《2023年广东省高考数学解答题专项复习：导数及其应用（含答案解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年广东省高考数学解答题专项复习：导数及其应用（含答案解析）.pdf（72页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年广东省高考数学解答题专项复习：导数及其应用1 .设函数/(X)=al nx+x2-(。+2)X,其中 QER.n(I)若曲线y=/(x)在 点(2,/(2)处切线的倾斜角为了，求 的值；4(I I )已知导函数/(x)在 区 间(1,e)上存在零点，证明：当x C (1,e)时，/(x)-e2.2 .已知函数/(x)=ax+l nx(a GR).(I )若a=2,求曲线y=/(x)在x=l处切线的斜率；(II)求/(x)的单调区间；(III)设 g(x)=f-2 x+2,若对任意 x i (0,+8),均存在 X2 6 O,1 ,使得/(x i)g(X2),求“的取值范围.第 1 页
2、 共 7 2 页3 .已知关于x的函数/(x)=-1 x3+b x 2+cx+b c,其导函数/(x),且函数/(x)在x=1处有极值一全(1)求实数6、c的值；(2)求函数(x)在-1,2 上的最大值和最小值.4 .已知函数/(x)=-2 a2l nx+-r+ax(a GR).(1)当a=-1时，求函数/(x)在区间 1,e 的最小值.(2)讨论函数/(x)的单调性；第2页 共7 2页5 .已知函数/(x)=，(。叶 1).(I )讨论函数/(x)的单调性；(II)当。=1 时，若 P为直线y=x+3 与函数f(x)图象的一个公共点，其横坐标为,且(?n,/n+1),求整数的所有可能的值.6
3、 .设函数/(x)=，-a x+3 (a GR).(1)讨论函数/(x)的极值；(2)若函数/(X)在区间 1,2 上的最小值是4,求 a的值.第3页 共7 2页7 .已知函数/(x)=4 (x-l)(i)当 =-2 n 寸，求/(X)的单调区间；(2)若2时，若函数y=/(x)的图象与r轴交于4B 两 点,设线段Z 3中点的横坐标为x o,证明：f(x o)0.第4页 共7 2页9 .已知函数 f (x)=，-x,h(x)=af(x)+2/(-x)+(2 a-4)x (a GR 且 a W O,e 是自然对数的底数).(1)讨 论 函 数(a x)的单调性；(2)当xO时，h(x)(a+2)
4、c o&x恒成立，求a的取值范围.1 0 .设函数/(x)=x3-a+.(1)若/(x)在x=3处取得极值，求a的值；(2)若/(x)在-2,-1 上单调递减，求a的取值范围.第5页 共7 2页11.已知函数/(x)mx2+lnx.(1)若加=-4,求函数/(x)的单调递增区间：(2)设XI,X2是/(X)=1的两个不相等的正实数解，求证:/(XI)-1/(x2)+3 0,求 a 的取值范围.第6页 共7 2页1 3 .已知函数/(x)=(x2-3 x+a)d.(1)若/(x)的极小值点小于2,求a的取值范围；(2)设函数g (x)=4(x)(a#0),讨论g (x)在(0,+8)上的单调性.
5、111 4 .已知函数/(x)=(x-a)e X+a(x +2)2.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)有两个零点，求a的取值范围.第7页 共7 2页15.已知/(x)=2 x-12x+6的一个极值点为2.(1)求函数/(x)的单调区间：(2)求函数/(x)在区间-2,2 上的最值.16.设函数f(x)=行-a(久-1),其中“6R.(1 )若 a=0,求曲线y=/(x)在 点(1,/(I)处的切线方程：(II)若函数f (x)在(-2,-1)上有极大值，求 a 的取值范围.第8页 共7 2页1 7 .已知函数/(x)=l nx-a+x(a GR).(1)讨论函数/(x)的单调性；(2
6、)若函数/(x)有极值且极值大于0,求实数。的取值范围.1 8 .已知函数/(x)X(/-1).(1)求 函 数 的 最 值；(2)若不等式/(x)1+f对于任意x e (0,+8)恒成立，求实数f的取值范围.第9页 共7 2页1 9 .已知三次函数/(x)=X3+时，证明：/(x)a.Q-1-a+1第1 3页 共7 2页27.已知函数/(x)=+4 乂 2+。刀 一 1.(1)讨论函数的单调性；(2)若 a W l,证明：当 x0,+)时，f (x)Wsinx-cosx.28.已知函数/(x)=Inx+ax2+(a+2)x+1(aGR).(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)若 a=-2,证
7、明：当 x0 时，-X2+2X-1 -xf(x)0.第1 4页 共7 2页2 9.设函数/(x)ax1-a-Inx,g(x)=一卷，其中 6 R,e=2.7 1 8底数.(1)当a=l时，讨论/(x)的单调性：(2)证明：当 x l 时，g(x)0.为自然对数的3 0.已知函数/(x)=xex-kx2-kx(Ze R).(I )讨论函数/(x)的单调性；(II)讨论函数/(X)的零点个数.第1 5页 共7 2页3 1.已知函数/(x)=/-办2+6的图象在点x=0处的切线为(1)求函数/(x)的解析式；(2)当x e R时，求证：f(x)尤；(3)若/(X)+依0对 任 意 的 在(0,+8)
8、恒成立，求实数A的取值范围.3 2.已知函数/(x)a x2+fo x+l(e 2.7 1 8).(1)当a=b=l时，求函数/(x)的极值.(2)若/(I)=1,且方程/(x)=1 在(0,1)内有解，求实数a的取值范围.第 1 6 页 共 7 2 页3 3 .已知函数/(x)=鬻，其中a 0.(1)求曲线y=/(x)在 点(1,f(1)处的切线方程;(2)若函数/(x)的最小值为-1,求实数。的值.3 4 .已知/(x)xl nx-ax3+(a l)x2,g(x)=x2 1%+1.(1)当 a=1 时，求/(x)在(1,/(1)处的切线方程；(2)当a 0.(1)当a=2时，证明：/(x)
9、0；(2)若八x)在(-1,+8)只有一个零点，求a.3 6 .已知函数/(x)=kx-xb ix在(0,+8)上的最大值为1.(1)求/(x)的解析式；(2)讨论F(x)=f(x)-c o&r的零点的个数.第1 8页 共7 2页3 7 .已知 f (x)=衣 C LITLX .(1)若 V 0,讨论函数/G)的单调性；(2)当=1 时，若不等式f。)+(b x-b-妥 冲+(20在 1,+8)上恒成立，求 6的取值范围.3 8 .已知函数 f(x)=(x+a)Inx x2 (a+l)x+a-1 (t z GR),f(x)为 f (x)的导数.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)3 x
10、 在(1,+)上恒成立，求整数a的最大值.第1 9页 共7 2页3 9 .已知函数 f(x)=Inx+kx.(1)若/(x)在定义域内单调递增，求左的取值范围；(2)若/(X)=f(X2)=0 (0 Xl 4 V.4 2.已知函数/(%)=4 菽46R.(1)求曲线y=/(x)在 x=0处的切线方程；(2)当 a =*时，求f(x)的极值点；(3)若/(x)为 R上的单调函数，求实数。的取值范围.第 2 1 页 共 7 2 页43.已知函数/(x)=用-+(号1112+x+i(a W l),g(x)=e(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)证明：当 a=0 时，方程g(x)=/(x)有且仅有一
11、个解.44.已知函数f (x)=2x-/+氏(1)求/(x)的极大值点；(2)当”=1,6=0 时，若过点尸(1,t)存 在 3 条直线与曲线y=f(x)相切，求 的取值范围.第2 2页 共7 2页4 5 .已知函数,/(x)=ax+M(x2+l)(QR).(1)当 aWO 时，求函数/(x)的单调区间；(2)求证：当-V aV O 时，函数/(x)=ax+出(W+1)有三个零点.4 6 .已知函数/(x)=/a x?+(1 a)%(nx,a GR.(1)讨 论 的 单 调 性；(2)若 Q(-8,-1),设 g(x)=xex-x-l nx+a,证明：Vx i G(0,2 ,8),使/(x i
12、)-g(X2)2 -l n2.3 x 2 6 (0,+第 2 3 页 共 7 2 页4 7.已知函数/(x)=l nx-ax1-b x(a,b ER).(I)当a=-1时，设XI，X 2 为f Q x)的两个不同极值点，证明：/(X I)4/(x 2)-3 -加2；(II)设X”X2为/(X)的两个不同零点，证明：/(X1+X2)-e2.【解答】(I )解：根据条件/(x)=J+2 x-(a+2),则当 x=2 时，f(2)=搭+4 -(a+2)=-+2=t a n =1,解得 a=2；(I I)证明：因为/(X)=E+2X-(+2)=0*;？工 二 1),又因为导函数/(x)在(1,e)上存
13、在零点，所以/(x)=0 在(1,e)上有解，则有 I V Ve,B P 2 a2 e,且当 1 XV 搭时，/(x)0,/(x)单调递减，当/r 0,/(x)单调递增，所以/(x)()+彳 一5(。+2)al na-(1+/2)a,设 g (x)xl nx (1+/2)x,2 x2 e,贝Ig (x)=l nx+(1+l n2)=l nx Ini,则g，(x)所以g (x)在(2,2 e)上单调递减，所以g (x)在(2,2 e)上单调递减，则 g (2 e)=2 e l n2 e -e2-2 e(l+/2)=-e2 -e2,则根据不等式的传递性可得，当在(1,e)时，/(x)-e2.2 .
14、已知函数/(x)=ax+l nx(a R).(I )若a =2,求曲线=/(x)在x=l处切线的斜率；(I I)求/(x)的单调区间；(I I I)设 g(x)-2 x+2,若对任意 x i W (0,+8),均存在 X 2 W O，1，使得/(x i)0),则/(1)=2+1=3.故曲线_y=/(x)在 x=l 处切线的斜率为3；(I I)/(x)=a +9 =(x 0).当时，由于犬0,故 a r+l 0,/(x)0所以，/(%)的单调递增区间为(0,+8).Q)当。0,在区间(一，+8)上/(x)V0,所以，函数/(x)的单调递增区间为(0,-1),单调递减区间为(一：，+0 0)；(I
15、 I I)由己知，转化为/(x)rnaxf (1)=_ q+b+c+6 c=o,解得 忆 1 或，二1(/)当 b=1,c=-1 时,，/(x)=-(x -1)2 0,/(x)单调递增；当 x C(1,+8)时，/(X)0,解得：x2,令/(x)0,解得：x 0,f(x)在定义域为(0,+)上单调递增,当a 0时，令f (x)=0,得 力=-2。(舍去)，xia,当x变化时，f(x),/(x)的变化情况如下：X(0,a)a(a,+8)f(X)-0+第2 9页 共7 2页/(X)减极小值增此时，/(x)在 区 间(0,a)单调递减，在 区 间(a,+8)上单调递增;当 a 0时，/(x)在 区
16、间(0,a)单调递减，在 区 间(a,+8)上单调递增；当a 0 在 R 恒成立，故函数/(x)在R递增；a 0 时，x 时，s(X)0,g (x)递增，x V-时，g (x)0,函数g (x)递减；a 时，g (x)0函数g G)递增，综上，。=0时，函数g (x)在R递增，。0 时，函数 g (X)在(-00,_递减，在(-+8)递增,a O,故-4 t -3,又 g (0)=1 -3=-2 0,又得故整数，”的所有可能的值为-4,0.6.设函数/(X)=，-“x+3 (a G R).(1)讨论函数/(x)的极值；(2)若函数/(x)在区间 1,2 上的最小值是4,求。的值.【解答】解：(
17、1)/(x)=-a.当“WO时，f(x)0,f(x)在R上单调递增，无极值；当 0 时，由/(x)0,解得 由/(x)0 解，得 xJ na.函数/(x)在(-8,.)上 单 调 递 减.函 数/(X)在U na,+)上单调递增，f(x)的极小值为/(加a)a-al na+3,无极大值.综上所述：当a 0时，的极小值为/(/a)“-a/a+3,无极大值.(2)由(1)知，当a W O时，函数/(X)在R上单调递增，二函数/(x)在 1,2 上的最小值为f(l)=e-a+3=4,即a=e -1 0,矛盾.当a 0时、由(/)得x=l na是函数/(x)在R上的极小值点.当 a W l即o V a
18、 W e时,函 数/(x)在 1,2 上单调递增，则函数/(x)的最小值为/(I)=e-a+3=4,即a=e-l,符合条件.当/即时，函数/(x)在 1,2 上单调递减，则函数/(x)的最小值为/(2)=/-2 a+3=4,即”=与0 2,矛盾.当即e a -1=0.令 h(a)a-al na-1 (e t z e2),贝ij h(a)=-l na0,第3 1页 共7 2页:.h(a)在(e,e2)上单调递减，而(e)-1,：.h(a)在(e,e2)上没有零点，即当e a e2时,方 程a-al na-1 =0无解.综上，实数。的值为e-1.7.已知函数f(x)a(x -1),+x2.(1)当
19、a=-2时，求/(x)的单调区间；(2)若a 0,函数/(x)的极大值为/层2 -2/2+2,求a的值.【解答】解：(1)当 a=-2 时，/(x)=-2 (x-1)/+/,则/(x)=2 x (1 -/),当(-8,0)时，/(x)=2 r(1 -ev)0,当x 0,+8)时，/(x)W O,.V(x)在R上单调递减，.单调递减区间为(-8,+8),无增区间.(2)由题意可得/(x)=x (a e +2),9令/(x)=0,得x=0 或1=历(一),当。=-2时，根 据(1)知不成立，当-2 0时，函 数 在(-8,0)上单调递减，在(0,小(一看)上单调递增，在(历(一力+8)上单调递减，
20、故极大值为f(/7(-|)=l n22 -2 l n2+2,9A.则 加(-)(2 -/(-)=0,解得 a=-1 或 a=一葭；当a -2,不成立.综上，a 1或a=一白.8.已知函数f(x)=x2+(1 -2 a)x-al nx(a R 且 a#。).(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)当a 2时，若函数y=/(x)的图象与x轴交于4 8两点，设 线 段 中 点 的 横坐标为xo,证明：/(xo)0.第 3 2 页 共 7 2 页【解答】(1)解：函数/(X)的定义域为 x|x 0 ,f(x)=2/+(1 丁 i=(2 x+?(i)=0,解得 =一(舍去)，X 2=.当 a 0在(0,+
21、8)上恒成立，所以函数/(x)单调递增；当 a0时，在(0,a)上/(x)0,函数/(x)单调递增.(2)证明：由(1)知，当。0时，在(0,a)上/(x)0,函数/(X)单调递增，当 f+8 时，f(X)f +8,当 X-0 时，f(x)f +8,而当 2 时，f (a)=a -a2-al na0,只需证 xi+x2 2 a,设 0 0,即/(x)f (2 a-x),又 O V x i V a,则有/(xi)/C2 a-xi),而由已知/(xi)=f(X 2)=0,所以/(X 2)f(2 a-xi).又 V 2 c a 2。-制，即制+工 2 2。，命题得证.9.已知函数 f(x)=-xf
22、h(x)=af(x)+2 f(-x)+(2 a -4)x(E R 且 a#0,e 是自然对数的底数).(1)讨论函数歹=/(公)的单调性；(2)当时，h(x)，(+2)c o s x恒成立，求的取值范围.【解答】解：(1)y=f(a x)=e -a x,则 yf=a Ceax-1 ),若 a 0,则当 x 0 时，y1=a(*-1)0,当 x V O 时，yf=a (eax-1)0 时，yf=a-1)0,当 x V O 时，y =a(ea v-1)0,/2 2第3 3页 共7 2页即(2-0,所以0,乙 e2令 g(x)=h(x)-(a+2)cosx=ae*+2e x+(-2)x-(a+2)c
23、osx,则 g(x)=aex-2e x+(a-2)+(a+2)sinr=ae x 4-(。-2)+(a+2)sinx,e若Q，2,则当XW 0,用时，g(x)2 0,所以g(x)在 0,I T 上单调递增；当 xE(n,+)时，gf(x)=aex-2ex+(-2)+(a+2)sinx_ _ 9N。/-2e*+(a-2)-(a+2)=aex-2e x-44tz-r-40,q所以当x6 0,+8)时，g(x)单调递增，所以g(x)g (0)=0,若 0 a 2,贝 ijg(0)=2(a-2)0 所以 g(bi-)20,a a2+V 4+2a所以(0,In-),使得 g(xo)=0,a且当xe(0,
24、x o)时，g(x)0,解，O V x v g,故函数/(x)的单调递增区间为(0,y).(2)证明：依题意，/(x)=2 w x+p所以X I，X 2 是 2 层-x+l=O 的两个不相等的正实数解，m 0=1-8 m贝小巧+X 2 =40，解得机0f(X I )(X 2)-xi-X l m x2 4-A W%2 (制+冗2)+/X 1+历X 21 1=t n(%?4-)-(xi+x2)+l nx X 2=l n -1,1/2m 4m令 g(Z)怎(4,+8),则 g，a)=A/v o,：.g(f)在(4,+8)上单调递减，：.g (/)4-3,即 f(xi)+f(X 2)+3 V/4+X
25、I+X2.1 2.已知函数/(x)=_ 92 +、,a+?几%+2.(1)若。=0,求曲线y=/(x)在 点(1,/(I)处的切线方程；(2)若/(x)0,求。的取值范围.【解答】解：(1)由。=0,/(x)=*?+6 ；+2,导数为/G)=等+._6-；产,则曲线尸/(x)在 点(1,/)处的切线斜率为，(1)=*一|+|-6=-各1 4 2 29又/(I)=4-3 +2+2=12 第3 5页 共7 2页7Q 77则曲线y=/(x)在 点(1,J(1)处的切线方程为y 夏=诵 (x-1),即为 7 7 x+12 y-10 6=0；(2)由题意可得 x 0,由/(x)0,可得1 d-$3+1
26、_/_ 6/x+2 x a,设 g (x)=x4率+1%*1 2-6/x+2 x,x 0,x，设(x)=x3 4-A+2(X 0),h(x)=3 x2-2 x(x 0),9 9当 O V x V 时，hf(x)0,h(x)递增，可得/?(X)min=h()=招 。,则/-，+2 0 对工 0 恒成立，所以当 0 V X V 3 时，g (x)3 时，gr(X)0,g(X)递增，可得 g (x)min=g(3)=4 一 6/3,1 q故 Q 6 b i3,15即a的取值范围是(-8,-6/;3).41 3.已知函数/(x)=(X2-3 x4-6 2)(1)若/(X)的极小值点小于2,求 Q的取值
27、范围；(2)设函数g (x)=qf(x)(QW O),讨论g (x)在(0,+)上的单调性.【解答】解：(1)，(%)=(-x+a-S)1 Q设 h(x)=x2-x+a-3,则=1-4(Q-3)=13 -4Q 0,即 Q V丁，设(x)的两个零点为X I，X 2，(X 1X 2),V/(x)的极小值点小于2,故 xiV 4,%2 0,即 a L故。的取值范围是(1,芋)，4(2)当 心 争 寸，h(x)=x2-x+a-3 2 0,g (x)与0,贝 U g (x)在(0,+)递增,当 h(0)0 且 aV苧即 3 V V 苧 时,0 xi 1,*2*，令 g (x)0，得 O V xV xi
28、或 X X 2，第3 6页 共7 2页 (x)7 4、13#2 6 二 *4-6 短+3*2+2*-6 =2(/一 4%+3)+2(-3)XXX(x 3)(4 3r2+2)故g(x)在(l-V 13-4a l+V 13+4a221 7 13-4a)递减，在(0,-),l+V 13+4a(2,+0)递增,1当 0 V a W 3 时，xiW O,X 2 j，令 g (x)0,得 X X 2,l+V 13+4a ,-l+V 13+4a故g (x)在(0,-)递减，在(-.+8)1当。0 时，xij,令 g (x)V0,得 X X 2，令 g (x)0,得 0 0,得 第E（-+8）.11故/（X）
29、在（8,上单调递减，在（,，+8）上单调递增.1当 a0 时,令/(%)=0,得=X 2=l n(-2 a).当l n（2 a）=-i,即 a =若时，f（x）2 0,f（x）在 R 上单调递增.当 b i（-2 a），即a V 若时,/(x)在(,，兀(2 a)上单调递减，在(8,1),U n(-2 a),+8)上单调递增.(2)当4 0时，由(1)可知/(x)只有一个极小值点=-今且/(一 芬=_ 畀0,/(1)=a 0.(方法一)取 b V-1,且 b 则沸(b-1)-+a(6 +J)2=ab2+ab =a(b2+3 8),因为bV-/所以+|b 0,则/(b)0,此时/(x)有两个零点
30、.11(方法二)当 x f-8 时，(又一2心”一。，a(x+)2 从而/(x)f+8,因此/(%)有两个零点.当。=0时，/(x)=(x-1)ex,此时/(x)有一个零点，不符合题意.当。0时，若x.,则恒有/(X)0.当一WWaV0时，f(x)在(，+8)上单调递增，此时在R上不可能有两个零点；当aV-焉时，若仇(-2 a)4,同理可知/(x)在R上不可能有两个零点；若仇(2 a)*,/(x)在弓，+8)上先减后增，此时/G)在R上也不可能有两个零点.综上，a的取值范围是(0,+8).15.已知/(x)=2 x3-机x2-12 x+6的一个极值点为2.(1)求函数/(x)的单调区间；(2)
31、求函数/(x)在区间-2,2 上的最值.【解答】解：(1)因为/(x)=2/,m x2 -2X+6,所以/(x)=6 x2 _ 2加x-12,因为/(x)2 x3-mx2-12 x+6的一个极值点为2,所以，(2)=6 X 22-2/n X 2 -12=0,解得机=3,止 匕 时 f(x)=2 x3 -3 f-12 x+6,f(x)=6 x2-6 x-12=6 (x+1)(x-2),第3 8页 共7 2页令/(x)=0,得 x=-l 或 x=2,令/(x)0,得-l x 0,得 x V-1 或 x 2,故函数/(x)在 区 间(-1.2)上单调递减，在 区 间(-8,-1),(2,+8)上单调
32、递增.(2)由(1)知，f (x)在-2,-1 上为增函数，在(-1,2 上为减函数，所以x=-1 是函数/(x)的极大值点，X/(-2)=2,/(-1)=1 3/2)-14,所以函数/(x)在区间-2,2 上的最小值为-1 4,最大值为13.16.设函数 f(x)=,-a(x-1),其中“W R.(I )若。=0,求曲线y=/(x)在 点(1,/(1)处的切线方程；(H)若函数/(x)在(-2,-1)上有极大值，求。的取值范围.【解答】解：(1 )当 a=0 时，f i x)=丝，/(x)=竺 与 口，所以/(I)=e,f(1)=0,所以曲线y=f(x)在 点(1,/(I)处的切线方程为夕=
33、6.(I I)由题意，得，(X)=”二 沪 身 在 区 间(-2,-1 上存在零点，由/(x)=0,得 F G-1)-ax2=0,即 a=6/(工中。)，令 g (x)=(；2 1”则曲线V=g(X)与 在 在(-2,-1)上至少存在一个交点，又因为g G)=。退学+2)二竺 吟;)2+1 a,即S(2，a,故 f(x)=。当 xE(xo，1)时，g(x)a,即,0,令 h(x)=-2 a x2+x+l,a0,=l+8a 0,.-2 a x2+x+l=0有两个不相等的实数根，且两根一正一负.当x6(0,1+廿 吗时,h(x)=-2 ax2+x+0,4 Q当%(1+l+8a,+8)时，h(x)=
34、-2 7x2+x+l 0,、/_ ,1+J 1+8 x r p L q,、Z a x2+x+l当“e(一 而+8)时，f(x)=-v o.当a 0时，函数/(x)在(0,I+史 说)上单调递增;在(1+、鲁8a,+8)上单调递减.综合得：当a W O时，f(x)在(0,+8)上单调递增；当。0时，函数f(x)在(0,小 今 蚂)上 单 调 递 增；在(比 普 西，+8)上单调递减.(2)由(1)知，当a W O时，函数/(x)在(0,+8)上无极值;当。0时，函数/(X)在(0,+)上仅有极大值/(%)故大=/(&)=-+%0,其中一 2 ax 4-%0 4-1=0,即 a =号，Z xo=l
35、 nx()-+x0=l nxQ&(0,+0 ).第4 0页 共7 2页y 1设 9(%)=5%+2-2，%w(0，+8),=仇%+*在(0，+8)上单调速增，且 g(1)=o,当且仅当刈1 时，/(x)极 大 0,此 时,。=3左=*(2)2+2 (O 1),，用 乙 x0 x0 当/(X)极 大 0时，实数的取值范围是(0,1).18.己知函数/(x)=冗(ev-1).(1)求函数/(%)的最值；(2)若不等式/(x)-1+Z 对于任意xW (0,+8)恒成立，求实数Z 的取值范围.【解答】解：(1)因为函数/(工)=x(ev-1),所以，(x)=-l+x，=(x+1)/-1,当 x=0 时
36、、(x+1)1,f(x)=0；当 x 0 时，(x+1)/1,f(x)0；当 x W -1 时，(x+1)/W O,/(x)0,当-I V xV O 时，(x+1)，V x+l V l,所以,(x)0,所以当x VO时，f(x)l nx-1+E,即 x(/-1 )l nx-1+3 所以 Z 0),则问题等价于(x)加 (xG (0,+),则 h(x)=+x y-l-i=(久+1)(久 1)X X设 加(x)=xex-1,则 加 (x)=(x-1)e*0,所 以 加(x)在(0,+8)上单调递增，1 J e又 加(1)e -1 0,m(5)=1 0,所以存在唯一(-,1),使 w (xo)=xo
37、 eXo-l=O,B P e o =,2XQ所以当xE(0,xo)时，m(x)VO,即 (x)0,即 (x)0,所以函数/?(%)在(xo，+)上单调递增，第4 1页 共7 2页所以 A (x)minh(xo)xoex0%o -lnxo+l xo,xo-lnex0 +1 2,x0所以，V 2,所以实数f 的取值范围是(-8,2).1 9.已知三次函数/(x)=/+0*+以+1 (为常数).(1)当 a=l时，求函数/(x)在 x=2 处的切线方程；(2)若 a 0,当=442-48W0 时，即一 2 g W aV O,/(x)0,f(X)在(0,+8)上单调递增；当=4。2-480 时，B P
38、 a 0,令/(X)=3/+2女+4=0,则/=_2a?吐竺,金=*等 三 亚,S M N-2Q J4a2-4 8 f、-2a+J4a2-48 卜 、八当 Vx V-g-或-g-时,/(x)0；2 a d 4a2 48 2a+J 4a2 48当-;-%-时，f (x)0；6 6/(x)在(0,2 a J 4a2 48、f 2 a+J 4Q2 486)(6+8)上单调递增;f(X)在(2 a V 4a2 486 2Q+J 4Q2 486)上单调递减.2 0.已知函数/(%)=(x2-2x+tz)四(1)讨论函数/G)的单调性;(2)当 67=1时，判断函数g(X)f(X)一#+历 零点的个数，并
39、说明理由.【解答】解：(l)/(x)的定义域是R,/(x)=(f+a-2)当“2 2 时，/(x)0,则/(x)在火递增，当 QV 2 时，f (x)=(x+V 2 a)(x V 2 a)，第4 2页 共7 2页故/(x)=0 x=V2 -a,f(x)0=x V -a或 XA/2 -a,f(x)0 A/2 a x0）,则 （x）=F+妥 0,从而/7（X）在（0,+）递增，1又（-）=Ve-2 0,故存在 xo1），使得（x o）=ex=0,即？沏=3，xo=-Inxo,2xo xo列表如下：X(0,x o)x o(x o,1 )1(1,+8)g (x)+0-0+g（X）递增极大值递减极小值递
40、增由表格知g (x)的极小值是g (1 )=pg(x)的极大值是 g(x o)=(&l)2ex 9乙 x02+/7x o=0 XYn 0?%o2、o=?x02+L,乙-2,x01V g（X 0）是关于X 0的减函数且x o E（5,1）,Q1故一1力 （x o）-1,故g （x）在（0,1 内没有零点,又g (1)=-1 0,故g (x)在(1,+8)内有1个零点，综上，g (x)只 有1个零点.12 1.已知函数/G)=x2-al nx(tz GR).(1)讨论/(x)的单调性.(2)当 a=-1,x l 时，证明：/(x)0),第4 3页 共7 2页当 aWO 时,/(x)0,则/(x)在
41、(0,+8)上单调递增.当 a0 时,f(x)=x-三=看 2.所以当 0VxV、/H时，/(x)低 时，/(x)0.综上所述：当 aWO时，/(X)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间：当 0 0 时，/(x)的单调递增区间为(V H,+8),单调递减区间为(0,洞.(2)证明：当 a=-1 时，设 g(x)=2%3-/n x(x l),则 g(x)=2x2 x-=2-3久2 1 _(，-1)(2%2+4+1)第4 4页 共72页X-X.当x l时，g(x)0,g(x)在(1,+8)上是增函数.1 2 o I n从而 g(%)g(l)=石 0,即-xz lnx0,_ 1?2 o所以5
42、%+lnx 1时，有1 9 V石2 Q3成立2 2.已知函数f(x)=-Q)%-合+QX,其中oWR.(1)当。=7时，求函数/(x)的极值；1(2)当 a=l时，若不等式f(%)+(bx-b+亍)e*-Z 0 在 xW (1,+)时恒成立，求实数b 的取值范围.【解答】解：(1)由题意知，/(x)=_ _*竺+。=&3丝|&二12(x0).J x x*L XL:当 a=-l 时，r (x)=.当 x l 时，(x)VO,当 0 0,二函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以f (x)在 x=1处取得极大值，极大值为/(1)=-e-1.(2)由题意，当 a=l时，不等
43、式/(幻+(法 一 匕+持)/一%2 0 在 在(1,+8)时恒成立，整理得：lnx-b(x-1)/W 0 在 x6(1,+8)时恒成立，令 h(x)=lnx-b(x-1)，可知，当 6 0,不合题意；：.b0.1又 h(x)=-bxe-h(1)=1 -be.当6 2%寸，h(1)=l-b e W O,又(x)=-必然在 1,+)上单调递减,:.h(x)WO在 1,+8)上恒成立，则/?(x)在 1,+)上单调递减，又力(1)=0,：.h(x)VO 在(1,+8)恒成立，当 0 0,h(1)=/-J 0,当(x o，+8)时，h1(x)0在(1,x o)上成立，不合题意.综上，实数b的取值范围
44、为也，+8).e2 3.已知函数f(x)=a(x ei-4)-b l nx+3x.(1)当a=0时，讨论/(-x)的单调性；(2)若 a=l,且/(x)2 0,求 6 的值.【解答】解：(1)当。=0时，/(-x)=-4 (-x)-3x,/(-x)的 定 义 域 为(-8,0),/X)7-3当6 W 0时，/(-x)0时，由/(-x)0,得一/4 0,则/(-x)在(一4，0)上单调递增,由/(-x)0时，/(-x)在(一4，0)上单调递增，在(-8,_|)上单调递减；(2)；a=l,：.f(x)-b/x+3x-4,且/(I)=0,要使/(x)0恒成立，则/(x)在x=l处取得最小值，,:f(
45、x)=(*+1)e：+3”*,：,f(1)=o,即 Q 5.验证当b=5时，/(%)x(x+l)el+3x-5第4 5页 共7 2页令 h(x)=x(x+1)e 0,：.h(x)在(0,+8)上单调递增，又h(1)=0,.当 OVxVl 时，h(x)0,即/(x)l 时，h(x)0,即/(x)0,/(%)单调递增，(X)min j (1)=0.则/(x)2 0,故 6=5.2 4.已知函数 f (x)-21(x+1)+2 4/-1.(1)当。=0 时，求函数/(x)的单调区间；(2)若/G)0 在 0,+8)上恒成立，求实数0 的取值范围.【解答】解：(1)/(x)的定义域是(-1,+8),a
46、=0 时，/(x)e -lln (x+1)-1,f (x)=20左 一 三，f (x)=4a+,二、？0,J x+1 J(x+1)2故，(x)在(-1,0)递增，而/(0)=0,故(-1,0)时，(%)0,f (x)递增；(2)若/(x)2 0 在 0,+8)上恒成立，由x=0 时，f (0)=0 成立，故x 0 时，问 题 转 化 为 史 照 旧 声 巴 工 在 0 恒成立，令 g(x)=4 皿 x+l2e2x+2,(x0),则二强卫上第丝士!，X54r显然F 0,令(x)=7-T-2ln(x+1)+於(1 -x)-1,(x0),x0%十 1则 (X)=一 一、卢 0故人(x)在(0,+8)
47、递减，故(x)h(0)=0,故 g(x)0 LX4=Umx-0。+1)22-8ex-二-6,故 Q，-6.第4 6页 共7 2页2 5.已知函数/(x)=ax3-ZJX2-Inx.(1)当 b=0时，讨论/(X)的单调性；(2)若 4=6=1,且/(x)2?恒成立，求加的取值范围.【解答】解：(1)h=0 时，f(x)=ax3-Inx,定义域是(0,+),f(x)=3ax2-K当 aWO时，/(x)0时，令/(x)=0,解得：工=当 0 x V 卷 时-，f(x)息 时，/(x)0,/(x)在(层，+8)递增，综上，当 aWO时，/(x)在(0,+8)递减，当 a 0 时，f(x)在(0,耳)
48、递减，在(篇，+8)递增：(2)若 a=b=l,则/(x)=xi-x2-Inx,定义域是(0,+),f(x)=3 f -2 x_ I=O-l)(3/+；v+i),令，(x)=0,解得：x=l,当 0 Vx l 时，f(x)l 时，/(x)0,/(x)在(1,+8)递增，故/(X)min-f(X)极 小 值=/(1)=0，f(X)2机恒成立，即加(X)旭 加，故 7 a.Q1 a+1【解答】(1)解：由题意，f (x)=2x-哈a+2)=2,。分)令 g(x)=-2 x-a-2,=4 a-4.当 a Wl 时，/X W O,此时/(x)WO,函数/(x)在 R 上单调递减；(2分)当 a 1 时
49、，(),令 g(x)=0,则/=1 yja lf 亚=1+1，当-8,1-7 a-1)时,f(x)0,所以/（x）单调递增，（4分）当 E （1+yt a 1,+8）时,f（%）V0,所以/（x）单调递减.（5分）综上所述，当 aW l时，函数/（x）的单调递减区间为H,无单调递增区间；当 1 时，函数/（x）的单调递减区间为（-8,1 7a 1）和（1+/a-1/+8）,单调递增区间为（1-l +V 1 T）.（6 分）（2）证明：由（1）知因为 g(l)0,所以 g(l +e-2)VO,得(7 分)1 1 1 1要证 7 +7 只需证 7 +7 e a 4-1.(8 分)a 1 Q+1 a
50、 1 a+1对于函数/?（X）-X -1 ,有 （X）=产因为（）在 R 上单调递增，且 （0）=0,所以/?（X）在 区 间（-8,0）上单调递减，在 区 间（0,+8）上单调递增,故（x）（0）=0,即 不 等 式 恒 成 立,当且仅当x=0时“=”成立,故当时，eaa+,即 7?一 （1）.（1分）a+1因为 且 Q 1,所以 a-l V e,1 1可得一-eaf 所以-e l（2）.（11 分）a-1 a-11 1由+得，-+-e-a+1,C L 1 Q+1故-+得 证.（12分）a-1 a+12 7.已知函数/（%）=-可炉 4-22 1.（1）讨论函数的单调性；（2）若 a W l