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1、120172017 四川考研数学三真题及答案四川考研数学三真题及答案一、选择题18 小题每小题 4 分，共 32 分1若函数1 cos,0(),0 xxf xaxbx在0 x 处连续，则（A）12ab（B）12ab （C）0ab（D）2ab【详解】00011 cos12lim()limlim2xxxxxf xaxaxa，0lim()(0)xf xbf，要使函数在0 x 处连续，必须满足1122baba所以应该选（A）2二元函数(3)zxyxy的极值点是（）（A）(0,0)（B）0 3(,)（C）3 0(,)（D）11(,)【详解】2(3)32zyxyxyyxyyx，232zxxxyy，2222
2、222,2,32zzzzyxxxyx yy x 解方程组22320320zyxyyxzxxxyy，得四个驻点对每个驻点验证2ACB，发现只有在点11(,)处满足230ACB，且20AC ，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D）3设函数()f x是可导函数，且满足()()0f x fx，则（A）(1)(1)ff（B）11()()ff（C）11()()ff（D）11()()ff【详解】设2()()g xf x，则()2()()0g xf x fx，也就是2()f x是单调增加函数 也就得到22(1)(1)(1)(1)ffff，所以应该选（C）4 若级数211sinln(1)nknn收敛，
3、则k（）2（A）1（B）2（C）1（D）2【详解】ivn 时222211111 11111sinln(1)(1)22kkkokonnnnnnnnn显然当且仅当(1)0k，也就是1k 时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C）5设为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（A）TE不可逆（B）TE不可逆（C）2TE不可逆（D）2TE不可逆【详解】矩阵T的特征值为1和1n个0，从而,2,2TTTTEEEE的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,1；1,1,1,1；3,1,1,1显然只有TE存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）6已知矩阵200021001A，210020001B，
4、100020002C，则（A）,A C相似，,B C相似（B）,A C相似，,B C不相似（C）,A C不相似，,B C相似（D）,A C不相似，,B C不相似【详解】矩阵,A B的特征值都是1232,1是否可对解化，只需要关心2的情况对于矩阵A，0002001001EA，秩等于 1，也就是矩阵A属于特征值2存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是AC对于矩阵B，0102000001EB，秩等于 2，也就是矩阵A属于特征值2只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C不相似故选择（B）7设,A B，C是三个随机事件，且,A C相互独立，,B C相互独立，则AB与C相
5、互独立的充分必要条件是（）（A）,A B相互独立（B）,A B互不相容3（C）,AB C相互独立（D）,AB C互不相容【详解】()()()()()()()()()()P AB CP ACABP ACP BCP ABCP A P CP B P CP ABC()()()()()()()()()()()()P AB P CP AP BP AB P CP A P CP B P CP AB P C显然，AB与C相互独立的充分必要条件是()()()P ABCP AB P C，所以选择（C）8设12,(2)nXXXn 为来自正态总体(,1)N的简单随机样本，若11niiXXn，则下列结论中不正确的是（）（
6、A）21()niiX服从2分布（B）212nXX服从2分布（C）21()niiXX服从2分布（D）2()n X服从2分布解：（1）显然22()(0,1)()(1),1,2,iiXNXin且相互独立，所以21()niiX服从2()n分布，也就是（A）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)(1)niinSXXnSn，所以（C）结论也是正确的；（3）注意221(,)()(0,1)()(1)XNn XNn Xn，所以（D）结论也是正确的；（4）对于选项（B）：221111()(0,2)(0,1)()(1)22nnnXXXXNNXX，所以（B）结论是错误的，应该选择（B）二、填空题（本题共 6
7、 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9322(sin)xxdx解：由对称性知3322220(sin)22xxdxx dx10差分方程122tttyy的通解为【详解】齐次差分方程120ttyy的通解为2xyC；4设122tttyy的特解为2ttyat，代入方程，得12a；所以差分方程122tttyy的通解为122.2ttyCt11设生产某产品的平均成本()1QC Qe，其中产量为Q，则边际成本为.【详解】答案为1(1)QQ e平均成本()1QC Qe，则总成本为()()QC QQC QQQe，从而边际成本为()1(1).QC QQ e 12设函数(,)f x y具有一阶
8、连续的偏导数，且已知(,)(1)yydf x yye dxxy e dy，(0,0)0f，则(,)f x y【详 解】(,)(1)()yyydf x yye dxxy e dyd xye，所 以(,)yf x yxyeC，由(0,0)0f，得0C，所以(,)yf x yxye13 设矩阵101112011A，123,为线性无关的三维列向量，则向量组123,AAA的秩为【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A，知矩阵 A 的秩为 2，由于123,为线性无关，所以向量组123,AAA的秩为 214设随机变量X的概率分布为122P X ，1P Xa，3P X
9、b，若0EX，则DX【详解】显然由概率分布的性质，知112ab12133102EXabab ，解得11,44ab29292EXab，229()2DXEXEX三、解答题15（本题满分 10 分）5求极限030limxtxxte dtx【详解】令xtu，则,txu dtdu，00 xxtx uxte dtuedu00033300002limlimlimlim332xxxtxuuxxxxxxte dteue duue duxexxxx16（本题满分 10 分）计算积分3242(1)Dydxdyxy，其中D是第一象限中以曲线yx与x轴为边界的无界区域【详解】33242242002424200220(1
10、)(1)1(1)4(1)11121411282xDxyydxdydxdyxyxydxydxxydxxx17（本题满分 10 分）求21limln 1nnkkknn【详解】由定积分的定义120111201limln 1limln 1ln(1)11ln(1)24nnnnkkkkkkxx dxnnnnnx dx18（本题满分 10 分）已知方程11ln(1)kxx在区间(0,1)内有实根，确定常数k的取值范围【详解】设11(),(0,1)ln(1)f xxxx，则22222211(1)ln(1)()(1)ln(1)(1)ln(1)xxxfxxxxxxx 令22()(1)ln(1)g xxxx，则2(
11、0)0,(1)2ln 2 1gg62()ln(1)2ln(1)2,(0)0g xxxx g2(ln(1)()0,(0,1)1xxgxxx，所以()g x在(0,1)上单调减少，由于(0)0g，所以当(0,1)x时，()0)0g xg，也就是()g x()g x在(0,1)上单调减少，当(0,1)x时，()(0)0g xg，进一步得到当(0,1)x时，()0fx，也就是()f x在(0,1)上单调减少00011ln(1)1lim()limlimln(1)ln(1)2xxxxxf xxxxx，1(1)1ln2f，也就是得到111ln22k 19（本题满分 10 分）设011111,0,()(1,2
12、,3),1nnnaaanaann，()S x为幂级数0nnna x的和函数（1）证明0nnna x的收敛半径不小于1（2）证明(1)()()0(1,1)x S xxS xx，并求出和函数的表达式【详解】（1）由条件11111()(1)1nnnnnnanaananaan也就得到11(1)()()nnnnnaaaa，也就得到111,1,2,1nnnnaanaan 1112110112101(1)(1)!nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaan 也就得到111(1),1,2,(1)!nnnaann 111121121()()()(1)!nknnnnnkaaaaaaaak111liml
13、imlim12!3!nnnnnnnaen，所以收敛半径1R（2）所以对于幂级数0nnna x，由和函数的性质，可得11()nnnS xna x，所以71111110111111100(1)()(1)(1)(1)()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnx S xxna xna xna xnaxna xananaxaxa xxa xxS x也就是有(1)()()0(1,1)x S xxS xx 解微分方程(1)()()0 x S xxS x，得()1xCeS xx，由于0(0)1Sa，得1C 所以()1xeS xx20（本题满分 11 分）设三阶矩阵123,A 有三个不同的特征
14、值，且3122.（1）证明：()2r A；（2）若123,，求方程组Ax的通解【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是()1r A 假若()1r A 时，则0r 是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A，又因为31220，也就是123,线性相关，()3r A，也就只有()2r A（2）因为()2r A，所以0Ax 的基础解系中只有一个线性无关的解向量由于31220，所以基础解系为121x；又由123,，得非齐次方程组Ax的特解可取为111 ；方程组Ax的通解为112111xk ，其中k为任意常数821（本题满分 11 分）设二次型2221231231
15、21323(,)2282f x x xxxaxx xx xx x在正交变换xQy下的标准形为221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q【详解】二次型矩阵21411141Aa因为二次型的标准形为221122yy也就说明矩阵A有零特征值，所以0A，故2.a 114111(3)(6)412EA 令0EA得矩阵的特征值为1233,6,0 通过分别解方程组()0iEA x得矩阵的属于特征值13 的特征向量111131，属于特征值特征值26的特征向量211021，30的特征向量311261 ，所以12311132612,036111326Q 为所求正交矩阵22（本题满分 11 分）设随机变量,X Y相互独
16、立，且X的概率分布为1022P XP X，Y的概率密度为2,01()0,yyf y其他（1）求概率P YEY（）；（2）求ZXY的概率密度【详解】（1）1202()2.3YEYyfy dyy dy9所以230242.39P YEYP Yydy（2）ZXY的分布函数为(),0,20,2,2112221()(2)2ZYYFzP ZzP XYzP XYz XP XYz XP XYzP XYzP YzP YzFzFz故ZXY的概率密度为1()()()(2)2,012,230,ZZfzFzf zf zzzzz其他23（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n次测量，
17、该物体的质量是已知的，设n次测量结果12,nXXX相互独立且均服从正态分布2(,).N 该工程师记录的是n次测量的绝对误差,(1,2,)iiZXin，利用12,nZ ZZ估计参数（1）求iZ的概率密度；（2）利用一阶矩求的矩估计量；（3）求参数最大似然估计量【详解】（1）先求iZ的分布函数为()iZiiXzFzP ZzP XzP当0z 时，显然()0ZFz；当0z 时，()21iZiiXzzFzP ZzP XzP；所以iZ的概率密度为2222,0()()20,0zZZezfzFzz10（2）数学期望2220022()22ziEZzf z dzzedz，令11niiEZZZn，解得的矩估计量12222niiZZn（3）设12,nZ ZZ的观测值为12,nz zz当0,1,2,izin时似然函数为2211212()(,)(2)niinnziniLf ze，取对数得：2211ln()ln2ln(2)ln22niinLnnz令231ln()10niidLnzd，得参数最大似然估计量为211niizn