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1、v .资 料.以圆为背景的相似三角形的计算与证明 【经典母题】如图 Z131，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BCAC于点C，交半圆于点F.已知AC12，BC9，求AO的长 图 Z131 经典母题答图 解：如答图，连结OE，设O的半径是R，则OEOBR.在 RtACB中，由勾股定理，得 ABAC2BC215.AC切半圆O于点E，OEAC，OEA90C，OEBC，AEOACB，OEBCAOAB，R915R15，解得R458，AOABOB15R758.【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长【中考变形】1如图
2、Z132，在 RtACB中，ACB90，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB图 Z132 v .资 料.相切于点D，连结OD.(1)求证：ADOACB；(2)若O的半径为 1，求证：ACADBC.证明：(1)AB是O的切线，ODAB，CADO90，AA，ADOACB；(2)由(1)知，ADOACB.ADACODBC，ADBCACOD，OD1，ACADBC.22017德州 如图 Z133，已知 RtABC，C90，D为BC的中点，以AC为直径的O交AB于点E.(1)求证：DE是O的切线；(2)若AEEB12，BC6，求AE的长 图 Z133 中考变形 2 答图 解：(1)证明：如
3、答图，连结OE，EC，AC是O的直径，AECBEC90，D为BC的中点，EDDCBD，12，OEOC，34，1324，即OEDACB，ACB90，OED90，DE是O的切线；已知求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心点求证是的切线若求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线资料由知在与中设则解得即如图已知是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线若求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点过点作的切线与直径的
4、延长线交于点求证若求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线资料为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣v .资 料.(2)由(1)知BEC90，在 RtBEC与 RtBCA中，BB，BECBCA，BECBCA，BEBCBCBA，BC2BEBA，AEEB12，设AEx，则BE2x，BA3x，BC6，622x3x，解得x 6，即AE 6.3如图 Z134，已知AB是O的直径，BCAB，连结OC，弦ADOC，直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是O的切线；(2)若DE2BC，求ADOC的值 图 Z134 中考
5、变形 3 答图 解：(1)证明：如答图，连结DO.ADOC，DAOCOB，ADOCOD.OAOD，DAOADO，CODCOB.又COCO，ODOB，CODCOB(SAS)，CDOCBO90，即ODCD.又点D在O上，直线CD是O的切线；(2)由(1)知，CODCOB，CDCB.已知求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心点求证是的切线若求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线资料由知在与中设则解得即如图已知是的直径连
6、结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线若求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点过点作的切线与直径的延长线交于点求证若求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线资料为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣v .资 料.DE2BC，DE2CD.ADOC，EDAECO，ADOCDECEDEDECD23.42016广东 如图 Z135，O是ABC的外接圆，BC是O的直径，ABC30.过点B作O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：AC
7、FDAE；(2)若SAOC34，求DE的长；(3)连结EF，求证：EF是O的切线 图 Z135 中考变形 4 答图 解：(1)证明：BC为O的直径，BAC90，又ABC30，ACB60，又OAOC，OAC为等边三角形，即OACAOC60，AF为O的切线，OAF90，CAFAFC30，DE为O的切线，DBCOBE90，已知求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心点求证是的切线若求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线资
8、料由知在与中设则解得即如图已知是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线若求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点过点作的切线与直径的延长线交于点求证若求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线资料为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣v .资 料.DDEA30，DCAF，DEAAFC，ACFDAE；(2)AOC为等边三角形，SAOC34OA234，OA1，BC2，OB1，又DBEO30，BD23，BE3，DE33；(3)证明：如答图，过点O作OMEF于点M，OAOB，OAFOBE90，BOEAOF，OAF
9、OBE(SAS)，OEOF，EOF120，OEMOFM30，OEBOEM30，即OE平分BEF，又OBEOME90，OMOB，EF为O的切线 52017株洲 如图 Z136，AB为O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BEEF，线段CE交弦AB于点D.(1)求证：CEBF；(2)若BD2，且EAEBEC315，求BCD的面积 图 Z136 中考变形 5 答图 已知求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为
10、圆心点求证是的切线若求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线资料由知在与中设则解得即如图已知是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线若求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点过点作的切线与直径的延长线交于点求证若求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线资料为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣v .资 料.解：(1)证明：如答图，连结AC，BE，作直线OC，BEEF，FEBF，AEBEBFF，F 12AEB，C是AB的中点，ACBC，AECBEC，AEBAECBEC，AEC12AE
11、B，AECF，CEBF；(2)DAEDCB，AEDCEB，ADECBE，ADCBAECE，即ADCB35，CBDCEB，BCDECB，CBECDB，BDCBBECE，即2CB15，CB25，AD6，AB8，点C为劣弧AB的中点，OCAB，设垂足为G，则AGBG12AB4，CGCB2BG22，SBCD12BDCG12222.6如图 Z137，AB是O的直径，C为O上一点，AE和过点C的切线互已知求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心点求证
12、是的切线若求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线资料由知在与中设则解得即如图已知是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线若求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点过点作的切线与直径的延长线交于点求证若求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线资料为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣v .资 料.相垂直，垂足为E，AE交O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连结AC，BC，PBPC12.(1)求证：AC平分BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由 图 Z137
13、中考变形 6 答图 解：(1)证明：如答图，连结OC.PE是O的切线，OCPE，AEPE，OCAE，DACOCA，OAOC，OCAOAC，DACOAC，AC平分BAD；(2)线段PB，AB之间的数量关系为AB3PB.理由：AB是O的直径，ACB90，BACABC90，OBOC，OCBABC，PCBOCB90，PCBPAC，P是公共角，PCBPAC，PCPAPBPC，PC2PBPA，已知求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心点求证是的切线
14、若求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线资料由知在与中设则解得即如图已知是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线若求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点过点作的切线与直径的延长线交于点求证若求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线资料为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣v .资 料.PBPC12，PC2PB，PA4PB，AB3PB.72016枣庄 如图 Z138，AC是O的直径，BC是O的弦，P是O外一点，连结PA，PB，AB，已知PBAC.(1)求证：PB是O的切线；(2)
15、连结OP，若OPBC，且OP8，O的半径为 22，求BC的长 图 Z138 中考变形 7 答图 解：(1)证明：如答图，连结OB，AC是O的直径，ABC90，CBAC90.OAOB，BACOBA，PBAC，PBAOBA90，即PBOB.PB是O的切线；(2)O的半径为 22，OB22，AC42，OPBC，BOPOBCC，又ABCPBO90，ABCPBO，BCBOACPO，即BC22428，BC2.82017聊城 如图 Z139，O是ABC的外接圆，O点在BC边上，已知求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从
16、而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心点求证是的切线若求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线资料由知在与中设则解得即如图已知是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线若求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点过点作的切线与直径的延长线交于点求证若求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线资料为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣v .资 料.BAC的平分线交O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是O的
17、切线；(2)求证：PBDDCA；(3)当AB6，AC8 时，求线段PB的长 图 Z139 中考变形 8 答图 解：(1)证明：圆心O在BC上，BC是O的直径，BAC90，如答图，连结OD，AD平分BAC，BAC2DAC，DOC2DAC，DOCBAC90，即ODBC，PDBC，ODPD，OD为O的半径，PD是O的切线；(2)证明：PDBC，PABC，ABCADC，PADC，PBDABD180，ACDABD180，PBDACD，PBDDCA；已知求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线
18、段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心点求证是的切线若求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线资料由知在与中设则解得即如图已知是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线若求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点过点作的切线与直径的延长线交于点求证若求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线资料为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣v .资 料.(3)ABC为直角三角形，BC2AB2AC26282100，BC10，OD垂直平分BC，DBDC，BC为O的直径，BDC90，在 RtDB
19、C中，DB2DC2BC2，即 2DC2BC2100，DCDB52，PBDDCA，PBDCBDAC，即PBDCBDAC52528254.【中考预测】2017黄冈模拟 如图 Z1310，AB为O的直径，CD与O相切于点C，且ODBC，垂足为F，OD交O于点E.证明：(1)DAEC；(2)OA2ODOF.图 Z1310 中考预测答图 证明：(1)如答图，连结OC，CD与O相切于点C，OCD90.OCBDCF90.DDCF90，OCBD，OBOC，OCBB，已知求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角
20、形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心点求证是的切线若求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线资料由知在与中设则解得即如图已知是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线若求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点过点作的切线与直径的延长线交于点求证若求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线资料为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣v .资 料.BAEC，DAEC；(2)BAEC，DB，ODBC，BFOOCD90，BOFDOC，OCOFODOB，即OAOFODOA，OA
21、2ODOF.已知求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心点求证是的切线若求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线资料由知在与中设则解得即如图已知是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线若求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点过点作的切线与直径的延长线交于点求证若求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线资料为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣