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1、绝密 启用 前2 0 2 0 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试文 科 数 学注意 事项：1答 卷前，考生 务必 将自己 的姓名、准 考证号 填写 在答题 卡上.2回 答选 择题时，选 出每小 题答案 后，用铅笔 把答 题卡上 对应 题目的 答案标 号涂 黑.如需 改动，用橡 皮擦 干净后，再选 涂其 他答案 标号.回答 非选 择题时，将答 案写 在答题 卡上.写在 本试卷上 无效.3考 试结 束后，将本 试卷和 答题卡 一并 交回.一、选择 题：本 题共 12 小题，每 小题 5 分，共 60 分。在每 小题给 出的 四个选 项中，只有 一项是 符合 题目要 求的.1
2、.已 知 集 合2|3 4 0,4,1,3,5 A x x x B，则 A B（）A.4,1 B.1,5 C.3,5 D.1,3 2.若31 2 i i z，则|=z（）A.0 B.1C.2D.23.埃 及 胡 夫 金 字 塔 是 古 代 世 界 建 筑 奇 迹 之 一，它 的 形 状 可 视 为 一 个 正 四 棱 锥，以 该 四 棱 锥 的 高 为 边 长 的 正方 形 面 积 等 于 该 四 棱 锥 一 个 侧 面 三 角 形 的 面 积，则 其 侧 面 三 角 形 底 边 上 的 高 与 底 面 正 方 形 的 边 长 的 比 值 为（）A.5 14B.5 12C.5 14D.5 12
3、4.设 O 为 正 方 形 A B C D 的 中 心，在 O，A，B，C，D 中 任 取 3 点，则 取 到 的 3 点 共 线 的 概 率 为（）A.15B.25C.12D.455.某 校 一 个 课 外 学 习 小 组 为 研 究 某 作 物 种 子 的 发 芽 率 y 和 温 度 x（单 位：C）的 关 系，在 2 0 个 不 同 的 温 度条 件 下 进 行 种 子 发 芽 实 验，由 实 验 数 据(,)(1,2,2 0)i ix y i 得 到 下 面 的 散 点 图：由 此 散 点 图，在 1 0 C 至 4 0 C 之 间，下 面 四 个 回 归 方 程 类 型 中 最 适
4、宜 作 为 发 芽 率 y 和 温 度 x 的 回 归 方 程 类型 的 是（）A.y a b x B.2y a bx C.exy a b D.l n y a b x 6.已 知 圆2 26 0 x y x，过 点（1，2）的 直 线 被 该 圆 所 截 得 的 弦 的 长 度 的 最 小 值 为（）A.1 B.2C.3 D.47.设 函 数()c os()6f x x 在,的 图 像 大 致 如 下 图，则 f(x)的 最 小 正 周 期 为（）A.1 0 9B.7 6C.4 3D.3 28.设3l o g 4 2 a，则4a（）A.11 6B.19C.18D.169.执 行 下 面 的 程
5、 序 框 图，则 输 出 的 n=（）A.1 7 B.1 9 C.2 1 D.2 31 0.设 na 是 等 比 数 列，且1 2 31 a a a，2 3 4+2 a a a，则6 7 8a a a（）A.1 2 B.2 4 C.3 0 D.3 21 1.设1 2,F F 是 双 曲 线22:13yC x 的 两 个 焦 点，O 为 坐 标 原 点，点 P 在 C 上 且|2 O P，则1 2P F F 的面 积 为（）A.72B.3 C.52D.21 2.已 知,A B C 为 球 O 的 球 面 上 的 三 个 点，1O 为 A B C 的 外 接 圆，若 1O 的 面 积 为 4，1A
6、 B B C A C O O，则 球 O 的 表 面 积 为（）A.6 4 B.4 8 C.3 6 D.3 2 二、填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.1 3.若 x，y 满 足 约 束 条 件2 2 0,1 0,1 0,x yx yy 则 z=x+7 y 的 最 大 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 4.设 向 量(1,1),(1,2 4)a b m m，若a b r r，则m _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 5.曲 线 l n 1 y x x 的 一 条 切 线 的 斜 率 为 2，则 该 切 线 的
7、方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 6.数 列 na 满 足2(1)3 1nn na a n，前 1 6 项 和 为 5 4 0，则1a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.三、解答 题：共 70 分.解答 应写 出文字 说明、证明 过程或 演算 步骤.第 17 21 题为 必考 题，每个试 题考 生都必 须作 答.第 22、23 题为 选考 题，考 生根 据要求 作答.（一）必 考题：共 60 分.1 7.某 厂 接 受 了 一 项 加 工 业 务，加 工 出 来 的 产 品(单 位：件)按 标 准 分 为 A，B，C，D 四 个 等
8、级.加 工 业 务 约 定：对 于 A 级 品、B 级 品、C 级 品，厂 家 每 件 分 别 收 取 加 工 费 9 0 元，5 0 元，2 0 元；对 于 D 级 品，厂 家 每 件 要赔 偿 原 料 损 失 费 5 0 元.该 厂 有 甲、乙 两 个 分 厂 可 承 接 加 工 业 务.甲 分 厂 加 工 成 本 费 为 2 5 元/件，乙 分 厂 加 工成 本 费 为 2 0 元/件.厂 家 为 决 定 由 哪 个 分 厂 承 接 加 工 业 务，在 两 个 分 厂 各 试 加 工 了 1 0 0 件 这 种 产 品，并 统 计了 这 些 产 品 的 等 级，整 理 如 下：甲 分 厂
9、 产 品 等 级 的 频 数 分 布 表等 级 A B C D频 数 4 0 2 0 2 0 2 0乙 分 厂 产 品 等 级 的 频 数 分 布 表等 级 A B C D频 数 2 8 1 7 3 4 2 1（1）分 别 估 计 甲、乙 两 分 厂 加 工 出 来 的 一 件 产 品 为 A 级 品 的 概 率；（2）分 别 求 甲、乙 两 分 厂 加 工 出 来 的 1 0 0 件 产 品 的 平 均 利 润，以 平 均 利 润 为 依 据，厂 家 应 选 哪 个 分 厂 承 接加 工 业 务?1 8.A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c.已 知 B=1
10、5 0.（1）若 a=3c，b=27，求 A B C 的 面 积；（2）若 s i n A+3s i n C=22，求 C.1 9.如 图，D 为 圆 锥 的 顶 点，O 是 圆 锥 底 面 的 圆 心，A B C 是 底 面 的 内 接 正 三 角 形，P 为 D O 上 一 点，A P C=9 0（1）证 明：平 面 P A B 平 面 P A C；（2）设 D O=2，圆 锥 的 侧 面 积 为3，求 三 棱 锥 P A B C 的 体 积.2 0.已 知 函 数()(2)xf x e a x.（1）当 1 a 时，讨 论()f x的 单 调 性；（2）若()f x有 两 个 零 点，求
11、a的 取 值 范 围.2 1.已 知 A、B 分 别 为 椭 圆 E：2221xya（a 1）的 左、右 顶 点，G 为 E 的 上 顶 点，8 A G G B，P 为 直线 x=6 上 的 动 点，P A 与 E 的 另 一 交 点 为 C，P B 与 E 的 另 一 交 点 为 D（1）求 E 的 方 程；（2）证 明：直 线 C D 过 定 点.（二）选 考题：共 10 分。请考 生在第 22、23 题中 任选 一题作 答。如果多 做，则 按所 做的第一题 计分.选修 44：坐 标系 与参数 方程 2 2.在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线1C 的 参 数 方 程 为c o
12、s,s i nkkx ty t(t 为 参 数)以 坐 标 原 点 为 极 点，x轴 正 半 轴为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线2C 的 极 坐 标 方 程 为4 c os 16 s i n 3 0（1）当 1 k 时，1C 是 什 么 曲 线？（2）当 4 k 时，求1C 与2C 的 公 共 点 的 直 角 坐 标 选修 45：不 等式 选讲 2 3.已 知 函 数()|3 1|2|1|f x x x（1）画 出()y f x 的 图 像；（2）求 不 等 式()(1)f x f x 的 解 集 答 案解 析一、选择 题：本 题共 12 小题，每 小题 5 分，共 60 分。在每
13、小题给 出的 四个选 项中，只有 一项是 符合 题目要 求的.1.已 知 集 合2|3 4 0,4,1,3,5 A x x x B，则 A B（）A.4,1 B.1,5 C.3,5 D.1,3【答 案】D【解 析】【分 析】首 先 解 一 元 二 次 不 等 式 求 得 集 合 A，之 后 利 用 交 集 中 元 素 的 特 征 求 得 A B，得 到 结 果.【详 解】由23 4 0 x x 解 得 1 4 x，所 以|1 4 A x x，又 因 为 4,1,3,5 B，所 以 1,3 A B，故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 的 是 有 关 集 合 的 问 题，涉 及 到 的 知 识
14、点 有 利 用 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 求 集 合，集 合 的 交运 算，属 于 基 础 题 目.2.若31 2 i i z，则|=z（）A.0 B.1C.2D.2【答 案】C【解 析】【分 析】先 根 据21 i 将z化 简，再 根 据 向 量 的 模 的 计 算 公 式 即 可 求 出【详 解】因 为31+2 1+2 1 z i i i i i，所 以2 21 1 2 z 故 选：C【点 睛】本 题 主 要 考 查 向 量 的 模 的 计 算 公 式 的 应 用，属 于 容 易 题 3.埃 及 胡 夫 金 字 塔 是 古 代 世 界 建 筑 奇 迹 之 一，它 的 形 状
15、可 视 为 一 个 正 四 棱 锥，以 该 四 棱 锥 的 高 为 边 长 的 正方 形 面 积 等 于 该 四 棱 锥 一 个 侧 面 三 角 形 的 面 积，则 其 侧 面 三 角 形 底 边 上 的 高 与 底 面 正 方 形 的 边 长 的 比 值 为（）A.5 14B.5 12C.5 14D.5 12【答 案】C【解 析】【分 析】设,C D a P E b，利 用212P O C D P E 得 到 关 于,a b 的 方 程，解 方 程 即 可 得 到 答 案.【详 解】如 图，设,C D a P E b，则22 2 24aP O P E O E b，由 题 意212P O a
16、b，即2214 2ab a b，化 简 得24()2 1 0b ba a，解 得1 54ba（负 值 舍 去）.故 选：C.【点 晴】本 题 主 要 考 查 正 四 棱 锥 的 概 念 及 其 有 关 计 算，考 查 学 生 的 数 学 计 算 能 力，是 一 道 容 易 题.4.设 O 为 正 方 形 A B C D 的 中 心，在 O，A，B，C，D 中 任 取 3 点，则 取 到 的 3 点 共 线 的 概 率 为（）A.15B.25C.12D.45【答 案】A【解 析】【分 析】列 出 从 5 个 点 选 3 个 点 的 所 有 情 况，再 列 出 3 点 共 线 的 情 况，用 古
17、典 概 型 的 概 率 计 算 公 式 运 算 即 可.【详 解】如 图，从 O A B C D,5 个 点 中 任 取 3 个 有,O A B O A C O A D O B C,O B D O C D A B C A B D,A C D B C D 共 10 种 不 同 取 法，3 点 共 线 只 有,A O C 与,B O D 共 2 种 情 况，由 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式 知，取 到 3 点 共 线 的 概 率 为2 11 0 5.故 选：A【点 晴】本 题 主 要 考 查 古 典 概 型 的 概 率 计 算 问 题，采 用 列 举 法，考 查 学 生 数 学 运
18、算 能 力，是 一 道 容 易 题.5.某 校 一 个 课 外 学 习 小 组 为 研 究 某 作 物 种 子 的 发 芽 率 y 和 温 度 x（单 位：C）的 关 系，在 2 0 个 不 同 的 温 度条 件 下 进 行 种 子 发 芽 实 验，由 实 验 数 据(,)(1,2,2 0)i ix y i 得 到 下 面 的 散 点 图：由 此 散 点 图，在 1 0 C 至 4 0 C 之 间，下 面 四 个 回 归 方 程 类 型 中 最 适 宜 作 为 发 芽 率 y 和 温 度 x 的 回 归 方 程 类型 的 是（）A.y a b x B.2y a bx C.exy a b D.l
19、 n y a b x【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 散 点 图 的 分 布 可 选 择 合 适 的 函 数 模 型.【详 解】由 散 点 图 分 布 可 知，散 点 图 分 布 在 一 个 对 数 函 数 的 图 象 附 近，因 此，最 适 合 作 为 发 芽 率y和 温 度x的 回 归 方 程 类 型 的 是 l n y a b x.故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 函 数 模 型 的 选 择，主 要 观 察 散 点 图 的 分 布，属 于 基 础 题.6.已 知 圆2 26 0 x y x，过 点（1，2）的 直 线 被 该 圆 所 截 得 的 弦 的 长 度 的 最 小 值
20、为（）A.1 B.2C.3 D.4【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 直 线 和 圆 心 与 点(1,2)连 线 垂 直 时，所 求 的 弦 长 最 短，即 可 得 出 结 论.【详 解】圆2 26 0 x y x 化 为2 2(3)9 x y，所 以 圆 心 C 坐 标 为(3,0)C，半 径 为 3，设(1,2)P，当 过 点 P 的 直 线 和 直 线 C P 垂 直 时，圆 心 到 过 点 P 的 直 线 的 距 离 最 大，所 求 的 弦 长 最 短，根 据 弦 长 公 式 最 小 值 为22 9|2 9 8 2 C P.故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 圆 的 简 单 几
21、何 性 质，以 及 几 何 法 求 弦 长，属 于 基 础 题.7.设 函 数()c os()6f x x 在,的 图 像 大 致 如 下 图，则 f(x)的 最 小 正 周 期 为（）A.1 0 9B.7 6C.4 3D.3 2【答 案】C【解 析】【分 析】由 图 可 得：函 数 图 象 过 点4,09，即 可 得 到4c o s 09 6，结 合4,09 是 函 数 f x 图象 与x轴 负 半 轴 的 第 一 个 交 点 即 可 得 到49 6 2，即 可 求 得32，再 利 用 三 角 函 数 周 期 公 式即 可 得 解.【详 解】由 图 可 得：函 数 图 象 过 点4,09，将
22、 它 代 入 函 数 f x 可 得：4c o s 09 6 又4,09 是 函 数 f x 图 象 与x轴 负 半 轴 的 第 一 个 交 点，所 以49 6 2，解 得：32 所 以 函 数 f x 的 最 小 正 周 期 为2 2 4332T 故 选：C【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 三 角 函 数 的 性 质 及 转 化 能 力，还 考 查 了 三 角 函 数 周 期 公 式，属 于 中 档 题.8.设3l o g 4 2 a，则4a（）A.11 6B.19C.18D.16【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 已 知 等 式，利 用 指 数 对 数 运 算 性 质 即 可 得
23、解【详 解】由3l o g 4 2 a 可 得3l o g 4 2a，所 以4 9a，所 以 有149a，故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 的 是 有 关 指 对 式 的 运 算 的 问 题，涉 及 到 的 知 识 点 有 对 数 的 运 算 法 则，指 数 的 运 算 法 则，属 于 基 础 题 目.9.执 行 下 面 的 程 序 框 图，则 输 出 的 n=（）A.1 7 B.1 9 C.2 1 D.2 3【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 程 序 框 图 的 算 法 功 能 可 知，要 计 算 满 足 1 3 5 1 0 0 n 的 最 小 正 奇 数n，根 据 等 差 数 列
24、求 和 公式 即 可 求 出【详 解】依 据 程 序 框 图 的 算 法 功 能 可 知，输 出 的n是 满 足 1 3 5 1 0 0 n 的 最 小 正 奇 数，因 为 211 11 21 3 5 1 1002 4nnn n，解 得 1 9 n，所 以 输 出 的 21 n 故 选：C.【点 睛】本 题 主 要 考 查 程 序 框 图 的 算 法 功 能 的 理 解，以 及 等 差 数 列 前n项 和 公 式 的 应 用，属 于 基 础 题 1 0.设 na 是 等 比 数 列，且1 2 31 a a a，2 3 4+2 a a a，则6 7 8a a a（）A.1 2 B.2 4 C.3
25、 0 D.3 2【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 已 知 条 件 求 得q的 值，再 由 56 7 8 1 2 3a a a q a a a 可 求 得 结 果.【详 解】设 等 比 数 列 na 的 公 比 为q，则 21 2 3 11 1 a a a a q q，2 3 22 3 4 1 1 1 11 2 a a a a q a q a q a q q q q，因 此，5 6 7 5 2 56 7 8 1 1 1 11 3 2 a a a a q a q a q a q q q q.故 选：D.【点 睛】本 题 主 要 考 查 等 比 数 列 基 本 量 的 计 算，属 于 基 础
26、题 1 1.设1 2,F F 是 双 曲 线22:13yC x 的 两 个 焦 点，O 为 坐 标 原 点，点 P 在 C 上 且|2 O P，则1 2P F F 的面 积 为（）A.72B.3 C.52D.2【答 案】B【解 析】【分 析】由1 2F F P 是 以 P 为 直 角 直 角 三 角 形 得 到2 21 2|1 6 P F P F，再 利 用 双 曲 线 的 定 义 得 到1 2|2 P F P F，联 立 即 可 得 到1 2|P F P F，代 入1 2F F PS 1 21|2P F P F 中 计 算 即 可.【详 解】由 已 知，不 妨 设1 2(2,0),(2,0)
27、F F，则 1,2 a c，因 为1 21|1|2O P F F，所 以 点 P 在 以1 2F F 为 直 径 的 圆 上，即1 2F F P 是 以 P 为 直 角 顶 点 的 直 角 三 角 形，故2 2 21 2 1 2|P F P F F F，即2 21 2|1 6 P F P F，又1 2|2 2 P F P F a，所 以21 24|P F P F 2 21 2|2 P F P F 1 2|1 6 2 P F P F 1 2|P F P F，解 得1 2|6 P F P F，所 以1 2F F PS 1 21|32P F P F 故 选：B【点 晴】本 题 考 查 双 曲 线 中
28、 焦 点 三 角 面 积 的 计 算 问 题，涉 及 到 双 曲 线 的 定 义，考 查 学 生 的 数 学 运 算 能 力，是 一 道 中 档 题.1 2.已 知,A B C 为 球 O 的 球 面 上 的 三 个 点，1O 为 A B C 的 外 接 圆，若 1O 的 面 积 为 4，1A B B C A C O O，则 球 O 的 表 面 积 为（）A.6 4 B.4 8 C.3 6 D.3 2【答 案】A【解 析】【分 析】由 已 知 可 得 等 边 A B C 的 外 接 圆 半 径，进 而 求 出 其 边 长，得 出1O O 的 值，根 据 球 的 截 面 性 质，求 出 球 的半
29、 径，即 可 得 出 结 论.【详 解】设 圆1O 半 径 为 r，球 的 半 径 为 R，依 题 意，得24,2 r r，由 正 弦 定 理 可 得2 s i n 6 0 2 3 A B r，12 3 O O A B，根 据 球 的 截 面 性 质1O O 平 面 A B C，2 2 2 21 1 1 1 1,4 O O O A R O A O O O A O O r，球 O 的 表 面 积24 64 S R.故 选：A【点 睛】本 题 考 查 球 的 表 面 积，应 用 球 的 截 面 性 质 是 解 题 的 关 键，考 查 计 算 求 解 能 力，属 于 基 础 题.二、填空 题：本 题
30、共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.1 3.若 x，y 满 足 约 束 条 件2 2 0,1 0,1 0,x yx yy 则 z=x+7 y 的 最 大 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】1【解 析】【分 析】首 先 画 出 可 行 域，然 后 结 合 目 标 函 数 的 几 何 意 义 即 可 求 得 其 最 大 值.【详 解】绘 制 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 所 示，目 标 函 数 7 z x y 即：1 17 7y x z，其 中 z 取 得 最 大 值 时，其 几 何 意 义 表 示 直 线 系 在 y 轴 上
31、 的 截 距 最 大，据 此 结 合 目 标 函 数 的 几 何 意 义 可 知 目 标 函 数 在 点 A 处 取 得 最 大 值，联 立 直 线 方 程：2 2 01 0 x yx y，可 得 点 A 的 坐 标 为：()1,0 A，据 此 可 知 目 标 函 数 的 最 大 值 为：m a x1 7 0 1 z.故 答 案 为：1【点 睛】求 线 性 目 标 函 数 z a x b y(a b 0)的 最 值，当 b 0 时，直 线 过 可 行 域 且 在 y 轴 上 截 距 最 大 时，z 值最 大，在 y 轴 截 距 最 小 时，z 值 最 小；当 b 0 时，直 线 过 可 行 域
32、 且 在 y 轴 上 截 距 最 大 时，z 值 最 小，在 y轴 上 截 距 最 小 时，z 值 最 大.1 4.设 向 量(1,1),(1,2 4)a b m m，若a b r r，则m _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】5【解 析】【分 析】根 据 向 量 垂 直，结 合 题 中 所 给 的 向 量 的 坐 标，利 用 向 量 垂 直 的 坐 标 表 示，求 得 结 果.【详 解】由a b r r可 得0 a b，又 因 为(1,1),(1,2 4)a b m m，所 以 1(1)(1)(2 4)0 a b m m，即 5 m，故 答 案 为：5.【点 睛
33、】该 题 考 查 的 是 有 关 向 量 的 问 题，涉 及 到 的 知 识 点 有 向 量 垂 直 的 坐 标 表 示，属 于 基 础 题 目.1 5.曲 线 l n 1 y x x 的 一 条 切 线 的 斜 率 为 2，则 该 切 线 的 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】2 y x【解 析】【分 析】设 切 线 的 切 点 坐 标 为0 0(,)x y，对 函 数 求 导，利 用0|2xy，求 出0 x，代 入 曲 线 方 程 求 出0y，得 到 切 线 的点 斜 式 方 程，化 简 即 可.【详 解】设 切 线 的 切 点 坐 标 为0 0
34、1(,),l n 1,1 x y y x x yx，00 001|1 2,1,2x xy x yx，所 以 切 点 坐 标 为(1,2)，所 求 的 切 线 方 程 为 2 2(1)y x，即 2 y x.故 答 案 为：2 y x.【点 睛】本 题 考 查 导 数 的 几 何 意 义，属 于 基 础 题.1 6.数 列 na 满 足2(1)3 1nn na a n，前 1 6 项 和 为 5 4 0，则1a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】7【解 析】【分 析】对n为 奇 偶 数 分 类 讨 论，分 别 得 出 奇 数 项、偶 数 项 的 递 推 关 系，由
35、 奇 数 项 递 推 公 式 将 奇 数 项 用1a 表 示，由偶 数 项 递 推 公 式 得 出 偶 数 项 的 和，建 立1a 方 程，求 解 即 可 得 出 结 论.【详 解】2(1)3 1nn na a n，当n为 奇 数 时，23 1n na a n；当n为 偶 数 时，23 1n na a n.设 数 列 na 的 前n项 和 为nS，16 1 2 3 4 16S a a a a a 1 3 5 15 2 4 14 16()()a a a a a a a a 1 1 1 1 1 1(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a 1 1(102)(140)(5 17 2
36、9 41)a a 1 18 392 92 8 484 540 a a，17 a.故 答 案 为：7.【点 睛】本 题 考 查 数 列 的 递 推 公 式 的 应 用，以 及 数 列 的 并 项 求 和，考 查 分 类 讨 论 思 想 和 数 学 计 算 能 力，属于 较 难 题.三、解答 题：共 70 分.解答 应写 出文字 说明、证明 过程或 演算 步骤.第 17 21 题为 必考 题，每个试 题考 生都必 须作 答.第 22、23 题为 选考 题，考 生根 据要求 作答.（一）必 考题：共 60 分.1 7.某 厂 接 受 了 一 项 加 工 业 务，加 工 出 来 的 产 品(单 位：件
37、)按 标 准 分 为 A，B，C，D 四 个 等 级.加 工 业 务 约 定：对 于 A 级 品、B 级 品、C 级 品，厂 家 每 件 分 别 收 取 加 工 费 9 0 元，5 0 元，2 0 元；对 于 D 级 品，厂 家 每 件 要赔 偿 原 料 损 失 费 5 0 元.该 厂 有 甲、乙 两 个 分 厂 可 承 接 加 工 业 务.甲 分 厂 加 工 成 本 费 为 2 5 元/件，乙 分 厂 加 工成 本 费 为 2 0 元/件.厂 家 为 决 定 由 哪 个 分 厂 承 接 加 工 业 务，在 两 个 分 厂 各 试 加 工 了 1 0 0 件 这 种 产 品，并 统 计了 这
38、些 产 品 的 等 级，整 理 如 下：甲 分 厂 产 品 等 级 的 频 数 分 布 表等 级 A B C D频 数 4 0 2 0 2 0 2 0乙 分 厂 产 品 等 级 的 频 数 分 布 表等 级 A B C D频 数 2 8 1 7 3 4 2 1（1）分 别 估 计 甲、乙 两 分 厂 加 工 出 来 的 一 件 产 品 为 A 级 品 的 概 率；（2）分 别 求 甲、乙 两 分 厂 加 工 出 来 的 1 0 0 件 产 品 的 平 均 利 润，以 平 均 利 润 为 依 据，厂 家 应 选 哪 个 分 厂 承 接加 工 业 务?【答 案】（1）甲 分 厂 加 工 出 来 的
39、 A 级 品 的 概 率 为 0.4，乙 分 厂 加 工 出 来 的 A 级 品 的 概 率 为 0.2 8；（2）选 甲分 厂，理 由 见 解 析.【解 析】【分 析】（1）根 据 两 个 频 数 分 布 表 即 可 求 出；（2）根 据 题 意 分 别 求 出 甲 乙 两 厂 加 工 1 0 0 件 产 品 的 总 利 润，即 可 求 出 平 均 利 润，由 此 作 出 选 择【详 解】（1）由 表 可 知，甲 厂 加 工 出 来 的 一 件 产 品 为 A 级 品 的 概 率 为400.4100，乙 厂 加 工 出 来 的 一 件 产品 为 A 级 品 的 概 率 为2 80.2 81
40、0 0；（2）甲 分 厂 加 工 100 件 产 品 的 总 利 润 为 4 0 9 0 2 5 2 0 5 0 2 5 2 0 2 0 2 5 2 0 5 0 2 5 1 5 0 0 元，所 以 甲 分 厂 加 工 100 件 产 品 的 平 均 利 润 为 1 5 元 每 件；乙 分 厂 加 工 100 件 产 品 的 总 利 润 为 2 8 9 0 2 0 1 7 5 0 2 0 3 4 2 0 2 0 2 1 5 0 2 0 1 0 0 0 元，所 以 乙 分 厂 加 工 100 件 产 品 的 平 均 利 润 为 10 元 每 件 故 厂 家 选 择 甲 分 厂 承 接 加 工 任
41、务【点 睛】本 题 主 要 考 查 古 典 概 型 的 概 率 公 式 的 应 用，以 及 平 均 数 的 求 法，并 根 据 平 均 值 作 出 决 策，属 于 基础 题 1 8.A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c.已 知 B=1 5 0.（1）若 a=3c，b=27，求 A B C 的 面 积；（2）若 s i n A+3s i n C=22，求 C.【答 案】（1）3；（2）15.【解 析】【分 析】（1）已 知 角 B 和 b 边，结 合,a c关 系，由 余 弦 定 理 建 立c的 方 程，求 解 得 出,a c，利 用 面 积 公 式，即 可 得
42、出 结 论；（2）将 3 0 A C 代 入 已 知 等 式，由 两 角 差 的 正 弦 和 辅 助 角 公 式，化 简 得 出 有 关 C 角 的 三 角 函 数 值，结合 C 的 范 围，即 可 求 解.【详 解】（1）由 余 弦 定 理 可 得2 2 2 22 8 2 c o s 1 5 0 7 b a c a c c，2,2 3,c a A B C 的 面 积1s i n 32S a c B；（2）3 0 A C，s i n 3 s i n s i n(3 0)3 s i n A C C C 1 3 2c o s s i n s i n(3 0)2 2 2C C C，0 30,30 3
43、0 60 C C，30 45,15 C C.【点 睛】本 题 考 查 余 弦 定 理、三 角 恒 等 变 换 解 三 角 形，熟 记 公 式 是 解 题 的 关 键，考 查 计 算 求 解 能 力，属 于基 础 题.1 9.如 图，D 为 圆 锥 的 顶 点，O 是 圆 锥 底 面 的 圆 心，A B C 是 底 面 的 内 接 正 三 角 形，P 为 D O 上 一 点，A P C=9 0（1）证 明：平 面 P A B 平 面 P A C；（2）设 D O=2，圆 锥 的 侧 面 积 为3，求 三 棱 锥 P A B C 的 体 积.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）68.【解 析
44、】【分 析】（1）根 据 已 知 可 得 P A P B P C，进 而 有 P A C P B C，可 得9 0 A P C B P C，即 P B P C，从 而 证 得 P C 平 面 P A B，即 可 证 得 结 论；（2）将 已 知 条 件 转 化 为 母 线 l 和 底 面 半 径 r 的 关 系，进 而 求 出 底 面 半 径，由 正 弦 定 理，求 出 正 三 角 形 A B C边 长，在 等 腰 直 角 三 角 形 A P C 中 求 出A P，在 R t A P O 中，求 出 P O，即 可 求 出 结 论.【详 解】（1）连 接,O A O B O C，D Q 为 圆
45、 锥 顶 点，O 为 底 面 圆 心，O D 平 面 A B C，P 在 D O 上，,O A O B O C P A P B P C，A B C 是 圆 内 接 正 三 角 形，A C B C，P A C P B C，9 0 A P C B P C，即,P B P C P A P C，,P A P B P P C 平 面,P A B P C 平 面 P A C，平 面 P A B 平 面 P A C；（2）设 圆 锥 的 母 线 为 l，底 面 半 径 为 r，圆 锥 的 侧 面 积 为3,3 r l r l，2 2 22 O D l r，解 得1,3 r l，2 s i n 60 3 A
46、C r，在 等 腰 直 角 三 角 形 A P C 中，2 62 2A P A C，在 R t P A O 中，2 26 214 2P O A P O A，三 棱 锥 P A B C 的 体 积 为1 1 2 3 633 3 2 4 8P A B C A B CV P O S.【点 睛】本 题 考 查 空 间 线、面 位 置 关 系，证 明 平 面 与 平 面 垂 直，求 锥 体 的 体 积，注 意 空 间 垂 直 间 的 相 互 转化，考 查 逻 辑 推 理、直 观 想 象、数 学 计 算 能 力，属 于 中 档 题.2 0.已 知 函 数()(2)xf x e a x.（1）当 1 a 时
47、，讨 论()f x的 单 调 性；（2）若()f x有 两 个 零 点，求a的 取 值 范 围.【答 案】（1）减 区 间 为(,0)，增 区 间 为(0,)；（2）1(,)e.【解 析】【分 析】（1）将 1 a 代 入 函 数 解 析 式，对 函 数 求 导，分 别 令 导 数 大 于 零 和 小 于 零，求 得 函 数 的 单 调 增 区 间 和 减 区间；（2）若()f x有 两 个 零 点，即(2)0 xe a x 有 两 个 解，将 其 转 化 为2xeax有 两 个 解，令()(2)2xeh x xx，求 导 研 究 函 数 图 象 的 走 向，从 而 求 得 结 果.【详 解】
48、（1）当 1 a 时，()(2)xf x e x，()1xf x e，令()0 f x，解 得 0 x，令()0 f x，解 得 0 x，所 以()f x 的 减 区 间 为(,0)，增 区 间 为(0,)；（2）若()f x有 两 个 零 点，即(2)0 xe a x 有 两 个 解，从 方 程 可 知，2 x 不 成 立，即2xeax有 两 个 解，令()(2)2xeh x xx，则 有2 2(2)(1)()(2)(2)x x xe x e e xh xx x，令()0 h x，解 得 1 x，令()0 h x，解 得 2 x 或 2 1 x，所 以 函 数()h x 在(,2)和(2,1
49、)上 单 调 递 减，在(1,)上 单 调 递 增，且 当 2 x 时，()0 h x，而2 x 时，()h x，当 x 时，()h x，所 以 当2xeax有 两 个 解 时，有1(1)a he，所 以 满 足 条 件 的a的 取 值 范 围 是：1(,)e.【点 睛】该 题 考 查 的 是 有 关 应 用 导 数 研 究 函 数 的 问 题，涉 及 到 的 知 识 点 有 应 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性，根据 零 点 个 数 求 参 数 的 取 值 范 围，在 解 题 的 过 程 中，也 可 以 利 用 数 形 结 合，将 问 题 转 化 为 曲 线xy e 和 直 线(2
50、)y a x 有 两 个 交 点，利 用 过 点(2,0)的 曲 线xy e 的 切 线 斜 率，结 合 图 形 求 得 结 果.2 1.已 知 A、B 分 别 为 椭 圆 E：2221xya（a 1）的 左、右 顶 点，G 为 E 的 上 顶 点，8 A G G B，P 为 直线 x=6 上 的 动 点，P A 与 E 的 另 一 交 点 为 C，P B 与 E 的 另 一 交 点 为 D（1）求 E 的 方 程；（2）证 明：直 线 C D 过 定 点.【答 案】（1）2219xy；（2）证 明 详 见 解 析.【解 析】【分 析】（1）由 已 知 可 得：,0 A a，,0 B a，0,