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1、2 0 1 2 四 川 考 研 数 学 三 真 题 及 答 案一、选 择 题（1 8 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分。下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个 选项 是 符 合 题 目 要 求 的。）(1)曲 线=2+2 1渐 近 线 的 条 数 为(A)0(B)1(C)2(D)3【答 案】C。【解 析】由+=+2+2 1=1=2+2 1,得=1 是 曲 线 的 一 条 水 平 渐 近 线 且 曲 线 没 有 斜 渐 近 线；由 1=12+2 1=得=1 是 曲 线 的 一 条 垂 直 渐 近 线；由 1=12+2 1=12得=1 不 是 曲 线 的 渐 近
2、线；综 上 所 述，本 题 正 确 答 案 是 C【考 点】高 等 数 学 一 元 函 数 微 分 学 函 数 图 形 的 凹 凸、拐 点 及 渐 近 线(2)设 函 数=(1)(2 2)(),其 中 为 正 整 数，则 0=(A)1 1 1!(B)1 1!(C)1 1!(D)1!【答 案】A【解 析】【方 法 1】令 g=(2 2)(),则=(1)g()=g+(1)g 0=g 0=1 2(1)=1 1 1!故 应 选 A.【方 法 2】由 于 0=0,由 导 数 定 义 知0=0()=0(1)(2 2)()=0(1)0(2 2)()=1 2 1=1 1 1!.【方 法 3】排 除 法，令=2
3、,则=(1)(2 2)=2 2+2 2(1)0=1 2=1则(B)(C)(D)均 不 正 确综 上 所 述，本 题 正 确 答 案 是(A)【考 点】高 等 数 学 一 元 函 数 微 分 学 导 数 和 微 分 的 概 念(3)设 函 数()连 续，则 二 次 积 分02 2 2(2)=(A)02 2 24 22+2(2+2)(B)02 2 24 2(2+2)(C)02 1+1 24 22+2(2+2)(D)02 1+1 24 2(2+2)【答 案】B。【解 析】令=,=,则=2 所 对 应 的 直 角 坐 标 方 程 为 2+2=4,=2 所对 应 的 直 角 坐 标 方 程 为(1)2+
4、2=1。由02 2 2(2)的 积 分 区 域2 2,0 2得 在 直 角 坐 标 下 的 表 示 为2 2 4 2,0 2所 以02 2 2(2)=02 2 24 2(2+2)综 上 所 述，本 题 正 确 答 案 是(B)。【考 点】高 等 数 学 多 元 函 数 微 积 分 学 二 重 积 分 的 概 念、基 本 性 质 和 计 算(4)已 知 级 数=1(1)1 绝 对 收 敛，级 数=1(1)2 条 件 收 敛，则(A)0 12(B)12 1(C)1 32(D)32 1,即 32由 级 数=1(1)2 条 件 收 敛，知 2综 上 所 述，本 题 正 确 答 案 是(D)【考 点】高
5、 等 数 学 无 穷 级 数 数 项 级 数 敛 散 性 的 判 定(5)设 1=001,2=012,3=1 13,4=114,其 中 1,2,3,4为 任 意 常 数，则 下 列 向 量组 线 性 相 关 的 为(A)1,2,3(B)1,2,4(C)1,3,4(D)2,3,4【答 案】C。【解 析】个 维 向 量 相 关 1,2,=0显 然 1,3,4=0 1 10 1 1134=0所 以 1,3,4必 线 性 相 关综 上 所 述，本 题 正 确 答 案 是(C)。【考 点】线 性 代 数 向 量 向 量 组 的 线 性 相 关 和 线 性 无 关(6)设 为 3 阶 矩 阵，为 3 阶
6、可 逆 矩 阵，且=1 0 00 1 00 0 2.若=,=(+,),则=(A)1 0 00 2 00 0 1(B)1 0 00 1 00 0 2(C)2 0 00 1 00 0 2(D)2 0 00 2 00 0 1【答 案】B。【解 析】由 于 经 列 变 换(把 第 2 列 加 至 第 1 列)为，有=1 0 01 1 00 0 1=2 1(1)那 么 1=()()=()()=1 0 0 1 1 00 0 11 0 00 1 00 0 21 0 01 1 00 0 1=1 0 00 1 00 0 2综 上 所 述，本 题 正 确 答 案 是(B)。【考 点】线 性 代 数 矩 阵 矩 阵
7、 运 算、初 等 变 换(7)设 随 机 变 量,相 互 独 立，且 都 服 从 区 间(0,1)上 的 均 匀 分 布，则+2 1=(A)14(B)12(C)8(D)4【答 案】D。【解 析】2+2 1=2+2 1(,)而,=1,0 1,0 1,0,其 他即,是 在 正 方 形 0 1,0 0)的 简 单 随 机 样 本，则 统 计 量1 23+4 2的 分 布 为(A)0,1(B)(1)(C)2(1)(D)(1,1)【答 案】B。【解 析】1，1 2 0,2 2，故1 22 0,1；2，3+4 2 0,2 2，故3+4 22 0,1，(3+4 22)2 2(1),(3+4 22)2/1=3
8、+4 22 3，1 2与 3+4 2 相 互 独 立。1 22 与(3+4 22)2也 相 互 独 立，所 以1 22 3+4 22=1 23+4 2(1)综 上 所 述，本 题 正 确 答 案 是 B。【考 点】概 率 论 与 数 理 统 计 数 理 统 计 的 概 念二、填 空 题（9 1 4 小 题，每 小 题 4 分，共 2 4 分。）(9)4()1=。【答 案】2。【解 析】这 是 一 个 1 型 极 限，由 于()1=1+(1)1 4 1=4 1(1)=4 1=2所 以 4()1=2【考 点】高 等 数 学 函 数、极 限、连 续 两 个 重 要 极 限(1 0)设 函 数=,12
9、 1,1,=,则=。【答 案】1【解 析】=可 看 做=,与=的 复 合，当=时=12=12由 复 合 函 数 求 导 法 则 知=12=2 12=1【考 点】高 等 数 学 一 元 函 数 微 分 学 导 数 和 微 分 的 概 念(1 1)设 连 续 函 数=(,)满 足 l i m 0 1,2+22+(1)2=0,则(0,1)=。【答 案】2【解 析】由 l i m 0 1,2+22+(1)2=0，且=(,)连 续，可 得 0,1=1,且,0,1=2 1+(2+(1)2),(0 1)由 可 微 的 定 义 得 0,1=2,0,1=1,即(0,1)=0,1+0,1=2【考 点】高 等 数
10、学 多 元 函 数 的 微 分 学 多 元 函 数 偏 导 数 的 概 念 与 计 算(1 2)由 曲 线=4和 直 线=及=4 在 第 一 象 限 中 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 为。【答 案】4 2【解 析】曲 线=4和 直 线=及=4 在 第 一 象 限 中 围 成 的 平 面 域 如 下 图，则 所 围 面 积 为=014+12(4)=4 2【考 点】高 等 数 学 一 元 函 数 积 分 学 定 积 分 的 应 用(1 3)设 为 3 阶 矩 阵，=3，为 的 伴 随 矩 阵。若 交 换 的 第 1 行 与 第 2 行 得 到 矩 阵，则=。【答 案】-2 7【解 析】【
11、方 法 1】y两 行 互 换 两 列 互 换 变 成，所 以=,再 由 行 列 式 乘 法 公 式 及=1，则=|=2=2 7【方 法 2】根 据 题 意0 1 01 0 00 0 1=，即=1 2那 么=1 2=1 2=3 1 2从 而=3 1 2=331 2=2 7【考 点】线 性 代 数 行 列 式 行 列 式 的 概 念 和 基 本 性 质线 性 代 数 矩 阵 伴 随 矩 阵，矩 阵 的 初 等 变 换(1 4)设,是 随 机 事 件，,互 不 相 容，=12,=13,则=。【答 案】34【解 析】,互 不 相 容，自 然 有,当 然 更 有，所 以=()()=()1()=1223=
12、34【考 点】概 率 论 与 数 理 统 计 随 机 事 件 和 概 率 事 件 的 关 系 与 运 算，概 率 的 基 本 公 式，事 件 的 独 立 性三、解 答 题：1 5 2 3 小 题，共 9 4 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。(1 5)求 极 限 l i m 02 2 2 c o s 4【解 析】【方 法 1】l i m 02 2 2 c o s 4=l i m 02 2 c o s l i m 02 2+2 c o s 14=l i m 02 2+2 c o s 4(等 价 无 穷 小 代 换)=l i m 02 2 s i n 4
13、3(洛 必 达 法 则)=12l i m 01 c o s 3 2=16l i m 01222=11 2【方 法 2】l i m 02 2 2 c o s 4=l i m 02 2 c o s l i m 02 2+2 c o s 14=l i m 02 2+2 c o s 4(等 价 无 穷 小 代 换)=l i m 02 2+2(1 22!+44!+(4)4(泰 勒 公 式)=l i m 011 24+(4)4=11 2【方 法 3】l i m 02 2 2 c o s 4=l i m 0(2 2+2 c o s)4(拉 格 朗 日 中 值 定 理)=l i m 02 2+2 c o s
14、4=l i m 02 2 s i n 4 3(洛 必 达 法 则)=12l i m 01633(163)=11 2【考 点】高 等 数 学 函 数、极 限、连 续 无 穷 小 量 的 性 质 及 无 穷 小 量 的 比 较，极 限 的 四则 运 算高 等 数 学 一 元 函 数 微 分 学 微 分 中 值 定 理，洛 必 达(L H o s p i t a l)法 则(1 6)计 算 二 重 积 分,其 中 是 以 曲 线=,=1及 轴 为 边 界 的 无 界 区 域。【解 析】=01 1=1201(1 2)=12(1 2)01+01=12+0101=12【考 点】高 等 数 学 一 元 函
15、数 积 分 学 不 定 积 分 和 定 积 分 的 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法高 等 数 学 多 元 函 数 微 积 分 学 二 重 积 分 的 概 念、基 本 性 质 和 计 算(1 7)某 企 业 为 生 产 甲、乙 两 种 型 号 的 产 品 投 入 的 固 定 成 本 为 1 0 0 0 0（万 元）。设 该 企 业 生 产甲、乙 两 种 产 品 的 产 量 分 别 是(件)和（件），且 这 两 种 产 品 的 边 际 成 本 分 别 为 2 0+2(万元/件)与 6+(万 元/件).(I)求 生 产 甲、乙 两 种 产 品 的 总 成 本 函 数(,)(万 元)；(I
16、 I)当 总 产 量 为 5 0 件 时，甲、乙 两 种 产 品 的 产 量 各 为 多 少 时 可 使 总 成 本 最 小？求 最 小成 本；(I I I)求 总 产 量 为 5 0 件 且 总 成 本 最 小 时 甲 产 品 的 边 际 成 本，并 解 释 经 济 意 义。【解 析】(I)总 成 本 函 数,=1 0 0 0 0+2 0+24+6+22（万 元）(I I)由 题 意 知，求,在+=5 0 时 的 最 小 值，构 造 拉 格 朗 日 函 数,=,+5 0=1 0 0 0 0+2 0+24+6+22+5 0解 方 程 组=2 0+2+=0,=6+=0,+5 0=0.得=2 4,
17、=2 6.因 可 能 极 值 点 唯 一，且 实 际 问 题 存 在 最 小 值，故 总 产 量 为 5 0 件 时，甲 乙 两 种 产 品 的 产量 分 别 是 2 4,2 6 时 可 使 总 成 本 最 小，且 此 时 投 入 总 费 用,=1 0 0 0 0+2 0 2 4+2 424+6 2 6+2 622=1 1 1 1 8(万 元)(I I I)甲 产 品 的 边 际 成 本 函 数：,=2 0+2,于 是，当 总 产 量 为 5 0 件 且 总 成 本 最 小时 甲 产 品 的 边 际 成 本,=2 0+2 42=3 2其 经 济 意 义 为：当 甲 乙 两 种 产 品 的 产
18、量 分 别 是 2 4,2 6 时，若 甲 的 产 量 每 增 加 一 件，则 总成 本 增 加 3 2 万 元。(1 8)证 明：1+1+c o s 1+22,(1 1)【解 析】【方 法 1】记=1+1+c o s 1 22,则=1+1+2 1 2,()=41 2+4 21 2 2 1 c o s 当 1 0,从 而()单 调 增 加。又 因 为 0=0，所 以，当 1 0 时，0;当 0 0，于是 0=0 是 函 数 在(1,1)内 的 最 小 值。从 而 当 1 1 时，0=0即 1+1+c o s 1+22,(1 1)【方 法 2】记=1+1+c o s 1 22,(1 02 1 2
19、 2=+s i n 从 而 有 0，(1,1)有 0=0则 当 1 1 时，0=0即 1+1+c o s 1+22,(1 1)【考 点】高 等 数 学 一 元 函 数 微 分 学 导 数 和 微 分 的 概 念，导 数 和 微 分 的 四 则 运 算，函数 单 调 性 的 判 别，函 数 的 极 值(1 9)已 知 函 数 满 足 方 程+2=0 及+=2(I)求 的 表 达 式；(I I)求 曲 线=(2)0(2)的 拐 点。【解 析】(I)联 立+2=0,+=2,得 3=2,因 此=3 2 3+=+3 代 入+=2，得=0,所 以=(I I)=20 2=20 2=2 20 2+1=2+2(
20、1+2 2)20 2 当 0 时，0 时，0,又 0=0,所 以 曲 线 的 拐 点 为(0,0)【考 点】高 等 数 学 一 元 函 数 微 分 学 导 数 和 微 分 的 概 念，导 数 和 微 分 的 四 则 运 算，函数 单 调 性 的 判 别，函 数 图 形 的 凹 凸 性、拐 点 及 渐 近 线(2 0)设=1 0 00 1 00 0 1 0 0 1,=1 100.(I)计 算 行 列 式|；(I I)当 实 数 为 何 值 时，方 程 组=有 无 穷 多 解，并 求 其 通 解。【解 析】(I)按 第 一 列 展 开=1 1 00 1 0 0 1+14+1 0 01 00 1=1
21、 4,(I I)当=0 时，方 程 组=有 无 穷 多 解，由 上 可 知=1 或 1如 果=11 1 0 00 1 1 00 0 1 11 0 0 11 1001 1 0 00 1 1 00 0 1 10 1 0 11 10 11 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 1 11 10 21 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 01 10 2=3,=4,方 程 组 无 解，舍 去当=1 时，1 1 0 00 1 1 00 0 1 1 1 0 0 11 1001 1 0 00 1 1 00 0 1 10 1 0 11 1011 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0
22、1 11 1001 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 01 100=3=，方 程 组 有 无 穷 多 解，取 4为 自 由 变 量，得 方 程 组 通 解 为(0,1,0,0)T+(1,1,1,1)T,为 任 意 常 数【考 点】线 性 代 数 线 性 方 程 组 线 性 方 程 组 有 解 和 无 解 的 判 定，非 齐 次 线 性 方 程 组 的通 解(2 1)已 知=1 0 10 1 1 1 0 0 1,二 次 型 1,2,3=T(T)的 秩 为 2(I)求 实 数 的 值；(I I)求 正 交 变 换=将 化 为 标 准 形。【解 析】(I)因 为 T=(),对 做 初
23、 等 行 变 换=1 0 10 1 1 1 0 0 11 0 10 1 10 0+10 0,所 以，当=1 时，=2(I I)由 于=1，所 以 T=2 0 20 2 22 2 4，矩 阵 T 的 特 征 多 项 式 为 T=2 0 20 2 2 2 2 4=(2)(6)，于 是 T 的 特 征 值 为 1=2，2=6，3=0当 1=2 时，由 方 程 组 2 T=0,可 得 到 属 于 1=2 的 一 个 单 位 特 征 向 量12(1,1,0)T；当 2=6 时，由 方 程 组 6 T=0,可 得 到 属 于 2=6 的 一 个 单 位 特 征 向 量16(1,1,2)T；当 3=0 时，
24、由 方 程 组 0 T=0,可 得 到 属 于 3=0 的 一 个 单 位 特 征 向 量13(1,1,1)T。令=12161312161302613,则 在 正 交 变 换=下 的 标 准 形 为=2 12+6 23【考 点】线 性 代 数 矩 阵 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量 的 概 念、性 质线 性 代 数 二 次 型 二 次 型 的 标 准 形 和 规 范 形，用 正 交 变 换 和 配 方 法 化 二 次 型 为 标 准 形(2 2)设 二 维 离 散 型 随 机 变 量(,)的 概 率 分 布 为 0 1 20 140 141 0 1302 11 20 11 2(I)
25、求=2；(I I)求(,).【解 析】(I)=2=0,=0+=2,=1=14+0=14(I I)由(,)的 概 率 分 布 可 得=0=14+14=12；=1=0+13+0=13；=2=11 2+11 2=16；=0=14+11 2=13；=1=0+13+0=13；=2=14+11 2=13；=0=71 2；=1=13；=4=11 2所 以=0 12+1 13+2 16=23=130+1+2=1=13(0 1)2+13(1 1)2+13(2 1)2=23=13+13=23所 以,=232323=23【考 点】概 率 论 与 数 理 统 计 随 机 变 量 的 数 字 特 征 随 机 变 量 的
26、 数 学 期 望(均 值)、方 差、标 准 差 及 其 性 质(2 3)设 随 机 变 量,相 互 独 立，且 都 服 从 参 数 为 1 的 指 数 分 布，记=,=,.(I)求 的 概 率 密 度()；(I I)求(+).【解 析】(I)=,=1,=1,=1=1=1 2,0当 0 时，=0，=2 2，00，0(I I)+=+=+=1+1=2【考 点】概 率 论 与 数 理 统 计 随 机 变 量 及 其 分 布 常 见 随 机 变 量 的 分 布，连 续 型 随 机 变量 的 概 率 密 度，随 机 变 量 函 数 的 分 布概 率 论 与 数 理 统 计 随 机 变 量 的 数 字 特 征 随 机 变 量 的 数 学 期 望(均 值)、方 差、标 准 差及 其 性 质