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1、义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书八年级八年级（上（上册）册）八年级数学八年级数学第十四章第十四章轴对称轴对称2020世纪著名数学家赫尔曼世纪著名数学家赫尔曼外尔所说外尔所说的，的，“对称是一种思想，人们毕生追求，对称是一种思想，人们毕生追求，并创造次序、美丽和完善并创造次序、美丽和完善”生生活活中中的的轴轴对对称称轴轴对对称称的的性性质质轴轴对对称称图图形形两个图形成轴对称两个图形成轴对称镜面对称镜面对称线段线段角角等腰三角形等腰三角形轴对称轴对称的应用的应用本章知识回顾本章知识回顾轴对称图形：如果一个图形没一条直线轴对称图形：如果一个图形没一条直线折叠后，直线两旁的部分能
2、够互相重合，折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，则称这个图形是轴对称图形。则称这个图形是轴对称图形。成轴对称：如果两个图形沿一直线对折成轴对称：如果两个图形沿一直线对折后，它们能完全重合，则称这两个图形后，它们能完全重合，则称这两个图形成轴对称成轴对称对称轴：这一条直线叫对称轴对称轴：这一条直线叫对称轴1 1、轴对称图形和轴对称的区别与联系、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形轴对称图形轴对称轴对称 区别区别联系联系图形图形 (1)(1)轴轴对对称称图图形形是是指指(具具 有特殊形状的图形有特殊形状的图形,只只对对()图图形形而而言言;(2)(2)对称轴对称轴()()只有一条只有一条(1
3、)(1)轴对称是指轴对称是指()()图形图形 的位置关系的位置关系,必须涉及必须涉及 ()()图形图形;(2)(2)只有只有()()对称轴对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分分成两部分,那么这两个图形那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体拼在一起看成一个整体,那那么它就是一个轴对称图形么它就是一个轴对称图形.一个一个一个一个不一定不一定两个两个两个两个一条一条知识回顾：轴对称的性质轴对称的性质对应点所连的线段被对称轴垂直平对应点所连的线段被对称轴垂直平分分对应线段相等，
4、对应角相等对应线段相等，对应角相等1、对应点所连的线段被对称轴、对应点所连的线段被对称轴_；3、如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段、如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段与对称轴关系与对称轴关系；对称轴垂直平分连结对称点的线段对称轴垂直平分连结对称点的线段4、线段的垂直平分线的点到、线段的垂直平分线的点到的的距离相等；距离相等；这条线段两端点这条线段两端点5、一个角的角平分线上的点到、一个角的角平分线上的点到的的距离相等。距离相等。这个角的两边这个角的两边2、轴对称图形的、轴对称图形的_相等，相等，_相等；相等；垂直平分垂直平分对应线段对应线段对应角对应角轴对称的性质轴对称
5、的性质图形图形等腰三角形等腰三角形（腰与底腰与底边边不等）不等）等等边边三角形三角形定定义义性性 质质关系关系等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形形不一定是等边三角形.轴对称图形（轴对称图形（3条条）三个角都相等，三个角都相等，（每边上）三线合一（每边上）三线合一都是都是60轴对称图形（轴对称图形（1条条）等边对等角等边对等角三线合一三线合一等腰三角形、等边三角形的性质等腰三角形、等边三角形的性质等腰三角形、等边三角形的性质等腰三角形、等边三角形的性质判判 定定两边相等两边相等 三边相等三边相等 或两角相等或两角相等或三角相等或三角相等
6、有一个角是有一个角是60的等的等腰三角形腰三角形两边相等的三角形两边相等的三角形三边相等的三角形三边相等的三角形等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（底边上的高互相重合（简写成简写成“三线合一三线合一”）ABCDAB=AC，BD=CD（已知）BAD=CAD，ADBC（三线合一）AB=AC，BAD=CAD（已知）BD=CD，ADBC（三线合一）AB=AC，ADBC（已知）BD=CD，BAD=CAD（三线合一）1 1、国国旗旗是是一一个个国国家家的的象象征征，观观察察下下面面的的国国旗旗，是是轴轴对对称称图形的是（图形的是（）A.A.加
7、拿大、韩国、乌拉圭加拿大、韩国、乌拉圭 B.B.加拿大、瑞典、澳大利亚加拿大、瑞典、澳大利亚C.C.加拿大、瑞典、瑞士加拿大、瑞典、瑞士 D.D.乌拉圭、瑞典、瑞士乌拉圭、瑞典、瑞士 加拿大加拿大 韩国韩国 澳大利亚澳大利亚 乌拉圭乌拉圭 瑞典瑞典 瑞士瑞士C2、小小明明照照镜镜子子的的时时候候，发发现现T恤恤上上的的英英文文单单词词在在镜镜子子中中呈呈现现“”的的样样子子，请你判断这个英文单词是（请你判断这个英文单词是（）(A)(B)(C)(D)A 3 3、ABCABC与与DEFDEF关于直线关于直线L L成轴成轴对称，则对称，则C C是多少度？是多少度？L3 3、一个角的角平分线就是一个角
8、的角平分线就是这个角的对称轴这个角的对称轴.()()4 4、直线直线BDBD是长方形是长方形ABCDABCD的的对称轴对称轴.().()5、等腰三角形的对称轴最多有、等腰三角形的对称轴最多有条，最少有条，最少有条，圆条，圆的对称轴有的对称轴有条，它的对称轴是条，它的对称轴是。6、以下是部分常用的交通标志图，仔细观察哪些是轴对称图、以下是部分常用的交通标志图，仔细观察哪些是轴对称图形？形？（1）（2）（3）（4）（5）（6）7、如图，画出所示图形关于直线、如图，画出所示图形关于直线l的对称图形。的对称图形。AlABCl（1）（2）31B答：轴对称图形是：答：轴对称图形是：（1）（）（2）（）（3
9、）（）（5）（）（6）。）。无数无数直径所在的直线直径所在的直线ABC实践探索杨洋家住杨洋家住A处处,晓华家住晓华家住B处处,陈凯家住陈凯家住C处处,三人约好三人约好周日一起到购书中心买书周日一起到购书中心买书,现三人正在商量应该在哪里集现三人正在商量应该在哪里集合合,才能使集合地到他们三家的距离相等才能使集合地到他们三家的距离相等?你能在图中帮他们找到集合地吗你能在图中帮他们找到集合地吗?P关于关于x轴对称的点横坐标轴对称的点横坐标 ，纵坐标，纵坐标关于关于y轴对称的点横坐标轴对称的点横坐标 ，纵坐标，纵坐标点（点（x,y）关于）关于x轴对称的点坐标（轴对称的点坐标（）点（点（x,y）关于）
10、关于y轴对称的点坐标（轴对称的点坐标（）点点M（a+b,3）与点）与点N（2,a）关于）关于x轴对称，试求轴对称，试求a、b的值。的值。X ,yX ,y不变不变互为相反数互为相反数不变不变互为相反数互为相反数1、分别以虚线为对称轴画出下列各图的、分别以虚线为对称轴画出下列各图的另一半，并说明完成后的图案可能代表什另一半，并说明完成后的图案可能代表什么含义。么含义。2已知如图：一辆汽车在直线公路已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由上由A向向B行驶，行驶，M、N分别表示位于公路分别表示位于公路AB两侧的村庄，两侧的村庄，（1）当汽车行驶到什么位置时，与村庄）当汽车行驶到什么位置时，与村庄M、N的距
11、离相等的距离相等？答：如图答：如图，当汽车行驶到，当汽车行驶到P3时，与村庄时，与村庄M、N的距离相等。的距离相等。ABMNP3根据：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离根据：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。相等。2已知如图：一辆汽车在直线公路已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由上由A向向B行驶，行驶，M、N分别表示位于公路分别表示位于公路AB两侧的村庄，两侧的村庄，（2）当汽车行驶到什么位置时，到村庄）当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和的距离之和最短？最短？答：如图答：如图，当汽车行驶到，当汽车行驶到P4时，到村庄时，到村庄M、N的距离之和最短。的距
12、离之和最短。ABMNP4根据：两点之间线段最短。根据：两点之间线段最短。又问：若村庄又问：若村庄M，N在公路在公路AB的同侧，则又如何解决此题？的同侧，则又如何解决此题？N1P5MNAB答：若村庄答：若村庄M，N在公路在公路AB的同侧时，当汽车行驶到的同侧时，当汽车行驶到P5时，到村庄时，到村庄M、N的距离之和最短的距离之和最短A3。如图，七（。如图，七（1）班与七（）班与七（2）班两个班的学生分别在班两个班的学生分别在M、N两处参加植树两处参加植树劳动，现要在道路劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设的交叉区域内设一个茶水供应点一个茶水供应点P，使，使P到两条道路的距离相到两条道路的距离相
13、等，且使等，且使PM=PN，请你用折纸的方法找出，请你用折纸的方法找出P点并说明理由。点并说明理由。BCMN如图，如图，（1 1）等腰）等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，顶角顶角A=100A=100，那么底角，那么底角 B=B=，C=C=。B BA AC C（2 2）ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，B=72B=72那么那么A=A=。（3 3）等等腰腰ABCABC中中有有一一个个角角为为5050，那那么么另另外外两两个个角角分分别别是是多少？多少？36364040404040404040363640404040已知在已知在ABC中中,AB=AC,BE、CD分别平分分别平分
14、ABC、ACB，且相交于点，且相交于点O，试说明试说明BOC是等腰三角形。是等腰三角形。外角的角平分线外角的角平分线1212ODEABCODEBAC分析：分析：对于实际问题，关键对于实际问题，关键在于把它转化为数学问题。在于把它转化为数学问题。题目可改写成题目可改写成已知：如图，已知：如图，AB=18 2=36海里海里 A=40，NBC=80 求求BC的长。的长。2.三个角都相等的三三个角都相等的三角形是等边三角形角形是等边三角形.3.有一个角是有一个角是60的等腰三的等腰三角形是等边角形是等边 三角形三角形.1.三边都相等的三角形是等边三角形三边都相等的三角形是等边三角形.一般三角形一般三角
15、形等边三角形等边三角形ABC等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形ABCAB=BC=ACABC是等边三角形是等边三角形B=600AB=BCABC是等边三角形是等边三角形A=B=CAB=BC=ACABC是等边三角形是等边三角形ABC概念概念 顶角是直角的等腰三角形顶角是直角的等腰三角形 叫做等腰直角三角形叫做等腰直角三角形练习：如图，练习：如图，ABC中，中，AC=BC,ACB=90，CD是是AB边上的中线，边上的中线，那么图中共有几个等腰直角三角形？那么图中共有几个等腰直角三角形？CABD随堂训练：随堂训练：1、如果一个三角形有两个内角等于、如果一个三角形有两个内角等于60，那么，那么这是一
16、个这是一个_三角形。三角形。2、底角是顶角一半的等腰三角形是、底角是顶角一半的等腰三角形是_三角形。三角形。3、如果一个三角形三个外角的比是、如果一个三角形三个外角的比是3：3：2，则这是一个则这是一个 （）A.等腰三角形等腰三角形 B.等边三角形等边三角形 C.直角三直角三角形角形 D.等腰直角三角形等腰直角三角形等边等边等腰直角等腰直角D思考拓展如图，如图，ABCABC中，中，BC=BABC=BA，A=60A=600 0,BD,BD是是ACAC边边的中线，延长的中线，延长BCBC到到E E，使，使CE=CDCE=CD，试说明：，试说明：DE=DBDE=DB BA=BCBCA=A=60BCA
17、=A=600 0(等边对等角等边对等角)CE=CDE=CDE=30E=CDE=300 0(三角形外角性质三角形外角性质)BA=BC，BD是是AC边的中边的中线线DBC=30DBC=300 0(等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一 )DE=DBDE=DB（等角对等边）（等角对等边）若若DB是是AC边上的高，上述结论仍成立边上的高，上述结论仍成立提示：提示：BA=BCBCA=A=60BCA=A=600 0(等边对等角等边对等角)CE=CDE=CDE=30E=CDE=300 0(三角形外角性质三角形外角性质)若若DB是是AC边上的高，上述结论还成立吗？边上的高，上述结论还成立吗？随堂练习3.3.3.
18、3.已知等腰三角形有一个外角等于已知等腰三角形有一个外角等于已知等腰三角形有一个外角等于已知等腰三角形有一个外角等于100100100100，求等腰三角形的三个，求等腰三角形的三个，求等腰三角形的三个，求等腰三角形的三个内角。内角。内角。内角。思考：当外角是思考：当外角是思考：当外角是思考：当外角是80808080时等腰三角形的三个内角又如何呢？时等腰三角形的三个内角又如何呢？时等腰三角形的三个内角又如何呢？时等腰三角形的三个内角又如何呢？等腰三角形的底角都是锐角（等腰三角形的底角都是锐角（等腰三角形的底角都是锐角（等腰三角形的底角都是锐角（）钝角三角形不可能是等腰三角形（）钝角三角形不可能是
19、等腰三角形（）钝角三角形不可能是等腰三角形（）钝角三角形不可能是等腰三角形（）2.2.2.2.等腰三角形若两边长为和，求它的周长。等腰三角形若两边长为和，求它的周长。等腰三角形若两边长为和，求它的周长。等腰三角形若两边长为和，求它的周长。1.1.1.1.判断：判断：判断：判断：等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（）有一个角是有一个角是6060的等腰三角形，其它两个内角也为的等腰三角形，其它两个内角也为6060。（。（）4、如图，是齐新新同学照镜子时看到的如图，是齐新新同学照镜子时看到的 对面墙上钟表指针的情况，你能告诉对面墙上钟表指针的情况，你能
20、告诉 他当时的时间大约是几点几分吗？他当时的时间大约是几点几分吗？、5、如图：在、如图：在ABC中，中，DE是是AC的垂直平的垂直平分线，分线，AC=5厘米，厘米，ABDABD的周长等于的周长等于13厘厘米，则米，则ABCABC的周长是的周长是。ABDEC6、如图：在、如图：在ABC中，中，C=900，AD平分平分BAC，DEAB交交AB于于E，BC=30，BD：CD=3：2，则，则DE=。ABCD18厘米厘米E12答：当时的时间大约是四点十分。答：当时的时间大约是四点十分。8.如如图图，在在 ABC中中，AB=AC=16cm，AB的的垂垂直直平平分分线线交交AC于于D，如如果果BC=10cm
21、，那那么么 BCD的周长是的周长是_cm.11如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠重如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ABCDEF 13.在在ABC中，中，DE是是AC的垂直平分线，的垂直平分线，AE=3cm，ABD的周长为的周长为13cm，请求出，请求出ABC的周长的周长.16.13.13.定理：定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于3030，那么它所对的直角边等于斜边的一，那么它所对的直角边等于斜边的一半半 8.如图，把直角三角形如图，把直角三角形ABC(C=90)折叠，折叠，使点使点A与点与点
22、B重合，得到折痕重合，得到折痕ED，再折叠，再折叠，点点C恰好与点恰好与点D重合，那么重合，那么A=_度度.7.如图，如图，ABCABC中，中，ACB=90,CDACB=90,CD是高，是高，A=30.A=30.求求证证BD=BD=1/4ABAB证明：证明：ACB=90ACB=90A=30A=30 BC=1/2AB BC=1/2AB又又BCD=90BCD=90-B=A=30B=A=30BD=1/2BCBD=1/2BCBD=1/4ABBD=1/4AB已知：在已知：在ABC中，中，ABAC2a，ABCACB15，CD是腰是腰AB上的高上的高求：求：CD的的长长 计计算：算：等腰三角形的底角等腰三角
23、形的底角为为15，腰，腰长为长为2a，求腰上的高，求腰上的高ABCD练习8：解：解：解：解：ABCABCACBACB1515，DACABCACB1515=30CDAC2aa(在直角三角形中，如果一个在直角三角形中，如果一个锐锐角等于角等于30，那么它所，那么它所对对的直角的直角边边等于斜等于斜边边的一半的一半)BDC=90ABCDABCDE 在在 ABC中中A=60AB=AC，点点D是是AC的中点的中点CE=CD求证：求证：（1）BD=DE.（2）若）若DF BC于点于点F，则，则BF与与EF有何关系？有何关系？F练练练练9 9：证明：证明：（1 1）AB=AC A=60 AB=AC A=60 ABC ABC是等边三角形是等边三角形.ABC=2 AB=BCABC=2 AB=BCD D是是ACAC的中点的中点 1=ABC1=ABC123BF=EFBF=EF BD=DE BD=DE DFDF BCBC 2=3+E 2=3+E CE=CDCE=CD 3=E 3=E BD=DE.BD=DE.E=2 E=2 E=2 E=2（2 2）BF=EFBF=EF