《第十节--连续函数的运算与初等函数的连续性_高等教育-微积分.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十节--连续函数的运算与初等函数的连续性_高等教育-微积分.pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品资料 欢迎下载 第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 要求：会利用函数的连续性求函数的极限，会讨论分段函数的连续性。重点：利用函数的连续性求函数的极限。难点：分段函数连续性的讨论。作业：习题 1 10（86P）4)5)6)7)3)4)1,2,3,4 问题提出 为了讨论函数的连续性，用定义逐点讨论将是很困难的 但是，如果我们用连续函数的一些特殊性质来讨论将会方便得多，因此来讨论连续函数的四则运算，复合运算，从而讨论我们主要研究对象初等函数连续性 一、连续函数的和、差、积及商的连续性 定理 1 有限个在某点连续函数的和（差）是在该点的连续函数 定理 2 有限个在某点连续函数的乘积是在该点的
2、连续函数 定理 3 两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数，且分母在该点不为零 例 1 函数xxxxxxsincoscot,cossintan，因为x x cos,sin在区间),(内连续，故由定理 3 知正切x tan和余切函数x cot在它们的定义域内是连续函数 结论 2 三角函数在它们的定义域内是连续函数 二、反函数与复合函数的连续性 定理 4 如果函数)(x f y 在区间xI上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数)(y x 在对应的区间 x yI x x f y I)(上单调增加（或单调减少）且连续 例 2 正弦函数x y sin 在区间2,2 上单调增加且连续，所以它的反
3、正弦函数x y arcsin 在相应的闭区间 1,1 上也是单调增加且连续 同样，反余弦函数x y arccos 在区间 1,1 上是单调减少且连续；反正切函数x y arctan 在区间),(内是单调增加且连续；反余切函数x arc y cot 在),(是单调减少且连续 结论 3 反三角函数在它们的定义域内是连续函数 定理 5 设函数)(x u 当0 x x 时的极限存在且等于a，即a xx x)(lim0，而函数)(u f y 在点a u 处连续，那么复合函数)(x f y，当0 x x 时的极限也存在且等于)(a f，即)()(lim0a f x fx x 说明（1）上式又可写为)(li
4、m)(lim0 0 x f x fx x x x；（2）定理 5 中的0 x x 换成 x可得类似定理 精品资料 欢迎下载 例 3求极限0sinlimarctanxxx 解 0 0sin sinlimarctan arctan(lim)arctan1x xx xx x 4 定理 6 设函数)(x u 在点0 x处连续且0 0)(u x，而函数)(u f y 在点0u处连续，那么复合函数)(x f y 在点0 x处也是连续的 证明 因为lim()()u af u f a，所以0,0,当|u a 时，有|()()|f u f a 又因为()x 在点0 x连续，所以对上述的0，0，当0|x x 时，
5、有|()|x a 即|u a 于是，对0,0,当0|x x 时，总有|()()|f x f a 所以复合函数)(x f y 在点0 x处连续 例 4讨论函数2sin(3 2 5)y x x 及xy1sin 的连续性 解 函数2sin(3 2 5)y x x 可看作由u y sin 及23 2 5 u x x 复合而成，而正弦函数u y sin 在区间 u内是连续函数，又函数23 2 5 u x x 在(,)内是连续函数，据定理 6 知复合函数2sin(3 2 5)y x x 在区间(,)内是连续函数 函数xy1sin 可看作由u y sin 及xu1复合而成，而正弦函数u y sin 在区间
6、u内是连续函数，又函数xu1在0 x和 x 0内是连续函数，据定理 6 知复合函数xy1sin 在区间)0,(和),0(内是连续函数 三、初等函数的连续性 1 指数函数)1,0(a a a yx在区间),(内是连续函数 证明 对任),(0 x，0 0 0(1)x x x x xy a a a a，在极限部分已证明极限1 lim0 xxa，所以1 lim0 xxa，故0)1(lim lim00 0 x xx xa a y，因此指数函数xa y 在函数的连续性重点利用函数的连续性求函数的极限难点分段函数连续性的讨论作业习题问题提出为了讨论函数的连续性用定义逐点讨论将是很困难的但是如果我们用连续函数
7、的一些特殊性质来讨论将会方便得多因此来讨论连续函数 某点连续函数的和差是在该点的连续函数定理有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续函数定理两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数且分母在该点不为零例函数因为在区间内连续故由定理知正切和余切函数在它们的定 在对应的区间单调增加或单调减少且连续那么它的反函数单调增加或单调减少且连续例正弦函数在区间单调增加且连续所以它的反正弦函数在相应的闭区间也是单调增加且连续同样反余弦函数在区间是单调减少且连续反正切函数在精品资料 欢迎下载 点 0 x处连续，又由于),(0 x的任意性，指数函数xa y 在),(内连续 2 对数函数)1,0(log a a x
8、ya在区间),0(内是连续函数 由指数函数xa y 单调性和连续性得到 3幂函数x y（为任何实数）幂函数定义域随而变，不过在),0(内总是有定义的，因此幂函数在),0(内是连续的 因为xe x yln，函数ue y 与x u ln 都是连续的，由定理 6 可知幂函数x y 在区间),0(内连续 4幂指函数 形如)0)(,)()(x u x u yx v的函数称为幂指函数 若函数(),()u x v x连续，且()0 u x，则幂指函数()()v xy u x 连续 若极限B x v A A x ux x x x)(lim),0()(lim0 0，则B x vx xA x u)()(lim0
9、例 5求极限2sin0lim(1)xxx 解 2s i n0l i m(1)xxx1 2sin0lim(1)xx xxx 01 2lim2sin0lim(1)xxx xxx e 结论 4 指数函数，对数函数，幂函数在它们的定义域内连续 5初等函数连续性（1）基本初等函数在它们的定义域内是连续函数（2）一切初等函数在其定义区间内是连续的（定义区间：包含在定义域内的区间）说明 由连续性提供了求极限的方法，如果)(x f是初等函数，且0 x是函数)(x f的定义区间内的点，则有)()(lim00 x f x fx x 例 6求极限xxsin ln lim2 解 因为20 x是初等函数x x f si
10、n ln)(定义区间内的点，所以 02sin ln sin ln lim2 xx 例 7 求极限201 1limxx xx 函数的连续性重点利用函数的连续性求函数的极限难点分段函数连续性的讨论作业习题问题提出为了讨论函数的连续性用定义逐点讨论将是很困难的但是如果我们用连续函数的一些特殊性质来讨论将会方便得多因此来讨论连续函数 某点连续函数的和差是在该点的连续函数定理有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续函数定理两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数且分母在该点不为零例函数因为在区间内连续故由定理知正切和余切函数在它们的定 在对应的区间单调增加或单调减少且连续那么它的反函数单调增加或单调减少
11、且连续例正弦函数在区间单调增加且连续所以它的反正弦函数在相应的闭区间也是单调增加且连续同样反余弦函数在区间是单调减少且连续反正切函数在精品资料 欢迎下载 解 201 1limxx xx 22 2 0 01 1 1 1lim lim2(1 1)1 1)x xx x xx x x x x 例 8 求极限0log(1)lim axxx 解 0l o g(1)lim axxxae x xaxxaxaxln1log)1(lim log)1(log lim1010，若e a，则1)1 ln(lim0 xxx 例 9求极限xaxx1lim0 解 xaxx1l i m0attatt axln)1(loglim
12、01，若e a，则11lim0 xexx 例 10求极限xxx)2 1 ln(lim0 解 2 ln)2 1(lim ln)2 1 ln(lim)2 1 ln(lim2221010 0 e x xxxxxxx x 又同理可得3 31lim1lim0330 texettt xxx 从上面两例可得到，11lim,1)1 ln(lim0 0 e，（中变量一样）例 11求极限)0()1(lim a a n nn 解 由于 n改为连续变量 x，令tx1，则)1(lim xxa x xa xx11lim1 xa xx11lim1tea tt1limln0a aa tea ttln lnln1limln0，
13、又由函数极限与数列极限关系定理，当n为自然数时，有 a a n nnln)1(lim 例 12当b为何值时，函数 1,1,)(2x b xx xx f在区间),(上连续 函数的连续性重点利用函数的连续性求函数的极限难点分段函数连续性的讨论作业习题问题提出为了讨论函数的连续性用定义逐点讨论将是很困难的但是如果我们用连续函数的一些特殊性质来讨论将会方便得多因此来讨论连续函数 某点连续函数的和差是在该点的连续函数定理有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续函数定理两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数且分母在该点不为零例函数因为在区间内连续故由定理知正切和余切函数在它们的定 在对应的区间单调增加或
14、单调减少且连续那么它的反函数单调增加或单调减少且连续例正弦函数在区间单调增加且连续所以它的反正弦函数在相应的闭区间也是单调增加且连续同样反余弦函数在区间是单调减少且连续反正切函数在精品资料 欢迎下载 解 当 1 x时，2)(x x f 为初等函数，所以是连续函数，当1 x时，b x x f)(为初等函数,所以是连续函数，当1 x时，若使函数在1 x处连续，必有)1()0 1()0 1(f f f，即1 1 b，所以，当0 b时，函数)(x f在点1 x 处连续，从而在区间),(上连续 6常用的基本极限（1）设mm mnn nb x b x b x Q a x a x a x P 11 011
15、0)(,)(，（n m b a,0,00 0 为自然数）则 0)(,0)(0)(,0)(,0)(,)()()()(lim0 00 00000 x P x Qx P x Qx Qx Qx Px Qx Px x消去零因子，n mn mn mbax Qx Px,0,)()(lim00（2）21 cos 1lim,1tanlim,1sinlim20 0 0 xxxxxxx x x（3）e x exxxxx 10)1(lim,)11(lim，)1)1 ln(lim(ln1)1(loglim0 0 xxa xxxax，)11lim(ln1lim0 0 xeaxaxxxx（4）)0(1 lim,1 lim
16、a a n nnnn（5）2arctan lim,2arctan lim x xx x x arc x arcx xcot lim,0 cot lim 0 lim,lim xxxxe e 函数的连续性重点利用函数的连续性求函数的极限难点分段函数连续性的讨论作业习题问题提出为了讨论函数的连续性用定义逐点讨论将是很困难的但是如果我们用连续函数的一些特殊性质来讨论将会方便得多因此来讨论连续函数 某点连续函数的和差是在该点的连续函数定理有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续函数定理两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数且分母在该点不为零例函数因为在区间内连续故由定理知正切和余切函数在它们的定 在对应的区间单调增加或单调减少且连续那么它的反函数单调增加或单调减少且连续例正弦函数在区间单调增加且连续所以它的反正弦函数在相应的闭区间也是单调增加且连续同样反余弦函数在区间是单调减少且连续反正切函数在