)B.f(x)=2sin(x-3)C.f(x)=2sin(2x+3)D.f(x)=2sin(x+3)7正项等比数列an中,a2 016=a2 015+2a2 014,若aman=16a12,则4m+1n的最小值等于A.1B.32C.53D.1368如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SA平面ABCD,SA=3,BC=1,M
4、为线段SB的中点,动点P,Q分别在线段SC,CD上,则2MP+PQ的最小值是A.1B.2C.3D.29已知函数f(x)=12x,x0,2x-x2,xf(|a|),则实数a的取值范围是A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(-2,2)10函数f(x)=e|x-1|-e(x-1)2的大致图象为A.B.C.D.11在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2cos Acos C=accos2B,则角B的取值范围为A.(3,2)B.3,2)C.4,2)D.(4,312已知过原点O的直线交双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右两支分别于A,B两点,F为双曲线的
5、左焦点,若4|AF|BF|=|AB|2+2b2,则此双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.5二、填空题：共4题 每题5分 共20分13已知函数f(x)=x2f (2)+3x,则f (2)=.14已知在等差数列an中,an的前n项和为Sn,a1=1,S13=91,若Skak=6,则正整数k=.15已知函数f(x)=x(ex-e-x)-cos x的定义域为-3,3,则不等式f(x2+1)f(-2)的解集为.16已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosCcosA=2b-3c3a,点M在边AC上,且cosAMB=-217,BM=7,则ABM的面积等于.三、解答题：共70分。解答
6、应写出文字说明/证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必须做答。第22、23为选考题，考生根据要求作答（一）必考题（60分）17已知公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn,满足S6=6332,且a2,a4,a3成等差数列.(1)求等比数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=nan,求数列bn的前n项和Tn.18如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2,ABBC,B1CBC,B1AAB,B1C=22.(1)求证:BB1AC;(2)求直线AB1和平面ABC所成角的大小.192018年为我国改革开放40周年,某事业单位共有职工600人,其年龄与人数分布表如下:年龄段
7、22,35)35,45)45,55)55,59)人数(单位:人)18018016080约定:此单位45岁59岁为中年人,其余为青年人,现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.(1)抽出的青年观众与中年观众分别为多少人?(2)若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事,其余人热衷关心民生大事.完成下列22列联表,并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关?热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年12中年5总计30(3)若从热衷关心民生大事的青年观众(其中1人擅长歌舞,3人擅长乐器)中,随机抽取2人上台表演节目,则抽出的2人能胜任的2人能胜任才艺表
8、演的概率是多少?附参考数据与参考公式:P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).20设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,求OMAOMB的值.21已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a1,所以P(RQ)=x|x1.故选C.2.B【解析】本题考查复数的基本运算以及复数相等的概念,考查
9、考生对基础知识的掌握情况.将等号两边同时乘以i,然后利用复数相等列出方程组求解即可;也可直接利用复数的除法运算化简,然后利用复数相等列出方程组求解即可.解法一由已知可得a+2i=(b+i)i,即a+2i=bi-1.由复数相等可得2=b,a=-1,所以a+b=1.解法二a+2ii=2-ai=b+i,由复数相等可得2=b,-a=1,解得b=2,a=-1,所以a+b=1.3.B4.A【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,考查考生的运算求解能力.由BFAB及OBAF,得到|BO|2=|OF|OA|,结合a2=b2+c2得到ca的值,从而根据a=2得到c的值.由题意得A(a,0),B(0,b),
10、由BFAB及OBAF,得|BO|2=|OF|OA|,即b2=ac,又a2=b2+c2,所以ac=a2-c2,即e2+e-1=0,解得e=ca=5-12或e=-5+12(舍去),又a=2,所以c=5-1.5.A【解析】本题主要考查向量平行的概念和向量的数量积运算,意在考查考生分析问题、解决问题的能力.解题思路为按充分、必要条件的定义解题.若ab=|a|b|,则a与b的方向相同,所以ab.若ab,则ab=|a|b|,或ab=-|a|b|,所以“ab=|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件,选A.6.C【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查考生的读图与识图能力、综合分析问题和解决问题的能力
11、.由题中图象可知A=2,又712-3=4,所以函数f(x)的最小正周期T=44=,=2T=2,结合题中图象可知f(3)=2sin(23+)=0,所以23+=k(kZ),因为|0),a2 014q2=a2 014q+2a2 014,q2-q-2=0,q=2或q=-1(舍去),又a1qm-1a1qn-1=16a12,qm+n-2=16,m+n-2=4,m+n=6,4m+1n=(4m+1n)m+n6=16(5+4nm+mn)16(5+24nmmn)=32,当且仅当m=4,n=2时等号成立,故选B.8.D【解析】本题主要考查立体几何中的动点问题,考查考生的空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力.先根
12、据题意证明CD平面SAD,BC平面SAB,得到对于给定的点P,PQ达到最短的条件,然后可以利用函数的有关知识求最值,也可以通过线面位置关系的有关证明及平面几何的有关知识求最值.因为底面ABCD为正方形,所以CDAD,又SA平面ABCD,CD平面ABCD,所以CDSA,又SAAD=A,所以CD平面SAD,同理BC平面SAB.解法一易知对于给定的点P,当且仅当PQCD时,PQ达到最短.设SP=t,t0,5,cosBSC=25,则PM=1+t2-21t25=1+t2-45t=(t-25)2+1555,又PQSD=CPCSPQ2=5-t512PQ=1-15t,记2y=2(MP+12PQ)y=1+t2-
13、45t+1-15t,移项平方得(y-1+15t)2=1+t2-45t,化简可得45t2-25(1+y)t+2y-y2=0,由方程有解可得=25(1+y)2-445(2y-y2)05y2-6y+10解得y1或y15(舍去),故2MP+PQ=2y2,故选D.解法二如图,将四棱锥S-ABCD补成长方体STUV-ABCD,对于给定的点P,当且仅当PQCD时,PQ达到最短.过点P作PH平面CDVU,连接HQ,由SA=3,BC=1,得SD=2,则cosSDA=cosHPQ=12,则PH=PQcosHPQ=12PQ,则2MP+PQ=2(MP+12PQ)=2(MP+PH),当且仅当M,P,H三点共线时MP+P
14、H的值达到最小,易知此时MP+PH=1,即(2MP+PQ)min=2.9.A【解析】本题是函数与不等式的综合题,考查函数的单调性,考查运算求解能力、分类讨论思想、数形结合思想.根据分段函数的单调性,数形结合求解.由题意知,f(x)=12x,x0,-(x-1)2+1,xf(|a|),得2-a2|a|.当a0时,有2-a2a,即(a+2)(a-1)0,解得-2a1,所以0a1;当a-a,即(a-2)(a+1)0,解得-1a2,所以-1a0.综上所述,实数a的取值范围是(-1,1).故选A.10.B【解析】先根据函数图象的平移变换可知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,再利用特殊值,排除错误选项
15、.设函数g(x)=e|x|-ex2,则g(-x)=e|x|-ex2=g(x),所以g(x)为偶函数,易知f(x)的图象可以看作是由g(x)的图象向右平移1个单位长度得到的,故f(x)的图象关于直线x=1对称,排除A,D,又f(1)=e0-e(1-1)2=1,排除C,故选B.11.B【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式、正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用等知识,考查考生的运算求解能力、分析问题与解决问题的能力,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.解法一利用正弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式以及一元二次方程根的判别式进行求解;解法二利用余弦定理进行求解.解法
16、一由b2cos Acos C=accos2B及正弦定理,得sin2Bcos Acos C=sin Asin Ccos2B,即tan2B=tan Atan C,所以tan2B=-tan Atan(A+B),即tan2B=-tan AtanA+tanB1-tanAtanB,整理得tan2A-(tan3B-tan B)tan A+tan2B=0,则关于tan A的一元二次方程根的判别式=(tan3B-tan B)2-4tan2B0,又ABC为锐角三角形,所以得(tan2B-3)(tan2B+1)0,得tan B3,所以3B2.解法二由b2cos Acos C=accos2B及余弦定理,得b2b2+c
17、2-a22bcb2+a2-c22ba=ac(c2+a2-b22ca)2,即(b2+c2-a2)(b2+a2-c2)=(c2+a2-b2)2,即b4-(a2-c2)2=b4+(c2+a2)2-2b2(c2+a2),化简得a4+c4=b2(c2+a2),则cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-a4+c4c2+a22ac=aca2+c2=1ac+ca12,当且仅当a=c时等号成立,又ABC为锐角三角形,所以3Bf(-2)f(x2+1)f(2),可得2x2+13,解得-2x-1或1f(-2)的解集为-2,-1)(1,2.16.3【解析】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形,考查综合分析问题、
18、解决问题的能力,考查运算求解能力和应用意识.首先根据正弦定理,结合cosCcosA=2b-3c3a求出角A,然后求出AB的长,利用余弦定理求出AM的长,最后结合三角形的面积公式求解即可.在ABC中,cosCcosA=2b-3c3a,则由正弦定理得,cosCcosA+sinCsinA=23sinBsinA,sinAcosC+cosAsinCcosAsinA=23sinBsinA,sin(A+C)cosAsinA=23sinBsinA,又sin (A+C)=sin B0,cos A=32,0A,A=6,由cos AMB=-217,得sin AMB=277,在AMB中,BMsinA=ABsinAMB
19、,即7sin 6=AB277,AB=4.设AM=x,在AMB中,AB2=AM2+BM2-2AMBMcos AMB,x2+7-2x7(-217)=16,即x2+23x-9=0,解得x=3或x=-33(舍去),SAMB=12AMABsin A=1234sin 6=3.17.(1)设数列an的首项为a1,公比为q(q1),由题意得S6=6332,a2+a3=2a4a1(1-q6)1-q=6332,a1q+a1q2=2a1q3a1=3,q=-12,从而an=a1qn-1=3(-12)n-1 .(2)由(1)得bn=3n(-12)n-1 ,由Tn=3(-12)0+32(-12)+33(-12)2+3n(
20、-12)n-1,-12Tn=3(-12)+32(-12)2+33(-12)3+3n(-12)n,由-得32Tn=3(-12)0+3(-12)+3(-12)2+3(-12)n-1-3n(-12)n=2-(3n+2)(-12)n,整理得Tn=43-(2n+43)(-12)n.18.(1)如图,取AC的中点E,连接 B1E,BE,AB=BC,BEAC,在B1CB和B1AB中,B1CB=B1AB=90,BC=AB,B1B=B1B,B1CBB1AB,B1C=B1A,B1EAC,BE,B1E平面B1BE,B1EBE=E,AC平面B1BE,B1B平面B1BE,B1BAC.(2)过C作CDAB,过A作ADBC
21、,连接B1D,则四边形ABCD为平行四边形,ABBC,AB=BC=2,四边形ABCD为正方形且边长为2,BCCD,BAAD,ADCD,BCB1C,B1AAB,B1CCD=C,B1AAD=A,BC平面B1CD,BA平面B1AD,BCB1D,BAB1D,又BCBA=B,B1D平面ABCD,B1AD为直线AB1和平面ABC所成的角.B1C=22,B1D=2,AB1=B1C=22,sinB1AD=B1DAB1=22,B1AD=45,即直线AB1和平面ABC所成角的大小为45.19.(1)抽出的青年观众为18人,中年观众12人;(2)22列联表如下:热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年61218中
22、年7512总计131730K2=30(65-127)213171812=4052211.8332.706,没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关;(3)热衷关心民生大事的青年观众有6人,记能胜任才艺表演的四人为A1,A2,A3,A4,其余两人记为B1,B2,则从中选两人,一共有如下15种情况:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A2,A3),(A2,A4),(A3,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况,所以P=615=
23、25.20.(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,由已知可得,点A的坐标为(1,22)或(1,-22).所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2;(2)当l与x轴重合时,OMA=OMB=0,当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),当x12,x20,故f(x)在(0,+)单调递增.若a0;当x(-12a,+)时,f (x)0.故f(x)在(0,-12a)单调递增,在(-12a,+)单调递减.(2)由(1)知,当a0;当x(1,+)时,g(x)0时,g(x)0.从而当a0时,ln(-12a)+12a+10,即f(x)-3
24、4a-2.22.(1)曲线C的普通方程为x29+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0,由x+4y-3=0,x29+y2=1解得x=3,y=0或x=-2125,y=2425.从而C与l的交点坐标为(3,0),(-2125,2425).(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为d=|3cos+4sin-a-4|17.当a-4时,d的最大值为a+917.由题设得a+917=17,所以a=8;当a12,2-x,-1x12,-3x,x-1,作出图象如图所示,给合图象得不等式f(x)3的解集为(-,-11,+).(2)易知y=|x-a|=x-a,xa,a-x,xa,当直线y=a-x与直线y=2-x(-1x12)重合时,a=2;当y=x-a经过点(12,32)时,a=-1.数形结合可得a的取值范围为-1,2.