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1、2023年广东省高考数学总复习专题23：概率与统计解答题-导图助思快速切入-思维流程 概率与统计问题重在“辨辨析、辨型概率统计解答题-典例分析规范答题(20 19 全国I )为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得一1 分
2、；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得一1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和夕，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求 X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，“=0，8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p o=O,ps=,ptapi-1+bpi+cpi+1(z 1,2.7),其中 a=P(X=-l),6=P(X=0),c=P(X=l).假设 a=0.5,4=0.8.(i )证明：P i+i p,(i=0,l,2,，7)为等比数列；(i i )求P 4,并根据P 4的值解释这种试验
3、方案的合理性.-高考真题把握规律-1.(20 19新课标H)分 制 乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10：10 平后，每球交换发球权，先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10：10 平后，甲先发球，两人又打了 X个球该局比赛结束.(1)求 P(X=2)；(2)求事件 X=4 且甲获胜”的概率.第 1 页 共 1 5 页22.(2019天津)设 甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
4、(I)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(I I)设M为事件”上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2,求事件M发生的概率.-模拟演练命中靶心-1.2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了 10月1日7：00-23：0 0这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7：0011：00,11：0015：00,15：00-1 9：00,19：0023：0 0,依次记作7,11),11
5、,15),15,19),19,23.(1)求该天顾客购买商品时刻的中位数t与平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)由频率分布直方图可以近似认为国庆节假期期间该商场顾客购买商品时刻服从正态分布N(u，6 2),其中u近似为,6=3.6,估计2019年国庆节假期期间(10月1日-10月7日)该商场顾客在12：12-19：24之间购买商品的总人次(结果保留整数)；(3)为活跃节日气氛，该商场根据题中的4个时间段分组，采用分层抽样的方法从这5000个样本中随机抽取10个样本(假设这10个样本为10个不同顾客)作为幸运客户，再从这1 0个幸运客户中随机抽取4人每人奖励500元购物券，其他
6、幸运客户每人奖励200元购物券，记获得500元购物券的4人中在15：00-19：00之间购买商品的人数为X,求X的分布列与数学期望；参考数据：若 T N(H，则p(R-OCTVU+O)=0.6827；P(-2oTn+2o)=0.9545；P(|i-3OTko)0.150.100.050.025ko2.0722.7063.8415.024第3页 共1 5页3.近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：X13467y56.577.58y
7、 与 x 可用回归方程 （其 中,“为常数）进行模拟.（I）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元.（利润=售价-成本）（I I）据统计，1 0 月份的连续1 6 天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.一个运输户拟购置n 辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.试 比 较 =3 和 =4 时此项业务每天的利润平均值的大小
8、.参考数据与公式:设 t=lgx,贝 ij0.546.81.530.45线性回归直线A Ay=blgx+。中，u _ s=i(fj-D fyj-y)鼻(与 可a=y-b t4.郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶6 元，售价每瓶8元，未售出的饮料降价处理，以每瓶3 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：。C）有关.如果最高气温不低于2 5,需求量为500第4页 共1 5页瓶；如果最高气温位于区间 20,25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于2 0,需求量为 200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，
9、得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（I）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（I I）设六月份一天销售这种饮料的利润为y（单位：元），当六月份这种饮料一天的进货 量 （单位：瓶）为多少时，丫 的数学期望达到最大值？第5页 共1 5页回归方程、等可能事件、一五百承神面豆事柞,通 生 商事许-一祺承作二条 件 概 率、芬布列概率统计解答题2023年广东省高考数学总复习专题23：概率与统计解答题答案解析-导 图 助 思 快 速 切 入-思维流
10、程 概率与统计问题重在“辨”辨 析、辨型T分 析i cU关 系 1-zL(古典概型卜匚 便 几 何 概 型)-典 例 分 析 规 范 答 题-(2 0 1 9全 国I )为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约 定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则 甲 药 得1分，乙药得一1分；
11、若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得一1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和夕，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p,(z=0,l,.8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的 概 率,则p o=O,P8=l，Pi=apt-1+bpi+cpi+1(z 1,2,.,7),其中 a=P(X=-l),6=P(X=0),c=P(X=l).假设 a=0.5,4=0.8.(i )证 明：0+i p i (i=O,l,2,，7)为等比数列；(i i )求P4,并 根 据P4
12、的值解释这种试验方案的合理性.审题路线图(1)确 定x的取值情况t 求概率一写分布列 确 定 系 数a,b,c构造并证明等比数列已知外,求p 4一说明试验方案的合理性规 范 解 密 分 步 得 分构 建 答题 模 板第6页 共1 5页(1)解X 的所有可能取值为-1,0,1.P(X=T)=(l_ a),P(X=0)=磔+(1 a)(l-),P(X=l)=a(l一份.3 分所以X 的分布列为第一步X-1 0 1定元：确定p(1一 郎 磔+(1团(1 一份 1(1 一”)随机变量的意义和取.4 分值.(2)(i)证明 由(1)得 a=0.4,。=0.5,c=0.1.5 分因此 pi=0Api-1+
13、0.5/?/+0.pi+1,故 0.1(/V Hp=0.4(pLpi),即 ppi=4(“一P-i).6 分又因为p ipo=pi，O,所以pi+ip/(i=0,l,2,，7)为公比为4,首项为pi的等比数列.7 分(ii)解 由(i)可得P8=P8-p7+p7-p6+pi-po+po=(P8 P7)+(P1 一 夕 6)+3 -po)48-l一 p.3第二步定性：确定概率模型并计算随机变量取每一个值的概率.第三步列表：写出随机变量的分布列.3由于 8一1,故 Pl-4 8 .1 分第四步求 解:利用所以 P4=04P3)+S32)+。20)+3 P O)44-13 p随机变量的分布列，等比数
14、列累加=一.11分257法并结合题目条件求P4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为P4=解.=0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.12257分评分细则 第(1)问：三个概率写正确给3 分；分布列写正确再给1分.第(2)问：(i)a,b,c 三个值正确给1分；写出推导公式给1分，判断首项给1分.(ii)利用等比数列累加列方程给3 分；求出小，写出结论给1分.第7页 共1 5页-高考真题把握规律-1.(2 0 1 9 新课标H)1 1 分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某
15、局打成1 0：1 0 平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方1 0：1 0 平后，甲先发球，两人又打了 X个球该局比赛结束.(1)求 P(X=2)；(2)求事件 X=4 且甲获胜”的概率.【解答】解：(1)设双方1 0：1 0 平后的第k个球甲获胜为事件4(k=l,2,3,.),则 P(X=2)=P(A1A2)+P(&)=P(A i)P(A2)+P(4)P(4)=0.5 x 0.4+0.5 x 0.6=0.5.(2)P(X=4 且甲获胜)=P(&A 2A
16、3 4)+P(4&月3 4)=P(公)P a 2)P(G)P(4)+P(A i)P(&)p(A3)p(4)=(0.5 x 0.4+0.5 x 0.6)x 0.5 x 0.4=0.1.22.(2 0 1 9 天津)设 甲、乙两位同学上学期间，每天7：3 0 之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(I )用 X表示甲同学上学期间的三天中7：3 0 之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(I I)设 M 为事件 上学期间的三天中，甲同学在7：3 0 之前到校的天数比乙同学在7：3 0 之前到校的天数恰好多2 ,求事件M发生的概率.【解答】解：
17、(/)甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且 每 天 7：3 0 之前到校的概2率 均 为 3.2故 XB(3,3),从而=4 白尸-所以，随机变量X的分布列为:第8页 共1 5页X 0 1 2 3P2X _ 随机变量X 的期望E（X）=3,3 2.2（/）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为匕 则丫8（3,3）,且 M =X=3,Y=1UX=2,丫=0,由题意知X=3,丫=1与 夕=2,丫=0互斥，且X=3与 丫=1 ,X=2与=0相互独立，由（/）知，P（M）=P（X=3,r=lUX=2,Y=0=P（X=3,Y=1+PX=2,K=0=p（x=3）p（y=i）+p（x=2）p（r=o
18、）-模拟演练命中靶心-1.2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了 10月 1 日7：00-23：0 0 这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7：0011：00,11：00 15：00,15：0019：00,19：0023：00,依次记作 7,11）,1 1,15）,15,19）,19,23 .（1）求该天顾客购买商品时刻的中位数t与平均值*（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图可以近似认为国庆节假期期间该商场顾客购买商品时刻服从正态分布N（u
19、，62）,其中u 近似为“，6=3.6,估计2019年国庆节假期期间（10月 1 日-10月 7 日）该商场顾客在12：12-19：24之间购买商品的总人次（结果保留整数）；（3）为活跃节日气氛，该商场根据题中的4 个时间段分组，采用分层抽样的方法从这5000个样本中随机抽取10个 样 本（假设这10个样本为10个不同顾客）作为幸运客户，再从这10个幸运客户中随机抽取4 人每人奖励500元购物券，其他幸运客户每人奖励200元购物券，记获得500元购物券的4 人中在15：00-19：00之间购买商品的人数为X,求 X 的分布列与数学期望；参考数据：若 T N（n，o2）,则户（H-oTn+o）=
20、0.6827；第9页 共1 5页P(H -2 o T n+2 o)=0.9 5 4 5；P (p -3 o T n+3 o)=0.9 9 7 3.A频率/组距【解答】解：(1)根据题意，中 位 数 好(1 5,1 9),由 4 x (0.02 5+0.07 5)+(t-1 5)x 0.1 00=0.5,得 t=1 6,x=z、4 (9 x 0.02 5+1 3 x 0.07 5+1 7 x 0.1 00+2 1 x 0.05 0)=1 5.8；(2)由题意可得，商场顾客购买商品时刻服从正态分布N (1 5.8,3.6 2),口 -6 =1 2.2,+6 =1 9.4,所以2 01 9 年国庆节
21、假期期间，商场顾客在1 2：1 2 -1 9：2 4 之间购买商品的概率为P(1 2.2 7 ko)0.150.100.050.025ko2.0722.7063.8415.024M/a2JOOIM【解答】解：(1)由如图所示的频率分布直方图可得0众0.6的概率pi=(0.25+0.50+0.75)x 0.2=O 3,所 以100户家庭的“绝对贫困户”由100困.3=3 0,由(1)的表可得 受教育水平不好”的由30-2=28,由题意可得 相对贫困户 由100-30=7 0,由表可得“受教育水平良好的 有70-52=18,所 以 表 的 值 为 下 表：第1 1页 共1 5页_ 100(2x52
22、-18*28)2 _因为卜2 20 x80 x70 x30 4,7623,841,受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户22830相对贫困户185270总计2080100所以有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关;(2)由题意可得100户家庭中由“亟待帮住户”有100 x0.25x0.2=5户,0,0.4)的贫困户有:100 x(0.25+0.5)x0.2=15,由题意可得随机变量X的可能取值为：0,1,2,所以X的分布列为:_ Q产 _ 3 _ _ 10p(x=0)p(x=l)21,p(x=2)X012P371021291,1 0+2_=2所以数学期望E X=O 7!-23.
23、近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x(单位：十箱)与成本y(单位：千元)的关系如下：X13467y56.577.58y与X可 用 回 归 方 程)=十 (其 中,“为常数)进行模拟.(I)若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元.(利润=售价-成本)(II)据统计，1 0月份的连续1 6天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的第 1 2 页 共 1 5 页频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.一个运输户拟购置
24、n 辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.试 比 较 =3 和 =4 时此项业务每天的利润平均值的大小.参考数据与公式：设 1=乂，则线 性 回 归 直 线 y=b 3+0 中,纥率/组距40 80 120 160 200 箝数【解答】解：（I）根据题意,立（t）2 一强Q=V 一抗=所以 6.8-3.4x0.54=4.964,V=所以 3.4H4.964.y=又 t=lgx,所以 3.4/gx+4.964.V=_所以 x=
25、10 时，3.4+4.964=8.364（千元），即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润15000-8364=6636.（I I）根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该新奇水果的箱数的概率分布表为：第1 3页 共1 5页箱数40,80)80,120)120,160)160,200P18141218设该运输户购3 辆车和购4 辆车时每天的利润分别为冷，则 看的可能取值为1500,800,1 0 0,其分布列为:丫 2元.Y11500800100P581418=Jx 1500+1x800+i-X 100=故 E(Y i)u 4 0 1150.丫 2的可能取值为20
26、00,1300,600,-1 0 0,其分布列为：Y220001300600-100P18121418=ix 2000+1x 1300 4-ix6004-J x（-100）=故 E（Y2）8 2 4 8 1037.5.故$（/_2）,即购置3 辆小货车的利润平均值大于购置4 辆小货车的利润平均值.4.郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶6 元，售价每瓶8元，未售出的饮料降价处理，以每瓶3 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：。C）有关.如果最高气温不低于2 5,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 20,25）,需求量为300瓶；
27、如果最高气温低于2 0,需求量为 200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（I）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（H）设六月份一天销售这种饮料的利润为丫（单位：元），当六月份这种饮料一天的进货量。（单位：瓶）为多少时，丫 的数学期望达到最大值？第 1 4 页 共 1 5 页【解答】解：（I ）易知需求量X可取2 0 0,30 0,50 0,_2+1 6 _1P(X=
28、2 0 0)3 0 x3 5；_ 36 _ 2P(X=30 0)3 0 x3 5；_ 254-7+4 _ 2P(X=50 0)则分布列为：(H)当 n C O O 时，Y=n(8 -6)=2 n,此时 Y m a x=4 0 0,当 =2 0 0 时.取得.X2 0 030 050 0P=耳4,2n n+,?1 当 2 0 0 V n 30 0 时，Y 3 2 0 0 x 2+(n -2 0 0 )(-8 1000-3n 5n+10003)2 1 J n+2 0 0,此时 方以=50 0,当 n=3 0 0 时取到,当30 0 V於50 0 时，V+Y 2 0 0 x 2+(n -2 0 0 )(-3),30 0 x 2+(n -30 0 )(-,2 、4000-5n+7 1 2=-?-=3）J 8 0 0 -n,此 时 y 50 0 时，易知V 一定小于的情况.综上所述，当“=30 0 时，丫 取到最大值为50 0.第1 5页 共1 5页