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1、经 济 数 学 一 微 积 分 期 末 测 试 第 一 学 期 期 末 考 试 试 题(B)一.选 择 题(每 小 题 只 有 一 个 正 确 答 案，请 把 正 确 答 案 前 的 字 母 填 入 括 号，每 题 2 分，共 3 0分)试 题 号 一 二 三 总 分 考 分 阅 卷 人 1.函 数/(x)=1 1 的 定 义 域 是(A)；x2-9 3x 0,a 1),则 该 函 数 是(A)(A)奇 函 数(B)偶 函 数(C)非 奇 非 偶 函 数(D)既 奇 又 偶 函 数 4.下 列 函 数 中，与 y=d 关 于 直 线 y=x对 称 的 函 数 是(A)；卜=五(B)X 5(C)
2、y=-x3(D)x=-y35.若 f(x)=F 二,贝【J点 x=2 是 函 数/(x)的(B)；(Z)左 连 续 点(8)右 连 续 点(C)驻 点(0 极 值 点 6.已 知 点(1,3)是 曲 线 丁 二 3+取 2的 驻 点，则。，6 的 值 是(B)(A)a=-3,b=9(B)a=-6,b=9(C)a=-3,b=3(D)a=-6,b=37.当 x-0 时，下 列 函 数 极 限 不 存 在 的 是(C)；sin x(A)-(B)xsin-(C)-(D)tanxx x-,ex+18.极 限 limln圻=7=(C)；x-0(A)1(5)0(C)-1(。)不 存 在 9.下 列 函 数
3、中 在-3,3 上 满 足 罗 尔 定 理 条 件 的 是(C)；卜|(8)2(C)x2-2(。)(X+3)2lim/(4+2A一/(4 2A10.若 函 数/(X)在 点 七 处 可 导，则 极 限 2Ax=(o；(4/U)3/乜)(C)2f|(x0)(D)-f(x0)11.x-0时，下 列 函 数 中，与 x 不 是 等 价 无 穷 小 量 的 函 数 是(C)(A)tanx(B)ln(l+x)(c)x-sinx(D)sinx12.下 列 极 限 中，极 限 值 为 e 的 是(D)；2 I 1(A)lim(l+x)(B)lim(l+x)v(C)Um(l+-)v(。)limQ+x XT 0
4、 0 Xf 0 0 XT 0 X xf 0+In 13.若=-,则 数=(D)；xlnx-1 1-lnx lnx-1-l-nx(-(B)(C)dx(D)dxX X X X14,函 数/(x)=Y,在 区 间 0,1 内，满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 条 件，其 中(D)；(/)(8)y(C)|(D)115.若 函 数/(均 在(一 00,+00)内 连 续，则 卜 2/(乃 去=(D).(A)2xf(x)+x2 f r(x)dx(B)2xf(x)-x2f(x)(Q x2f(x)dx(Z)x2/(x)二.计 算 题（每 小 题 7 分，共 5 6分）_ j_1.y=xyll-x2+
5、e i,求 y解：V=(xVi-x2)z+(e石 y=Vi-x2+x(Vi-x2y+C二(y 2 分 l-x1 Ir.r 2x2 _e _ _ _ 匹 2 7 1(1 7)2(I-X)2 7 分12.求 极 限 lim(l+x2);I 见 生 虫 Hm处 由 肉 昌 解：lim(l+x2)x=lime*=e*=ex l+x=e=l f0 2 分 5 分 3.求 曲 线 y x+x，？。=i 在 x=l对 应 的 点 处 的 切 线 方 程.解：x=0 时，代 入 方 程 得 _y=l；方 程 两 边 对 x 求 导 得 y-l+4x3/+20 x4y19y=0.将 x=0与 y=l代 入，得
6、2 分 Nx=O=l，故 所 求 的 切 线 方 程 为 口 5 分 y l=x,即 y=x+7 分 4.设 函 数/(x)=2,在 x=l处 可 导，求 常 数。和 6x-h x l+X I 2 1+/,、(ax 2)a+2f+(x)=hm=a 6 分 xM x-1又 得 a=2 代 入 得 b=l故。=2 b=l 7 分 5.求 函 数 y=ln(l+4/)的 上 凸 区 间、下 凸 区 间 与 拐 点.解：了=丁%,解 令/=，得”土;2 分 l+4x(l+4x)-2列 表 讨 论 如 下:X I、(一,-)_ 1 21 6 2A、(5,+8)y-0十-07 分 yn 拐 点(-1,ln
7、2)u 拐 点 g,ln2)nd4x-2 j=d cos yx-2 Inlcos Vxl+ccosj一 分 1 1 7 分 解：sin xdx=Jsinxd=ex sinx-je Y cosxdx=ex sinx-jcosx(7ex2 分=ex sin x-ex cosx-jer sin xdx 5 分 移 项 可 得 sin xdx=(sin x-cosx)ex+c 7 分 8.已 知 是/(2x)的 一 个 原 函 数，求 f)exdx解：/(2x)=(xe2 xY=e2x+2 x e2r=e2 v(l+2x)/Q)=e(l+)/./(1)=(1+1)2 分 X X Xf)e-xdx=je
8、?(l+)e-xdx=J(1+)e dx=-2 j(l+j-)c/e-y_x_ _x_ _x_ _x_=-2(1+j-)=-2(1+|-)e-y+”+c，分 x-=-2(2+)e 2+c=-(4+x)e 2+c 7 分 三.证 明 题(本 题 6分)设 函 数/(x)在 区 间 0,c上 连 续，其 导 数/(x)在(0,c)内 存 在 且 单 调 减 少，又/(0)=0,证 明 不 等 式:f(a+b)/()+/(b)(其 中 4 6 是 常 数 且 满 足：0 a b a+bc)6 分 7 分N技 中 都*仕 吁 与 新 潮 0姮 K轴 y送 i l l证 明:=()时，/(0)=0 f(
9、a+b)=f(b)=f(a)+f(b)。0 时，在 区 间 0,0 和 也 a+b.,/(x)满 足 拉 格 朗 日 定 理 条 件，.有 八 q)=八。/。)二 等(”(0,幻 有 f&)=+=/+。)-/(6)&e(8 a+b)b+a-b a3 分 又 一(x)在 0,c 上 单 调 减 少,而/&)尸&)即/(b+S-/(b)J_(a)a a故 有 f(a+b)f(a)+f(b)6 分(其 中 a,6是 常 数 且 满 足：0 a h a+bc)四.应 用 题(本 题 8 分)设 生 产，个 产 品 的 边 际 成 本 为。(/)=100+2/,其 固 定 成 本(即 Z=0时 的 成
10、本)为 100元，产 品 单 价 规 定 为 尸=500元，假 定 生 产 出 的 产 品 都 能 完 全 销 售，求 生 产 量 为 多 少 时 利 润 最 大？最 大 利 润 是 多 少？解：由 已 知，边 际 成 本 C(7)=(/)由=J(100+2/)d/=/2+100/+C 2 分 山 固 定 成 本 为 100,可 得 c=C(7)-/2100/15=100于 是 有：成 本 函 数：C(Z)=Z2+100Z+100收 入 函 数：/?(/)=500/利 润 函 数：A(/)=；?(/)-C(/)=500/-(/2+100/+100)=-/2+400/-100 4 分 由(/)=
11、2/+400=0,得 唯 一 驻 点=200,又 由(/)=2 0,可 知，驻 点 是 极 大 值 点，同 时 也 是 最 大 值 点。因 此，当 生 产 量 为 200时，总 利 润 最 大。7分 最 大 利 润 为 Z(200)=-2002+400 x 200-100=39900。8 分 2008 2009学 年 第 一 学 期 高 等 数 学 I(上)期 末 考 试 试 卷 A注 意：1、本 试 卷 共 3 页；2、考 试 时 间 120分 钟阅 卷 负 责 人 签 名：_ 3、姓 名、学 号 必 须 写 在 指 定 地 方 题 号 二 三 四 五 六 七 总 分 得 分 阅 卷 人 得
12、 分 一、填 空 题(共 5 个 小 题，每 小 题 2 分，共 10分).Y1、函 数 fx)=inx+2 在(0,+8)内 零 点 的 个 数 为.edy2、设 函 数 y=y(x)山 方 程 y=l xe所 确 定，贝=.ax3、(l+x2)24、物 体 在 力 尸(x)=-7 的 作 用 下 从 x=0 沿 直 线 移 动 到 x=2,且 力 尸 的 方 向 4+x指 向 x 轴 正 向，则 力 尸 在 物 体 移 动 过 程 中 所 做 的 功 为.5、微 分 方 程 V 6了+8y=0 的 通 解 为.阅 卷 人 得 分 二、单 项 选 择 题(共 10个 小 题，每 小 题 2
13、分，共 20分)将 每 题 的 正 确 答 案 的 代 号 A、B、C 或 D 填 入 下 表 中.题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答 案 1、下 列 各 项 中 函 数/(x)和 g(x)相 同 的 是()A.f(x)=In x2,g(x)=2 In x；B./1(X)=yjx4-X3,g(x)=X y/x-1;C.f(x)=x,g(x)=V?;D./(x)=1,g(x)=sec2 x-tan2 x.2、下 列 极 限 中 不 正 确 的 是(.sinxA.lim-x八 sinx.sinx0；B.lim-=1；C.lim-x-0%Y Xi sinx 八 1；D.lim-=0.
14、X T K X3、lim(l+2+3+4)=()M00A.1；B.2；C.3；D.4.-x3 x 1A.左、右 导 数 都 存 在；B.左 导 数 存 在、右 导 数 不 存 在；C.左 导 数 不 存 在、右 导 数 存 在；D,左、右 导 数 都 不 存 在.5、设/(%)=q二，则 x=0 是/(x)的()ex+1A.可 去 间 断 点；B.第 二 类 间 断 点；C.跳 跃 间 断 点；D.连 续 点.6、设 在 0,1 上/”(x)0,则 下 面 正 确 的 为().A.r(i)r(o)/(i)-/(o)；B./，(1)/(1)-/(0)/,(0);C.7(I)-/(0)/八 0)；
15、D./XI)/(0)-/(I)/(0).7、下 列 等 式 中 不 正 确 的 是()A.咐=/(x)；B.(1/(/)龙)=/(x)；C.d j fxdx=fxdx；D.=F(x).8、下 列 计 算 正 确 的 是()京 了*亚 匕 X712 令 x=RB.dt dx 门-，:-=0；广+，+1 人】x，+x+1C.r-d x=lim 上 fdx=0；J-1+x Al+xD.1,7 sin3x&=09、p|sin x-cosxdx()A.0；B.2A/2；C.2后 一 1；D.2(V2-1).10、已 知 歹=1,歹=丫,歹=工 2是 某 二 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 三
16、 个 解，则 该 方 程 的 通 解 为()A.C(+C2x+x；B.C(1 x)+C2(1%2)；C.Cj(1 x)+C2(1-x)+x；D.C!(1 x)+C72(1-x)%2.阅 卷 人 得 分-三、计 算 下 列 各 题(每 小 题 6 分，共 18分).1、己 知=ln(l+/)，求 丝 粤 y-t-arctant dx dxm 也 ss&t第 黏+苔 1 1 12、计 算 极 限 limx-arcsmx x2 ln(l-2x)x-cost2dt3、计 算 极 限 l i m-X f x-a四、计 算 下 列 各 题（每 小 题 6 分，共 18分）2、1已 知/(x)=0 x 0求
17、；3、求 微 分 方 程 了=一 2、的 通 解.x阅 卷 人 得 分 五、解 下 列 各 题(每 小 题 6 分，共 18分)Inx1、求 函 数/(x)=e*的 极 值._、十 r t 口 w/X 1 八、arc tun x 2、证 明：当 xOEbj,ln(l+x)-.l+xwin Y3、己 知”是/（x）的 一 个 原 函 数 x求 x fx)d x.六、（8分）设 由 曲 线 y=,直 线 尤=4 及 x 轴 所 围 图 形 为 T.（1）求 T 的 面 积；（2）求 T 绕 y 轴 旋 转 而 成 的 旋 转 体 的 体 积.七、(8分)设 光 滑 曲 线 y=O(x)过 原 点，
18、且 当 x 0 时，/(x)0,对 应 于 0,划 一 段 曲 线 的 弧 长 为 e-I,求 夕(x).习 题 4-2dx=Ld(4x+7)1.在 下 列 各 式 等 号 右 端 的 空 白 处 填 入 适 当 的 系 数，使 等 式 成 立(例 如：4(1)dx=d(ax);1解 dx=a d(ax).(2)dx=d(7x-3);1解 dx=7 d(7x 3).(3)xdx=d(x2);1解 xdx=2 d(P).(4)xdx=d(5x2);1解 xdr=1。d(5f).xdx=d(y-x2).1 7xdx=d(-x2)解 2(6)x3dx=J(3X4-2);1W X3d x=石(3f_2
19、).(7)。2r市 二 4 言);1解 e2A dx=2 4/)._X_ J(8)e 2dx=d(l+e 2).解 e 2 dx=-2 d(i+e 2)sinxdx=7(cos-x)(9)2 2 3 2 3sin-xdx=d(cosx)解 2 3 2dx(io)T6/(51n|x|)解 dx 1=4 d(51n|x|)x 5dx=(H)dxt/(3-51n|x|)t/(3-51n|x|)解 x(arctan 3x)(12)1+9/；-r-=c/(arctan3x)解 1+9x2 3dx.、.=a(l-arctanx)(13)Vl-x2;dx=(-1)/(1-arctanx)解 J i 萼 二
20、d g)(14)Vl-x2(-1)d(7序)解 Vl-x22.求 下 列 不 定 积 分(其 中 9 均 为 常 数):W；fe5f7/=fe5xd5x=e5x+C解 J 5 5 J(3-2X)3?解 J(3-2x)3 办=-g J(3-2x)3 d(3-2x)=-1(3-2x)4+C-dx 2x；-1/(l-2x)=-1ln|l-2x|+C解 12x 2 1-2xd(2-3x)=(2-3Xy+C(2 3#+C 3 2 2解“an J,sec2 皿=Jtan10 xrftanx=-ltan11 x+Cdx(8)Jxlnxlnlnx；f-=f-(71nx=f-In Inx=In|In In x|
21、+C解 Jxlnxlnlnx Jlnxlnlnx Jlnlnxtan J l+x?-dx 后;ftan71+x2 J dx=tan 71+X2(7A/1+X2=产 解 而 7 COST N V=-f-dcosjl+x2=-in|COSA/1+X2|+CCOSA/1+X2.r dx(10)sinxcosx；r dx rsec2 X.r 1.-=-ax=-7tanx=ln|tanx|4-C 解 Jsinxcosx tanx J tanx-.(Il)ex+e-x；-dx=dx=-dex=arctan er+C解 Jex+e-x Je2x+1 Jl+e2x(12)母，去;xex 公 Je*d(-x2)
22、=-?-+C.Jx-cos(x2)t/x.jx-cos(x2)dx=jcos(x2)6/(x2)=-sin(x2)+C解(13)解 解(14),1 i I i,-J(2-3x2)2t/(2-3x2)=-y(2-3x2)2+C=-V2-3x2+C(15)Jl-x4解-dx=j 7(l-x4)=-ln|l-x4|+CJl-x4 4J1-X4 v 7 4 1(16)ks2(+0)sin(+O)力.解 jcos2(cot+(p)sin(a)t+(p)dt=-Jcos2 cot+(p)dcos(6iX+(p)=-cos3(6+)+C(17)cos x；f s i?dx=-fcos_3 xdcosx=co
23、s2 x+C=sec2 x+C 解 Jcos3x J 2 2r sinx+cosx fI.=ax(18)vsinx-cosx；r sinx+cosx.r 1 fz.、J,-ax-J-g(-cosx+sinx)解 Jvsinx-cosx vsinx-cosx_1 3 2=J(sinx-cosx)3 7(sinx-cosx)=(sinx-cosx)3+C)9-4+c(20)J9+x2dx解.x5 1-r2 I.Q 1 o)d x=r(x)=力。)=Tx2-91n(9+x2)+C 9+x2 2 J9+x2 2J 9+x2 2(21)J2x2-1dx dx=-=-=-dx=f(-j=J)dx解 J2X
24、2-1 J(V2X-1)(V2X+1)2J V2x-1 V2x+1=产 f-T=-d(y/2x l)-产 f-1=-/2x-l|-Jln|V2x+l|+C=-4-ln|-|+C2V2 2V2 2V2 V2x+1-dx(22)(x+D(x-2)r 1解 J(x+l)(x-2)dx=-f(-.)=-(ln|x-2|-ln|x+l|+C=-ln|-|+C3 x-2 x+l 3 3 x+1(23)|cos3xt/vx-sin3x+C 3解 jcos3 xdx=jcos2 xdsinx=j(l-sin2 x)dsinx=sinJcos2(函 十)山.jcos2(&+e)df=g，l+cos2(函+)W=
25、；f+/sin2(社+e)+CJsin2xcos3x6/r.,n2xcos3x公=；Jn5x-sinx 心=-cos5x+；cosx+C(24)解(25)解(26)(27)(28)jcOSXCOSy6&fcosxcos(cosx+cos sinx+sinx+CJ 2 2J 2 2 3 2 2jsin5xsin7xt/r.Jsin5xsin7xrfr=-J(cosl2x-cos 2x)rfr=-sin 12x+-sin 2x+C jtan3xsecxc/x.jtan3 xsecxdx=jtan2 xsecxtanxdx=jtan2 xdsecx=J(sec2 x-l)4/secx=sec3 x-
26、secx+C解 解 解 i 八 2arccosxJ片 一 公(29)Vl-x2；i n 2arccosx i i 0 2arccosx,j A=-J102arccosr6/arccosx=-yfl02arecost6/(2arccosx)=-+CarctanVx(30)4(l+x)；,!血 4 公=2;.4=2 JarctanV7darctan4=(arctan4)2+Cr dx(31)(arcsinx)2 v 1-x2dx(arcsinx)2vl-x2解=f-1-(/arcsinx=-5+C(arcsinx)arcsinxr 1+lnx fI-fdx(32)(Hnx),f 1+111A dx
27、=f 5-/(xlnx)=+C解(xlnx)(xlnx)xnxr In tanx,-ax(33)Jcosxsinx；f Intanx.fIntanx 2,rlntanx.-ax=I-sec xax=-atanx解 Jcosxsinx J tanx J tanx=jin tan xdIn tanx=-(ln tanx)2+C(34)S O)；r x2，令 x=asin/a?sin 2 f 2 r.2,2 rl-cos2/._ dx-acostdt=a sn tdt=a-dtJ/_ 丫 2 a cost 22 _sin2/+C=-arcsin-x2+C2 a 2解 r 1 f 1-sec/tan/
28、t/=k/r=/+C=arccos+CJsec/tan/J x.r=tan/xx=+c 4-1(38)l)t/=3tan/-3/+C=7x2-9-3arccos4-C cos-t xdx2x dx 令 4=t解 1+而 J 孤(39)1+Vl-x2j dx x=sin/解 i+7i亨 1cos/t/z=j(l-)(7/=j(l-sec2 f d i1+cosZ l+cosr+CdxX+Jl-X2.dx 令 x=sin.解 x+yl-x2 sin/+cos/,1 fcos/+sin/+cos/-sin/cos/cz/=-2 Jsin/4-cos/dt1/+cos/(sin/+cosr)=gf+g
29、ln|sin/+cosr|+C.r=sinrxJ-x2=arcsinx+ln|-/l-x2+x|+C习 题 5-11.利 用 定 积 分 定 义 计 算 由 抛 物 线 尸 2+1,两 直 线 x=q、产 以 6)及 横 轴 所 围 成 的 图 形 的 面 积.b-a.X：=a+b a2.利 用 定 枳 分 定 义 计 算 下 列 枳 分：tx d x(a-a)-8 2nz 2(2)取 分 点 为 n(7=1,2,n-l)9则 n gl,2,，ri).在 第 i 个 小 区 间 上 取 右 端”i r.-X-点 力(i=l,2,于 是 n L 2 n exdx=inen=lim(ew+en+e
30、”)a 8 M T8 n1 i ir 1 e 叫 l(e)1=lim-=h m-=e-l 一 8 一 8 工 l-en n(-en)3.利 用 定 积 分 的 几 何 意 义,说 明 下 列 等 式：(1/N-x2dx=-(2)4；s、sinx公=0：；n ng cosxt/r=2 p cosxdx(4)”解(l)px公 表 示 由 直 线 产 2x、X 轴 及 直 线 A l 所 围 成 的 面 积，显 然 面 积 为 1.(2)f 以 表 示 由 曲 线=V f、x 轴 及 y 轴 所 围 成 的 四 分 之 一 圆 的 面 积，即 圆 1x2+y2=的 面 积 的 彳：f Vl-X2dx
31、=7U1=b 4 4.(3)由 于 片 sinx为 奇 函 数，在 关 于 原 点 的 对 称 区 间-须 用 上 与 x轴 所 夹 的 面 积 的 代 数 和 为 零，即 r sinx6tr=0兀 尼 COSX杰 r _ 叫(4)表 示 由 曲 线 尸 cosx与 x 轴 上 22 一 段 所 围 成 的 图 形 的 面 积.因 为 cosX 为 偶 函 数，所 以 此 图 形 关 于 歹 轴 对 称.因 此 图 形 面 积 的 一 半 为 pcsx公，即,cosxd!r=2 R cosxdx 2.4.水 利 工 程 中 要 计 算 拦 水 闸 门 所 受 的 水 压 力，已 知 闸 门 上
32、 水 的 压 强 p(单 位 面 积 上 的 压 力 大 小)是 水 深 人 的 函 数，且 有 p=9-8(kN/m2).若 闸 门 高=3m,宽 L=2m,求 水 面 与 闸 门 顶 相 齐 时 闸 门 所 受 的 水 压 力 P.解 建 立 坐 标 系 如 图.用 分 点 一 丁，=1,2,-,-1)将 区 间 0,“分 为 分 个 小 区 间，各 4 H Ax,=一 小 区 间 的 长 为(z=l,2,ri).在 第，个 小 区 间 区 T,X,上，闸 门 相 应 部 分 所 受 的 水 压 力 近 似 为 AP,=9.8x j/-Ax.闸 门 所 受 的 水 压 力 为f 0(x)公
33、=|吧 9 0(切 乂=%l i m X/()M=k./,(%)8j=787=1 n n-8 2n将 L=2,H=3代 入 上 式 得 P=88.2(千 牛).5.证 明 定 积 分 性 质：俯 i f“X心.，(/;=dx=b-a证 明(1)n nl-rf=lim l-A x/=lim Y Ax,=lim(/?-a)=/-0j=2 06 估 计 下 列 各 积 分 的 值：(a)公；5/(l+s i n?)(2)4；“t A 1 xarctanxar；(4)卜 X dx解 因 为 当 1幺“时,2 4+1 4 1 7,所 以 2-(4-l)*(x2+l)d!r17-(4-l)6 4(+1 心
34、 451 x-(2)因 为 当 4 4 时，I R+s i/x。，所 以(:打?)4 4,7(l+sin2 x)d x 2-(-)即 5j 44 4X)dx 0,所 以 函 数)=x arctan x 在 区 间 V3 上 单 调 增 加.于 是 m-f arctan M=/(V 3)=V3 arctan V3=-=-V3 V3 V3 6V3,V3.因 此 x arc tan xdx 9 L 3即 V 3(4)先 求 函 数/(x)=e 7 在 区 间 0,2 上 的 最 大 值 M 与 最 小 值 m.r(X)=/T(2X-1),驻 点 为 比 较 加)=l,./(2)=e2,八 2，得 a
35、=e M=e2.于 是 e，(2-0)ex2-xdxe2.(2-0)9Hn-2 e2 ex2xdxdx0.根 据 加)在 口,切 上 的 连 续 性，在 心,可 上 存 在 一 点 X。,使 玲 啕 0,且/(xo)为/(x)在 4 句 上 的 最 大 值.再 由 连 续 性，存 在 c,6f u a,0,且 劭.小 使 当 时，2.于 是 f(x)d x=f(x)d x+f(x)d x+f(x)d x f(x)dx d-c)0这 与 条 件 UM d X=0相 矛 盾.因 此 在 心,句 上 儿 g 0.(2)证 法 一 因 为.危)在 凡 以 上 连 续，所 以 在。,句 上 存 在 一
36、点 初 使.危 0)0,且 TUo)为 Hx)在 也 可 上 的 最 大 值.x)q再 由 连 续 性，存 在 c,M u 处 且 沏 石 匕 刈，使 当 工 匕 由 时，2.于 是 证 法 二 因 为 段)2 0,所 以 公 假 如 仅 x)dx0不 成 立,则 只 有 f x)dx=O,根 据 结 论,/(x)=0,矛 盾.因 此 f/(x)&(3)令 尸(x)=g(x)M x),则 在 4,6 上 F(x)0 且 f F(x)t/r=f g(x)-/(x)(*=f g(x)d t-f(x)d x=0由 结 论(1),在 a,b 上 尸(x)三 0,即/(x)三 g(x).4.根 据 定
37、积 分 的 性 质 及 第 7 题 的 结 论，说 明 下 列 积 分 哪 一 个 的 值 较 大：卜 2公 还 是 以 3公？(2)1，小 还 是 卜 3公？，以 治 还 是 f(lnx)2 rfx?上 公 还 是 和(1+对 公？(5)卜 公 还 是(1+x)公？解 因 为 当 OOWl m,x2x3,所 以 以“6 以 3以 又 当 OXd,所 以(2)因 为 当 1人 2 吐 x2r3,所 以 又 因 为 当 Ix42吐/?,所 以(3)因 为 当 1 M 2 时,0Wnxl,lnx*(lnx)2,所 以 又 因 为 当 lr42 时,0lnx(Inx)2,所 以.(4)因 为 当 0
38、玄 4 1时,x21n(l+x),所 以 又 因 为 当 0ln(l+x),所 以(5)设 次 x)=e*-l-x,则 当 0白 41时/3=e*-l0,寅 x)=eJ-x是 单 调 增 加 的.因 此 当 0及 41时，火 x)次 0)=0,BP ex+x,所 以 又 因 为 当 0+x,所 以 习 题 4-2dx=-d(4x+7)1.在 下 列 各 式 等 号 右 端 的 空 白 处 填 入 适 当 的 系 数，使 等 式 成 立(例 如：4，:(1)dx=d(ax);解 dx=a d(ax).(2)dx=7(7x-3);j_解 dx=7 6/(7 X-3).(3)xdx=(7(x2);1
39、解 xdx=2 J(x2).(4)xdr=d(5f);1解 xdx=10 d(5f).xdx=d(-x).1 7xdx=d(-x)解 2(fi)xdx=7(3 X4-2);1解 x%r=12 J(3X4-2).(7)e2vtZr=c/(e2x);解 e 2 dx=(8).*全=1 2 d/).X d(l+e 2).5解 e苫 dx=-2 d(l+e 2).3 3sinx4r=(/(cosx)2 2 7；.3 2 3sin(cos-x)解 2 3 2 dx(10)T dxJ(51n|x|)解 X d_(11)三 一 dx(J(51n|x|)J(3-51n|x|)解 x dxd(3-51n|x|)
40、(12)1+9x2 dx(7(arctan3x)解 1+9x2 dx(13)71-X2dx解 xdx=g e/(arctan3x)xd5x=e5x 4-CJ 5J 5J(3-2x)3 以；f(3-2x)3c&-J(3-2x)3t/(3-2x)=-(3-2x)4+C 2J 8f!-dx l-2x；J 1解 Jl-2x 2Jl-2xt/(l-2x)=-yln|l-2x|+C(4),dx解 d r-1 3-1-V2 3=3 23 X)3 dQ_3X)=W(2_3X)3+C=-(2-3X)3+CX J(sinar-ez,)dx.解 Jtan1x-sec2 x公=ftan xJtanx=ltan x+C
41、dx(8)Jxlnxlnlnx；-=-dxx=f Jlnlnx=ln|lnlnx|+C解 Jxlnxlnlnx Jlnxlnlnx JlnlnxJtan/l+x2：X-dx(9)Vl+x2；Jtanjl+F/，dx=jtanyl+x2 dyll-x2=JSn-+XZt7Vl+x2解 vl+x2 cosvl+x2=-j-J dcosjl+x、=-ln|COSA/1+X2|+CCOSA/1+X2.r dx(10)Jsinxcosx；r dx rsec2 X.r 1.I=I-dx-I-atanx=ln|tanx|4-C解 Jsinxcosx tanx J tanxf-dx=dx-一 Ldex=arc
42、tanex+C解 Jex+e-x Je2x+1 Jl+e2x xex dx.Jxe*d x=Je-2 d(-/)=_#,+C.jx-cos(x2)dx.jx-cos(x2)dx=y jcos(x2)d(x2)=ysin(x2)+C(12)解(13)解(14)J i-dx2-3/解+cH 小(15)J解 dx=-t/(l-x4)=-ln|l-x4|+C1-x4 4J1-X4 4 1(16)ks2(d+0)sin(d+e)力.滑 jcos2(cot+(p)sin(a)t+(p)dt=-Jcos2 cos(6+)=-y-cos3(cot+(p)+Cc sinx fJ(17)cos；r sin%.r
43、_3.1 _2 1 2-dx=-cos*x6/cosx=cos x+C=sec x+C解 Jcos3x J 2 2r sinx+cosx.J=dx(18)J vsinx-cosx；r sinx+cosx,r 1,z.J/-dx=I,t/(-cosx4-sinx)解 Jvsinx-cosx vsinx-cosx=j(sinx-cosx)(7(sinx-cosx)=(sinx-cosx)+Carcsin+A/9-4X2+C 3 4丫 3（20）m解,r3 1 r X 1 r 9 o 1 o o口 小 5斤？心)=别-)心)=尹 叱 3+c dx(21)J2x2-1解 J(后 X-1；岳+1)山 W
44、 721-6 x+严 F-：=-d(V2x-1)-(-d(yix+1)2V2 JV2x-l 2V2 JV2x+l=-ln|V2x-l|-Lln|VL:+l|+C=ln|也 二+C2V2 2V2 2V2 V2X+1(22)(x+l)(x-2):I T(-L(x+l)(x-2)3 1 x-2解)(&=-(ln|x-2|-ln|x+l|+C=-ln|+C x+1 3 3 x+1(23)Jcos3xi/r.佯 jcos3 xd!r=jcos2 xJsinx=j(l-s in2 x)Jsinx=sinx js in3 x+C cos2(cot+(p)d t.jcos2(64-)J/=J1+COS2(69
45、/+)C/Z=Z+-sin2(iX+)+CJsin2xcos3xd!r.k in 2 x c o s 3 W=；J(s in 5 x-s in x)&T c o s 5 x+：cosx+C(24)解(25)解 cosxcos(26)2；fc o s x c o s-=-f(c o s-x+c o s-x)A=-s in-x+s in-x+C解 J 2 2J 2 2 3 2 2(27)Jsin5xsin 7 M r.fsin 5xsin 7xdx=f(cos 12x-cos2x)6fc=-s in 12x+sin 2x+C解 J 2 J 24 4(28)jtan3xsecxiir.解 jtan3
46、 xsecxdx=jtan2 x-secxtanxe/r=jtan2 xdsecxj(sec2 x-l)t/secx=-sec3 x-secx+C1 c 2arccos.r(29)A/1-X2；c 2arccosx i 0 2arccosxf,dx=-fl02arccosrt/a rcco sx=-fl02arccosv6/(2arccosx)=-.+C解 户)2 J 21nl0jarctanVx 出(30)&x)誓 a n 4 公=2:rctan 五.五=丁 同 泡 门 五 arctan 五=(arctan6)2+C解 Vx(l+x)(1+x).J dx(31)(arcsinx)2v l-x
47、2.r dx r 1,.1I-=I-；-a arcsinx=-；解(arcsinx)?J l-x?(arcsinx)arcsinxr 1+lnx.I-d x(3 2)(x l n x);In：长=f-!-rf(xlnx)=-5+C解(xlnx)2 J(xlnx)2 xnxc In tanx.-dx(33)Jcosxsinx解 In tanx.f-；dx=y cosxsinx In tanxtanx2,rln tanx,sec xdx=-JtanxJ tanx=jin tan xt/In tan x=(In tan x)2+C dx(34)a2-x2x2或 解 2-x=dx：2(36)(5；令
48、x=asinz s/，2 r-2 1 2 fl-cos2r.-acostcit=a sin 以/=。-dtJ a cost 2+C解 dxdxsec/tan/(7/=pz=/+C=arccos+C sec/tan/J x+1户.3 sec/=3 f(l)rf/=3tan/-3/+C=7x2-9-3arccos+C cos2/xr dx(3 8)八+岳；j d x 令 H=t 际=解 Jl+V2x Jl+/j dx(39)1+V l-x2；(dx 令 x=sin/(-1解 1+71-x2 l+cos/,r=sin/t _ sinr-=/-ta n-+C=z-+C2 1+cosZj dx(40)x
49、+yll-x2.c dx x=sin/f 1 1-p)(y/=/-ln(l+/)+C=V 2x-ln(l+V2cos/J/=j(l-)t/=j(l-sec2)dtltcosZ 2 2二-Jl-x2=arcsinx-+CI+V l-x2.,1 fcos/+sin/+cos/-sin/.-c o s/tzz=-解 X+A/1-R Jsin/+cosz 2J=pz+f-5-rf(sin/+cos/)=/+ln|si2 J 2 Jsin/+cos/2 2.v=sin/X=；arcsinx+gln|J l-x?+x|+C习 题 5-11.利 用 定 积 分 定 义 计 算 由 抛 物 线 尸 2+1,两
50、 直 线/面 积.X,=a+-解 第 一 步：在 区 间 4 切 内 插 入-1个 分 点 成 个 长 度 相 等 的 小 区 间，各 个 小 区 间 的 长 度 为：厂-atsin/+cos/n/+cos/|+C=4、X=bS)及 横 轴 所 围 成 的 图 形 的(z=l,2,一 1),把 区 间 a,a 分 b-an(i=L 2,).第 二 步：在 第 i个 小 区 间 区 _i,X,(i=l,2,)上 取 右 端 点,一 看 s“=i.f&M=i(+z)2+l-b-a.=aH-1”,作 和/=1b-a 62=+-力/=1(h-a)=-na 4-nn2a(h-a),(b-a)n 2n2_