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1、职高数学概念与公式 初中基础知识：1.相反数、绝对值、分数的运算；2.因式分解：提公因式：xy-3x=(y-3)x 十字相乘法 如：)2)(1 3(2 5 32 x x x x 配方法 如：825)41(2 3 22 2 x x x 公式法：（x+y）2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2 x2-y2=(x-y)(x+y)3.一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法：（1）代入法（2）消元法 6.完全平方和（差）公式：2 2 2)(2 b a b ab a 2 2 2)(2 b a b ab a 7.平方差公式：)(2 2b a b a b a 8.立方和（差）公式：)
2、(2 2 3 3b ab a b a b a)(2 2 3 3b ab a b a b a 第一章 集合 1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。注：描述法,|取值范围 元素性质元素 x x x；另重点类型如：3,1(,1 3|y2 x x x y 3.常用数集：N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、*N（正整数集）、Z（正整数集）4.元素与集合、集合与集合之间的关系：（1）元素与集合是“”与“”的关系。（2）集合与集合是“”“”“”“”的关系。注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集
3、。（做题时多考虑 是否满足题意）（2）一个集合含有 n 个元素，则它的子集有n2 个，真子集有 1 2 n个，非空真子集有 2 2 n个。5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）（1）|B x A x x B A 且：A与 B 的公共元素（相同元素）组成的集合（2）|B x A x x B A 或：A与 B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。（3）A CU：U 中元素去掉 A中元素剩下的元素组成的集合。注：B C A C B A CU U U)(B C A C B A CU U U)(6.逻辑联结词：且（）、或（）非（）如果那么（）量词：存在（）任意（）真值表：
4、q p：其中一个为假则为假，全部为真才为真；q p：其中一个为真则为真，全部为假才为假；p：与 p 的真假相反。（同为真时“且”为真，同为假时“或”为假，真的“非”为假，假的“非”为真；真“推”假为假，假“推”真假均为真。）7.命题的非（1）是 不是 都是 不都是（至少有一个不是）（2），使得 p 成立 对于，都有 p 成立。对于，都有 p 成立，使得 p 成立（3）q p q p)(q p q p)(8.充分必要条件 p 是 q 的条件 p 是条件，q 是结论 p q充分不必要 的充分不必要条件 是 q p（充分条件）p q不充分必要 的必要不充分条件 是 q p（必要条件）p q充分必要
5、的充分必要条件 是 q p(充要条件)p q不充分不必要 件 的既不充分也不必要条 是 q p 第二章 不等式 1.不等式的基本性质：注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如：2008 2009 2009 2010 与（倒数法）等。（2）不等式两边同时乘以负数要变号！（3）同向 的不等式可以相 加（不能相减），同正的同向 不等式可以相乘。一次方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法描述法图像法文氏图注描述法另重点 之间的关系元素与集合
6、是与的关系集合与集合是的关系注集是任何集合的子集任何非集合的真子集做题时多考虑是否满足题意一个集合含有个元素则它的子集有个真子集有个非真子集有个集合的基本运算用描述法表示的集合的运算 掉中元素剩下的元素组成的集合注逻辑联结词且或非如果那么量词存在任意真值表其中一个为假则为假全部为真才为真其中一个为真则为真全部为假才为假与的真假相反同为真时且为真同为假时或为假真的非为假假的非为真真推假2.重要的不等式：（均值定理）（1）ab b a 22 2，当且仅当 b a 时，等号成立。（2）),(2 R b a ab b a，当且仅当 b a 时，等号成立。（3）),(3 R c b a abc c b
7、a，当且仅当 c b a 时，等号成立。注：2b a（算术平均数）ab（几何平均数）3.一元一次不等式的解法 4.一元二次不等式的解法（1）保证二次项系数为正（2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：（3）定解：（口诀）大于两根之外，大于大的，小于小的；小于两根之间 注：若 0 0 或，用配方的方法确定不等式的解集。5.绝对值不等式的解法 若 0 a，则 a x a x a xa x a a x或|6.分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为 0.第三章 函数 1.映射:一般地，设 B A、是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A中的任何一个元
8、素，在集合 B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合 A到集合 B 的映射，记作：B A f:。注：理解原象与象及其应用。（1）A中每一个元素必有惟一的象；（2）对于 A中的不同的元素，在 B 中可以有相同的象；（3）允许 B 中元素没有原象。2.函数:（1）定义：函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。（2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析式法。注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。3.函数的 三要素：定义域、值域、对应法则（1）定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的 x 的取值范围 主要依据：分母不能为 0 偶次根式的被开方式 0
9、 特殊函数定义域 0,0 x x y 一次方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法描述法图像法文氏图注描述法另重点 之间的关系元素与集合是与的关系集合与集合是的关系注集是任何集合的子集任何非集合的真子集做题时多考虑是否满足题意一个集合含有个元素则它的子集有个真子集有个非真子集有个集合的基本运算用描述法表示的集合的运算 掉中元素剩下的元素组成的集合注逻辑联结词且或非如果那么量词存在任意真值表其中一个为假则为假全部为真才为真其中一个为真则为真全部为假才为假与的真假相反同为真
10、时且为真同为假时或为假真的非为假假的非为真真推假R x a a a yx),1 0(,且 0),1 0(,log x a a x ya且)(,2,tan Z k k x x y（2）值域的求法：y 的取值范围 正比例函数：kx y 和 一次函数：b kx y 的值域为 R 二次函数：c bx ax y 2的值域求法：配方法。如果 x 的取值范围不是 R则还需画图像 反比例函数：xy1 的值域为 0|y y d cxb axy 的值域为|cay y c bx axn mxy 2的值域求法：判别式法 另求值域的方法：换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。（3）解析式求法：在求函
11、数解析式时可用 换元法、构造法、待定系数法等。4.函数图像的变换（1）平移)()(a x f yax f y 个单位向右平移)()(a x f yax f y 个单位向左平移 a x f yax f y)()(个单位向上平移 a x f yax f y)()(个单位向下平移（2）翻折)()(x f yxx f y 上、下对折轴 沿|)(|)(x f yxx f y 下方翻折到上方轴上方图像 保留)|()(x f yyx f y 右边翻折到左边轴右边图像 保留 5.函数的奇偶性:（1）定义域关于原点对称（2）若)()(x f x f 奇 若)()(x f x f 偶 注：若奇函数在 0 x 处有
12、意义，则 0)0(f 常值函数 a x f)(（0 a）为偶函数 0)(x f 既是奇函数又是偶函数 6.函数的单调性:一次方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法描述法图像法文氏图注描述法另重点 之间的关系元素与集合是与的关系集合与集合是的关系注集是任何集合的子集任何非集合的真子集做题时多考虑是否满足题意一个集合含有个元素则它的子集有个真子集有个非真子集有个集合的基本运算用描述法表示的集合的运算 掉中元素剩下的元素组成的集合注逻辑联结词且或非如果那么量词存在任意真值表
13、其中一个为假则为假全部为真才为真其中一个为真则为真全部为假才为假与的真假相反同为真时且为真同为假时或为假真的非为假假的非为真真推假对于,2 1b a x x、且 2 1x x，若 上为减函数 在 称上为增函数 在 称,)(),()(,)(),()(2 12 1b a x f x f x fb a x f x f x f 增函数：x 值越大，函数值越大；x 值越小，函数值越小。减函数：x 值越大，函数值反而越小；x 值越小，函数值反而越大。复合函数的单调性：)()(x g f x h)(x f 与)(x g 同增或同减时复合函数)(x h 为增函数；)(x f 与)(x g 相异时（一增一减）复
14、合函数)(x h 为减函数。注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。7.二次函数:（1）二次函数的三种解析式:一般式：c bx ax x f 2)(（0 a）顶点式：h k x a x f 2)()(（0 a），其中),(h k 为顶点 两根式：)()(2 1x x x x a x f（0 a），其中2 1x x、是 0)(x f 的两根（2）图像与性质:二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：开口 0 a 开口向上 0 a 开口向下 对称轴：abx2 顶点坐标：)44,2(2ab acab 与 x 轴的交点：无交点交点 有有两交点01 00 一元二次方程根与系数的关系：（韦达定
15、理）acx xabx x2 12 1 c bx ax x f 2)(为偶函数的充要条件为 0 b 二次函数（二次函数恒大（小）于 0）0)(x f 轴上方 图像位于 xa00 轴下方 图像位于 xax f 000)(一次方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法描述法图像法文氏图注描述法另重点 之间的关系元素与集合是与的关系集合与集合是的关系注集是任何集合的子集任何非集合的真子集做题时多考虑是否满足题意一个集合含有个元素则它的子集有个真子集有个非真子集有个集合的基本运算用
16、描述法表示的集合的运算 掉中元素剩下的元素组成的集合注逻辑联结词且或非如果那么量词存在任意真值表其中一个为假则为假全部为真才为真其中一个为真则为真全部为假才为假与的真假相反同为真时且为真同为假时或为假真的非为假假的非为真真推假 若二次函数对任意 x 都有)()(x t f x t f，则其对称轴是 t x。若二次函数 0)(x f 的两根 2 1x x、.若两根 2 1x x、一正一负，则 002 1x x.若两根 2 1x x、同正（同负）0002 12 1x xx x 若同正，则 0002 12 1x xx x 若同负，则.若两根2 1x x、位于),(b a 内，则利用画图像的办法。则
17、若,0 a 0)(0)(0b fa f 则 若,0 a 0)(0)(0b fa f 注：若二次函数 0)(x f 的两根2 1x x、；1x 位于),(b a 内，2x 位于),(d c 内，同样利用画图像的办法。8.反函数:（1）函数)(x f y 有反函数的条件 y x与 是一一对应的关系（2）求)(x f y 的反函数的一般步骤：确定原函数的值域，也就是反函数的定义域 由原函数的解析式，求出 x 将 y x,对换得到反函数的解析式，并注明其定义域。（3）原函数与反函数之间的关系 原函数的定义域是反函数的值域 原函数的值域是反函数的定义域 二者的图像关于直线 x y 对称 原函数过点),(
18、b a，则反函数必过点),(a b 原函数与反函数的单调性一致 第四章 指数函数与对数函数 1.指数幂的性质与运算:（1）根式的性质：n 为任意正整数，n n a)(a 一次方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法描述法图像法文氏图注描述法另重点 之间的关系元素与集合是与的关系集合与集合是的关系注集是任何集合的子集任何非集合的真子集做题时多考虑是否满足题意一个集合含有个元素则它的子集有个真子集有个非真子集有个集合的基本运算用描述法表示的集合的运算 掉中元素剩下的元素组成
19、的集合注逻辑联结词且或非如果那么量词存在任意真值表其中一个为假则为假全部为真才为真其中一个为真则为真全部为假才为假与的真假相反同为真时且为真同为假时或为假真的非为假假的非为真真推假当 n 为奇数时，a an n；当 n 为偶数时，|a an n 零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。（2）零次幂：10 a)0(a（3）负数指数幂：nnaa1),0(*N n a（4）分数指数幂：n mnma a)1,0(n N n m a 且（5）实数指数幂的运算法则：),0(R n m a n m n ma a a mn n ma a)(n n nb a b a)(2.幂运算时，注意将小数指数、根式都统
20、一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的 n 次方。3.幂函数）上单调递减，在（时，当）上单调递增，在（时，当0 00 0aaax y ax y ax y 4.指数与对数的互化 b N N aab log)1 0(a a 且、)0(N 对数基本性质：1 log aa 0 1 log a N aNalog N aNa log 互为倒数 与 a bb alog logab a bba b alog1log 1 log log bmnbanamlog log 5.对数的基本运算：N M N Ma a alog log)(log N MNMa a alog log log 6.换底公式：aNN
21、bbalogloglog)1 0(b b 且 7.指数函数、对数函数的图像和性质 指数函数 对数函数 定 义)1,0(的常数 a a a yx)1,0(log 的常数 a a x ya 图 像 一次方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法描述法图像法文氏图注描述法另重点 之间的关系元素与集合是与的关系集合与集合是的关系注集是任何集合的子集任何非集合的真子集做题时多考虑是否满足题意一个集合含有个元素则它的子集有个真子集有个非真子集有个集合的基本运算用描述法表示的集合的运算
22、 掉中元素剩下的元素组成的集合注逻辑联结词且或非如果那么量词存在任意真值表其中一个为假则为假全部为真才为真其中一个为真则为真全部为假才为假与的真假相反同为真时且为真同为假时或为假真的非为假假的非为真真推假 性 质(1)0,y R x(2)图像经过)1,0(点（3）为减函数为增函数；xxa y aa y a,1 0,1(1)0,y R x(2)图像经过)0,1(点（3）上为减函数 在上为增函数；在),0(log,1 0),0(log,1 x y ax y aaa 8.利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用中间值 0，1 来过渡。9.指
23、数方程和对数方程（1）指数式和对数式互化（2）同底法（3）换元法（4）取对数法 注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。第五章 数列 等差数列 等比数列 定 义 每一项与前一项之差为同一个常数 每一项与前一项之比为同一个常数 1 2a a d a a a an n 1 2 3 qaaaaaann 1 2312)0(q 注：当公差 0 d 时，数列为常数列 注：等比数列各项及公比均不能为 0；当公比为 1 时，数列为常数列 通项公式 d n a an)1(1 11nnq a a 推 论（1）m na adm n（2）d m n a am n)(（3）若 q p n m，则q p n ma
24、a a a（1）mn m naaq（2）m nm nq a a（3）若 q p n m，则q p n ma a a a 中项公式 三个数 c b a、成等差数列，则有 22c ab c a b 三个数 c b a、成等比数列，则有 ac b 2 前 n项和公式 dn nnaa a nSnn2)1(2)(11 qq a aqq aS nnn1 1)1(1 1（1 q）其 它 n na n S)1 2(1 2 如：4 77a S 一次方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法
25、描述法图像法文氏图注描述法另重点 之间的关系元素与集合是与的关系集合与集合是的关系注集是任何集合的子集任何非集合的真子集做题时多考虑是否满足题意一个集合含有个元素则它的子集有个真子集有个非真子集有个集合的基本运算用描述法表示的集合的运算 掉中元素剩下的元素组成的集合注逻辑联结词且或非如果那么量词存在任意真值表其中一个为假则为假全部为真才为真其中一个为真则为真全部为假才为假与的真假相反同为真时且为真同为假时或为假真的非为假假的非为真真推假 等差数列的连续 n 项之和仍成等差 数列 等比数列的连续 n 项之和仍成等比数 列 1.已知前 n 项和 nS 的解析式，求通项 na：11n nnS SSa
26、)2()1(nn 第六章 三角函数 1.弧度和角度的互换：o180 弧度，1801o弧度 01745.0 弧度，1弧度 18 57)180(o o 2.扇形弧长公式和面积公式 r|扇L，2|2121r Lr S 扇（记忆法：与 ah SABC21类似）注：如果是角度制的可转化为弧度制来计算。3.任意三角函数的定义：斜边对边 sinsin1csc 倒数 记忆法：S、C 互为倒数 斜边邻边 coscos1sec 倒数 记忆法：C、S 互为倒数 邻边对边 tantan1cot 倒数 4.特殊三角函数值:00 0 0306 0454 0603 0902 一象限 sin 20 21 22 23 24 c
27、os 24 23 22 21 20 tan 0 33 1 3 不存在 5.三角函数的符号判定:（1）口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负）（2）图像记忆法 6.三角函数基本公式:cot1cossintan（可用于化简、证明等）1 cos sin2 2（1.可用于已知 sin 求 cos；或者反过来运用。2.注意 1 的运用）2 2sec tan 1（可用于已知 cos（或 sin）求 tan 或者反过来运用）7.诱导公式:（1）口 诀：奇变偶不变，符号看象限。一次方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元
28、素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法描述法图像法文氏图注描述法另重点 之间的关系元素与集合是与的关系集合与集合是的关系注集是任何集合的子集任何非集合的真子集做题时多考虑是否满足题意一个集合含有个元素则它的子集有个真子集有个非真子集有个集合的基本运算用描述法表示的集合的运算 掉中元素剩下的元素组成的集合注逻辑联结词且或非如果那么量词存在任意真值表其中一个为假则为假全部为真才为真其中一个为真则为真全部为假才为假与的真假相反同为真时且为真同为假时或为假真的非为假假的非为真真推假解释：指)(2Z k k，若 k 为奇数，则函数名要改变，若 k 为偶数函数名不变。（2）分类记忆 去
29、掉偶数倍（即 k 2）将剩下的写成（四象限）（三象限）、（二象限）、（一象限）、再看象限定正负号（函数名称不变）；或写成（二象限）（一象限）、2-2，再看象限定正负号（要变函数名称）要特别注意以上公式中互余、互补公式及运用；做题时首先观察两角之间是否是互余或互补的关系。8.已知三角函数值求角（1）确定角 所在的象限（2）求出函数值的绝对值对应的锐角（3）写出满足条件的 2 0 的角（4）加上周期（同终边的角的集合）9.和角、倍角公式:sin cos cos sin)sin(注意正负号相同 sin sin cos cos)cos(注意正负号相反 tan tan 1tan tan)tan()tan
30、 tan 1)(tan(tan tan cos sin 2 2 sin，2 2 2 2sin 2 1 1 cos 2 sin cos 2 cos 2tan 1tan 22 tan，cos 1cos 1cos 1sinsincos 12tan 10.三角函数的图像与性质 函数 图像 性质 定义域 值域 同期 奇偶性 单调性 x y sin R x 1,1 2 T 奇 22,22 k k 232,22 k k 一次方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法描述法图像法文氏图注
31、描述法另重点 之间的关系元素与集合是与的关系集合与集合是的关系注集是任何集合的子集任何非集合的真子集做题时多考虑是否满足题意一个集合含有个元素则它的子集有个真子集有个非真子集有个集合的基本运算用描述法表示的集合的运算 掉中元素剩下的元素组成的集合注逻辑联结词且或非如果那么量词存在任意真值表其中一个为假则为假全部为真才为真其中一个为真则为真全部为假才为假与的真假相反同为真时且为真同为假时或为假真的非为假假的非为真真推假x y cos R x 1,1 2 T 偶 2,2 k k 2,2 k k x y tan Z kk x 2 R T 奇)2,2(k k 11.正弦型函数)sin(x A y)0,
32、0(A(1)定义域 R，值域,A A（2）周期：2 T（3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将 x 的系数提出来，再看是怎样平移的。（4）x b x a y cos sin 类型，x b x a y cos sin)sin(2 2 x b a 12.正弦定理:RCcBbAa2sin sin sin（R 为 ABC 的外接圆半径）其他形式：（1）A R a sin 2 B R b sin 2 C R c sin 2（注意理解记忆，可只记一个）（2）C B A c b a sin:sin:sin:13.余弦定理:A bc c b a cos 22 2 2 bca c bA2cos
33、2 2 2 14.三角形面积公式 B ac A bc C ab SABCsin21sin21sin21 15.三角函数的应用中，注意同次、同角、同边的原则，以及三角形本身边、角的关系。如两边之各大于第三边、三内角和为0180，第一个内角都在),0(之间等。第七章 平面向量 1.向量的概念（1）定义：既有 大小又有方向 的量。（2）向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为 A，终点为 B 的向量表示为 AB。（3）向量的模（长度）：|a AB或（4）零向量：长度为 0，方向任意。单位向量：长度为 1 的向量。向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。一次
34、方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法描述法图像法文氏图注描述法另重点 之间的关系元素与集合是与的关系集合与集合是的关系注集是任何集合的子集任何非集合的真子集做题时多考虑是否满足题意一个集合含有个元素则它的子集有个真子集有个非真子集有个集合的基本运算用描述法表示的集合的运算 掉中元素剩下的元素组成的集合注逻辑联结词且或非如果那么量词存在任意真值表其中一个为假则为假全部为真才为真其中一个为真则为真全部为假才为假与的真假相反同为真时且为真同为假时或为假真的非为假假的非为真
35、真推假2.向量的运算（1）图形法则 三角形法则 平形四边形法则（2）计算法则 加法：AC BC AB 减法：CA AC AB（3）运算律：加法交换律、结合律 注：乘法（内积）不具有结合律 3.数乘向量：a（1）模为：|a（2）方向：为正与 a 相同；为负与 a 相反。4.AB 的坐标：终点 B 的坐标减去起点 A的坐标。),(A B A By y x x AB 5.向量共线（平行）：惟一实数，使得 b a。（可证平行、三点共线问题等）6.平面向量分解定理：如果2 1,e e 是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量 a，都存在惟一的一对实数2 1,a a，使得2 2 1 1e
36、a e a a。向量 a 在基2 1,e e 下的坐标为),(2 1a a。7.中点坐标公式：M 为 AB的中点，则)(21OB OA OM 8.注意 ABC 中，（1）重心(三条中线交点)、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：三角平分线交点）、垂心（三高线的交点）的含义（2）若 D 为 BC 边的中点，则)(21AC AB AD 坐标：两点坐标相加除以 2（3）若 O 为 ABC 的重心，则 0 CO BO AO;(重心坐标：三点坐标相加除以 3)9.向量的内积（数量积）:（1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围,0。（2）内积公式：b a b a b a,co
37、s|10.向量内积的性质：（1）|,cosb ab ab a（夹角公式）（2）a b 0 b a（3）a a a a a a|2或（长度公式）11.向量的直角坐标运算：（1）),(A B A By y x x AB 一次方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法描述法图像法文氏图注描述法另重点 之间的关系元素与集合是与的关系集合与集合是的关系注集是任何集合的子集任何非集合的真子集做题时多考虑是否满足题意一个集合含有个元素则它的子集有个真子集有个非真子集有个集合的基本运算用
38、描述法表示的集合的运算 掉中元素剩下的元素组成的集合注逻辑联结词且或非如果那么量词存在任意真值表其中一个为假则为假全部为真才为真其中一个为真则为真全部为假才为假与的真假相反同为真时且为真同为假时或为假真的非为假假的非为真真推假（2）设),(),(2 1 2 1b b b a a a，则),(2 2 1 1b a b a b a),(2 1a a a 2 2 1 1b a b a b a（向量的内积等于横坐标之积加纵坐标之积）12.向量平行、垂直的充要条件 设),(),(2 1 2 1b b b a a a，则 a b2121bbaa（相对应坐标比值相等）a b 0 b a 02 2 1 1 b
39、 a b a（两个向量垂直则它们的内积为 0）13.长度公式:（1）向量长度公式：设),(2 1a a a，则2221|a a a（2）两点间距离公式：设点),(),(2 2 1 1y x B y x A 则21 221 2)()(|y y x x AB 14.中点坐标公式：设线段 AB中点为 M，且),(),(),(2 2 1 1y x M y x B y x A，则 222 12 1y yyx xx（中点坐标等于两端点坐标相加除以 2）第八章 平面解析几何 1.曲线 C 上的点与方程 0),(y x F 之间的关系：（1）曲线 C 上点的坐标都是方程 0),(y x F 的解；（2）以方程
40、 0),(y x F 的解),(y x 为坐标的点都在曲线 C 上。则曲线 C 叫做方程 0),(y x F 的曲线，方程 0),(y x F 叫做曲线 C 的方程。2.求曲线方程的方法及步骤（1）设动点的坐标为),(y x（2）写出动点在曲线上的充要条件；（3）用 y x,的关系式表示这个条件列出的方程（4）化简方程（不需要的全部约掉）3.两曲线的交点：联立方程组求解即可。4.直线（1）倾斜角：一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其 范围是),0（2）斜率：倾斜角为090 的直线没有斜率；tan k（倾斜角的正切）注：当倾斜角 增大时，斜率 k也随着增
41、大；当倾斜角 减小时，斜率 k也随着减小！一次方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法描述法图像法文氏图注描述法另重点 之间的关系元素与集合是与的关系集合与集合是的关系注集是任何集合的子集任何非集合的真子集做题时多考虑是否满足题意一个集合含有个元素则它的子集有个真子集有个非真子集有个集合的基本运算用描述法表示的集合的运算 掉中元素剩下的元素组成的集合注逻辑联结词且或非如果那么量词存在任意真值表其中一个为假则为假全部为真才为真其中一个为真则为真全部为假才为假与的真假相反同
42、为真时且为真同为假时或为假真的非为假假的非为真真推假已知直线 l 的方向向量为),(2 1v v v，则 12vvkl 经过两点),(),(2 2 2 1 1 1y x P y x P 的直线的斜率1 21 2x xy yK)(2 1x x 直线 0 C By Ax 的斜率BAK（3）直线的方程 两点式：1 211 21x xx xy yy y 斜截式：b kx y 点斜式：)(0 0 x x k y y 截距式：1 byax 轴上的截距 在 为 轴上的截距，在 为 y l b x l a 一般式：0 C By Ax 其中直线 l 的一个方向向量为),(A B 注：()若直线 l 方程为 0
43、5 4 3 y x，则与 l 平行 的直线可设为 0 4 3 C y x；与 l 垂直的直线可设为 0 3 4 C y x。（4）两条直线的位置关系 斜截式：1 1 1:b x k y l 与2 2 2:b x k y l 1l 2l 2 1 2 1b b k k 且 1l 与2l 重合 2 1 2 1b b k k 且，1l 2l 12 1 k k，1l 与2l 相交 2 1k k 一般式：0:1 1 1 1 C x B x A l 与 0:2 2 2 2 C x B x A l 1l 2l 222121CCBBAA 1l 与2l 重合 222121CCBBAA 1l 2l 02 1 2 1
44、 B B A A 1l 与2l 相交 2121BBAA（5）两直线的夹角公式 定义：两直线相交有四个角，其中不大于2的那个角。范围：2,0 斜截式：1 1 1:b x k y l 与2 2 2:b x k y l|1|tan2 12 1k kk k（可只记这个公式，如果是一般式方程可化成斜截式来解）一次方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法描述法图像法文氏图注描述法另重点 之间的关系元素与集合是与的关系集合与集合是的关系注集是任何集合的子集任何非集合的真子集做题时多考
45、虑是否满足题意一个集合含有个元素则它的子集有个真子集有个非真子集有个集合的基本运算用描述法表示的集合的运算 掉中元素剩下的元素组成的集合注逻辑联结词且或非如果那么量词存在任意真值表其中一个为假则为假全部为真才为真其中一个为真则为真全部为假才为假与的真假相反同为真时且为真同为假时或为假真的非为假假的非为真真推假一般式：0:1 1 1 1 C x B x A l 与 0:2 2 2 2 C x B x A l 222221212 1 2 1|cosB A B AB B A A(6)点到直线的距离 点),(0 0y x P 到直线 0 C By Ax 的距离：2 20 0|B AC By Axd 两
46、平行线 01 C By Ax 和 02 C By Ax 的距离：2 22 1|B AC Cd 5.圆的方程（1）标准方程：2 2 2)()(r b y a x（0 r）其中圆心),(b a，半径 r。（2）一般方程：02 2 F Ey Dx y x（0 42 2 F E D）圆心（2,2E D）半径：242 2F E Dr(3)参数方程：2 2 2)()(r b y a x 的参数方程为 b r ya r xcoscos)2,0(（4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离 d 和半径 r 比较。相交 r d；相切 r d；相离 r d（6）圆1O 与圆2O 的位置关系：利用两
47、圆心的距离 d 与两半径之和2 1r r 及两半径之差2 1r r 比较，再画个图像来判定。（总共五种：相离、外切、内切、相交、内含）（7）圆的切线方程：过圆 12 2 y x 上一点),(0 0y x P 的圆的切线方程：20 0r y y x x 过圆2 2 2)()(r b y a x 外一点),(0 0y x P 的圆的切线方程：肯定有两条，设切线的斜率为 k，写出切线方程（点斜式），再利用圆心到直线的距离等于半径列出方程解出 k。6.圆锥曲线的定义：动点到定点（焦点）的距离和到定直线（准线）的距离之比为常数 e（离心率）的点的轨迹。当 1 0 e 时，为椭圆；当 1 e 时，为双曲线
48、；当 1 e 时为抛物线。7.椭圆 几何定义 动点与两定点（焦点）的距离之和等于常数 a 2 a PF PF 2|2 1 标准方程 12222 byax（焦点在 x 轴上）12222 aybx（焦点在 y 轴上）一次方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法描述法图像法文氏图注描述法另重点 之间的关系元素与集合是与的关系集合与集合是的关系注集是任何集合的子集任何非集合的真子集做题时多考虑是否满足题意一个集合含有个元素则它的子集有个真子集有个非真子集有个集合的基本运算用描述
49、法表示的集合的运算 掉中元素剩下的元素组成的集合注逻辑联结词且或非如果那么量词存在任意真值表其中一个为假则为假全部为真才为真其中一个为真则为真全部为假才为假与的真假相反同为真时且为真同为假时或为假真的非为假假的非为真真推假图像 c b a,的关系 2 2 2c b a 注意：通常题目会隐藏这个条件 对称轴与对称中心 x 轴：长轴长 a 2；y 轴：短轴长 b 2；)0,0(O 顶点坐标)0,(a),0(b 焦点坐标)0,(c 焦距 c 2 注：要特别注意焦点在哪个轴上 准线方程 cax2 离心率 1 122 abace 曲线范围 b y b a x a,渐近线 无 中心在),(0 0y x 的
50、方程 1)()(220220 by yax x 中心),(0 0y x O 8.双曲线 几何定义 动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数 a 2 a PF PF 2|2 1 标准方程 12222 byax（焦点在 x 轴上）12222 bxay（焦点在 y 轴上）图像 c b a,的关系 2 2 2b a c 注意：通常题目会隐藏这个条件 对称轴与对称中心 x 轴：实轴长 a 2；y 轴：虚轴长 b 2；)0,0(O 一次方程一元二次方程二元一次方程组的解法代入法消元法完全平方和差公式平方差公式立方和差公式第一章集合构成集合的元素必须满足三要素确定性互异性无序性集合的三种表示方法列举法