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1、精品资料 欢迎下载 一元二次方程复习提纲 考点一：概念（1）定义：含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程。（2）一般形式：ax2+bx+c=0(a0)，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。（3）判断一元二次方程的依据：只含有一个未知数。是整式方程。二次项系数不为“0”。未知数最高次数是“2”。典型例题：1、下列是关于 x 的一元二次方程的是（）2、方程2269xx的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()A、62 9，B、26 9，C、269，D、2 6 9，3 若方程2210mxx 是关于x的一元二次方程，则m 4、当 m 时，方程 mx 2-3 x=2
2、x 2-mx+2 是一元二次方程 考点二：一元二次方程的解 概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值 典型例题：关于x的一元二次方程01)1(22axxa的一个根是 0，则a的值为().(A)1 (B)1 (C)1 或1 (D)21.考点三：一元二次方程的解法 1、直接开平方法 适用方程特征：02nnmx的解是mnx 典型例题：(1)x2=5 (2)(y+2)2=3 (3)2(3a-1)2-1=0 22221 320 B 2x+y-1=0 C x+2 2x00 D x-2x-3=0 xAx 、精品资料 欢迎下载 2、因式分解法 适用方程特征：方程左边可以化
3、为两个因式的乘积，右边是 0，即形如(x+a)(x+b)=0 的方程都可以用因式分解法。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为 0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。典型例题：解方程（1）3x2=2x (2)0)1(3)1(2xxx (3)22)12()3(xx (4)y2=3y+4 3、配方法 即通过配方将方程化为（x+a）2=b(b0)的形式，再用直接开平方法求解。用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的步骤：（1）在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再
4、减去这个数；（2）把原方程变为nmx2的形式。（3）若0n，用直接开平方法求出x的值，若 n0，原方程无解。用配方法解二次项系数不是 1 的一元二次方程 当一元二次方程的形式为1,002aacbxax时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为 1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2)移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为nmx2的形式；（3）若0n，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。典型例题：用配方法解方程（1）x2-4x-3=0 (2)2322 xx 二次方程一般形式其中二次项系数是一次项系数是常数项是判断一元二次方程的依据只
5、含有一个未知数是整式方程二次项系数不为未知数最高次数是典型例题下列是关于的一元二次方程的是方程的二次项系数一次项系数常数项分别数的值就是方程的解应用利用根的概念求代数式的值典型例题关于的一元二次方程的一个根是则的值为或考点三一元二次方程的解法直接开平方法适用方程特征典型例题的解是精品资料欢迎下载因式分解法适用方程特征方程左边可的右边化为将方程左边分解成两个一次因式的乘积令每个因式分别为得两个一元一次方程解这两个一元一次方程它们的解就是原方程的解典型例题解方程配方法即通过配方将方程化为的形式再用直接开平方法求解用配方法解二次项精品资料 欢迎下载 4、求根公式法 一元二次方程002acbxax的求
6、根公式是：aacbbx242 用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为002acbxax的形式，确定的值cba.,（注意符号）；（2）求出acb42的值；（3）若042 acb，则.,ba把及acb42的值代人求根公式aacbbx242，求出21,xx。典型例题：用求根公式解方程 （1）x2+3x+1=0 （2）(x+3)(2x-1)=1 注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。用适当的方法解方程：（）5x 2-45=0 （2）x 2-1
7、0 x+24=0 (3)(x+3)(x-1)=x+3 (4)（x-2)(3x-5)=1 二次方程一般形式其中二次项系数是一次项系数是常数项是判断一元二次方程的依据只含有一个未知数是整式方程二次项系数不为未知数最高次数是典型例题下列是关于的一元二次方程的是方程的二次项系数一次项系数常数项分别数的值就是方程的解应用利用根的概念求代数式的值典型例题关于的一元二次方程的一个根是则的值为或考点三一元二次方程的解法直接开平方法适用方程特征典型例题的解是精品资料欢迎下载因式分解法适用方程特征方程左边可的右边化为将方程左边分解成两个一次因式的乘积令每个因式分别为得两个一元一次方程解这两个一元一次方程它们的解就
8、是原方程的解典型例题解方程配方法即通过配方将方程化为的形式再用直接开平方法求解用配方法解二次项精品资料 欢迎下载 考点四：一元二次方程根的判别式 一元二次方程002acbxax根的判别式=acb42 运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1）=acb420方程有两个不相等的实数根；（2）=acb42=0方程有两个相等的实数根；（3）=acb420方程没有实数根；典型例题;（1）方程 2x2-3x+2=0的根的情况是 。(2)、已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xa=0 有两个相等的实数根，则 a 的值是（）A 1 B.1 C.D 考点五：根与系数的关系 若21,xx
9、是 一 元 二 次 方 程002acbxax的 两 个 根，则 有abxx21，abxx21 特别地，二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为21xx、，则21xx ，21xx 典型例题：（1）已知21xx、是方程0232 xx的两根，则21xx ，21xx （2）关于 x 的方程 x2-ax-3=0的一个根为 3，求方程的另一个根和a 的值。二次方程一般形式其中二次项系数是一次项系数是常数项是判断一元二次方程的依据只含有一个未知数是整式方程二次项系数不为未知数最高次数是典型例题下列是关于的一元二次方程的是方程的二次项系数一次项系数常数项分别数的值就是方程的解应用利用根的
10、概念求代数式的值典型例题关于的一元二次方程的一个根是则的值为或考点三一元二次方程的解法直接开平方法适用方程特征典型例题的解是精品资料欢迎下载因式分解法适用方程特征方程左边可的右边化为将方程左边分解成两个一次因式的乘积令每个因式分别为得两个一元一次方程解这两个一元一次方程它们的解就是原方程的解典型例题解方程配方法即通过配方将方程化为的形式再用直接开平方法求解用配方法解二次项精品资料 欢迎下载 考点六：一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。关键点：找出题中的等量关系。1、用一元二次方程解与平均增长率（或降
11、低率）有关得到问题 增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为 a，平均增长率为x，则一次增长后的值为 xa1，两次增长后的值为 21xa；（2）若基数为 a，降低率x为，则一次降低后的值为 xa1，两次降低后的值为 21xa。典型例题：（1）一件商品的原价是 100 元，经过两次提价后的价格为 121 元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A100(1)121x B 100(1)121x C 2100(1)121x D 2100(1)121x（2）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为 m 元的商品，甲超市连续两次降价 20；乙超市一次性降价 40
12、；丙超市第一次降价 30，第二次降价 10，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是哪一家？（3）某家庭前年人均收入为 3000 元，到今年人均收入为 4320 元，如果每年人均收入增长率相同（也叫平均增长率），求：这个增长率？（4）某品牌服装每件进价为 300 元，卖出价按成本价增加 50%，后因款式老化，商店决定打折，但销路仍不畅，因此再打同样的折扣出售，卖出后每件还每赚64.5 元，问这两次商品所打折扣是几折？二次方程一般形式其中二次项系数是一次项系数是常数项是判断一元二次方程的依据只含有一个未知数是整式方程二次项系数不为未知数最高次数是典型例题下列是关于的一元二次方程的是方程的二次项系数
13、一次项系数常数项分别数的值就是方程的解应用利用根的概念求代数式的值典型例题关于的一元二次方程的一个根是则的值为或考点三一元二次方程的解法直接开平方法适用方程特征典型例题的解是精品资料欢迎下载因式分解法适用方程特征方程左边可的右边化为将方程左边分解成两个一次因式的乘积令每个因式分别为得两个一元一次方程解这两个一元一次方程它们的解就是原方程的解典型例题解方程配方法即通过配方将方程化为的形式再用直接开平方法求解用配方法解二次项精品资料 欢迎下载 2、用一元二次方程解与市场经济有关的问题 与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价
14、；（2）利润率=（销售价进货价）进货价100%；（3）销售额=售价销售量 典型例题：（1）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？3、用一元二次方程解与面积的问题 典型例题：（1）某校在一处一面靠食堂外墙的空地上，用材料围城一个停放自行车的日子形车棚（如图所示），共消耗材料
15、60m，围成的车棚面积共计为 300m2，求 AB的长 _ B _ A 二次方程一般形式其中二次项系数是一次项系数是常数项是判断一元二次方程的依据只含有一个未知数是整式方程二次项系数不为未知数最高次数是典型例题下列是关于的一元二次方程的是方程的二次项系数一次项系数常数项分别数的值就是方程的解应用利用根的概念求代数式的值典型例题关于的一元二次方程的一个根是则的值为或考点三一元二次方程的解法直接开平方法适用方程特征典型例题的解是精品资料欢迎下载因式分解法适用方程特征方程左边可的右边化为将方程左边分解成两个一次因式的乘积令每个因式分别为得两个一元一次方程解这两个一元一次方程它们的解就是原方程的解典型
16、例题解方程配方法即通过配方将方程化为的形式再用直接开平方法求解用配方法解二次项精品资料 欢迎下载 （2）一块长和宽分别为 40 厘米和 250 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为 450 平方厘米.那么纸盒的高是多少？（3）学校课外生物小组的试验园地是长 18 米、宽 12 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为 196 平方米，求小道的宽 （第 3 题）二次方程一般形式其中二次项系数是一次项系数是常数项是判断一元二次方程的依据只含有一个未知数是整式方程二次项系数不为未知数最高次数是典型例题
17、下列是关于的一元二次方程的是方程的二次项系数一次项系数常数项分别数的值就是方程的解应用利用根的概念求代数式的值典型例题关于的一元二次方程的一个根是则的值为或考点三一元二次方程的解法直接开平方法适用方程特征典型例题的解是精品资料欢迎下载因式分解法适用方程特征方程左边可的右边化为将方程左边分解成两个一次因式的乘积令每个因式分别为得两个一元一次方程解这两个一元一次方程它们的解就是原方程的解典型例题解方程配方法即通过配方将方程化为的形式再用直接开平方法求解用配方法解二次项精品资料 欢迎下载 一元二次方程单元测试 一、填空题 1、若方程01682x，则它的解是 .2、若方程2210mxx 是关于x的一元
18、二次方程，则m 3、利用完全平方公式填空：22_)(_8xxx 4、设一元二次方程2730 xx 的两个实数根分别为1x和2x，则12xx，x1、x2 5、当 x=_时，代数式3x2-6x 的值等于 12 6、已知 m是方程 x2-x-2=0的一个根，则代数式m2-m的值是_ 7、请写出一个含有根-1 的用一元二次方程 二、选择题 1、一元二次方程 3x2=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（）A3，5 B3，-5 C3，0 D5，0 2、方程0)1(xx的根为()A0 B1 C0，1 D 0，1 3、用配方法解方程2250 xx 时，原方程应变形为（）A 216x B 216x C229x
19、 D 229x 4、若a+b+c=0，则关于x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有一根是（）A1 B-1 C 0 D 无法判断 5、某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件 100 元降至 81 元，求平均每次降价的百分率设平均每次降价的百分率为x，可列方程（）A100（1-x）2=81 B81（1+x）2=100 C100（1+x）=812 D2100（1-x）=8 三、解方程 1、2x（x-1）=x-1 2、x(x+2)=3 二次方程一般形式其中二次项系数是一次项系数是常数项是判断一元二次方程的依据只含有一个未知数是整式方程二次项系数不为未知数最高次数是典型例题下列是关
20、于的一元二次方程的是方程的二次项系数一次项系数常数项分别数的值就是方程的解应用利用根的概念求代数式的值典型例题关于的一元二次方程的一个根是则的值为或考点三一元二次方程的解法直接开平方法适用方程特征典型例题的解是精品资料欢迎下载因式分解法适用方程特征方程左边可的右边化为将方程左边分解成两个一次因式的乘积令每个因式分别为得两个一元一次方程解这两个一元一次方程它们的解就是原方程的解典型例题解方程配方法即通过配方将方程化为的形式再用直接开平方法求解用配方法解二次项精品资料 欢迎下载 3、072)3(22x 4、02232xx 四、如图，在一块长为 22 米、宽为 17 米的矩形地面上，要修建同样宽的两
21、条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为 300 平方米，求草坪的宽度？五、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售 20 件，每件赢利 40 元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取社党降价措施。经调查发现，如果每件衬衫煤降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。求（1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。二次方程一般形式其中二次项系数是一次项系数是常数项是判断一元二次方程的依据只含有一个未知数是整式方程二次项系数不为未知数最高次数是典型例题下列是关于的一元二次方程的
22、是方程的二次项系数一次项系数常数项分别数的值就是方程的解应用利用根的概念求代数式的值典型例题关于的一元二次方程的一个根是则的值为或考点三一元二次方程的解法直接开平方法适用方程特征典型例题的解是精品资料欢迎下载因式分解法适用方程特征方程左边可的右边化为将方程左边分解成两个一次因式的乘积令每个因式分别为得两个一元一次方程解这两个一元一次方程它们的解就是原方程的解典型例题解方程配方法即通过配方将方程化为的形式再用直接开平方法求解用配方法解二次项精品资料 欢迎下载 二次方程一般形式其中二次项系数是一次项系数是常数项是判断一元二次方程的依据只含有一个未知数是整式方程二次项系数不为未知数最高次数是典型例题下列是关于的一元二次方程的是方程的二次项系数一次项系数常数项分别数的值就是方程的解应用利用根的概念求代数式的值典型例题关于的一元二次方程的一个根是则的值为或考点三一元二次方程的解法直接开平方法适用方程特征典型例题的解是精品资料欢迎下载因式分解法适用方程特征方程左边可的右边化为将方程左边分解成两个一次因式的乘积令每个因式分别为得两个一元一次方程解这两个一元一次方程它们的解就是原方程的解典型例题解方程配方法即通过配方将方程化为的形式再用直接开平方法求解用配方法解二次项