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1、精品资料 欢迎下载 第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 要求：会利用函数的连续性求函数的极限，会讨论分段函数的连续性。重点：利用函数的连续性求函数的极限。难点：分段函数连续性的讨论。作业：习题 110（86P）4)5)6)7)3)4)1,2,3,4 问题提出 为了讨论函数的连续性，用定义逐点讨论将是很困难的但是，如果我们用连续函数的一些特殊性质来讨论将会方便得多，因此来讨论连续函数的四则运算，复合运算，从而讨论我们主要研究对象初等函数连续性 一、连续函数的和、差、积及商的连续性 定理 1 有限个在某点连续函数的和（差）是在该点的连续函数 定理 2 有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续
2、函数 定理 3 两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数，且分母在该点不为零 例 1 函数xxxxxxsincoscot,cossintan，因为xx cos,sin在区间),(内连续，故由定理 3 知正切xtan和余切函数xcot在它们的定义域内是连续函数 结论 2 三角函数在它们的定义域内是连续函数 二、反函数与复合函数的连续性 定理 4 如果函数)(xfy 在区间xI上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数)(yx在对应的区间xyIxxfyI)(上单调增加（或单调减少）且连续 例 2 正弦函数xysin在区间2,2上单调增加且连续，所以它的反正弦函数xyarcsin在相应的闭区间
3、1,1上也是单调增加且连续 同样，反余弦函数xyarccos在区间 1,1上是单调减少且连续；反正切函数xyarctan在区间),(内是单调增加且连续；反余切函数xarcycot在),(是单调减少且连续 结论 3 反三角函数在它们的定义域内是连续函数 定理 5 设函数)(xu当0 xx 时的极限存在且等于a，即axxx)(lim0，而函数)(ufy 在点au 处连续，那么复合函数)(xfy，当0 xx 时的极限也存在且等于)(af，即)()(lim0afxfxx 说明（1）上式又可写为)(lim)(lim00 xfxfxxxx；（2）定理 5 中的0 xx 换成x可得类似定理 精品资料 欢迎下
4、载 例 3求极限0sinlimarctanxxx 解 00sinsinlimarctanarctan(lim)arctan1xxxxxx4 定理 6 设函数)(xu在点0 x处连续且00)(ux，而函数)(ufy 在点0u处连续，那么复合函数)(xfy在点0 x处也是连续的 证明 因为lim()()uaf uf a，所以0,0,当|ua 时，有|()()|f uf a 又因为()x在点0 x连续，所以对上述的0，0，当0|xx时，有|()|xa 即|ua 于是，对0,0,当0|xx时，总有|()()|fxf a 所以复合函数)(xfy在点0 x处连续 例 4讨论函数2sin(325)yxx及x
5、y1sin的连续性 解 函数2sin(325)yxx可看作由uysin及2325uxx复合而成，而正弦函数uysin在区间u内是连续函数，又函数2325uxx在(,)内是连续函数，据定理 6 知复合函数2sin(325)yxx在区间(,)内是连续函数 函数xy1sin可看作由uysin及xu1复合而成，而正弦函数uysin在区间u内是连续函数，又函数xu1在0 x和x0内是连续函数，据定理 6 知复合函数xy1sin在区间)0,(和),0(内是连续函数 三、初等函数的连续性 1 指数函数)1,0(aaayx在区间),(内是连续函数 证明 对任),(0 x，000(1)xxxxxyaaaa，在极
6、限部分已证明极限1lim0 xxa，所以1lim0 xxa，故0)1(limlim000 xxxxaay，因此指数函数xay 在续性用定义逐点讨论将是很困难的但是如果我们用连续函数的一些特殊某点连续函数的和差是在该点的连续函数定理有限个在某点连续函数的定义域内是连续函数结论三角函数在它们的定义域内是连续函数二反函精品资料 欢迎下载 点0 x处连续，又由于),(0 x的任意性，指数函数xay 在),(内连续 2 对数函数)1,0(logaaxya在区间),0(内是连续函数 由指数函数xay 单调性和连续性得到 3幂函数xy（为任何实数）幂函数定义域随而变，不过在),0(内总是有定义的，因此幂函数
7、在),0(内是连续的 因为xexyln，函数uey 与xuln都是连续的，由定理 6 可知幂函数xy 在区间),0(内连续 4幂指函数 形如)0)(,)()(xuxuyxv的函数称为幂指函数 若函数(),()u x v x连续，且()0u x，则幂指函数()()v xyu x连续 若极限BxvAAxuxxxx)(lim),0()(lim00，则BxvxxAxu)()(lim0 例 5求极限2sin0lim(1)xxx 解 2s i n0li m(1)xxx1 2sin0lim(1)xxxxx012lim2sin0lim(1)xxxxxxe 结论 4 指数函数，对数函数，幂函数在它们的定义域内连
8、续 5初等函数连续性（1）基本初等函数在它们的定义域内是连续函数（2）一切初等函数在其定义区间内是连续的（定义区间：包含在定义域内的区间）说明 由连续性提供了求极限的方法，如果)(xf是初等函数，且0 x是函数)(xf的定义区间内的点，则有)()(lim00 xfxfxx 例 6求极限xxsinlnlim2 解 因为20 x是初等函数xxfsinln)(定义区间内的点，所以 02sinlnsinlnlim2xx 例 7 求极限2011limxxxx 续性用定义逐点讨论将是很困难的但是如果我们用连续函数的一些特殊某点连续函数的和差是在该点的连续函数定理有限个在某点连续函数的定义域内是连续函数结论
9、三角函数在它们的定义域内是连续函数二反函精品资料 欢迎下载 解 2011limxxxx222001111limlim2(11)11)xxxxxxxxxx 例 8 求极限0log(1)limaxxx 解 0l o g(1)l i maxxxaexxaxxaxaxln1log)1(limlog)1(loglim1010，若ea，则1)1ln(lim0 xxx 例 9求极限xaxx1lim0 解 xaxx1lim0attattaxln)1(loglim01，若ea，则11lim0 xexx 例 10求极限xxx)21ln(lim0 解 2ln)21(limln)21ln(lim)21ln(lim22
10、210100exxxxxxxxx 又同理可得331lim1lim0330texetttxxx 从上面两例可得到，11lim,1)1ln(lim00e，（中变量一样）例 11求极限)0()1(limaannn 解 由于n改为连续变量x，令tx1，则)1(limxxaxxaxx11lim1xaxx11lim1teatt1limln0aaateattlnlnln1limln0，又由函数极限与数列极限关系定理，当n为自然数时，有 aannnln)1(lim 例 12当b为何值时，函数1,1,)(2xbxxxxf在区间),(上连续 续性用定义逐点讨论将是很困难的但是如果我们用连续函数的一些特殊某点连续函
11、数的和差是在该点的连续函数定理有限个在某点连续函数的定义域内是连续函数结论三角函数在它们的定义域内是连续函数二反函精品资料 欢迎下载 解 当1x时，2)(xxf为初等函数，所以是连续函数，当1x时，bxxf)(为初等函数,所以是连续函数，当1x时，若使函数在1x处连续，必有)1()01()01(fff，即11 b，所以，当0b时，函数)(xf在点1x 处连续，从而在区间),(上连续 6常用的基本极限（1）设mmmnnnbxbxbxQaxaxaxP110110)(,)(，（nmba,0,000为自然数）则 0)(,0)(0)(,0)(,0)(,)()()()(lim00000000 xPxQxP
12、xQxQxQxPxQxPxx消去零因子，nmnmnmbaxQxPx,0,)()(lim00（2）21cos1lim,1tanlim,1sinlim2000 xxxxxxxxx（3）exexxxxx10)1(lim,)11(lim，)1)1ln(lim(ln1)1(loglim00 xxaxxxax，)11lim(ln1lim00 xeaxaxxxx（4）)0(1lim,1limaannnnn（5）2arctanlim,2arctanlimxxxx xarcxarcxxcotlim,0cotlim 0lim,limxxxxee 续性用定义逐点讨论将是很困难的但是如果我们用连续函数的一些特殊某点连续函数的和差是在该点的连续函数定理有限个在某点连续函数的定义域内是连续函数结论三角函数在它们的定义域内是连续函数二反函