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1、单线段最值问题（一）一一基本分类邓晋荣一、 单动点若要求最值的线段一端为定点，另一端为动点，则需要研究动点所在轨迹，一般为圆或直线.1 .点在直线上运动点P是直线/上一动点，A是直线外一点，求八夕的最小值.过点4作4户_1/,垂足为，贝IJA产WAP.2 .点在圆上运动点P为0上一动点，4是圆外一点，求AP的最值.连接A。并延长，交。于耳、鸟两点，则例1.如图，已知正方形ABC。，AB=2 , E、F分别在3C、CO上运动，且“ =CF, AE. BF交于点G ,则CG的最小值为.例2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2, 4）,点尸（1,0） , 8是轴y上一动点，过点A作A8_L AC
2、交x轴于点C, M是8。中点，则PM的最小值为.例3.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形。43。的顶点A在y轴上，OA = 3, OC=4, D 是线段AB上一动点，以CO为边在与点B同侧作正方形CDEF ,则0E的最小值为例4.如图，在边长为a的等边A8C中，ADA. BC,点E是直线4。上的一个动点，连接CE, 把线段CE绕点。逆时针旋转60。得到CF,连接。尸，则。尸的最小值为.例5.如图，在RtZkABC中，ZACB = 900, AC=BC=4,。是BC边上一动点，连接AO交 以CO为直径的圆于点E,则BE的最小值为.例6.如图，在AAC中，ZACB = 90, N44C=30。，B
3、C = 2,。是44边上一点，以AO 为边在aABC外侧作等边AOE,过点。作。E的垂线，尸是垂线上一点，G是EF中点， 则CG的最小值为3 .多动点转化为单动点（1）双动点转单动点 例 7.如图，在 RIA4BC 中，ZC= 90 , AC=4 , BC=3,。是 AC 上一动点，DEI AC, DF1BC,则M的最小值为.例8.如图，0A与x轴交于8（2, 0）、C（4, 0）两点，点?是），轴上一动点，OP切0A于点。,则。2的最小值为例9.如图，在坐标系中，点4、8分别在x、），轴上运动，且人8 = 2 ,在第一象限作等边ABC, 则OC的最大值为.例10.如图，在坐标系中，点A、8分
4、别在x轴、直线y = x上运动，且A8 = 2,以A8为边在点。异侧作等边4水：,则OC的最大值为圆中的弦，由半径与圆心角（圆周角）决定，若圆心角固定，则弦的最值转化为半径的最 值.半径的最值问题可以转化为单动点问题，也可以由半径与弦的关系求得（0/42/）. 例 11.如图，在ABC 中，AB=AC = Sf ZBAC= 120,力在线段上且 CO = 3B。,点、E、尸分别在射线B4、CA上，若NEDF=60。,则行的最小值为例12. 如图，已知），=-%-%+ 6与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,。是线段 848。上一动点，P是中点.过点。分别作AB、AC的垂线，垂足为E、尸两点，则
5、所 的最小值为.例13. 如图，在RS48C中，AC = 6, BC=8, P、。是AC、8C上的动点，aCrQ的 外接圆，恰好与直线48相切，贝IJPQ的最小值为.动态折叠的情况更加复杂,可以转化为单动点问题，也可能无法转化.例 14. 如图，在RtAABC中，NACB = 90。，4c = 6, C=4,。是 AC 中点，E在 BC 上运动，沿。E折叠，使点C落在C处，则8。的最小值为.例 15. 如图，在 RSA4C 中，NACB = 90。, AC = 6, 4C = 8,。、E 分别是 AC、BC 上的动点，沿。E折叠，使点C落在。处，则AC的最小值为.例16. 如图，已知等边A8C
6、,边长为4,。、E是AC、AB上两动点，沿。E折直， 使点A恰好落到上，则CO的最大值为.例14例15B单线段最值问题（二）一一连锁轨迹邓晋荣 例1.如图，在BC中，AB = 2 , AC = 3 ,以8C作等边BCD, B、D、C三点为逆时 针顺序，则A。的最大值为.例2.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形。48C的顶点A在y轴上，QA = 3，OC = 4,。是 线段A8上一动点，以CO为边在与点8同侧作正方形CDEF,则OE的最小值为 例3.如图，在边长为a的等边ABC中，ADA. BC，点、E是直线A。上的一个动点，连接CE, 把线段CE绕点。逆时针旋转60。得到CF,连接。则。尸的最
7、小值为.实际上，例1可以修改如下：例4.如图，AC=3 ,点B在以4为圆心，半径为2的圆上运动，以BC为边作等边 BCD , B、C、。三点为逆时针顺序，则A。的最大值为一思考，我们能否证明点。也在某个圆上运动？如果把例4中的等边三角形改为等腰直角三角形呢？例5.如图，AC=3,点4在以A为圆心，半径为2的圆上运动，以8c为斜边作等腰直角 BCD, B、C、。三点为逆时针顺序，则人。的最大值为.1 .位似变换如图，A是定点，点户在直线BC （感O ）上运动，M是AP中点2 .旋转变换（旋转型全等）如图，4是定点，点P在直线8C C或O）上运动，作等腰直角APQ, PAQ= 90 （此处可以看作
8、点P绕点、A逆时针旋转90。）3 .旋转位似变换（旋转型相似）如图，A是定点，点P在直线8C 减 O）上运动，作等腰直角“PQ, ZAPQ = 90（此处可以看作点P绕点A逆时针旋转45。后，再以点A为位似中心扩大应倍）结论1：若某动点（称为主动点）在某轨迹上运动，则与其连锁运动的点（称为从动点）也 在同样的轨迹上运动。主动点在某直线上运动，从动点也在另一直线上运动；主动点在某圆上 运动，从动点也在另一圆上运动。（此处的“连锁运动”即指主动点经过固定几何变换得到从动点）结论2：若主动点圆上运动，则应该把圆心进行同样的几何变换，得到从动点的圆心；若主动 点在直线上运动，则选择该直线上任意一点，进
9、行同样的几何变换，变换后的点与从动点构成从动点所在直线。之后，再通过“手拉手”模型进行推导证明。结论3：主动点所在轨迹与从动点所在轨迹的长度之比等于位似比。例6.如图，在四边形A8CD中，ZS4BC=ZADC=9O, AD = CD=42 , E是3D中点,则CE的最小值为.例7.如图，在坐标系中，点A(3, 0)，点B在直线上运动，以AB为边作等边48C, 8、A、C三点为逆时针顺序，则0C的最小值为.例8.如图，4B是。0的直径，C是08上一点，P是00上一动点，以CP为底边作等腰直角ACPD,尸、C、力三点为逆时针顺序，若48 = 6, 0C=2 ,则A。的最小值为.例9.如图，点O在线
10、段人8上，OB = 2,以点。为圆心，04长为半径作90,点 。在 8上运动，以 8P为边作4CP,使 NH3C=9O。，tanZPC = 2, P、B、C三点 为逆时针顺序，则AC的取值范围是.例10.如图，在平面直角坐标系中，已知点4(2, 4),点P(l, 0), B是轴)，上一动点,过点人作4c交x轴于点C, M是BC中点，则PM的最小值为.单线段最值问题练习练1.如图，在00中，半径为6, C是8上一动点，且NACB=30。，延长。交过点A的 切线于点。，则8。的最小值为.练2.如图，点A是直线y = -x上的动点，点B在工轴上运动，作矩形ABCD, A8= 2 , AD= 1 ,
11、A、B、。、。四点为逆时针顺序，则。的最大值为.练3.如图，在等边aABC中，4/3 = 3,点。、E分别在8C、4c上运动，旦BD = CE , AD 交BE于点、F ,则CF的最小值为.练4.如图，在菱形ABC。中，AC=2, BD = 4, P是CO上一动点，分别作点P关于AC、AO的对称点4、P2,则的最小值为练5.如图，己点4(3, 0) , C(0,-4), C的半径为2，点尸是D C上一动点，M是A尸中点，则0例的最小值为.练6.如图，已知。半径为3 , A、8是0。上两点，将点B绕点A逆时针旋转90。得到点C , 则0C的最小值为.练7.如图，AB是00的直径，。是人8中点，。
12、是8c上一动点，过点。作CE_LC。交A。于点E,则BE的最小值为.练8.如图，在等边ABC中，。是8c上一动点，M是A。中点，将线段0M绕点。顺时 针旋转60。得到。N.当点。从点8运动到点。时，点N运动的凯迹长为.练9.如图，已知定点A横坐标为2币，过点A且垂直于x轴的直线交x轴于点M ,交直线y = T于点 N. P是线段ON上一动点，作APB, ZBAP=90, NAP8=30。，A、P、 4三点为逆时针顺序.当点乃从点。运动到点N时，点8运动的轨迹长为.A练10. 如图，AP = 3,8。= 4,作正方形AZ?CO, A、4、C、。四点为逆时针顺序，CP的最大值为 练11. 如图等边
13、中，。是AC边上一动点，作ABDP , NPBD = 30。, PB=PD, P、8、。三点为逆时针顺序，则CO的最小值为.统（12. 如图，AABC u 5DE ,NB4C=NOAE=90。，人 8 = 6, AC = 8,尸是。石中点， 若点。在直线上运动，连接c，则线段。尸的最小值为.练13. 如图，已知菱形A8CO, A8=8, ZBAD=60, P在线段BC上，CP =3,。是A。 上一动点，沿尸。折叠四边形ABPQ ,得到四边形ABPQ ,当DB最小时，。的值为练 14. 如图，在AABC中，ZC= 30, 4C = 3, 3BC6,点。、E分别在AB、AC 上，将4。石沿OE折叠，使点人恰好落在上，则CE的最大值为.