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1、 1 导数及其应用知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1.函数的平均变化率：函数()f x 在区间1 2,x x 上的平均变化率为：2 12 1()()f x f xx x。2.导数的定义：设函数()y f x 在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b，若 x 无限趋近于0 时，比值 0 0()()f x x f x yx x 无限趋近于一个常数 A，则称函数()f x 在0 x x 处可导，并称该常数 A 为函数()f x 在0 x x 处的导数，记作0()f x。函数()f x 在0 x x 处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。3.求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量0 0(
2、)()y f x x f x；（2）求平均变化率：0 0()()f x x f xx；（3）取极限，当 x 无限趋近与 0 时，0 0()()f x x f xx 无限趋近与一个常数 A，则0()f x A.4.导数的几何意义：函数()f x 在0 x x 处的导数就是曲线()y f x 在点0 0(,()x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x 在 x0处的导数，即为曲线()y f x 在点0 0(,()x f x 处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为0 0 0()()y y f x x x。当
3、点0 0(,)P x y 不在()y f x 上时，求经过点 P 的()y f x 的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将 P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x 在点0 0(,()x f x 处的切线平行与 y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0 x x。5.导数的物理意义：质点做直线运动的位移 S 是时间 t 的函数()S t，则()V S t 表示瞬时速度，()a v t 表示瞬时加速度。二、导数的运算 1.常见函数的导数：（1）()kx b k(k,b 为常数)；（2）0 C(C 为常数)；（3）()1 x；（4）2()2 x x；（5
4、）3 2()3 x x；（6）21 1()xx；2（7）1()2xx；（8）1()x x（为常数）；（9）()ln(0,1)x xa a a a a；（10）1 1(log)log(0,1)ln a ax e a ax x a；（11）()x xe e；（12）1(ln)xx；（13）(sin)cos x x；（14）(cos)sin x x。2.函数的和、差、积、商的导数：（1）()()()()f x g x f x g x；（2）()()Cf x Cf x（C 为常数）；（3）()()()()()()f x g x f x g x f x g x；（4）2()()()()()()0)()(
5、)f x f x g x f x g xg xg xg x。3.简单复合函数的导数：若(),y f u u ax b，则x u xy y u，即x uy y a。三、导数的应用 1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数()y f x 在区间(,)a b 内可导，（1）如果恒()0 f x，则函数()y f x 在区间(,)a b 上为增函数；（2）如果恒()0 f x，则函数()y f x 在区间(,)a b 上为减函数；（3）如果恒()0 f x，则函数()y f x 在区间(,)a b 上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数()y f x 的定义域；求导数(
6、)f x；解不等式()0 f x，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式()0 f x，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数()y f x 在区间(,)a b 内可导，(1)如果函数()y f x 在区间(,)a b 上为增函数,则()0 f x(其中使()0 f x 的x值不构成区间)；(2)如果函数()y f x 在区间(,)a b 上为减函数,则()0 f x(其中使()0 f x 的x值不构成区间)；(3)如果函数()y f x 在区间(,)a b 上为常数函数,则()0 f x 恒成立。2.求函数的
7、极值：设函数()y f x 在0 x 及其附近有定义，如果对0 x 附近的所有的点都有0()()f x f x（或0()()f x f x），则称0()f x 是函数()f x 的极小值（或极大值）。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：函数在区间上有定义若无限趋近于时比值无限趋近于一个常数则称函数在处可导并称该常数为函数在处的导数记作函数在处的导数的实质是在该点的瞬时变化率求函数导数的基本步骤求函数的增量求平均变化率取极限当无限趋近与 的切线方程具体求法分两步求出在处的导数即为曲线在点处的切线的斜率在已知切点坐标和切线斜率的条件下求得切线方程为当点不在上时求经过点的的切线方
8、程可设切点坐标由切点坐标得到切线方程再将点的坐标代入确定切点特 的位移是时间的函数则表示瞬时速度表示瞬时加速度二导数的运算常见函数的导数为常数为常数为常数函数的和差积商的导数为常数简单复合函数的导数若则即三导数的应用求函数的单调性利用导数求函数单调性的基本方法设函数 3（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x；（3）求方程()0 f x 的全部实根，1 2 nx x x，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x 变化时，()f x 和()f x 值的变化情况：x 1(,)x 1x 1 2(,)x x nx(,)nx()f x 正负 0 正负 0 正负()f x 单调性 单调性
9、 单调性（4）检查()f x 的符号并由表格判断极值。3.求函数的最大值与最小值：如果函数()f x 在定义域 I 内存在0 x，使得对任意的 x I，总有0()()f x f x，则称0()f x为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数()f x 在区间,a b 上的最大值和最小值的步骤：（1）求()f x 在区间(,)a b 上的极值；（2）将第一步中求得的极值与(),()f a f b 比较，得到()f x 在区间,a b 上的最大值与最小值。4.解决不等式的有关问题：（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。()()f x
10、x A 的值域是,a b时，不等式()0 f x 恒成立的充要条件是max()0 f x，即0 b；不等式()0 f x 恒成立的充要条件是min()0 f x，即0 a。()()f x x A 的值域是(,)a b时，不等式()0 f x 恒成立的充要条件是0 b；不等式()0 f x 恒成立的充要条件是0 a。（2）证明不等式()0 f x 可转化为证明max()0 f x，或利用函数()f x 的单调性，转化为证明0()()0 f x f x。5.导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极
11、值点就是最值点，在解题时要加以说明。函数在区间上有定义若无限趋近于时比值无限趋近于一个常数则称函数在处可导并称该常数为函数在处的导数记作函数在处的导数的实质是在该点的瞬时变化率求函数导数的基本步骤求函数的增量求平均变化率取极限当无限趋近与 的切线方程具体求法分两步求出在处的导数即为曲线在点处的切线的斜率在已知切点坐标和切线斜率的条件下求得切线方程为当点不在上时求经过点的的切线方程可设切点坐标由切点坐标得到切线方程再将点的坐标代入确定切点特 的位移是时间的函数则表示瞬时速度表示瞬时加速度二导数的运算常见函数的导数为常数为常数为常数函数的和差积商的导数为常数简单复合函数的导数若则即三导数的应用求函数的单调性利用导数求函数单调性的基本方法设函数