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1、2022年高考数学考前模拟题1.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，ZBAD=48=4,BC=1,M,N 分别是AB,PC的中点，ADPD.(1)证明：平面PQM_L平面PBC；(2)若 PM_LMQ,PC=V 1 5,求二面角尸-O M-N 的余弦值.【分析】(1)证明A C Q M,结合AQ LPZ),推 出 平 面 尸 Q M,然后证明B C,平面P D M,即可证明平面PDMJ_平面PBC.(2)以力为原点，分别以0 4 0 M 及 平 行 于 所 在 的 直 线 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，连接历C,求出平面NDW的法向量7=(x,y,z),平面PCM的法向
2、量，再求解二面角的余弦值即可.【解答】解：(1)证明：由题得4W=2,ABAD=J,A D=,在ADM中，由余弦定理得。M=B，所 以 是 直 角 三 角 形，即A C Q M,又 ADJ_PD,且。M nP=;),所以 AOJ_平面 PDM,因为ABC。是平行四边形，所以8CA。，所以BC_L平面P D M,且 8Cu平面P8C,故平面PDW_L平面PBC.(6 分)(2)由(1)知 47)_L平面 POM,PMu平面所以 PMLA。,又 PMLMD,ADQMD=D,所以 PMJ_平面 ABC。，且 A_LOM,以。为原点，分别以D 4,。/及 平 行 于 所 在 的 直 线 为 x,y,z
3、轴建立空间直角坐标系，连接M C,在平行四边形ABCO中，易得MC=夕，在直角三角形 PMC 中，PM=JPC2-M C2=V 1 5-7=2VI,于是M(0,取,0),P(0,V3,2夜)，C(-2,2聒,0),因为可是PC的中点，所以N(L 罢，V 2),设平面N D M的法向量=(x,y,z),则行.扇=0,J。z).(0,V 3,0)=0,=产y=0,In-D N =0(%y z)(-1，竽,V 2)=0 -x+竽y+伍=,W z =&得，n =(2,0,V 2),由(1)知 x 轴，平面PQM,所以平面PQM的法向量晶=(1,0,0),设二面角P-D M-N的平面角为0,则C O S
4、。=n-m|可|刑(2,0,0,0)_ 2+0+0 _/4+0+2义1 V 6 3故所求二面角的余弦值为V手6.(1 2 分)【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理，二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.2.如图，在四棱锥尸-A B C O 中，底面A B C D 为平行四边形，/D 4 8=4 5 ,P J _平面A 8 C D,AP1BD.(1)证明：B C _L 平面P B D；(2)若A B =夜,P B 与平面4 P Z)所成角的正弦值为w，求二面角8-P C -。的余弦值.【分析】(1)证明 P O-L B f),P D V B C,推出。B _L 平面 A
5、P O,得至l j BC1.BD,结合P D L B C,证明B C J _平面P Q 8；(2)以。为坐标原点，DA,DB,QP所在的直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面P C B的法向量，平面P C D的法向量，再求解二面角8-PC-D的余弦值即可.【解答】解：（1）证明：因为P _L平面A B C。，8 u平面A 8 C D,8 C u平面A B C Z）,所以 P O _L 8 ,PDA.BC,因为P D Q A P=P,所以。8 J _平面A P O,因为A Q u 平面A P Q,所以8 _L A。，因为底面A B C。为平行四边形，所以A O 8 C,所以 B
6、C _L B。，又 PDLBC,P D C B D=D,所以B C J _平面P D 8；（4分）（2）由（I）可知 BDLAD,因为AB=A/5,NDAB=45,所以 A =B C=1,因为0 8 J _平面A P O,所以O P为8 P在平面A P。上的射影,所以P 8与平面A P D所成角即为/B P C,7 5因为P 8与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 W，所以P C=2,（6分）以。为坐标原点，DA,DB,Q P所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,如图所示,则 P(0,0,2),A(1,0,0),B(0,1,0),C (-b 1,0),D(0,0,0),所 以
7、 第=(1,0,-2),丽=(0,1,-2),P C =(-1,1,-2),DC=(-1,1,0),设平面P C B的法向重为m =(x,y,z),则 _ _=_ nPB m =0#/D E L/#-令x=0,y=2,z=l,得面P C B的法向量U=(0,2,1),(9分)同理可得平面P C 的法向量n =G，&，0),(1 0分)T T所以c osV zn,n =I?I利川因为二面角B-P C-D为锐二面角，所以二面角8-P C-的余弦值 为 半.(1 2分)【点评】本题考查了直线与平面垂直的判断定理，二面角的平面角的求法，考查了转化思想以及计算能力，是中档题.3.在四棱锥P-A B C。
8、中，底面A 8 C D是矩形，巩，平面4 B C Z),且 以=A B=2,BC=4.M是产。的中点.(1)求证：直线C B J _平面以B；(2)求直线P C和平面以8所成角的大小；(3)求异面直线P B和CM所成角的大小.【分析】(1)利用矩形的性质以及线面垂直的性质得到A B L B C,BC1PA,根据线面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面以B的法向量，由向量的夹角公式求解即可；(3)分别求出两条异面直线的方向向量，由向量的夹角公式求解即可.【解答】(1)证明：因为底面A B C。是矩形，则ABCD,B C c 5 F A
9、BCD,则 BCA.PA,又 以C A B=4,PA,A B u平面必B,故8 c _L平面PAB；(2)解：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,则 尸(0,0,2),C(2,4,0),B(2,0,0),所 以 而=(2,4,-2),BC=(0,4,0),由(1)可知，BC=(0,4,0)为平面R 4 8 的一个法向量,所以I C O S V 命，访 1=叵组=孚|P C|B C|J 4+1 6+4 X 4 3V 6故直线P C和平面PAB所成角的大小为arc si n ；(3)解：因为M 是 的 中 点，则 M(0,2,1),所以前=(一 2,2,1),又藁=(2,0,-2),所以|c osV 而，CM|P B-C M|_ 6PBCM 1 4+4+1 x1 4+4 2故异面直线P B 和 CM所成角的大小为4 5 .【点评】本题考查了线面垂直的性质的应用，线面垂直的判定定理的应用，线面角与异面直线所成角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.