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1、第 九 章 解 析几何考点：平面直角坐标系,直线方程与圆的方程，两点间距离公式与点到直线的距离公式一、知识点1.直线的方程1）倾斜角：范围这 左=X2 X当王=时，a=9 0,%不 存 在，a为 锐 角时，A 0;夕为 钝 角 时，03）直线方程的几种形式斜截式：y=k x+b 不含y 轴和平行于y 轴的直线点斜式：y-X=k（一%）不含y 轴和平行于y轴的直线y-y _ x f两点式：必 一%一 无 1不含坐标轴，平行于坐标轴的直线2+2=1截距式：b 不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线一般式:Ax+B y+C=0 A B不同时为0几种特殊位置的直线:x 轴：y =0 y 轴：x=0平
2、行 于 x 轴：y 二 b 平 行 于 y轴:x=a原点：y=k x 或 x=04）直线系：（待定系数法的应用）（1）共点直线系方程:p O（xO,y O）为定值，k为参数y-y O 二 k （x-x 0）特别:y=k x +b,表达过（0、b ）的直线系（不含y 轴）注意：运用斜率法时注意斜率不存在的情形。（2）平行直线系：y=k x+b,k为定值，b为参数。Ax+B y+入=0表达与Ax+B y+0 0 平行的直线系B x-Ay +入=0表达与Ax+B y +C垂直的直线系2.两直线的位置关系L 1 ：y=k lx+b 1L2:y =k 2 x+b 2LI ：A1X+B 1 Y +Cl=0
3、L2:A2 X+B 2 Y +C2=0Ll与 L2 组成的方程组平行=k l=k 2 且 b lW b 24 _ 3 C=丰 A2 B2 C2无解重合=k l=k 2 且 b l=b 2A _ _ G刀一瓦一祗有无数多解相交=k lW k 2A 土与A2 B2有唯一解垂直Ok l k 2=1A1A2+B 1B 2=O有唯一解3 .几个距离公式：Ax0+By0+cd=-/2 J1）点到直线距离：）2+（y +（y -）2=/点在圆外：（x-x0）2+（y-%）2 /3）直线与圆的位置关系设直线到圆心的距离为d,圆的半径为r,则：d r-直线与圆相离d=r-直线与圆相切（有一个交点）d R+r-两
4、圆相离 4d=R+r-两圆外切 3R-r d V R+r-两圆相交 2d=R-r-两圆内切 1d R-r 两圆内含05.对称：1）点关于点对称:p（xl,y l）关于M （xO,y O）的对称P（2 XO-I，2 4一匕）2）点关于线L的对称:设p （a、b）,线L是两点所成线段的垂直平分线.3）直线关于直线对称：找直线上两个点关于直线的对称点4）圆关于直线对称：只需要找出圆心关于直线的对称点即为对称后的圆的圆心，半径不变。二、经典例题1.已知直线Ax+B y +C =0,若A C 0,且B C =+一=1.因此可得2 o,C o.因此截距为正.可知直_ C _ C A3线过第一，二，四象限，
5、选择c。2.过点（2,0）,垂直于直线x-3 y-7 =0的直线的方程是A 3 x+y-6=0 B 3 x+y +6=0 C 3 x-y +6=0D x+3 y -12 =0 E 4x+3 y +12 =0答案：A o本题考察两直线垂直的性质。两直线垂直斜率互为负倒数，所以垂直于直线x-3 y 7 =0的直线的斜率为一3,因此直线方程为 =-3（x-2）+0=-3 x+6,选择A3.直线y=kx+2 k+1与直线y -x +2的交点位于第一象限，则k的取值范围是：A-6 k 2 B -Z:0 C A:+oo D-A:0=-Z:0 ”24.圆。-3)2+(丁-3)2=4上到直线3+4、-11=0
6、的距离等于1的点的个数有(A)1 (B)2(C)3 (D)4答案：选A。本题考察直线与圆的位置关系。依题意圆心到直线距离为2,圆的半径为2,则有1个点即切点满足条件，即选A5.方程I x-l|+|y-l I=1所表达的图形是()(A)一个点；(B)四条直线；(C)长方形；(D)正方形(E)圆答案:选D。分类讨论去掉绝对值符号，可以发现是个认为(1,1)中心的正方形，故选D6 .直线x 2y +2=0关于直线x =l对称的直线方程是(A)x +2y-l=0。(B)2x +y-l=0(C)2x+y-4 =()(D)x +2y 4 =0(E)以上结论均不对的答案:选D。本题考察了直线关于直线的对称方
7、程问题。(法一：运用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于x =l对称点为(2-x,y)在直线x-2y +2=0上，.2-2 +2=0化简得了+2y一4 =0(法二:排除法)根据直线x-2y +1 =()关于直线x =1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线X 2y +2=0与直线x =l交点为1,g)在所求直线上，故选D .7.已知定点A（0,2）,点 B 在直线l-.x+y=0 上运动，当线段AB最短时，点 B 的坐标是1 3 1 3（A）（-,一一）（B）（一一,-）（C）（1,-1）（D）（-1,1）（E）以上都不对2 2 2 21 3答案:选A。本题考察点根据
8、垂直求交点。当 AB与/垂直时,AB最短，从而B 为（一 万,万）8.十已知两点4（7）,8（-1,3）,则线段43的中垂线方程是A x 4 y +7 =0 B 4 x y 8 =0 C 4 x y -10=0D 2尢+4 y 10=0 E 4 x +2y 11=0答案：选 c。本题考察中垂线问题。由已知:A B 中点的坐标是（3,2）,人8的斜率为-；,故中垂线的斜率是4,且过点（3,2）,则 可 得 中 垂 线 方 程 10=0,选 C9 .两条直线3/n r +2 y+1=0 与9 a+6 y+2=0 的位置关系是（）A 平行 B 相交 C 重合 D 位置关系和团无关E 以上结论均不对的
9、答案：选 A o本题考察直线与直线的位置关系。由直线方程可得到两直线的斜率相同，故平行10.直线（3。）+（2。-1）y+18 =0 和（24 +1）%+（4+5）7 =0 互相垂直，则a=（）1 1 1 1 1A 一 一 B-C -D -E -8 2 5 7 8答案:选D。本题考察两直线垂直的性质。由题知:两直线互相垂直，故斜率的乘积为1,可得出a；1 1.已知直线4%+3 +12=0 与两坐标轴交点为4,3,则以线段43为直径的圆的方程是:A+y 2+3 x-4 y =0B X?+V+3 x +4 y =0C x2+y2+4 x-3 y-4 =0D x2+y2-4%-3 +8 =0E以上结
10、论均不对的答案：选B。本题考察圆的方程。4%+3丁 +12=0=气+=1,因此两坐标轴交点分别 为(一3,0),(0,4)，可 得 直 径 长 度 为5.圆 心 为(一|，一2).因 此 圆 为x+jl+(丁+2)2=图 nf +y2+3x+4y=o 选择B1 2.点(-1,2)关于直线3x+4y-12=()的对称点是,A、fll3 134、,Q、(134 113、)2+(Q A)2=一1 +1=2即 条 件(1)是充足的；由条件(2),A D所在的直线方程为y =l x,则A(1 ,0),D (0,1 )所以 AD=,所以 S=A D2=2即条件(2)不充足综上，选 A1 9.过点 P (3
11、,2)且与两坐标轴截距相等(截距不为零)的直线的方程为()A.x+y=5 B.x+y=-5 C.x-y=5 D.x-y =-5 E.以上都不对答案:A。本题考察直线的方程的求解。根据题意可设直线的方程为x+y=a,由于过P点,代入可得a =5，所以选Ao2 0.通过两条直线2 x +3 y +l=0 和 x 3 y +4 =0的交点，并且垂直于直线x +y 7=0的直线方程为()A、9x+9 y-2 2 =0 B、9 x-9 y-2 2 =0 C、9 x-9 y +2 2 =0D、9x-1 0 j-2 2 =0 E、9x +1 0 -2 2 =0答案：选 C,本题考察直根据已知条件求解直线方程
12、。由 题 知，直 线 2 x +3 y +l =0和 x 3 y +4 =0的交点坐标为卜，且 直 线x+y 7=0的斜率4 =一1,从而所求直线的斜率内=1,用点斜式方程得到：7 5y一一=i.(x +_),即 9 x-9 y +2 2 =0,选 C2 1 .已知直线过点(0,2),当 直 线 L与圆f+y 2=2 y 有两个交点时，其斜率的取值范 围 是()A、(-V2,V2)B、(-2,2)C、&2 或A _2 D、履左H O E、以上均不对答 案:选 D。本题考察直线与圆的位置关系。设直线的方程为y =H+2,直线与圆有两个交点，可知圆心到直线的L的距离小于半径，圆 的 标 准 方 程
13、 是-1)2=1,圆心为(0,1)泮 径 是 1,故-7.1 解得 H 0,故选D。2 2.=-4(1)点 A (1 ,0)关于直线x-y +l=O的对称点是4(0,一0)4 2(2)直线 :(2 +a)x+5y=1 与直线：ax+(2 +a)y=2垂直答案:A。本题考察直线对称和垂直的问题。条件(1)A(1,0)关 于 x y+l=0 的对称点为0 1,1+1)即(一 1,2)因此a=-4充足。条件(2)根据直线垂直的性质，a(2+a)+5(a+2)=0 ,解得a=-2 或 a=-5.不充足，选 A。2 3.光线通过P(2,3)照射在x+y +l=0上，反射后通过Q(3,2),求反射光线所在
14、直线方程为()A、x+7 y +17=0 B ,x-7 y+1 7=0 C、x-7 y-1 7=0D、x+7y-17=0 E、以上均不对答案:选C,本题考察点关于直线对称的性质。由题，根据光的反射原理冼找P点关于直线x+y +1 =0的对称点P 为（-4,-3）,那么P Q所在的直线方程就是反射光线所在的方程山=上 坦，即x-7y-1 7=0,故选C3+4 -2+32 4 .已知动点p（x,y）在圆（x-2）2+V =1上运动,2,的最小值是（）_ V3A、垂，B、6 C、3 D、-V 2 E、-3答案：选C,本题考察直线与圆中的最值问题。由题,P在圆上运动，因此求工并不容易，令=%则y =履
15、,而k恰为直线y=kx的斜率,X X下面就是找出直线与圆的位置关系，显然直线y =履过原点，那么当与圆相切时,k取到最值,即 方 程（x 2 y+（乙=1有 两 个 相 等 的 实 数 根，A=16-12XU2+1）=0,解得z=也,即最小值左=走，选C.3 32 5.已知定点A（2,3）,B（-2,7）,直线y =o x +2与线段A B有公共点，那么实数a的取值范围是（)A、5 292B、5 j_252C、_ 0 0,IM,+8D、E、50 0,-2,+27U13答案:选E,本题考察直线的斜率。由题，结合图形可看出，直线y =6+2过定点p（0,2），直线从A旋转到B的过程中通过y轴,而直
16、线P A的斜率是，,P B的斜率是-2 ,所以选E.2 22 6 .圆（x 2 y+（y 2）2 =2 5上到直线3+4），+6 =0的距离等于1的点的个数有（）A、1 B、2 C、3 D、4 E、5答案:选C,本题考察直线与圆的位置关系。2 0由题，圆心到直线3 x +4 y +6 =0的距离d=/=4 +y 2=l,所以圆心的坐标是（一1,0）,且与直线x+y=0垂直，故斜率是1,所以直线的方程是y=l x*+l）,即 x y+1=0,选 Co3 2.直线通过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等，试求该直线方程.3 3A、X+y-5 =0 B、x+y-3 =0 C、y=x D、x+y-5
17、 =0 或 y=E、以上均不对答：D,本题考察直线方程的性质。由题设直线方程为：日+2=1,又 过 P（2,3）,所以a b2 3-+-=1,求得a=5,那么直线方程为x+y5=0.；a b3当直线过（0,0）时，此时斜率为k=X =3,所以直线方程为y=2 X2-0 23综上，所求直线方程为x+y 5=0 或 y=选 D。3 3 .设直线/过点A(l，3),且和直线3 x+4 y12=0平行。直线/的方程是()A、3 x+4 y-9 =0 B、3 x+4 y +9 =0 C、3 x-4 y 9-0 D、3 x+4 y 7 =0E、以上均不对答 案：A,本题考察直线与直线平行的性质。由题，由
18、于 直 线 3x+4 y-1 2=0 的斜率33攵=3，又 直 线/过 点 A(-1 ,3 ),所 以I的 方 程 为：y 3 =2(x+l),即4 43 x+4 y-9 =0,选 A。3 4 .在 平 面 直 角 坐 标 系 x Oy 中，已 知 圆 G：(x+3)2 +(y-l)2=4 和 圆。2：。-4)2 +(3；-5)2=4 的解析式,圆1 与。2的位置关系是()A、相离 B、相切 C、相交 D、重合 E、不能判断答案:A,本题考察圆与圆的位置关系。由题，圆 C,的是圆心是(3,1),半径为2 ;圆 的 圆心是(4,5),半 径 为 2；又两圆的圆心距d =J(4 +3 +(5 1了
19、 =病大于两圆的半径之和,故两圆相离，选 A。3 5.已知直线/:J 5 x+y-2 6 =0 与圆C:f+y 2=4相 交 于A,B两 点.那 么 口目的长为()A、1 B、2 C、3 D、4答案：B,本题考察直线与圆相交的性质.如图所示,/3 x+y-2 3=0,x2+y2=4由 i ),消去 y,得 一-3%+2 =0解得 1,x2 24 2,0),5(1,V3),所以I A 3|=7(2-l)2+(O-V 3)2=2.选 B。E、63 6.若通过两点A(-1 ,0)、B (0,1)的直线/与圆C:(x-l)2+(y a)2=l 相切，则a的值为(A、2 +V2B、2-V 2 C、3 +
20、V2D、2 /2E、3 V2答 案：D ,本 题 考 察 直 线 与 圆 相 切 的 性 质。由 题 意，过 AB两 点 的 直 线/方 程 为y=x(x+l),即 x-y +l =O ,圆 心(1,a)到 直 线/的 距 离 与 半 径 相 等，即化简得a =2 J ,选 D。3 7.已知直线/:x-y+4=0 与 圆 C:(元 l)2+(y l =2,则 C上各点到直线/的距离的最小值为()A、五D、2A/2E、以上均不对答 案：A ,本 题 考 察 直 线 与 圆 的 位 置 关 系。由 题，圆 心(1,1)到 直 线/的 距 离4=9=2&大于圆的半径、历，所以直线/与圆相离，那么圆上
21、的点到直线I最短的距离是2 血 一 血=0,选 A。3 8.直线/过 点 A (-4,2),且直线/与x 轴的交点到(1,0)的距离是5,那么直线/的方程是()A、x-5 y +6 =OB、x+5 y+6=OC、x+5 y-6=O5 x+y-6 =0E.以上均不对答案:c,本题考察直线方程的性质。由题设直线/斜率为k,其方程为y-2 =Z(x+4),则与 X 轴的交点为1 4 2,0-4-1=5 .k，解得 =。故所求直线的方程为x+5y-6 =0,选 C。3 9.若关于x,y 的方程(2 根2+加一1)/+(加2 一根+2)y2+加+2 =0 的图象表达一个圆，此时m的 值 是()A、0 B、1 C、2 D、3 E、4答案：B,本题考察圆的标准方程。欲使方程九？+力 2 +/7 =0 表达一个圆，只要A=CW0,那么得(2 m2 +m-1)=(in1-m+2),即加2+2 加-3 =0,解 得 m=l或 m=-3；但当m=l时，方程为2/+2 y?=一3 不合题意，舍去.综上,选 B。4 0.已知直线x=a(a 0)和圆(x l)2 +y 2=4 相 切，那么a的值是()A、5 B、4 C、3 D、2 E、1答 案:C,本题考察直线与圆的位置关系。由题知，圆心的坐标是(1,0),且半 径 是 2,而直线x=a(a 0)和圆相切，故 a=3,选 C。