2019年广西全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)及解析.pdf

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1、第 1页（共 2 3页）2 0 1 9 年全 国统 一高 考数 学试 卷（理科）（新 课标）一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1（5 分）已 知 集 合 A 1，0，1，2，B x|x2 1，则 A B（）A 1，0，1 B 0，1 C 1，1 D 0，1，2 2（5 分）若 z（1+i）2 i，则 z（）A 1 i B 1+i C 1 i D 1+i3（5 分）西 游 记 三 国 演 义 水 浒 传 和 红 楼 梦 是 中 国 古 典 文 学 瑰 宝，并

2、 称 为 中国 古 典 小 说 四 大 名 著 某 中 学 为 了 解 本 校 学 生 阅 读 四 大 名 著 的 情 况，随 机 调 查 了 1 0 0 位学 生，其 中 阅 读 过 西 游 记 或 红 楼 梦 的 学 生 共 有 9 0 位，阅 读 过 红 楼 梦 的 学 生共 有 8 0 位，阅 读 过 西 游 记 且 阅 读 过 红 楼 梦 的 学 生 共 有 6 0 位，则 该 校 阅 读 过 西游 记 的 学 生 人 数 与 该 学 校 学 生 总 数 比 值 的 估 计 值 为（）A 0.5 B 0.6 C 0.7 D 0.84（5 分）（1+2 x2）（1+x）4的 展 开 式

3、 中 x3的 系 数 为（）A 1 2 B 1 6 C 2 0 D 2 45（5 分）已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 a n 的 前 4 项 和 为 1 5，且 a 5 3 a 3+4 a 1，则 a 3（）A 1 6 B 8 C 4 D 26（5 分）已 知 曲 线 y a ex+x l n x 在 点（1，a e）处 的 切 线 方 程 为 y 2 x+b，则（）A a e，b 1 B a e，b 1 C a e1，b 1 D a e1，b 17（5 分）函 数 y 在 6，6 的 图 象 大 致 为（）A B 第 2页（共 2 3页）C D 8（5 分）如 图，点 N

4、 为 正 方 形 A B C D 的 中 心，E C D 为 正 三 角 形，平 面 E C D 平 面 A B C D，M 是 线 段 E D 的 中 点，则（）A B M E N，且 直 线 B M，E N 是 相 交 直 线B B M E N，且 直 线 B M，E N 是 相 交 直 线C B M E N，且 直 线 B M，E N 是 异 面 直 线D B M E N，且 直 线 B M，E N 是 异 面 直 线9（5 分）执 行 如 图 的 程 序 框 图，如 果 输 入 的 为 0.0 1，则 输 出 s 的 值 等 于（）A 2 B 2 C 2 D 2 第 3页（共 2 3页

5、）1 0（5 分）双 曲 线 C：1 的 右 焦 点 为 F，点 P 在 C 的 一 条 渐 近 线 上，O 为 坐 标原 点 若|P O|P F|，则 P F O 的 面 积 为（）A B C 2 D 31 1（5 分）设 f（x）是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数，且 在（0，+）单 调 递 减，则（）A f（l o g 3）f（2）f（2）B f（l o g 3）f（2）f（2）C f（2）f（2）f（l o g 3）D f（2）f（2）f（l o g 3）1 2（5 分）设 函 数 f（x）s i n（x+）（0），已 知 f（x）在 0，2 有 且 仅 有 5 个 零点 下 述

6、四 个 结 论：f（x）在（0，2）有 且 仅 有 3 个 极 大 值 点 f（x）在（0，2）有 且 仅 有 2 个 极 小 值 点 f（x）在（0，）单 调 递 增 的 取 值 范 围 是，）其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号 是（）A B C D 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3（5 分）已 知，为 单 位 向 量，且 0，若 2，则 c o s，1 4（5 分）记 S n 为 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 若 a 1 0，a 2 3 a 1，则 1 5（5 分）设 F 1，F 2 为 椭 圆 C：+1 的 两 个

7、焦 点，M 为 C 上 一 点 且 在 第 一 象 限 若 M F 1 F 2 为 等 腰 三 角 形，则 M 的 坐 标 为 第 4页（共 2 3页）1 6（5 分）学 生 到 工 厂 劳 动 实 践，利 用 3 D 打 印 技 术 制 作 模 型 如 图，该 模 型 为 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 挖 去 四 棱 锥 O E F G H 后 所 得 的 几 何 体，其 中 O 为 长 方 体 的 中 心，E，F，G，H 分 别 为 所 在 棱 的 中 点，A B B C 6 c m，A A 1 4 c m.3 D 打 印 所 用 原 料 密 度 为 0.9

8、g/c m3 不考 虑 打 印 损 耗，制 作 该 模 型 所 需 原 料 的 质 量 为 g 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）为 了 解 甲、乙 两 种 离 子 在 小 鼠 体 内 的 残 留 程 度，进 行 如 下 试 验：将 2 0 0 只 小 鼠随 机 分 成 A、B 两 组，每 组 1 0 0 只，其 中 A

9、 组 小 鼠 给 服 甲 离 子 溶 液，B 组 小 鼠 给 服 乙 离 子溶 液 每 只 小 鼠 给 服 的 溶 液 体 积 相 同、摩 尔 浓 度 相 同 经 过 一 段 时 间 后 用 某 种 科 学 方 法测 算 出 残 留 在 小 鼠 体 内 离 子 的 百 分 比 根 据 试 验 数 据 分 别 得 到 如 图 直 方 图：记 C 为 事 件：“乙 离 子 残 留 在 体 内 的 百 分 比 不 低 于 5.5”，根 据 直 方 图 得 到 P（C）的 估 计值 为 0.7 0（1）求 乙 离 子 残 留 百 分 比 直 方 图 中 a，b 的 值；（2）分 别 估 计 甲、乙 离

10、 子 残 留 百 分 比 的 平 均 值（同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 为代 表）第 5页（共 2 3页）1 8（1 2 分）A B C 的 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 已 知 a s i n b s i n A（1）求 B；（2）若 A B C 为 锐 角 三 角 形，且 c 1，求 A B C 面 积 的 取 值 范 围 1 9（1 2 分）图 1 是 由 矩 形 A D E B、R t A B C 和 菱 形 B F G C 组 成 的 一 个 平 面 图 形，其 中 A B 1，B E B F 2，F B C 6 0 将 其

11、 沿 A B，B C 折 起 使 得 B E 与 B F 重 合，连 结 D G，如 图 2（1）证 明：图 2 中 的 A，C，G，D 四 点 共 面，且 平 面 A B C 平 面 B C G E；（2）求 图 2 中 的 二 面 角 B C G A 的 大 小 2 0（1 2 分）已 知 函 数 f（x）2 x3 a x2+b（1）讨 论 f（x）的 单 调 性；（2）是 否 存 在 a，b，使 得 f（x）在 区 间 0，1 的 最 小 值 为 1 且 最 大 值 为 1？若 存 在，求 出 a，b 的 所 有 值；若 不 存 在，说 明 理 由 第 6页（共 2 3页）2 1（1 2

12、 分）已 知 曲 线 C：y，D 为 直 线 y 上 的 动 点，过 D 作 C 的 两 条 切 线，切点 分 别 为 A，B（1）证 明：直 线 A B 过 定 点；（2）若 以 E（0，）为 圆 心 的 圆 与 直 线 A B 相 切，且 切 点 为 线 段 A B 的 中 点，求 四 边 形A D B E 的 面 积（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的第 一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）2 2（1 0 分）如 图，在 极 坐 标 系 O x 中，

13、A（2，0），B（，），C（，），D（2，），弧，所 在 圆 的 圆 心 分 别 是（1，0），（1，），（1，），曲 线 M 1 是 弧，曲 线 M 2 是 弧，曲 线 M 3 是 弧（1）分 别 写 出 M 1，M 2，M 3 的 极 坐 标 方 程；（2）曲 线 M 由 M 1，M 2，M 3 构 成，若 点 P 在 M 上，且|O P|，求 P 的 极 坐 标 选 修 4-5：不 等 式 选 讲（1 0 分）2 3 设 x，y，z R，且 x+y+z 1（1）求（x 1）2+（y+1）2+（z+1）2的 最 小 值；第 7页（共 2 3页）（2）若（x 2）2+（y 1）2+（z a）

14、2 成 立，证 明：a 3 或 a 1 第 8页（共 2 3页）2 0 1 9 年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（理 科）（新 课 标）参 考 答 案 与 试 题 解 析一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1（5 分）【考 点】1 E：交 集 及 其 运 算【分 析】解 求 出 B 中 的 不 等 式，找 出 A 与 B 的 交 集 即 可【解 答】解：因 为 A 1，0，1，2，B x|x2 1 x|1 x 1，所 以 A B 1，0，1，故 选

15、：A【点 评】本 题 考 查 了 两 个 集 合 的 交 集 和 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法，属 基 础 题 2（5 分）【考 点】A 5：复 数 的 运 算【分 析】利 用 复 数 的 运 算 法 则 求 解 即 可【解 答】解：由 z（1+i）2 i，得z 1+i 故 选：D【点 评】本 题 主 要 考 查 两 个 复 数 代 数 形 式 的 乘 法 和 除 法 法 则，虚 数 单 位 i 的 幂 运 算 性 质，属 于 基 础 题 3（5 分）【考 点】B 2：简 单 随 机 抽 样【分 析】作 出 维 恩 图，得 到 该 学 校 阅 读 过 西 游 记 的 学 生 人 数

16、为 7 0 人，由 此 能 求 出 该学 校 阅 读 过 西 游 记 的 学 生 人 数 与 该 学 校 学 生 总 数 比 值 的 估 计 值【解 答】解：某 中 学 为 了 了 解 本 校 学 生 阅 读 四 大 名 著 的 情 况，随 机 调 查 了 1 0 0 位 学 生，其 中 阅 读 过 西 游 记 或 红 楼 梦 的 学 生 共 有 9 0 位，阅 读 过 红 楼 梦 的 学 生 共 有 8 0 位，阅 读 过 西 游 记 且 阅 读 过 红 楼 梦 的 学 生 共 有6 0 位，第 9页（共 2 3页）作 出 维 恩 图，得：该 学 校 阅 读 过 西 游 记 的 学 生 人

17、数 为 7 0 人，则 该 学 校 阅 读 过 西 游 记 的 学 生 人 数 与 该 学 校 学 生 总 数 比 值 的 估 计 值 为：0.7 故 选：C【点 评】本 题 考 查 该 学 校 阅 读 过 西 游 记 的 学 生 人 数 与 该 学 校 学 生 总 数 比 值 的 估 计 值的 求 法，考 查 维 恩 图 的 性 质 等 基 础 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 基 础 题 4（5 分）【考 点】D A：二 项 式 定 理.【分 析】利 用 二 项 式 定 理、排 列 组 合 的 性 质 直 接 求 解【解 答】解：（1+2 x2）（1+x）4的 展

18、 开 式 中 x3的 系 数 为：1+2 1 2 故 选：A【点 评】本 题 考 查 展 开 式 中 x3的 系 数 的 求 法，考 查 二 项 式 定 理、排 列 组 合 的 性 质 等 基 础知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 基 础 题 5（5 分）【考 点】8 8：等 比 数 列 的 通 项 公 式【分 析】设 等 比 数 列 a n 的 公 比 为 q（q 0），根 据 条 件 可 得，解 方 程 即 可【解 答】解：设 等 比 数 列 a n 的 公 比 为 q（q 0），则 由 前 4 项 和 为 1 5，且 a 5 3 a 3+4 a 1，有第 1 0页

19、（共 2 3页），故 选：C【点 评】本 题 考 查 了 等 差 数 列 的 性 质 和 前 n 项 和 公 式，考 查 了 方 程 思 想，属 基 础 题 6（5 分）【考 点】6 H：利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程【分 析】求 得 函 数 y 的 导 数，可 得 切 线 的 斜 率，由 切 线 方 程，可 得 a e+1+0 2，可 得 a，进 而 得 到 切 点，代 入 切 线 方 程 可 得 b 的 值【解 答】解：y a ex+x l n x 的 导 数 为 y a ex+l n x+1，由 在 点（1，a e）处 的 切 线 方 程 为 y 2 x+b，

20、可 得 a e+1+0 2，解 得 a e1，又 切 点 为（1，1），可 得 1 2+b，即 b 1，故 选：D【点 评】本 题 考 查 导 数 的 运 用：求 切 线 的 斜 率，考 查 直 线 方 程 的 运 用，考 查 方 程 思 想 和运 算 能 力，属 于 基 础 题 7（5 分）【考 点】3 A：函 数 的 图 象 与 图 象 的 变 换【分 析】由 y 的 解 析 式 知 该 函 数 为 奇 函 数 可 排 除 C，然 后 计 算 x 4 时 的 函 数值，根 据 其 值 即 可 排 除 A，D【解 答】解：由 y f（x）在 6，6，知f（x），f（x）是 6，6 上 的 奇

21、 函 数，因 此 排 除 C又 f（4），因 此 排 除 A，D 故 选：B 第 1 1页（共 2 3页）【点 评】本 题 考 查 了 函 数 的 图 象 与 性 质，解 题 关 键 是 奇 偶 性 和 特 殊 值，属 基 础 题 8（5 分）【考 点】L O：空 间 中 直 线 与 直 线 之 间 的 位 置 关 系【分 析】推 导 出 B M 是 B D E 中 D E 边 上 的 中 线，E N 是 B D E 中 B D 边 上 的 中 线，从 而直 线 B M，E N 是 相 交 直 线，设 D E a，则 B D，B E，从 而B M E N【解 答】解：点 N 为 正 方 形 A

22、 B C D 的 中 心，E C D 为 正 三 角 形，平 面 E C D 平 面 A B C D，M 是 线 段 E D 的 中 点，B M 平 面 B D E，E N 平 面 B D E，B M 是 B D E 中 D E 边 上 的 中 线，E N 是 B D E 中 B D 边 上 的 中 线，直 线 B M，E N 是 相 交 直 线，设 D E a，则 B D，B E，B M a，E N a，B M E N，故 选：B【点 评】本 题 考 查 两 直 线 的 位 置 关 系 的 判 断，考 查 空 间 中 线 线、线 面、面 面 间 的 位 置 关系 等 基 础 知 识，考 查

23、推 理 能 力 与 计 算 能 力，是 中 档 题 9（5 分）【考 点】E F：程 序 框 图。【分 析】由 已 知 中 的 程 序 框 图 可 知：该 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量 s 的值，模 拟 程 序 的 运 行 过 程，分 析 循 环 中 各 变 量 值 的 变 化 情 况，可 得 答 案【解 答】解：第 一 次 执 行 循 环 体 后，s 1，x，不 满 足 退 出 循 环 的 条 件 x 0.0 1；再 次 执 行 循 环 体 后，s 1+，x，不 满 足 退 出 循 环 的 条 件 x 0.0 1；第 1 2页（共 2 3页）再

24、次 执 行 循 环 体 后，s 1+，x，不 满 足 退 出 循 环 的 条 件 x 0.0 1；由 于 0.0 1，而 0.0 1，可 得：当 s 1+，x，此 时，满 足 退 出 循 环 的 条 件 x 0.0 1，输 出 s 1+2 故 选：C【点 评】本 题 考 查 的 知 识 点 是 程 序 框 图，当 循 环 的 次 数 不 多，或 有 规 律 时，常 采 用 模 拟循 环 的 方 法 解 答，属 于 基 础 题 1 0（5 分）【考 点】K C：双 曲 线 的 性 质【分 析】求 出 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程，求 出 三 角 形 P O F 的 顶 点 P 的 坐 标，

25、然 后 求 解 面 积 即可【解 答】解：双 曲 线 C：1 的 右 焦 点 为 F（，0），渐 近 线 方 程 为：y x，不 妨 P 在 第 一 象 限，可 得 t a n P O F，P（，），所 以 P F O 的 面 积 为：故 选：A【点 评】本 题 考 查 双 曲 线 的 简 单 性 质 的 应 用，是 基 本 知 识 的 考 查 1 1（5 分）【考 点】3 E：函 数 单 调 性 的 性 质 与 判 断；3 K：函 数 奇 偶 性 的 性 质 与 判 断【分 析】根 据 l o g 3 4 l o g 3 3 1，结 合 f（x）的 奇 偶 和 单 调 性即 可 判 断【解

26、答】解：f（x）是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数，l o g 3 4 l o g 3 3 1，第 1 3页（共 2 3页）0f（x）在（0，+）上 单 调 递 减，故 选：C【点 评】本 题 考 查 了 函 数 的 奇 偶 性 和 单 调 性，关 键 是 指 对 数 函 数 单 调 性 的 灵 活 应 用，属基 础 题 1 2（5 分）【考 点】H 2：正 弦 函 数 的 图 象【分 析】根 据 f（x）在 0，2 有 且 仅 有 5 个 零 点，可 得 5 2+，解 出，然 后 判 断 是 否 正 确 即 可 得 到 答 案【解 答】解：当 x 0，2 时，x+，2+，f（x）在 0，

27、2 有 且 仅 有 5 个 零 点，5 2+，故 正 确，因 此 由 选 项 可 知 只 需 判 断 是 否 正 确 即 可 得 到 答 案，下 面 判 断 是 否 正 确，当 x（0，）时，x+，若 f（x）在（0，）单 调 递 增，则，即 3，故 正 确 故 选：D【点 评】本 题 考 查 了 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质，关 键 是 数 形 结 合 的 应 用，属 中 档 题 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3（5 分）【考 点】9 P：平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示、模、夹 角 第 1 4页（共 2 3页）【分

28、析】根 据 向 量 数 量 积 的 应 用，求 出 相 应 的 长 度 和 数 量 积 即 可 得 到 结 论【解 答】解：2 2，（2）2 4 4+5 9，|3，c o s，故 答 案 为：【点 评】本 题 主 要 考 查 向 量 夹 角 的 求 解，根 据 向 量 数 量 积 的 应 用 分 别 求 出 数 量 积 及 向 量长 度 是 解 决 本 题 的 关 键 1 4（5 分）【考 点】8 5：等 差 数 列 的 前 n 项 和【分 析】根 据 a 2 3 a 1，可 得 公 差 d a 1，然 后 利 用 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 将 用 a 1表 示，化 简 即

29、可【解 答】解：设 等 差 数 列 a n 的 公 差 为 d，则由 a 1 0，a 2 3 a 1 可 得，d 2 a 1，故 答 案 为：4【点 评】本 题 考 查 等 差 数 列 前 n 项 和 性 质 以 及 等 差 数 列 性 质，考 查 了 转 化 思 想，属 基 础题 1 5（5 分）【考 点】K 4：椭 圆 的 性 质【分 析】设 M（m，n），m，n 0，求 得 椭 圆 的 a，b，c，e，由 于 M 为 C 上 一 点 且 在 第第 1 5页（共 2 3页）一 象 限，可 得|M F 1|M F 2|，M F 1 F 2 为 等 腰 三 角 形，可 能|M F 1|2 c

30、或|M F 2|2 c，运 用 椭 圆 的 焦 半 径 公 式，可 得 所 求点 的 坐 标【解 答】解：设 M（m，n），m，n 0，椭 圆 C：+1 的 a 6，b 2，c 4，e，由 于 M 为 C 上 一 点 且 在 第 一 象 限，可 得|M F 1|M F 2|，M F 1 F 2 为 等 腰 三 角 形，可 能|M F 1|2 c 或|M F 2|2 c，即 有 6+m 8，即 m 3，n；6 m 8，即 m 3 0，舍 去 可 得 M（3，）故 答 案 为：（3，）【点 评】本 题 考 查 椭 圆 的 方 程 和 性 质，考 查 分 类 讨 论 思 想 方 法，以 及 椭 圆

31、焦 半 径 公 式 的运 用，考 查 方 程 思 想 和 运 算 能 力，属 于 中 档 题 1 6（5 分）【考 点】L F：棱 柱、棱 锥、棱 台 的 体 积【分 析】该 模 型 体 积 为 V O E F G H 6 6 4 1 3 2（c m3），再 由 3 D 打 印 所 用 原 料 密 度 为 0.9 g/c m3，不 考 虑 打 印 损 耗，能 求 出 制 作 该 模 型 所 需 原 料 的 质 量【解 答】解：该 模 型 为 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1，挖 去 四 棱 锥 O E F G H 后 所 得 的 几 何体，其 中 O 为 长 方 体

32、的 中 心，E，F，G，H，分 别 为 所 在 棱 的 中 点，A B B C 6 c m，A A 1 4 c m，该 模 型 体 积 为：V O E F G H 6 6 4 1 4 4 1 2 1 3 2（c m3），3 D 打 印 所 用 原 料 密 度 为 0.9 g/c m3，不 考 虑 打 印 损 耗，第 1 6页（共 2 3页）制 作 该 模 型 所 需 原 料 的 质 量 为：1 3 2 0.9 1 1 8.8（g）故 答 案 为：1 1 8.8【点 评】本 题 考 查 制 作 该 模 型 所 需 原 料 的 质 量 的 求 法，考 查 长 方 体、四 棱 锥 的 体 积 等 基

33、础 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，考 查 数 形 结 合 思 想，属 于 中 档 题 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）【考 点】B 8：频 率 分 布 直 方 图【分 析】（1）由 频 率 分 布 直 方 图 的 性 质 列 出 方 程 组，能 求 出 乙 离 子 残 留 百 分 比 直 方 图

34、中 a，b（2）利 用 频 率 分 布 直 方 图 能 估 计 甲 离 子 残 留 百 分 比 的 平 均 值 和 乙 离 子 残 留 百 分 比 的 平 均值【解 答】解：（1）C 为 事 件：“乙 离 子 残 留 在 体 内 的 百 分 比 不 低 于 5.5”，根 据 直 方 图 得 到 P（C）的 估 计 值 为 0.7 0 则 由 频 率 分 布 直 方 图 得：，解 得 乙 离 子 残 留 百 分 比 直 方 图 中 a 0.3 5，b 0.1 0（2）估 计 甲 离 子 残 留 百 分 比 的 平 均 值 为：2 0.1 5+3 0.2 0+4 0.3 0+5 0.2 0+6 0

35、.1 0+7 0.0 5 4.0 5 乙 离 子 残 留 百 分 比 的 平 均 值 为：3 0.0 5+4 0.1+5 0.1 5+6 0.3 5+7 0.2+8 0.1 5 6.0 0【点 评】本 题 考 查 频 率、平 均 值 的 求 法，考 查 频 率 分 布 直 方 图 的 性 质 等 基 础 知 识，考 查第 1 7页（共 2 3页）推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 基 础 题 1 8（1 2 分）【考 点】H T：三 角 形 中 的 几 何 计 算【分 析】（1）运 用 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 和 二 倍 角 公 式，以 及 正 弦 定 理，计 算 可 得

36、所 求 角；（2）运 用 余 弦 定 理 可 得 b，由 三 角 形 A B C 为 锐 角 三 角 形，可 得 a2+a2 a+1 1 且 1+a2 a+1 a2，求 得 a 的 范 围，由 三 角 形 的 面 积 公 式，可 得 所 求 范 围【解 答】解：（1）a s i n b s i n A，即 为 a s i n a c o s b s i n A，可 得 s i n A c o s s i n B s i n A 2 s i n c o s s i n A，s i n A 0，c o s 2 s i n c o s，若 c o s 0，可 得 B（2 k+1），k Z 不 成 立

37、，s i n，由 0 B，可 得 B；（2）若 A B C 为 锐 角 三 角 形，且 c 1，由 余 弦 定 理 可 得 b，由 三 角 形 A B C 为 锐 角 三 角 形，可 得 a2+a2 a+1 1 且 1+a2 a+1 a2，解 得 a 2，可 得 A B C 面 积 S a s i n a（，）【点 评】本 题 考 查 三 角 形 的 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理、面 积 公 式 的 运 用，考 查 三 角 函 数 的 恒等 变 换，以 及 化 简 运 算 能 力，属 于 中 档 题 1 9（1 2 分）【考 点】L Y：平 面 与 平 面 垂 直；M J：二 面 角 的

38、 平 面 角 及 求 法【分 析】（1）推 导 出 A D B E，C G B E，从 而 A D C G，由 此 能 证 明 A，C，G，D 四 点共 面，推 导 出 A B B E，A B B C，从 而 A B 面 B C G E，由 此 能 证 明 平 面 A B C 平 面 B C G E（2）作 E H B C，垂 足 为 H，以 H 为 坐 标 原 点，的 方 向 为 x 轴 正 方 向，建 立 空 间 直角 坐 标 系 H x y z，运 用 空 间 向 量 方 法 求 二 面 角 B C G A 的 大 小 第 1 8页（共 2 3页）【解 答】证 明：（1）由 已 知 得

39、A D B E，C G B E，A D C G，A D，C G 确 定 一 个 平 面，A，C，G，D 四 点 共 面，由 已 知 得 A B B E，A B B C，A B 面 B C G E，A B 平 面 A B C，平 面 A B C 平 面 B C G E 解：（2）作 E H B C，垂 足 为 H，E H 平 面 B C G E，平 面 B C G E 平 面 A B C，E H 平 面 A B C，由 已 知，菱 形 B C G E 的 边 长 为 2，E B C 6 0，B H 1，E H，以 H 为 坐 标 原 点，的 方 向 为 x 轴 正 方 向，建 立 如 图 所 求

40、 的 空 间 直 角 坐 标 系 H x y z，则 A（1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），（1，0，），（2，1，0），设 平 面 A C G D 的 法 向 量（x，y，z），则，取 x 3，得（3，6，），又 平 面 B C G E 的 法 向 量 为（0，1，0），c o s，二 面 角 B C G A 的 大 小 为 3 0【点 评】本 题 考 查 线 面 垂 直 的 证 明，考 查 二 面 角 的 正 弦 值 的 求 法，考 查 空 间 中 线 线、线面、面 面 间 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识，考 查 推 理 能 力 与 计 算 能 力，是 中 档 题 2

41、 0（1 2 分）第 1 9页（共 2 3页）【考 点】6 E：利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值【分 析】（1）f（x）6 x2 2 a x 6 x（x）令 f（x）6 x（x）0，解 得 x 0，或 对 a 分 类 讨 论，即 可 得 出 单 调 性（2）对 a 分 类 讨 论，利 用（1）的 结 论 即 可 得 出【解 答】解：（1）f（x）6 x2 2 a x 6 x（x）令 f（x）6 x（x）0，解 得 x 0，或 a 0 时，f（x）6 x2 0，函 数 f（x）在 R 上 单 调 递 增 a 0 时，函 数 f（x）在（，0），（，+）上 单 调 递 增，在（0，）上

42、单 调 递减 a 0 时，函 数 f（x）在（，），（0，+）上 单 调 递 增，在（，0）上 单 调 递减（2）由（1）可 得：a 0 时，函 数 f（x）在 0，1 上 单 调 递 增 则 f（0）b 1，f（1）2 a+b 1，解 得 b 1，a 0，满 足 条 件 a 0 时，函 数 f（x）在 0，上 单 调 递 减 1，即 a 3 时，函 数 f（x）在 0，1 上 单 调 递 减 则 f（0）b 1，f（1）2 a+b 1，解 得 b 1，a 4，满 足 条 件 0 1，即 0 a 3 时，函 数 f（x）在 0，）上 单 调 递 减，在（，1 上 单 调 递 增 则最 小 值

43、f（）a+b 1，化 为：+b 1 而 f（0）b，f（1）2 a+b，最 大 值 为 b 或 2 a+b 若：+b 1，b 1，解 得 a 3 3，矛 盾，舍 去 若：+b 1，2 a+b 1，解 得 a 3，或 0，矛 盾，舍 去 综 上 可 得：存 在 a，b，使 得 f（x）在 区 间 0，1 的 最 小 值 为 1 且 最 大 值 为 1 a，b 的 所 有 值 为：，或【点 评】本 题 考 查 了 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性、方 程 与 不 等 式 的 解 法、分 类 讨 论 方 法、第 2 0页（共 2 3页）等 价 转 化 方 法，考 查 了 推 理 能 力

44、 与 计 算 能 力，属 于 难 题 2 1（1 2 分）【考 点】K 8：抛 物 线 的 性 质【分 析】（1）求 得 y 的 导 数，可 得 切 线 的 斜 率，可 得 切 线 D A，D B 的 方 程，求 得 交点 D 的 坐 标，可 得 A B 的 方 程，化 简 可 得 A B 恒 过 定 点；（2）设 直 线 A B 的 方 程 为 y k x+，由（1）可 得 x 1+x 2 2 k，x 1 x 2 1，求 得 A B 中 点H（k，k2+），由 H 为 切 点 可 得 E 到 直 线 A B 的 距 离 即 为|E H|，求 得 k，再 由 四 边 形 A D B E的 面

45、积 为 S A B E+S A B D，运 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 弦 长 公 式，计 算 可 得 所 求 值【解 答】解：（1）证 明：y 的 导 数 为 y x，设 切 点 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），即 有 y 1，y 2，切 线 D A 的 方 程 为 y y 1 x 1（x x 1），即 为 y x 1 x，切 线 D B 的 方 程 为 y x 2 x，联 立 两 切 线 方 程 可 得 x（x 1+x 2），可 得 y x 1 x 2，即 x 1 x 2 1，直 线 A B 的 方 程 为 y（x x 1），即 为 y（x 1+x 2）（x x

46、 1），可 化 为 y（x 1+x 2）x+，可 得 A B 恒 过 定 点（0，）；（2）法 一：设 直 线 A B 的 方 程 为 y k x+，由（1）可 得 x 1+x 2 2 k，x 1 x 2 1，A B 中 点 H（k，k2+），第 2 1页（共 2 3页）由 H 为 切 点 可 得 E 到 直 线 A B 的 距 离 即 为|E H|，可 得，解 得 k 0 或 k 1，即 有 直 线 A B 的 方 程 为 y 或 y x+，由 y 可 得|A B|2，四 边 形 A D B E 的 面 积 为 S A B E+S A B D 2（1+2）3；由 y x+，可 得|A B|4

47、，此 时 D（1，）到 直 线 A B 的 距 离 为；E（0，）到 直 线 A B 的 距 离 为，则 四 边 形 A D B E 的 面 积 为 S A B E+S A B D 4（+）4；法 二：（2）由（1）得 直 线 A B 的 方 程 为 y t x+由，可 得 x2 2 t x 1 0 于 是 x 1+x 2 2 t，x 1 x 2 1，y 1+y 2 t（x 1+x 2）+1 2 t2+1，|A B|2（t2+1）设 d 1，d 2 分 别 为 点 D，E 到 直 线 A B 的 距 离，则 d 1，d 2 因 此，四 边 形 A D B E 的 面 积 S|A B|（d 1+

48、d 2）（t2+3）设 M 为 线 段 A B 的 中 点，则 M（t，t2+）由 于，而，与 向 量（1，t）平 行，所 以 t+（t2 2）t 0 解得 t 0 或 t 1 当 t 0 时，S 3；当 t 1 时，S 4 综 上，四 边 形 A D B E 的 面 积 为 3 或 4 第 2 2页（共 2 3页）【点 评】本 题 考 查 抛 物 线 的 方 程 和 性 质，直 线 和 抛 物 线 的 位 置 关 系，以 及 直 线 和 圆 相 切的 条 件，考 查 方 程 思 想 和 运 算 能 力，属 于 难 题（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中

49、 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的第 一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）2 2（1 0 分）【考 点】Q 4：简 单 曲 线 的 极 坐 标 方 程【分 析】（1）根 据 弧，所 在 圆 的 圆 心 分 别 是（1，0），（1，），（1，），结合 极 坐 标 方 程 进 行 求 解 即 可；（2）讨 论 角 的 范 围，由 极 坐 标 过 程|O P|，进 行 求 解 即 可 得 P 的 极 坐 标；【解 答】解：（1）由 题 设 得，弧，所 在 圆 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 2 c o s，2 s i n，2 c

50、o s，则 M 1 的 极 坐 标 方 程 为 2 c o s，（0），M 2 的 极 坐 标 方 程 为 2 s i n，（），M 3 的 极 坐 标 方 程 为 2 c o s，（），（2）设 P（，），由 题 设 及（1）知，若 0，由 2 c o s 得 c o s，得，若，由 2 s i n 得 s i n，得 或，若，由 2 c o s 得 c o s，得，综 上 P 的 极 坐 标 为（，）或（，）或（，）或（，）【点 评】本 题 主 要 考 查 极 坐 标 方 程 的 应 用，结 合 极 坐 标 过 程 公 式 求 出 对 应 点 的 极 坐 标 方程 是 解 决 本 题 的