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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4 页，23 小题，满分150 分，考试用时120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的
2、整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合24260MxxNx xx，则MNI=A43xxB42 xxC22xxD23xx2设复数z满足=1iz，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A22+11()xyB221(1)xyC22(1)1yxD22(+1)1yx3已知0.20.32log 0.220.2abc，则AabcBacbCcabDbca4 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（512 0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳
3、斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A165 cm B175 cm C 185 cm D190 cm 5函数f(x)=2sincosxxxx在,的图像大致为ABCD6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是A516B1132C2132D11167已知非零向量a，b满足|2|ab，且()abb，则a与b的夹角为A6B3C2
4、3D568如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上用铅笔将试卷类型填涂在答题卡的相应位置上作答选择题时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案不能答在试划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效考生必须保答题卡的整洁考试结束后将试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯便是如此此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金
5、分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大AA=12ABA=12ACA=112ADA=112A9记nS 为等差数列na的前n项和已知4505Sa，则A25nanB310nanC228nSnnD2122nSnn10已知椭圆 C 的焦点为121,01,0FF()，()，过F2的直线与C交于A，B两点若22|2|AFF B，1|ABBF，则C的方程为A2212xyB22132xyC22143xyD22154xy11关于函数()sin|sin|f xxx有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间（2,）单调递增f(x)在,有 4 个零点f(x)的最大值为 2 其中所有正确结
6、论的编号是ABCD12已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为 2 的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，CEF=90，则球O的体积为A68B64 C62D6二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线23()exyxx在点(0)0，处的切线方程为_ 14记Sn为等比数列an 的前n项和若214613aaa，则S5=_ 的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上用铅笔将试卷类型填涂在答题卡的相应位置上作答选择题时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案不能答在试划掉原来的
7、答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效考生必须保答题卡的整洁考试结束后将试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯便是如此此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大15 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场
8、比赛结果相互独立，则甲队以41 获胜的概率是 _16 已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若1F AABuuu ruuu r，120F B F Buuur uuuu r，则C的离心率为_三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17(12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC（1）求A；（2）若22abc，求 s
9、inC18 （12 分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值19 （12 分）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3APPBuuu ruuu r，求|AB|20（12 分）已知函数()sinln(1)fxxx，()fx为()f x的导数证明：的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上用铅笔将试卷类型填涂在答题卡的相应位置上作答选择题时
10、选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案不能答在试划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效考生必须保答题卡的整洁考试结束后将试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯便是如此此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大（1）()fx在区间(1,)2存在唯一极大值点；（2）()f x有且仅有2 个零点21
11、（12 分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求
12、X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，(0,1,8)ip iL表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p，81p，11iiiipapbpcp(1,2,7)iL，其中(1)aP X，(0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8(i)证明：1iipp(0,1,2,7)iL为等比数列；(ii)求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt，（t
13、为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值23 选修 45：不等式选讲 （10 分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上用铅笔将试卷类型填涂在答题卡的相应位置上作答选择题时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案不能答在试划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效考生必
14、须保答题卡的整洁考试结束后将试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯便是如此此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学?参考答案一、选择题1C 2 C 3B 4 B 5D 6A 7B 8A 9A 10B 11C 12 D 二、填空题13 y=3x141213150.18 16 2 三、解答题17 解：（1）由已知得222sinsinsins
15、insinBCABC，故由正弦定理得222bcabc由余弦定理得2221cos22bcaAbc因为0180A，所以60A（2）由（1）知120BC，由题设及正弦定理得2 sinsin 1202sinACC，即631cossin2sin222CCC，可得2cos602C由于0120C，所以2sin602C，故sinsin6060CCsin60cos60cos60sin 60CC62418 解：（1）连结B1C，ME因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且ME=12B1C又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D由题设知A1B1PDC，可得B1CPA1D，故MEPND，因此四边形M
16、NDE为平行四边形，MNED的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上用铅笔将试卷类型填涂在答题卡的相应位置上作答选择题时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案不能答在试划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效考生必须保答题卡的整洁考试结束后将试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯便是如此此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的
17、长度为则其身高可能是函数在的图像大又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE（2）由已知可得DEDA以D为坐标原点，DAuuu r的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则(2,0,0)A，A1(2,0,4)，(1,3,2)M，(1,0,2)N，1(0,0,4)A Auuur，1(1,3,2)AMuuuur，1(1,0,2)A Nuuuu r，(0,3,0)MNuuuu r设(,)x y zm为平面A1MA的法向量，则1100AMA Auuuuruuurmm，所以32040 xyzz，可取(3,1,0)m设(,)p q rn为平面A1MN的法向量，则100MNANuuuu r
18、uuuu r，nn所以3020qpr，可取(2,0,1)n于是2 315cos,|525m nm nmn，所以二面角1AMAN的正弦值为10519 解：设直线11223:,2l yxt A xyB xy（1）由题设得3,04F，故123|2AFBFxx，由题设可得1252xx的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上用铅笔将试卷类型填涂在答题卡的相应位置上作答选择题时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案不能答在试划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效考生必须保答题卡的整洁考试结束后将试卷和答题卡一并交
19、回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯便是如此此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大由2323yxtyx，可得22912(1)40 xtxt，则1212(1)9txx从而12(1)592t，得78t所以l的方程为3728yx（2）由3APPBuuu ruuu r可得123yy由2323yxtyx，可得2220yyt所以122yy从而2232yy，故211,3yy代入C的方程得1213,3xx故4 1
20、3|3AB20 解：（1）设()()g xf x，则1()cos1g xxx，21sin()(1xxgx.当1,2x时，()g x单调递减，而(0)0,()02gg，可得()gx在1,2有唯一零点，设为.则当(1,)x时，()0gx；当,2x时，()0gx.所以()g x在(1,)单调递增，在,2单调递减，故()g x在1,2存在唯一极大值点，即()f x在1,2存在唯一极大值点.（2）()f x的定义域为(1,).（i）当(1,0 x时，由（1）知，()f x在(1,0)单调递增，而(0)0f，所以当(1,0)x时，()0f x，故()f x在(1,0)单调递减，又(0)=0f，从而0 x是
21、()f x在(1,0的唯一零点.（ii）当0,2x时，由（1）知，()f x在(0,)单调递增，在,2单调递减，而(0)=0f，的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上用铅笔将试卷类型填涂在答题卡的相应位置上作答选择题时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案不能答在试划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效考生必须保答题卡的整洁考试结束后将试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯便是如此此外最美人
22、体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大02f，所以存在,2，使得()0f，且当(0,)x时，()0f x；当,2x时，()0f x.故()f x在(0,)单调递增，在,2单调递减.又(0)=0f，1ln 1022f，所以当0,2x时，()0f x.从而，()f x在0,2没有零点.（iii）当,2x时，()0f x，所以()f x在,2单调递减.而02f，()0f，所以()f x在,2有唯一零点.（iv）当(,)x时，ln(1)1x，所以()f x0，从而()f x在(,)没有零点.综上，()f x
23、有且仅有 2个零点.21 解：X的所有可能取值为1,0,1.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P XP XP X，所以X的分布列为（2）（i）由（1）得0.4,0.5,0.1abc.因此11=0.4+0.5+0.1iiiipppp，故110.10.4iiiipppp，即114iiiipppp.又因为1010ppp，所以1(0,1,2,7)iippiL为公比为4，首项为1p的等比数列（ii）由（i）可得8887761008776101341pppppppppppppppLL.的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上用铅笔将试卷类型填涂在答题卡的相应位置上作答选择题时选出每小题答案后用铅笔
24、在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案不能答在试划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效考生必须保答题卡的整洁考试结束后将试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯便是如此此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大由于8=1p，故18341p，所以44433221101411.3257pppppppppp4p 表示最终认
25、为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.22 解：（1）因为221111tt，且22222222141211yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx.l的直角坐标方程为23110 xy.（2）由（1）可设C的参数方程为cos,2sinxy（为参数，）.C上的点到l的距离为4cos11|2cos2 3 sin11|377.当23时，4cos113取得最小值 7，故C上的点到l距离的最小值为7.23解：（1）因为2222222,2,2a
26、bab bcbc caac，又1abc，故有222111abbccaabcabbccaabcabc.所以222111abcabc.（2）因为,a b c为正数且1abc，故有3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)a b b c ac3(2)(2)(2)abbcac=24.的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上用铅笔将试卷类型填涂在答题卡的相应位置上作答选择题时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案不能答在试划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效考生必须
27、保答题卡的整洁考试结束后将试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯便是如此此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大所以333()()()24abbcca.的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上用铅笔将试卷类型填涂在答题卡的相应位置上作答选择题时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案答案不能答在试划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效考生必须保答题卡的整洁考试结束后将试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯便是如此此外最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例且腿长为头顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大