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1、学科网（北京）股份有限公司2019 年辽宁省丹东市中考数学真题及答案一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）12019 的相反数是（）A2019B2019CD2 十年来，我国知识产权战略实施取得显著成就，全国著作权登记量已达到 274.8 万件 数据 274.8 万用科学记数法表示为（）A2.748102B274.8104C2.748106D0.27481073如图所示的几何体是由六个大小相同的小正方体组合而成的，它的俯视图为（）ABCD4下面计算正确的是（）A3a2a1B2a2+4a26a4C（x3）2x5Dx8x2x65如图，点C在AOB的边OA上，用尺规作出了CPOB，作图痕迹中，是（
2、）A以点C为圆心、OD的长为半径的弧B以点C为圆心、DM的长为半径的弧C以点E为圆心、DM的长为半径的弧D以点E为圆心、OD的长为半径的弧6在从小到大排列的五个整数中，中位数是 2，唯一的众数是 4，则这五个数和的最大值是（）A11B12C13D147等腰三角形一边长为 2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x26x+k0学科网（北京）股份有限公司的两个实数根，则k的值是（）A8B9C8 或 9D128如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象过点（2，0），对称轴为直线x1有以下结论：abc0；8a+c0；若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当xx1+x2时，yc；
3、点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PMPN，则a的取值范围为a1；若方程a（x+2）（4x）2 的两根为x1，x2，且x1x2，则2x1x24其中结论正确的有（）A2 个B3 个C4 个D5 个二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）9因式分解：2x38x2+8x10在函数y中，自变量x的取值范围是11有 5 张无差别的卡片，上面分别标有1，0，从中随机抽取 1 张，则抽出的数是无理数的概率是12关于x的不等式组的解集是 2x4，则a的值为13如图，在ABC中，C90，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分BAC若DE1，则BC的长是14如图，点A在双曲线
4、y（x0）上，过点A作ABx轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA1：2，双曲线y（x0）经过点C，则k学科网（北京）股份有限公司15（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为 4 的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为16如图，在平面直角坐标系中，OA1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAA1B，并使AOB60，再以对角线OA1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA1A2B1，再依次作菱形OA2A3B2，OA3A4B3，则过点B2018，B2019，A2019的圆
5、的圆心坐标为三、解答题17（8 分）先化简，再求代数式的值：，其中x3cos6018（8 分）在下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（3，0），（1，1）（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标学科网（北京）股份有限公司（2）将ABC绕着坐标原点顺时针旋转 90，画出旋转后的ABC（3）接写出在上述旋转过程中，点A所经过的路径长四、解答题19（10 分）为纪念“五四运动”100 周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比赛比赛设置一等、二等、三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调查，并将所得数据绘制成如
6、图所示的两幅不完整的统计图根据图中信息解答下列问题：（1）本次抽样调查学生的人数为（2）补全两个统计图，并求出扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数（3）若该校共有 840 名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数学科网（北京）股份有限公司20（10 分）如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成 3 等份和 1 等份，并在每一份内标上数字游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之 积为偶数时，乙获胜如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公
7、平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）五、解答题21（10 分）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为 4000m甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行 800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的 4 倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的 2 倍，结果甲同学比乙同学晚到 2.5min求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远22（10 分）如图，在 RtABC中，ACB90，点D在AB上，以AD为直径的O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且，连接GO并延长交O于点F，连接BF学科网（北京）股份有限公司（1）求证：AOA
8、GBF是O的切线（2）若BD6，求图形中阴影部分的面积六、解答题23（10 分）如图，在某街道路边有相距 10m、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，在地面A处测得路灯PQ的顶端仰角为 14，向前行走 25m到达B处，在地面测得路灯MN的顶端仰角为 24.3，已知点A，B，Q，N在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度（结果精确到 0.1m参考数据：sin140.24，cos140.97，tan140.25，sin24.30.41，cos24.30.91，tan24.30.45）24（10 分）某服装超市购进单价为 30 元的童装若干件，物价部门规定其销售
9、单价不低于每件 30 元，不高于每件 60 元销售一段时间后发现：当销售单价为 60 元时，平均每月销售量为 80 件，而当销售单价每降低 10 元时，平均每月能多售出 20 件同时，在销售学科网（北京）股份有限公司过程中，每月还要支付其他费用 450 元设销售单价为x元，平均月销售量为y件（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利 1800 元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？七、解答题25（12 分）已知：在ABC外分别以AB，AC为边作AEB与AFC（1）如图 1，AEB与AFC分别是
10、以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF以EF为直角边构造 RtEFG，且EFFG，连接BG，CG，EC求证：AEFCGF四边形BGCE是平行四边形（2）小明受到图 1 的启发做了进一步探究：如图 2，在ABC外分别以AB，AC为斜 边作 RtAEB与 RtAFC，并使FACEAB30，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出的值及DEF的度数（3）小颖受到启发也做了探究：如图 3，在ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使CAF+EAB90，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定EAB时，两者间也
11、存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AEm，ABn，请你帮助小颖用含m，n的代数式直接写出的值，并用含的代数式直接表示DEF的度数学科网（北京）股份有限公司八、解答题26（14 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线yx+2 经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MNx轴，MN7（1）求此抛物线的解析式（2）求点N的坐标（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当 tanFAC时，求点F的坐标（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，AHK
12、沿射线AC以每秒 1 个单位长度的速度移动，移动过程中AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0t），请直接写出S与t的函数关系式学科网（北京）股份有限公司参考答案一、选择题1解：2019 的相反数是2019，故选：A2解：数据 274.8 万用科学记数法表示为 274.81042.748106故选：C3解：从上面看第一层是两个小正方形，第二层是三个小正方形，俯视图为：故选：D4解：3a2aa，故选项A错误；2a2+4a26a2，故选项B错误；（x3）2x6，故选项C错误；x8x2x6，故选项D正确；故选：D5解：由作图可知作图步骤为：以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，
13、分别交OA，OB于M，D以点C为圆心，以OM为半径画弧EN，交OA于E以点E为圆心，以DM为半径画弧FG，交弧EN于N过点N作射线CP根据同位角相等两直线平行，可得CPOB故选：C6解：因为五个整数从小到大排列后，其中位数是 2，这组数据的唯一众数是 4所以这 5个数据分别是x，y，2，4，4，且xy4，当这 5 个数的和最大时，整数x，y取最大值，此时x0，y1，所以这组数据可能的最大的和是 0+1+2+4+411故选：A7解：当等腰三角形的底边为 2 时，此时关于x的一元二次方程x26x+k0 的有两个相等实数根，364k0，k9，此时两腰长为 3，2+33，k9 满足题意，当等腰三角形的
14、腰长为 2 时，此时x2 是方程x26x+k0 的其中一根，412+k0，k8，此时另外一根为：x4，2+24，不能组成三角形，综上所述，k9，故选：B8解：由图象可知：a0，c0，0，abc0，故正确；抛物线的对称轴为直线x1，抛物 线的对称轴为直线x1，1，b2a，当x2 时，y4a2b+c0，4a+4a+c0，8a+c0，故错误；A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：x1+x2122，当x2 时，y4a+2b+c4a4a+cc，故正确；由题意可知：M，N到对称轴的距离为 3，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于 3 时，学科网（北京）股份有限公司在x轴下方的抛
15、物线上存在点P，使得PMPN，即3，8a+c0，c8a，b2a，解得：a，故错误；易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），yax2+bx+ca（x+2）（x4）若方程a（x+2）（4x）2，即方程a（x+2）（x4）2 的两根为x1，x2，则x1、x2 为抛物线与直线y2 的两个交点的横坐标，x1x2，x124x2，故错误；故选A二、填空题9解：原式2x（x24x+4）2x（x2）210解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0 可知：12x0，即x时，二次根式有意义又因为 0 做除数无意义，所以x0因此x的取值范围为x且x011解：在1，0，中，无理数有，共 2 个，则抽出的数是无
16、理数的概率是12解：解不等式 2x40，得：x2，解不等式ax1，得：xa+1，不等式组的解集为 2x4，a+14，即a3，13解：AD平分BAC，且DEAB，C90，CDDE1，DE是AB的垂直平分线，ADBD，BDAB，DA BCAD，CADDABB，C90，CAD+DAB+B90，B30，BD2DE2，BCBD+CD1+23，14解：连接OC，点A在双曲线y（x0）上，过点A作ABx轴于点B，SOAB63，BC：CA1：2，SOBC31，双曲线y（x0）经过点C，SOBC|k|1，|k|2，双曲线y（x0）在第一象限，k2，15解：四边形ABCO是正方形，点A，C关于直线OB对称，连接C
17、D交OB于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP的值最小，OCOAAB4，C（0，4），A（4，0），学科网（北京）股份有限公司D为AB的中点，ADAB2，D（4，2），设直线CD的解析式为：ykx+b，直线CD的解析式为：yx+4，直线OB的解析式为yx，解得：xy，P（，），设直线AP的解析式为：ymx+n，解得：，直线AP的解析式为y2x+8，16解：过A1作A1Cx轴于C，四边形OAA1B是菱形，OAAA11，A1ACAOB60，A1C，AC，OCOA+AC，在 RtOA1C中，OA1，OA2CB1A2O30，A3A2O120，A3A2B190，A2B1A360，B1A32，A2A33
18、，OA3OB1+B1A33（）3菱形OA2A3B2的边长3（）2，设B1A3的中点为O1，连接O1A2，O1B2，于是求得，O1A2O1B2O1B1（）1，过点B1，B2，A2的圆的圆心坐标为O1（0，2），学科网（北京）股份有限公司菱形OA3A4B3的边长为 3（）3，OA49（）4，设B2A4的中点为O2，连接O2A3，O2B3，同理可得，O2A3O2B3O2B23（）2，过点B2，B3，A3的圆的圆心坐标为O2（3，3），以此类推，菱形菱形OA2019A2020B2019的边长为（）2019，OA2020（）2020，设B2018A2020的中点为O2018，连接O2018A2019，O
19、2018B2019，求得，O2018A2019O2018B2019O2018B2018（）2018，点O2018是过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心，2018121682，点O2018在射线OB2上，则点O2018的坐标为（）2018，（）2019），即过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为（）2018，（）2019），故答案为：（）2018，（）2019）三、解答题17解：原式，当x3cos603时，学科网（北京）股份有限公司原式18解：（1）如图，A点坐标为（2，3）；（2）如图，ABC为所作；（2）如图，OA，所以点A所经过的路径长A2B2C2为所作；点A2
20、的坐标为（1，1）四、解答题19解：（1）本次抽样调查学生的人数为：820%40，（2）A所占的百分比为：100%5%，D所占的百分比为：100%50%，C所占的百分比为：15%20%50%25%，获得三等奖的人数为：4025%10，补全的统计图如右图所示，扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是 3605%18；（3）84025%210（人），答：获得三等奖的有 210 人学科网（北京）股份有限公司20解：（1）列表如下：2323123232464636969由表可知，共有 12 种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的有 4 种结果，所以甲获胜概率为；（2）指针所在区域的数字之积为偶
21、数的概率为，这个游戏规则对甲、乙双方不公平，将转盘A上的数字 2 改为 1，则游戏公平五、解答题21解：（1）设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为 4x米/分，公交车的速度是 8x米/分钟，根据题意得+2.5+，解得x80经检验，x80 是原分式方程的解所以 2.58801600（m）答：乙到达科技馆时，甲离科技馆还有 1600m22解：（1）证明：如图 1，连接OE，O与BC相切于点E，学科网（北京）股份有限公司OEB90，ACB90，ACBOEB，ACOE，GOEAGO，AOGGOE，AOGAGO，AOAG；由知，AOAG，AOOG，AOOGAG，AOG是等边三角形，AGOAOG
22、A60，BOFAOG60，由知，GOEAOG60，EOB180AOGGOE180606060，FOBEOB，OFOE，OBOB，OFBOEB（SAS），OFBOEB90，OFBF，OF是O的半径，BF是O的切线；（2）如图 2，连接GE，A60，ABC90A30，OB2BE，设O的半径为r，OBOD+BD，学科网（北京）股份有限公司6+r2r，r6，AGOA6，AB2r+BD18，ACAB9，CGACAG3，由（1）知，EOB60，OGOE，OGE是等边三角形，GEOE6，根据勾股定理得，CE3，S阴影S梯形GCEOS扇形OGE（6+3）六、解答题23解：设PQMNxm，在 RtAPQ中，ta
23、nA，则AQ4x，在 RtMBN中，tanMBN，则BNx，AQ+QNAB+BN，4x+1025+x，解得，x8.4，答：路灯的高度约为 8.4m24解：（1）由题意得：y80+20学科网（北京）股份有限公司函数的关系式为：y2x+200（30 x60）（2）由题意得：（x30）（2x+200）4501800解得x155，x275（不符合题意，舍去）答：当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月可获利 1800 元（3）设每月获得的利润为w元，由题意得：w（x30）（2x+200）4502（x65）2+200020当x65 时，w随x的增大而增大30 x60当x60 时，w最大2（6065）2
24、+20001950答：当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1950 元七、解答题25（1）证明：如图 1 中，EFC与AFC都是等腰直角三角形，FAFC，FEFG，AFCEFG90，AFECFG，AFECFG（SAS）AFECFG，AECG，AEFCGF，AEB是等腰直角三角形，AEBE，BEA90，CGBE，EFG是等腰直角三角形，FEGFGE45，学科网（北京）股份有限公司AEF+BEG45，CGE+CGF45，BEGCGE，BECG，四边形BECG是平行四边形（2）解：如图 2 中，延长ED到G，使得DGED，连接CG，FG点D是BC的中点，BDCD，ED
25、BGDC，EBGC，EBDGCD，在 RtAEB与 RtAFC中，EABFAC30，EBD2+60，DCG2+60，GCF36060（2+60）3360120（2+3）360120（1801）60+1，EAF30+1+3060+1，GCFEAF，CGFAEF，学科网（北京）股份有限公司，CFGAFE，EFGCFG+EFCAFE+EFC90，tanDEF，DEF30，FGEG，EDEG，EDFG，（3）如图 3 中，延长ED到G，使得DGED，连接CG，FG作EHAB于H，连接FDBDDC，BDECDG，DEDG，CDGBDE（SAS），CGBEAE，DCGDBE+ABC，GCF360DCGAC
26、BACF360（+ABC）ACB（90）270（ABC+ACB）270（180BAC）90+BACEAF，EAFGCF（SAS），EFGF，AFECFG，AFCEFC，DEFCAF90，AEH90，AEHDEF，AEm，AHABn，学科网（北京）股份有限公司EH，DEDG，EFGF，DFEG，cosDEFcosAEH八、解答题26解：（1）直线yx+2 经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），则c2，抛物线表达式为：yx2+bx+2，将点C坐标代入上式并解得：b，故抛物线的表达式为：yx2+x+2；（2）抛物线的对称轴为：x，点N的横坐标为：+5，故点N的坐标为（5，3）
27、；（3）tanACOtanFAC，即ACOFAC，当点F在直线AC下方时，设直线AF交x轴于点R，ACOFAC，则ARCR，学科网（北京）股份有限公司设点R（r，0），则r2+4（r4）2，解得：r，即点R的坐标为：（，0），将点R、A的坐标代入一次函数表达式：ymx+n得：，解得：，故直线AR的表达式为：yx+2，联立并解得：x，故点F（，）；当点F在直线AC的上方时，ACOFAC，AFx轴，则点F（3，2）；综上，点F的坐标为：（3，2）或（，）；（4）如图 2，设ACO，则 tan，则 sin，cos；当 0t时（左侧图），设AHK移动到AHK的位置时，直线HK分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，则DSTACO，过点T作TLKH，则LTHHt，LTDACO，则DTt，DS，学科网（北京）股份有限公司SSDSTDTDSt2；当t时（右侧图），同理可得：SS梯形DGSTDG（GS+DT）3+（+）t；综上，S