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1、2020中考常见最值问题总结归纳微专题一：单线段最值+单动点型WORKING PLAN类型二:动点轨迹一或圆弧型考法指导动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点 到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求 解。确定动点轨迹为或者圆弧型的方法:(1)动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。(2)当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运 用如下；见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形【典例精析】例题1.如图，点。在半圆。上，半径08 = 5, AD = 49点。在弧3。上移动，连接/C
2、, 作DH_L4C,垂足为，连接5,点C在移动的过程中，5的最小值是.2V22-2【详解】如图，设AD的中点为点E,则4 = 。=，40 =,义4 = 2 22由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上由点与圆的位置关系得：连接BE,与圆E交于点H,则此时3取得最小值，EH=2连接BDAB为半圆0的直径.AADB = 90. BD = JAB2-AD2 = 7（5 + 5）2-42 = 2721.BE = 7 RD2 + ED2 = 7（2V2?）2+22 = 2722:.BH = BE-EH = 2y/22-2【针对训练】1.（江阴市）如图，长方形ABCD中，AB=6, BC=
3、4,在长方形的内部以CD边为斜边任意作RtACDE,连接AE,则线段AE长的最小值是.详解：如图，点在以点F为圆心，。尸为半径的圆上运动，当A,E,F三点共线时,AE值最小，OF=！ x6=3,在长方形ABC。中，AD=BC=49由勾股定理得： 2AF= 4 AD1 + DF2 = a/42 +32 =5.V EF=-CD=-x6=3, ：.AE=AF- EF=5 - 3=2,即线段 AE 长的最小值是 2.22故答案为2.2. （陕西省中考模拟）如图，在矩形力笈。中，AB=494。=6, 是边的中点，尸是 线段上的动点，将AEB尸沿E/所在直线折叠得到AEBR 连接O,则O的最小 值是 .2
4、丽-2.【详解】如图所示点夕在以为圆心 现 为半径的圆上运动，当。、B石共线时，夕。的值最小, 根据折叠的性质，EBFQAEBF,:/B=/EBH EBEB.;后是43边的中点，AB=4,:AE=EB，=2.9：AD=69 =面+22 =2而,，笈。=2丽一2.3. （,湖南省）如图，RtZZ5C 中，AB 上 BC, AB = 6, BC = 4,。是内部的 一个动点，且满足/产力8 + /尸诩= 90,则线段长的最小值为.2：【详解】VZPAB+ZPBA=90A ZAPB=90点P在以AB为直径的弧上（P在ABC内）设以AB为直径的圆心为点0,如图接OC,交OO于点P,此时的PC最短VAB
5、=6,AOB=3? BC=4 OC = yOB2+BC2 =a/32 +42 =5，PC=5-3=2（河南省）如图，在RtA48C中，ZC = 90，AC = 4, BC = 3,点。是A8的三等分点，半圆。与AC相切，/W, N分别是8c与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A. 5B. 6C. 7D. 8B【详解】如图，设。与AC相切于点D,连接OD,作垂足为P交。于F,此时垂线段。最短，PF最小值为。P-。尸，V AC = 4, BC = 3,：.AB = 5丁 ZOPB = 90， OPAC点。是A8的三等分点,OB = x 5 =310 OP OB 23 AC AB 3.
6、OP = - 。0与ZC相切于点。,：.OD1AC, OD II BC，OD OA 1 ,BC AB 3。=1,o5M/V最小值为OP 。b二 1 二, 33如图，当N在AB边上时，M与8重合时，M/V经过圆心，经过圆心的弦最长,日一士 10 I 13MN 取大值=1-1 = 一 ，335 13 , _ + =6,3 3：.MN长的最大值与最小值的和是6.故选B.5. （2017贵州中考真题试卷）如图，在矩形纸片A8CD中，AB = 2, 40 = 3,点E是AB 的中点，点F是4。边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到则4C 的长的最小值是（ ）BA.A.V13B. 3C. 713-1d
7、. Vio-i【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点A在线段CE上时，AC的长取最小值,如图所示,根据折叠可知：AE = AE =，AB = 1.2在 RtaBCE 中，BE =，AB = 1, BC = 3, 4B = 90。， 2. CE = Vbe2 + bc2 = Vw，.A!C的最小值=CE AE =丽一 1.故选D.6.（山东省中考模拟）如图，在 RtZkABC 中，ZABC= 9009 ZACB=30f 8c=20 , /ADC 与ABC关于AC对称，点、F分别是边OC、BC上的任意一点，且D=CF, BE、DF相交于点P,则CP的最 小值为（）A. 1 B.
8、V3 C. 1d. 2D【详解】连接 AD,因为NACB = 30。，所以NBCO = 60。，因为CB = CD,所以CB。是等边三角形，所以BD = DC.因为 0E=CF, ZEDB=ZFCD = 609所以EDBgZXFCD,所以/EB0=NFDC,因为 NFDC+ ZBDF=60,所以NEBD+NBDF=60,所以NBPD = 120,所以点P在以人为圆心，八。为半径的弧8。上，直角ABC 中，ZACB = 30 BC=2y3,所以 43 = 2, 47=4,所以AP=2.当点4 P,。在一条直线上时，CP有最小值，CP的最小值是AC-AP=42 = 2.故选D.7.(2017四川中
9、考真题试卷)如图，在。中，直径CD垂直于不过圆心。的弦AB,垂足为点N,连接AC,点E在AB上，且AE=CE.(1)求证：AC2=AE*AB；(2)过点B作。的切线交EC的延长线于点P,试判断PB与PE是否相等，并说明理由；(3)设。O半径为4,点N为OC中点，点Q在。O上，求线段PQ的最小(1)证明见解析；(2) PB=PE； (3) “J21T23【详解】(1)如图 1,连接 BC,CD 为。的直径，AB_LCD,品C=q。，二NABC, TEOAE,二次函数最值公式法夹逼法一元二次方程判别式法函数最值最值问题几何最值一元二次方程配方法设X,构造函数法利用一次函数增减性，确定最值单线段最值
10、双线段最值轨迹直线型单动点型双动点型PA+PB 型PA+K*PB 型PA-PA 型三线段最值费马点模型 轨迹圆或圆弧型轨迹不确定型利用等量代换转化利用和差关系转化利用勾股定理转化利用三角形边角关系转化两定一动两定两动一定两动胡不归模型阿氏圆模型同侧差值最大异侧差值最大AC AE 0ZA=ZACE, A ZABC=ZACE, VZA=ZA, A AAECAACB, A =,AAC2=AE*AB；AB AC(2) PB=PE,理由是:如图 2,连接 OB, .PB 为。的切线，AOBPB, A ZOBP=90, A ZPBN+ZOBN=90,VZOBN+ZCOB=90, A ZPBN=ZCOB,
11、V ZPEB=ZA+ZACE=2ZA, ZC0B=2ZA,A ZPEB=ZCOB, AZPEB=ZPBN,.PB=PE；(3)如图 3, YN 为 OC 的中点，ON=-OC=-OB, RtZOBN 中,ZOBN=30, AZCOB=60,22VOC=OB, OCB为等边三角形，Q为。任意一点，连接PQ、0Q,因为0Q为半径, 是定值4,则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、。三点共线时，PQ最小，Q为0P 与。的交点时，PQ 最小，ZA=i ZCOB=30, AZPEB=2ZA=60, ZABP=90 - 30=60, 2PBE 是等边三角形，RtZkOBN 中，BN=2_22 =25
12、: AB=2BN=4招，设 AE=x,则CE=x,EN=2道 - x，RtZXCNE 中，丁=22十(2/2,-g争竽,RtZXOPB 中，0P二府+OB) “呼)2+4?=殍.PQ.坦7.迪士33.PQ.坦7.迪士33则线段PQ的最小值是38.(2017浙江中考真题试卷)如图，过抛物线丁=工，-2”上一点A作工轴的平行线，交4抛物线于另一点B,交串轴于点C,已知点A的横坐标为一2.(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D；连结BD,求BD的最小值；当点D落在抛物线的对称轴上，且在“轴上方时，求直线PD的函数表达oo 425(l)x=
13、4； B (10, 5). (2) 5袤一5 . y二X+ .33【详解】-2(1)由题意A ( - 2, 5),对称轴x=- f =4,2 X -4,: A、B关于对称轴对称,AB (10, 5).(2)如图1中,由题意点D在以0为圆心0C为半径的圆上,当。、D、B共线时，BD的最小值=0B - 0D=正+102 -5=5-5如图2中，图2当点D在对称轴上时，在RtZODE中，0D=0C=5, 0E=4, DE=力如=五一甲=3, 点D的坐标为(4, 3).设 PC=PD=X,在 RtPDK 中，x2= (4 - x) 2+22,425直线PD的解析式为y=- -x+.33类型三：动点轨迹一
14、不确定型考法指导动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，(1)利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。(2)在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建 全等图形进一步转化求最值。【典例精析】例题1.（如皋市）如图.已知。的半径为3, 0A = 8f点P为。上一动点.以力为边作等边则线段0M的长的最大值为（）A. 9B. 11C. 12D. 14B【详解】解：如图，以0P为边向下作等边POH,连接AH,VAPOH, /XPAM都是等边三角形，.PH=PO, PA=PM, ZPHO=ZAPM=60,ZHPA=ZOPM,.HPAAOPM (SAS),
15、AAH=OM,VAHOH+AO, BP AHOC,当点C,。，E在一条直线上，此时OC最短, 故0c的最小值为：OC=CE- EO = 3-43 故选B.3.（三明初三期中）如图，ZMON=90,矩形ABCD的顶点A、B分别在边0M、0N , 当B在边0N上运动时，A随之在0M上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4, BC=2.运动过程中点D到点0的最大距离是.以D0 B【详解】 如图，取AB的中点E,连接OE、DE、0D,VODJAD2 + AE2 = a/22 +22 = 2V2，0D的最大值为：2及+2,故答案为2血+2.Af4. （南昌初二期末）如图，在/BC中，4c8 =
16、90。，ZCAB = 30 , AB = 6,以线段为边向外作等边48。，点E是线段48的中点，连结CE并延长交线段4D于点歹.求证：四边形BCb。为平行四边形;(2)求平行四边形8CF。的面积；(3)如图，分别作射线CH, CN ,如图中48。的两个顶点力，8分别在射线CN, CM 上滑动，在这个变化的过程中，求出线段的最大长度.【详解】在中，/ACB = 90。，/CAB = 30。，.=/ABC = 60。，在等边 ABD 中，/BAD = 60。，/BAD =/ABC = 60。，E为AB的中点，.AE = BE,又丁 /AEF = /BEC,/.AEF=aBEC 在 ABC 中，/A
17、CB = 90。，E 为 AB 的中点，.CE = LaB, BE = -AB, 22. CE = AE ,. /EAC = /ECA = 30, /. /BCE = /EBC = 60 ,又 丁 aAEFaBEC , /AFE = /BCE = 60 ,又 N D = 60 , /. /AFE = N D = 60 ,FC|BD,又/82 = /阳 = 60。，.人口|8(2,即FD|BC,微专题一：单线段最值+单动点型类型一：动点轨迹一直线型考法指导动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。(1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值(2)当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三
18、种方法进行确定观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定 直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点 的轨迹为直线。【典例精析】例题1.(全国初三单元测试)如图，矩形中，48 = 4, BC = 6,息P是矩形ABCD内一动点，且S.b = Sg，则尸C + PD的最小值为.2V13【详解】.四边形BCFD是平行四边形;在 RLABC 中，/BAC = 30。，AB = 6,BCAB = 3, 2#- AC = y)AB2-BC2 = a/62 -3
19、2 = 373，,二 S 平行四边形 bcfd = 3x3 = 96 ； 取AB的中点G,连结CG, DG, CD CDCG + DG,二.CD的最大长度=CG + DG = 3 + 3g.5.（河北省初三期末）如图，在心A/I8C中，/4CB = 90，将A4BC绕顶点C逆时针旋转得到是8c的中点，N是9的中点，连接若5。= 4,乙43C = 60。,则线段MN的最大值为（）A. 4B. 8C. 473D. 6D【详解】连接CN,将AABC绕顶点C逆时针旋转得到,： /A，CB = ZACB=90。, B，C = BC = 4, ZA1 BC = ZABC = 60 9 = 30。, 4乙二
20、8,N是的中点,:.CN =、AB，= 4, 2在ACMN 中，MNCM+CN,当且仅当 M, C, N 三点共线时，MN=CM+CN=6, 线段MN的最大值为6.故选D.技法3：借助构建全等图形6.（广东中考模拟）如图，在ABC中，ZACB = 90, ZA=30, AB=5,点P是AC上的 动点，连接BP,以BP为边作等边BPQ,连接CQ,则点P在运动过程中，线段CQ长度的 最小值是.5*4【详解】解：如图，取AB的中点E,连接CE, PE.VZACB=90, ZA=30,AZCBE=60,VBE=AE,ACE=BE=AE,BCE是等边三角形,工BC=BE,VZPBQ=ZCBE=60,A
21、ZQBC=ZPBE,VQB=PB, CB=EB,AAQBCAPBE (SAS),AQC=PE,当EPLAC时，QC的值最小，在 RQAEP 中，VAE=|, ZA=30, PE=-AE=-, 24CQ的最小值为今故（7. （福建省初二期中）如图，边长为12的等边三角形48c中，M是高所在直线上的一 个动点，连结MB,将线段B/W绕点8逆时针旋转60。得到BN,连结HN.则在点/W运动过 程中，线段HN长度的最小值是（）D. 1. 5【详解】解：如图，取BC的中点G,连接MG,;旋转角为60。,.ZMBH+ZHBN=60,X V ZMBH+ZMBC=ZABC=60,A ZHBN=ZGBM,VCH
22、是等边AABC的对称轴，1HB二一 AB, 2AHB=BG,又MB旋转到BN,ABM=BN,在MBG和NBH中，BG = BH/MBG = /NBH , MB = NB.MBGANBH (SAS),AMG=NH,根据垂线段最短，当MGLCH时，MG最短，即HN最短, 1 11此时 ZBCH= - x60=30, CG= 一 AB= 一 xl2=6, 222. 1 1 MG= - CG= x6=3，22.HN=3；故选：B.技法4：借助中位线8.（湖北省初三）如图，在等腰直角A4BC中，斜边AB的长度为8,以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP 9 BP的中点M ,则CM的最小值为（）A
23、. 3a/5B. 275-V3 C. V10-V2 D. 3V2-V5C【详解】解：连接AP、CP,分别取AB、BC的中点E、F,连接EF、EM和FM,EM、FM和EF分别是AABP、4CBP和AABC的中位线1 EMAP, FMCP, EFAC, EF=-AC2J ZEFC=180- Z ACB=90VAC为直径A ZAPC=90, BP API CPA EM MF,即 NEMF=90。点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上取EF的中点0,连接0C,点。即为半圆的圆心当0、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CMi的长，;等腰直角445。中，斜边AB的长度为8, AC=BC= AB =
24、 472 2EF4c = 2亿 FC=；BC = 26，22A0Mi=0F=-F = V2根据勾股定理可得oc=Sf2 + fc2 = VioCM1=OC-OM1= Vio - V2即CM最小值为9-J5故选c.9.（北京初三）如图，抛物线歹=%2-1与轴交于4 8两点，O是以点。（0,4）为圆心， 9为半径的圆上的动点，石是线段/Q的中点，连接则线段0E的最小值是（）372 【详解】12 iy二一/一1,9当歹=0时，0 =12一1,解得：x=3, 9 A点与B点坐标分别为：(一3, 0), (3, 0),即：AO=BO=3,AO点为AB的中点，又圆心C坐标为(0, 4),.*.OC=4,B
25、C 长度=yloB2+0C2 = 5，O点为AB的中点，E点为AD的中点，AOE为4ABD的中位线，nrl 1即：OE二一 BD,2D点是圆上的动点，由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径,BD的最小值为4,1AOE=- BD=2,2即0E的最小值为2,故选：A.AB = DC又, S&pAB SmcD，点P到AB的距离与到CD的距离相等，即点P线段AD垂直平分线上,连接/C,交MN与点、P,此时PC+ P。的值最小，且 PC+ PD = AC =ab?+BC2 742+6 =5=2万故2万【针对训练】1.（湖北中考真题试卷）如图，等腰R3ABC中，斜边AB的长为2, O为AB的中点，P
26、为AC边上的动点，OQJ_OP交BC于点Q, M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C 时，点M所经过的路线长为（）CD. 2【详解】连接0C,作PELAB于E, MHLAB于H, QFLAB于F,如图,VAACB为到等腰直角三角形，.AC=BC=-AB=V2 ZA=ZB=45, 2TO为AB的中点，AOC1AB, OC 平分NACB, OC=OA=OB=1,AZOCB=45,VZPOQ=90, NCOA=90。，AZAOP=ZCOQ,在 RtAAOP 和COQ 中Z=ZOCQ AO = CO ,ZAOP = ZCOQK.ARtAAOPACOQ,AP=CQ,易得APE UaBFQ都为等腰直角三角
27、形,PE=-AP=CQ,PE=-AP=CQ,qf=1bq,2APE+QF= (CQ+BQ) =BC=xV2=hTM点为PQ的中点,A MH为梯形PEFQ的中位线,即点M到AB的距离为, 2而 CO=1,，点M的运动路线为 ABC的中位线,当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1, 2故选C. （2017江苏中考真题试卷）如图，在平面内，线段45=6,尸为线段45上的动点，三角形纸片CDE的边CO所在的直线与线段45垂直相交于点P,且满足PC=H.若点P沿力6方向从点力运动到点则点上运动的路径长为.672 .【详解】解：如图，由题意可知点。运动的路径为线段NC,点运动的路径为,由平
28、移的性质 可知在 Rt45c中，易知 48=3C=6, ZABC=90, ：.EEf=AC= 762 + 62 = 6V2， 故6夜.AAD2 .如图，等边三角形ABC的边长为4,点D是直线AB上一点.将线段CD绕点D顺时针旋转60。得到线段DE,连结BE.（1）若点D在AB边上（不与A, B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE,当AE的长最小时，求CD的长.（1）见解析；（2） 24【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE,理由如下:VAABC是等边三角形，AAB=BC=AC, ZA=ZB=60,由旋转的性质得：ZACB=ZDCE=60, CD=CE,A ZACD=ZBCE,AAACDABCE （SAS）,AAD=BE.(2)如图2,过点A作AFJ_EB交EB延长线于点F.VAACDABCE,AZCBE=ZA=60o,点E的运动轨迹是直线BE,根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小,此时 CD=CE=CF,VZACB=ZCBE=60,，ACEF,VAFBE,AAF1AC,在 RtAACF 中， CF= y)AC2+AF2 = +(2可=277，.CD=CF=2a/7 .