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1、20232023 年北京年北京通州通州中考数学中考数学真题及答案真题及答案考生须知考生须知1.1.本试卷共本试卷共 6 6 页页，共两部分共两部分，三道大题三道大题，2828 道小题道小题满分满分 100100 分分考试时间考试时间 120120 分钟分钟2.2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号3.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效4 4 在答题卡上，选择题、作图题用在答题卡上，选择题、作图题用 2B2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答铅笔作
2、答，其他试题用黑色字迹签字笔作答5.5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回第一部分第一部分选择题选择题一、选择题（共一、选择题（共 1616 分，每题分，每题 2 2 分）分）第第 1 18 8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1 截至 2023 年 6 月 11 日 17 时，全国冬小麦收款2.39 亿亩，进度过七成半，将 239000000用科学记数法表示应为（）A723.9 10B82.39 10C92.39 10D90.239 102下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD3
3、如图，90AOCBOD，126AOD，则BOC的大小为（）A36B44C54D634已知10a，则下列结论正确的是（）A11aa B11aa C11aa D11aa 5若关于x的一元二次方程230 xxm有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A9B94C94D96十二边形的外角和为（）A30B150C360D18007先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）A14B13C12D348 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，ABBC，90AC ，EABBCD，连接DE，设ABa=，BCb，DEc，给出下面三个结论：abc
4、；22abab；2 abc；上述结论中，所有正确结论的序号是（）ABCD第二部分第二部分非选择题非选择题二、填空题（共二、填空题（共 1616 分，每题分，每题 2 2 分）分）9若代数式52x有意义，则实数x的取值范围是_10分解因式：23x yy=_.11方程31512xx的解为_12在平面直角坐标系xOy中，若函数0kykx的图象经过点3,2A 和,2B m，则m的值为_13某厂生产了 1000 只灯泡.为了解这 1000 只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了 50 只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命1000 x 10001600 x16002200
5、x22002800 x2800 x 灯泡只数51012176根据以上数据，估计这 1000 只灯泡中使用寿命不小于 2200 小时的灯泡的数量为_只14如图，直线AD，BC交于点O，ABEFCD.若2AO，1OF，2FD.则BEEC的值为_15 如图，OA是O的半径，BC是O的弦，OABC于点D，AE是O的切线，AE交OC的延长线于点E若45AOC，2BC，则线段AE的长为_16学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行
6、；一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；各道工序所需时间如下表所示：工序ABCDEFG所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要_分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要_分钟三三、解答题解答题（共共 6868 分分，第第 17171919 题题，每题每题 5 5 分分，第第 20202121 题题，每题每题 6 6 分分，第第 22222 23 3题，每题题，每题 5 5 分，第分，第 2424 题题 6 6 分，第分，第 2525 题题 5 5 分，第分，第 2626 题题 6 6 分；第
7、分；第 27272828 题，每题题，每题 7 7 分分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17计算：114sin602123 18解不答式组：23535xxxx19已知210 xy，求代数式222444xyxxyy的值20如图，在ABCDY中，点E，F分别在BC，AD上，BEDF，ACEF(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)AEBE，2AB，1tan2ACB，求BC的长21对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头
8、长的和的110某人要装裱一幅对联，对联的长为100cm，宽为27cm若要求装裱后的长是装裱后的宽的 4 倍，求边的宽和天头长（书法作品选自启功法书）22在平面直角坐标系xOy中，函数0ykxb k的图象经过点0,1A和1,2B，与过点0,4且平行于x轴的线交于点C(1)求该函数的解析式及点C的坐标；(2)当3x 时，对于x的每一个值，函数23yxn的值大于函数0ykxb k的值且小于 4，直接写出n的值23某校舞蹈队共 16 名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.16 名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，1
9、68，168，170，172，172，175b.16 名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75mn(1)写出表中m，n的值；(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是_（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛已确定三名学生参赛，他们的身高分别为 168，168，172，他们的身高的方差为329在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差
10、小于329，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为_和_24如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分ABC，BACADB(1)求证DB平分ADC，并求BAD的大小；(2)过点C作CFAD交AB的延长线于点F 若ACAD，2BF，求此圆半径的长25某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略部分内容如下每次清洗 1 个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为 0.800 要求清洗后的清洁度为 0.990方案一：采用一次清洗的方式结果：当用水量为 19 个单位质量时，清洗后测得的清洁度为 0.990方案
11、二：采用两次清洗的方式记第一次用水量为1x个单位质量，第二次用水量为2x个单位质量，总用水量为12xx个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C记录的部分实验数据如下：1x11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.02x0.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.512xx11.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容（）选出C是 0.990 的所有数据组，并划“”；（）通过
12、分析（）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量1x和总用水量12xx之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为_个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约_个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为 6 个单位质量，总用水量为 7.5 个单位质量，则清洗后的清洁度C_0.990（填“”“=”或“”）26在平面直角坐标系xOy中，11,M x y，22,N x
13、y是抛物线20yaxbxc a上任意两点，设抛物线的对称轴为xt(1)若对于11x，22x 有12yy，求t的值；(2)若对于101x，212x，都有12yy，求t的取值范围27在ABC中、045BC，AMBC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2得到线段DE(1)如图 1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图 2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DFDC，连接AE，EF，直接写出AEF的大小，并证明28在平面直角坐标系xOy中，O的半径为 1对于O的弦AB和O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是
14、O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”(1)如图，点1,0A，122,22B，222,22B在点11,1C，20()2,C，30,2C中，弦1AB的“关联点”是_若点C是弦2AB的“关联点”，直接写出OC的长；(2)已知点0,3M，6 5,05N对于线段MN上一点S，存在O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围参考答案1B【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10na，其中110a，n为整数，且n比原来的整数位数少 1，据此判断即可【详解】解：82390000002.39 10，故选：B2A【分析】根据轴对称图形，中
15、心对称图形的定义进行判断即可【详解】解：A 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合要求；B 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；C 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；D 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；故选：A3C【分析】由90AOCBOD，126AOD=，可求出COD的度数，再根据角与角之间的关系求解【详解】=90AOC，126AOD=，36CODAODAOC，90BOD，903654BOCBODCOD 故选：C4B【分析】由10a 可得1a，则0a，根据不等式的性质求解即可【详解】解：10a 得1a，则0a，1a ，1 1aa ，故选：B5C【分析】根据
16、一元二次方程有两个相等的实数根，可得0，进而即可求解【详解】解：关于x的一元二次方程230 xxm有两个相等的实数根，24940bacm 解得：94m 故选：C6C【分析】根据多边形的外角和为 360进行解答即可【详解】解：多边形的外角和为 360十二边形的外角和是 360故选：C7A【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理【详解】如图，所有结果有 4 种，满足要求的结果有 1 种，故概率为14.故选：A8D【分析】如图，过D作DFAE于F，则四边形ACDF是矩形，则DFACab，由DFDE，可得abc，进而可判断的正误；由EABBCD，可得BEBD，CD
17、ABa，AEBCb，ABECDB，则90EBD，BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得，2222BEABAEab，由ABAEBE，可得22abab，进而可判断的正误；由勾股定理得222DEBDBE，即2222cab，则2222cabab，进而可判断的正误【详解】解：如图，过D作DFAE于F，则四边形ACDF是矩形，DFACab，DFDE，abc，正确，故符合要求；EABBCD，BEBD，CDABa，AEBCb，ABECDB，90CBDCDB，90CBDABE，90EBD，BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得，2222BEABAEab，ABAEBE，22abab，正确，故符合要求；由勾股定理得22
18、2DEBDBE，即2222cab，2222cabab，正确，故符合要求；故选：D92x【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可【详解】解：若代数式52x有意义，则20 x，解得：2x，故答案为：2x 10()()y xy xy【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=()()y xy xy111x【分析】方程两边同时乘以251xx化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验【详解】解：方程两边同时乘以251xx，得651xx，解得：1x，经检验，1x 是原方程的解，故答案为：1x 123【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值【详解】解：函数0kykx
19、的图象经过点3,2A 和,2B m 把点3,2A 代入得3 26k ，反比例函数解析式为6yx，把点,2B m 代入得：62m，解得：3m，故答案为：313460【分析】用 1000 乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于 2200 小时的灯泡所占的比例即可【详解】解：估计这 1000 只灯泡中使用寿命不小于 2200 小时的灯泡的数量为176100046050（只），故答案为：4601432【分析】由平行线分线段成比例可得，21BOAOOEOF，12OEOFECFD，得出2BOOE，2ECOE，从而2322BEOEOEECOE.【详解】ABEFCD，2AO，1OF，21BOAOOEOF，2BOOE，
20、12OEOFECFD，2ECOE，2322BEOEOEECOE；故答案为：32.152【分析】根据OABC，得出90ODC，112DCBC，根据等腰直角三角形的性质得出22OCDC，即2OAOC，根据90OAE，45AOC，得出AOE为等腰直角三角形，即可得出2AEOA【详解】解：OABC，90ODC，112DCBC45AOC，ODC为等腰直角三角形，22OCDC，2OAOCAE是O的切线，90OAE，45AOC，AOE为等腰直角三角形，2AEOA故答案为：2165328【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A
21、，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案【详解】解：由题意得：99797 10253 （分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要 53 分钟；假设这两名学生为甲、乙，工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要 9 分钟完成，甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要 9 分钟，然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要 9 分钟，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要 10 分钟，若由两名学生合作完
22、成此木艺艺术品的加工，最少需要99 1028（分钟），故答案为：53，28；175【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可【详解】解：原式34322 32 2 3322 3 51812x【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集【详解】23535xxxx解不等式得：1x 解不等式得：2x 不等式的解集为：12x192【分析】先将分式进行化简，再将210 xy 变形整体代入化简好的分式计算即可【详解】解：原式222222xyxyxy，由210 xy 可得21xy，将21xy代入
23、原式可得，原式22120(1)见解析(2)3 2【分析】（1）利用平行四边形的性质求出AFEC，证明四边形AECF是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；（2）证明ABE是等腰直角三角形，可得2AEBE，然后再解直角三角形求出EC即可【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，BEDF，AFEC，四边形AECF是平行四边形，ACEF，平行四边形AECF是矩形；（2）解：由（1）知四边形AECF是矩形，90AECAEB，AEBE，2AB，ABE是等腰直角三角形，222AEBEAB，又1tan2AEACBEC，212EC，2 2EC，22 23 2BCB
24、EEC21边的宽为4cm，天头长为24cm【分析】设天头长为cmx，则地头长为2cm3x，边的宽为121cmcm1036xxx，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的 4 倍列方程求解即可【详解】解：设天头长为cmx，由题意天头长与地头长的比是6:4，可知地头长为2cm3x，边的宽为121cmcm1036xxx，装裱后的长为cmcm2510010033xxx，装裱后的宽为cmcm1112727663xxx，由题意可得：5110027433xx解得24x，146x，答：边的宽为4cm，天头长为24cm22(1)1yx，3,4C；(2)2n【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解
25、析式，由题意知点C的纵坐标为 4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当23yxn过点3,4时满足题意，代入3,4求出n的值即可【详解】（1）解：把点0,1A，1,2B代入0ykxb k得：12bkb，解得：11kb，该函数的解析式为1yx，由题意知点C的纵坐标为 4，当14yx 时，解得：3x，3,4C；（2）解：由（1）知：当3x 时，14yx，因为当3x 时，函数23yxn的值大于函数1yx的值且小于 4，所以如图所示，当23yxn过点3,4时满足题意，代入3,4得：2433n，解得：2n 23(1)166m，165n；(2)甲组(3)170，172【分析】（1）根
26、据中位数和众数的定义求解即可；（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于329，结合其余学生的身高即可做出选择【详解】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，出现次数最多的数是 165，出现了 3 次，即众数165n，16 个数据中的第 8 和第 9 个数据分别是 166，166，中位数166 1661662m，166m，165n；（2）解：甲组身高的平均数为1162 165 165 166 166
27、164.85，甲组身高的方差为222221162 164.8165 164.8165 164.8166 164.8166 164.82.165乙组身高的平均数为1161 162 164 165 175165.45，乙组身高的方差为222221161 165.4162 165.4164 165.4165 165.4175 165.425.045，25.042.16舞台呈现效果更好的是甲组，故答案为：甲组；（3）解：168，168，172 的平均数为1116933168 168 172+所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，数据的差别较小，数据才稳定，可供选择的有
28、：170，172，且选择 170，172 时，平均数会增大，故答案为：170，17224(1)见解析，90BAD(2)4【分析】（1）根据已知得出ABBC，则ADBCDB，即可证明DB平分ADC，进而根据BD平分ABC，得出ADCD，推出BADBCD，得出BD是直径，进而可得90BAD；（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，90F，ADC是等边三角形，进而得出1302CDBADC，由BD是直径，根据含30度角的直角三角形的性质可得12BCBD，在RtBFC中，根据含30度角的直角三角形的性质求得BC的长，进而即可求解【详解】（1）解：BACADB ABBC，ADBCDB，即DB平分ADCBD
29、平分ABC，ABDCBD，ADCD，ABADBCCD，即BADBCD，BD是直径，90BAD；（2）解：90BAD，CFAD，180FBAD，则90FADCD，ADDCACAD，ACADCD，ADC是等边三角形，则60ADCBD平分ADC，1302CDBADCBD是直径，90BCD，则12BCBD四边形ABCD是圆内接四边形，180ADCABC，则120ABC，60FBC，906030FCB，12FBBC2BF，4BC，28BDBCBD是直径，此圆半径的长为142BD 25（）见解析；（）见解析，4；（1）11.3；（2）【分析】（）直接在表格中标记即可；（）根据表格中数据描点连线即可做出函数
30、图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为 4 个单位质量时，总用水量最小；（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为 7.7 个单位质量，计算即可；（2）根据表格可得当第一次用水量为 6 个单位质量，总用水量超过 8 个单位质量，则清洗后的清洁度能达到 0.990，若总用水量为 7.5 个单位质量，则清洁度达不到 0.990【详解】（）表格如下：1x11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.02x0.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.512xx11.810.010.38.98.17.77.87.08.09.1
31、12.5C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990（）函数图象如下：由图象可得，当第一次用水量约为 4 个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为 7.7 个单位质量，19-7.7=11.3，即可节水约 11.3 个单位质量；（2）由图可得，当第一次用水量为 6 个单位质量，总用水量超过 8 个单位质量，则清洗后的清洁度能达到 0.990，第一次用水量为 6 个单位质量，总用水量为 7.5 个单位质量，则清洗后的清洁度0.990C，故答案为：26(1)32t(2)12t【
32、分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；（2）根据题意可得11,xy离对称轴更近，12xx，则11,xy与22,xy的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得1213222xx，进而根据122xxt，即可求解【详解】（1）解：对于11x，22x 有12yy，抛物线的对称轴为直线12322xxx，抛物线的对称轴为xt32t；（2）解：当101x，212x，1213222xx，12xx，12yy，0a，11,xy离对称轴更近，12xx，则11,xy与22,xy的中点在对称轴的右侧，122xxt，即12t 27(1)见解析(2)90AEF，证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得DMDE，2MDE
33、，利用三角形外角的性质求出CDEC，可得DEDC，等量代换得到DMDC即可；（2）延长FE到H使FEEH，连接CH，AH，可得DE是FCHV的中位线，然后求出BACH，设DMDEm，CDn，求出2BFmCH，证明SASABFACH，得到AFAH，再根据等腰三角形三线合一证明AEFH即可【详解】（1）证明：由旋转的性质得：DMDE，2MDE，C，DDECM EC，CDEC，DEDC，DMDC，即D是MC的中点；（2）90AEF；证明：如图 2，延长FE到H使FEEH，连接CH，AH，DFDC，DE是FCHV的中位线，DECH，2CHDE，由旋转的性质得：DMDE，2MDE，2FCH，BC，ACH
34、，ABC是等腰三角形，BACH，ABAC，设DMDEm，CDn，则2CHm，CMmn，DFCDn，FMDFDMnm，AMBC，BMCMmn，2BFBMFMmnnmm，CHBF，在ABF和ACH中，ABACBACHBFCH，SASABFACH，AFAH，FEEH，AEFH，即90AEF28(1)1C，2C；2OC(2)2 313t 或2 633t【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；（2）根据0,3M，6 5,05N两点来求最值情况，S共有 2 种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂直平分线上，运用相似三角形计算即可【详解】（1）解：由关联点的定义可知，若直线CACB，中一
35、经过点O，另一条是O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”，点1,0A，122,22B，11,1C，20()2,C，30,2C，直线2AC经过点O，且2BC与O相切，2C是弦1AB的“关联点”，又11,1C和1,0A 横坐标相等，与122,22B都位于直线yx上，1AC与O相切，11BC经过点O，1C是弦1AB的“关联点”1,0A，222,22B，设C ab，如下图所示，共有两种情况，a、若12C B与O相切，AC经过点O，则12C B、1AC所在直线为：20yxy，解得：12C，0，12OC，b、若2AC与O相切，22C B经过点O，则22C B、2AC所在直线为：1xyx ，解得：211C，
36、22OC，综上，2OC（2）解：线段MN上一点S，存在O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，又弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且0,3M，6 5,05N，OMON，S共有 2 种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂直平分线上，如图所示，当S位于点0,3M时，MP为O的切线，作PJOM，0,3M，O的半径为 1，且MP为O的切线，OPMP，PJOM，MPOPOJ，OPOMOJOP，即13OJ，解得13OJ，根据勾股定理得，222 23PJPOOJ，123Q J 根据勾股定理，221112 33PQQ PQ J，同理，222222 63PQQ PQ J，当S位于点0,3M时，1PQ的临界值为2 33和2 63当S位于经过点O的MN的垂直平分线上即点K时，点0,3M，6 5,05N，229 55MNOMON，2OKOMONMN，又O的半径为 1，30OKZ，三角形OPQ为等边三角形，在此情况下，1PQ，3PQ，当S位于经过点O的MN的垂直平分线上即点K时，1PQ的临界值为1和3，在两种情况下，PQ的最小值在2 313t 内，最大值在2 633t，综上所述，t的取值范围为2 313t 或2 633t，