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1、2023年上海市崇明区中考数学一模试卷一、选 择 题（本大题共6小题，共2 4.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1 .下列各组图形，一定相似的是（）A.两个等腰梯形 B.两个菱形 C.两个正方形 D.两个矩形2 .将函数旷=4%2 +法+以1 K0）的图象向右平移2个单位，下列结论中正确的是（）A.开口方向不变 B.顶点不变 C.对称轴不变 D.与y轴的交点不变3 .在中，Z C =9 0 ,AB=4,AC =3,那么cos A的值是（）AA.15 aR.-JC -DU-34 .已知3为单位向量，向量五与3方向相反，且其模为|副的4倍；向量石与E方向相同,且其模为|金的2倍，则
2、下列等式中成立的是（）A.a=2 b B.a=2 b C.a=b5 .四边形Z B C D中，点尸在边Z D上，B尸的延长线交C D的延长线于E点，下列式子中能判断4 D B C的式子是（）.FD EDA =一BC ECD AF BFB 丽=而D.a=bAB_AF。,丽 丽n EF EDI)-=-,BE EC6 .如图，在A Z B C中，C D L A B,垂足为点。，以下条件中不能推出A B C为直角三角形的是（）A.Z-A 乙BC D C D BDB 布=而p AC _C DJ前 二 丽c AC ADD前=而二、填 空 题（本大题共1 2小题，共4 8.0分）7 .如 果/式X H 0）
3、,那 么 牛=.8 .计算：5 2一3（2 1一 至）=一.9 .点P是线段MN的黄金分割点，如果M N =1 0 cm,那么较长线段M P的长是 cm.1 0 .如果抛物线y =（m -2）/有最高点，那么m的取值范围是 .1 1 .如果抛物线y =2 x2-bx+1的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为 一.1 2 .已知点4（2,%），8（-3/2）为二次函数丁=Q+图象上的两点，那么先 y2（填“”，=”或“BC =b-(1)用五、方表示丽和方；(2)求作正在息石方向上的分向量.(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量)21.(本小题10.0分)如图，。是AB C边
4、上的一点,C D =24 0,4岳18(7,垂足为点,若4 5=9,5也4(；8。=4(1)求 的 长；(2)若B O =C D,求t a n z B AE的值.22.(本小题10.0分)如图，一根灯杆AB上有一盏路灯4路灯4离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为2 =1：g的斜坡C D.如果高为3米的标尺E F竖立在地面B C上,垂足为尸，它的影子的长度为4米.(1)当影子全在水平地面B C上(图1).求标尺与路灯间的距离；(2)当影子一部分在水平地面B C上，一部分在斜坡C D上(图2),求此时标尺与路灯间的距离为多少米？A A图22 3.(本小题12.0分)已
5、知：如图，在梯形4BCD中，AD/BC,A D=B C,对角线AC与BD交于点F,点G是4B边上的中点，联结CG交8。于点E,并满足BG2=GE-GC.(1)求证：Z.GAE=LGC A-,(2)求证：AD BC =2 D F D E.2 4.(本小题12.0分)如图，在直角坐标平面xOy中，对称轴为直线x=|的抛物线丫=a/+bx+2经过点4(4,0)、点与y物交于点B.(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点。的坐标；(2)联结4B、AM.B M,求SBM的面积；(3)过M作x轴的垂线与48交于点P,Q是直线MP上点，当ABM Q与aA M P相似时，求点Q的坐标.2 5.(本小题14.
6、0分)已知Rt ABC中，Z.BAC=90,AB=AC =4,AD/BC.点E为射线4。上的一个动点(不与4重合)，过点E作E F 1 B E,交射线C4于点尸，联结BF.(备用图)(1)如图，当点尸在线段4 c 上时，EF与4B交于点G,求证：AAEG-AFBG；(2)在(1)的情况下，射线C4与BE的延长线交于点Q,设4E=x,QF-y,求y 关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)当BE=3时,求 CF的长.答案和解析1.【答案】c【解析】解：4、两个等腰梯形不一定相似，故本选项不合题意；8、两个菱形，形状不一定相同，故本选项不合题意；C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似形
7、定义，故本选项符合题意；。、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意.故选：C.根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答.本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中.2.【答案】A【解析】解：4、将函数y=a/+bx+c(a H 0)的图象向右平移2个单位，a 不变，开口方向不变，故正确；B、将函数y=a/+bx+c(a K 0)的图象向右平移2个单位，顶点的横坐标改变，纵坐标不变，故错误；C、将函数丫 =。丫 2+取+穴。4 0)的图象向右平移2个单位，形状
8、不变，顶点改变，对称轴改变，故错误；D、将函数y=ax2+bx+c(a丰0)的图象向右平移2个单位，与y轴的交点也改变，故错误.故选：A.由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变.本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变.3.【答案】C【解析】解：在中，NC=90。，AB=4,AC=3,.AC 3-,-C O S A=V故选：C.利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答.本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.4.【答案】B【解析】解：根据题意知，a=-4 e,加=2
9、巨则五=一 2人 观察选项，只有选项B符合题意.故选：B.根据平面向量的性质进行一一判断.此题考查了平面向量的知识.此题比较简单，注意掌握单位向量的知识.5.【答案】D【解析】解：当=兽 时，无法判断ADB C,故选项A 不符合题意；D C bC当 筮=蔡 时，AAFB=Z.D FE,贝IJA AFBsA D F E,故BF=ND E F,A B/C D,但无法判断4 D/B C,故选项B 不符合题意；当 窈=/时，无法判断ADBC，故选项C 不符合题意；当 空=铛时，4FED=4BEC,则 F E Df BEC,故NE F D=NEBC,可以判断判断力D/BC,BE bC故选项。符合题意；故
10、选：D.根据各个选项中的条件和图形，利用相似三角形的判定和性质、平行线的判定，可以判断哪个选项符合题意.本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.6.【答案】D【解析】解：C D LAB,A /.C D A=乙 C D B=90,4-乙 AC D=90.若 NA=NBC。，则乙4CD+NBC。=90。，故NACB=90。，选项 A 不符合题意；若 黑=黑，则B C DSA C Z D,4 BC D =4 A,故44CD+4BCD=90。，Z.AC B=9 0 ,选项B 不符合题意；若 祭=需，则B C DSA C Z D
11、,4 BC D =4A,故NA C D +NB C D=90。，Z.AC B=9 0 ,选项C 不符合题意；若 箓=筋 无法判断B C O s S。，从而可以不能推出AA B C为直角三角形，故选项。不符合题意；故选：D.根据题意和各个选项中的条件，可以判断各个选项中的条件能否推出B C CSA C A D,从而可以判断小4 B C是否为直角三角形.本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.斤2-311=yz+，的X-yx-y2-35-3:=-=X-2y-3故答案为：根 据 人 纶 0）,可以得到;，然后将所求式子变形，再将2 =|代入计算即可.X本题考
12、查比例的性质，解答本题的关键是明确题意，求出J的值.8 .【答案】一五+3 Z?【解析】解：5方-3（2方-方）=5 a 6 a+3 b=a +3 b.故答案为：一五+3月先去括号，然后计算加减法.本题主要考查了平面向量的知识，实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中，属于基础题.9.【答案】（5A/5 5）【解析】解：较长线段”=1 0*早=（5而 一5）（加）.故答案为：（5函 5）.由黄金分割的定义即可计算.本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键.1 0.【答案】m 2【解析】解：.抛物线有最高点，抛物线开口向下，m 2 0,解得m 2,故答案为：m【解析】解：T y =
13、(x +1)2,二抛物线开口向上，对称轴为直线 =-1,2-(-1)-1-(-3),yi 7 2-故答案为：.由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解.本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系.1 3.【答案】4：9【解析】解：.两个相似三角形的周长之比是4：9,两个相似三角形的相似比为4：9,二 它们的对应角平分线的比为4：9.故答案为：4：9.直接利用相似三角形的性质解决问题.本题考查了相似三角形的性质：相相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比.1
14、4.【答案】sina【解析】解：如图：BC为飞机离地面的高度,由题意得:BC L AC,BC=3千米，/.DBA=a,BD/AC,Z-A=Z-DBA=a,在R f ABC中，4 8=能=亮（千米）,此时飞机与目标A点的距离为工千米,sina故答案为：.根据题意可得：BC 1 AC,BC=3千米，/.DBA=a,B D/A C,从而可得乙 4=4DBA=a,然后在R ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答.本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.15.【答案】|【解析】解：乙 4。=90。，ZD=45,Z,DAC=45,-AD/B
15、C,:.Z.BCA=DAC=45,又 乙B=乙4CD=90,*t DCAL ABCf 丹 =（为 2,ACDv Z.B=9 0,乙BCA=45,Z.CAB=45,.人 口 CB V 2*sinZ-CAB-,:.=（剪尸=（见）2=1S&ACD y 2故答案为：根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质，可以得到料垄=（累）2,再根据锐角三角函S&ACD A C数即可求得整的值，从而可以求得料风的值.AC&ACD本题考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形、梯形，解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.16.【答案】【解析】解：线段A。、BE是AABC的中线，1-2G-G。彳1-2-G
16、-GE-BG-=GE-BG-=GF-D1-41-4为=案G-G空F4妊由 三 角 形 的 重 心 定 理 得 出 益 蜉=:,由平行线分线段成比例定理得出震=第=;,即DCI L AU L DU DU L可得出结果.本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出FG：DG=1：2是解决问题的关键17.【答案】学【解析】解：作AM J.BC于M,延长AE、CC交于点N,cosB 7-AB=8.4:,BM=2,点E为*的 中 点，BE=4,M E=BM=2,4M垂直平分BE,AB=AE=8,4F平分4E71D,，Z-DAF=Z-GAF,-
17、AD/GF,Z.DAF=Z-AFG,Z-GAF=Z.GFA,:.AG=FG,设 AG=FG=x,EG=8-x,：BE=C E,乙AEB=Z-N EC,乙ABE=NCE,.M ABE 且 NCE(ASA),NE=AE=8,CE/FG,N C E fN F G,.i -8x 16-x解得=y r FG=y,故答案为：-y.作AM IB C于M,延长AE、DC交于点N,首先说明4M垂直平分B E,可得=再证明 48EwZkNCEQ4S4),得NE=AE=8,由C E/F G,得ANCEA N F G,从而解决问题.本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判
18、定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.18.【答案】y【解析】解：如图，延长A D交4 8于点G,乙ACB=90,AC=4,BC=3,AB yjAC2+BC2=V42+32=5,AD 1 AC,ADC=ADG=4 ACB=90,CA/AB,Z-A CD=Z-A,3 AD=CD tan/-ArCD=CD-tanA=-CD,4由翻折得4O=4D=C D,4 .AD=.（4-4。），解得4D=y,3 3 I?9 GD=AD-tanA=-AD=-x =CD=44 4 7 7AG=_ 1 -BD=员 4+4。=一五+扣,V AD/EC,AE/C D.四边形4ECD是平行四边形，AD =EC,B
19、E=2 EC,BE=|K,荏=荏+而=方+软，:A D“BE,AF AD 1,=,FE BE 2 AF=AE,.都=敏+颉(2)如图，B N，丽即为所求.【解析】(1)利用平行线的性质，平行四边形的判定和性质，三角形法则求解即可；(2)利用平行四边形法则画出图形即可.本题考查作图-复杂作图，梯形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则,属于中考常考题型.21.【答案】解:(1)作CF 1 BC于点F,v AE 1 BC,D F/AE,D F C DAE C Av C D =2 ADf C D+A D =C AtC D 2C A 3v AE=9,D F _ 2 =3)解得DF=6,3D
20、 F：sin乙C BD=7,sin乙C BD =株，4BDBD 4解得BD=8；(2)v BD=CD,DF LBC,BF=CF,由(1)知：DF=6,BD=8,Z-DFC=90,:CF=VCD2-DF2=V82-62=2V7，BF=2夕，v DF/AE,CD=2AD,CF=2EF,EF=V7,BE=BF-EF=2小 一 位=6 tan 乙 BAE=77=AE 9【解析】(1)作DF 1 BC于点F,根据平行线分线段澄碧，可以得到DF的长，再根据sin/CB。=I，即可得到BC的长；(2)根据(1)中的结论和勾股定理，可以得到BE的长，然后即可计算出tan/BA E的值.本题考查解直角三角形，解
21、答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答.22.【答案】解：如图1,连接4E并延长，交BC于点G,由题意可知，4B=9米，EF=3米，FG=4米，v AB 1 BC,EF 1 BC,.AB/EF,GEF2 GAB,.空=即 打 工AB BG 1 9 BGBG=12米，BF=BG-FG=1 2-4 =8(米)，.标尺与路灯间的距离为8米；图I图2（2）如图2,连接4E并延长，交 于 点 H,过点H作HN J.AB于点N,交EF于点M,过点H作HP 1 8 c 交BC延长线于点P,由题意可得，CF+CH=4米，保=也设C”=x米，则CF=（4-x）米，HP=|x 米，理=白
22、 米，MF=BN=HP=|x 米，MH=4 x+白=（4-9）米，.AN=（9 一|x）米，网 石=（3 白）米，v BC=15.5米，NH=（15.5+白）米，v AB 1 BC,EF 1 BC,.-.AB/EF,：.Z.EMH=A.ANH,乙HEM=4HAN,:.xH EM sxH AN,ME MH H n3-1x 4-jx 一=,即一A=AN NH 9-|x 15.5+9整理得：2/+9%-35=0,解得：=-7（不符合题意，舍去），x2=|则 C尸=4-乂 =4 一|=1.5（米），BF=BC-C F =15.5-1.5=14（米），此时标尺与路灯间的距离为14米.【解析】连接4E并延
23、长，交BC于点G,根据题意可得4BE F,易证明 G E F j GAB,根据相似三角形的性质即可求解.（2）连接4E并延长，交CD于点H,过点“作HN _L4B于点N,交EF于点M,过点H作HP _ L BC交BC延长线于点P,根据题意可得CF+CH=4米，保=设CH=x米，则CF=（4-x）米，HP=|x 米，米，再分别表示出MH、AN、ME,NH的长，易证HEMTHZN,根据相似三角形的性质可得关于X 的方程，求解即可.本题主要考查解直角三角形的应用-坡度坡脚问题、中心投影、相似三角形的判定与性质，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正
24、切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题.2 3.【答案】证明：(I)点G 是4 8 边上的中点，:.BG=GA,-BG2=GE-GC,/.GA2=GE GC,G.E 1 G,A GA GC:Z-EGA=乙AGC,EGAA AG C,:.Z.GAE=Z-GCA.(2),:BG2=GE,GC,.GE _ BGBG GCv Z-EGB=乙BGC,EGB A BGC f(GBE=Z.G C F,Z-AED=Z-GAE+Z-GBE=Z-GCA+乙GCB=乙FCB,-AD/BC,Z-ADE=乙FBC,ADEh.FBC,.AD DE.FB BC：A D B C =F B D E,1.A
25、DFS ACBF,AD=B C,.竺 _ 竺 _ 工 丽=丽=2 FB=2DF,AD*BC=2DF,DE.【解析】由 B G =G 4,且B G 2 =G E-G C,得GA?=G E,G C,则当=经，即可根据“两GA G C边成比例且夹角相等的两个三角形相似 证明 EGA八A G C,则ME=/.GCA,(2)先证明 E G B F BGC,得Z G B E =N G C B,则=GAE+乙GBE=AGCA+Z.GCB=乙FC B,由A D/B C,得N A D E =乙FBC,所以 A D E-FBC,得 移=器,所以4。-BC=FB-D E,再证明ADFszSCBF,推导出FB=2DF
26、,AD-BC=2DF-DE.此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明 ADE-is.FBC是解题的关键.24.【答案】解：抛物线y=ax2+bx+2的对称轴为直线=b _ 3 z r x 五=5 ，.抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 4(4,0),16a+4b+2=0，由可得a=I，b=I，y=-1 x2+|x +2,在、=_枭2 +,+2中，令 =，得：y=X A)2 +x +2=等,L Z Z L L L L o二抛物线顶点。的坐标为(I管)；(2)过M作MPy轴交AB于P,如图：-1 Q在y=-%2 4-%+2中，令x
27、=0得y=2,8(0,2),v 4(4,0),直线4B解析式为y=-jx +2,在y=+2中，令 =1 得y=3,M(L3),在、=一 2 +2中，令x=1得、=,.PM=3-1 1 3S&ABM=,PM X xA-XB=5X 5X 4=3；(3)过B作IM P于H,如图:由(2)知,B(0,2),BH=MH=1,BM2=2,是等腰直角三角形，乙BMQ=45,4(4,0),A AB2=20,AM2=18,.-.AM2BM2=AB2f Z-AMB=90,乙AMP=90-乙BMQ=45=4BMQ,只嚅=器 或 器 噜，设则MQ=3-t,Q-pM-M当=t-3-23解得t=2,.Q(l,|)，当M
28、Q _ B k 3-t白 丽 一 市 时，30 一 3解得t=-1,(2(1,-1),综上所述，Q的坐标为(1,|)或【解析】由抛物线y=&/+以+2的对称轴为直线=|,得 一 点=|，抛物线y=aM+bx+2经过点4(4,0),有 16a+4b+2=0，可解得a=-g,b=|,y=-jx2+|x+2,即得抛物线顶点。的坐标为(|年)；过M作MPy轴交48于P,在y=-：X2+|%+2中，得B(0,2),故直线4B解析式为丫=一;x+2,令x=l得P(l,|),在3/=-#+2中，可得M(l,3),从而PM=3-|=g，SABM=lP M x xA-xB =3；(3)过8作BH _LMP于H,
29、由B(0,2),M(l,3),可得BH=MH=1,BM2=2,即知/BMQ=45,可求出AM?+8M2=AB2,44M8=90。，故N4MP=90。-4BMQ=45。=NBM Q,要使 BMQ与ZMMP相 似,只 需 器=瑞 或 器 嚼，设则MQ=3-t,即 得 亍=薨或 盘=半，分别解方程可得答案.2本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度.25.【答案】(1)证明：取B尸的中点0,连接。E,OA.DV 乙BEF=/.BAF=90,OB=OF,OE=BF,OA=BF,OE=OB=OA=OF,.E,B,F
30、,4四点共圆，Z-AEG=乙 GBF,/.AGE=(FGB,FBG；(2)解：过点8作BM于点M,过点F作FN J.04交。4的延长线于点N.V AB=AC=4,Z-BAC=90,.BC=y/2AB=4鱼v 乙BME=乙BEF 乙N=90,乙BEM+乙FEN=9 0,乙FEN+乙EFN=90,乙BEM=乙EFN,BE=EF,.*.BMEWA ENF(44S),BM=EN=EM=FN,-AD/CB,/.Z.DAB=Z.ABC=4 5,乙NAF=zC=45,.BM=AM=EN=3 AB=2鱼,:.AM=NF=W l-x,:,AF=41AN=4 一 五x,AQ=y(4 V2x),:AE/CB,AE_
31、AQBC=QC9x _ y(4-V2x)懑-y-(4-V 2x)+4,y=缶2-8%+16/4V2 x(0%CF=AC-A F=4-/2.当点F在C4的延长线上时，过点B作BM 1 4。于点“，过点F作FN 1 D4交。4于点N.同法可证EM=FN=AN=1,1 AF=V2，C F=AF+AC =4 +V2,综上所述，满足条件的CF的值为4-&或 4+VL【解析】(1)取BF的中点。，连接0 E,。4 证明EB/M四点共圆，可得结论；(2)过点B作BM 1 4。于点M,过点尸作FN 1 D4交。4 的延长线于点N.证明 B M E=ENF(AAS),推出BM=EN=E M =F N,解直角三角形可得BM=AM=EN=当AB=2或,推出4M=NF=2或 一 支，推出4F=JZ4N=4 一企x，可得AQ=y (4&x),由AE/C B,推 出 喘=黑，由此构建关系式，可得结论；(3)分两种情形：当点F在线段4 c 上时，当点F在C4的延长线上时，分别求解可得结论.本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.