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1、1 .直线的斜率、直线和圆的方程、置关系、弦长和切线方程等.第九章DI JIU ZHANG平面解析几何直线与圆的位考查内容核心素养数学运算,直观想如逻辑推理.2.主要考杳圆锥曲线的定义与方程、几何性质:、离心率、双曲线的渐近线.解答题通常以椭圆及抛物线为背景.考杳直线和圆锥曲线的位置关系基础题目考杳圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质.解答题有一道有区分度的综合题，一般难命题特点度较大.公式法、待定系数法,数形结合法和转化法.解题方法命题规律关联 考 点 将 惠电线与圆、圆锥曲线常与平面向量，方程、解三角形结合命题.1.高考对本章的考在以基本概念和公式为I-：,复习时要抓住基础,本章内容常作为圆
2、锥曲线问题j的基础,应熟练掌握.2.在直线与圆锥曲线的位宜关系的考题中.难度较大.要加大训练的力度,培养求解的能力.第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程精 教 科 固 基 砒-基固为根必备知识 基础自梳1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线/与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴 正方向 与 直 线/向 上方向之间所成的角a 叫做直线/的倾斜角；规定：当直线/与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；范围：直线的倾斜角a 的 取 值 范 围 是 0,兀).(2)斜率公式定义式：直线/的倾斜角为。0#习，则斜率及=tan a.坐标式：Pi(Xi，yi),P2(x2,”)在直线/上，
3、且 Xi#X2，则/的斜率=理三%.点拨 不是倾斜角越大，斜率左就越大，因为k=ta n a,当ae 0,时，a 越大，斜率人就越大，同样，兀)时也是如此，但当aC 0,兀)且 时 就 不 是 了.2.直线方程的五种形式名称已知条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率v=fc r+与x 轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率V-y o (x-.YQ)两点式过两点y y i x-x y 2-y X2 x 与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距+=la b不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=0(A2+所有直线与对称问题相关的四个结论:5WO）点 拨(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否
4、存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.(2)截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0.3.两直线的位置关系 程位置关系斜截式：/：y=k i x+b 9/2：y=k 2 x+b 2一般 式:/i：A i x+Bi y+G =0（闺+济 W O）,/2：AM+&），+C 2=0（阕+%W O）相交k 丰反A 1 B 2 A2BI 0（当 A2B2 0时，记 为 亲 脸垂直k=一看或&|&2=-4 4 2+B/2=0（当 8&W 0时，记 端 食=T）平行=%2 且 b i W b 2+。2 丁 1 产点线距点 尸 o(沏,州)到直线/：A x+B y+C=0的距离A
5、 x o+B y o+Cd线线距两条平行线A r+B y+G=O与 A x+B y+C2=0间的距离I C LC 2I=基础自测11 .(教材改编)经过点马(2,-3),倾斜角为4 5。的直线方程为()A.x+y+l=O B.x+y-l=OC.x y+5=0 D.无-y-5=0 答案J D2.(教材改编)两平行直线龙一2y1 =0与x 2 y+m=0间的距离为小,则m的值为()A.4 或 6 B.4 或一6C.-4 或 6 D.-4 或一6答 案 B3.(教材改编)直线/：x s i n 3(r+)，c o s 1 50。+。=0的斜率为()A坐B.小 C.y/3 D.-W 答案J A4.(易
6、错点：直线截距的概念与方程)过点(一 1,2)在两轴截距互为相反数的直线方程为 答案y 2 x y x 3O5.(易错点：两直线的位置关系)下 列 说 法 中 正 确 的 序 号 为 .如果两条直线垂直，则它们的斜率之积一定等于一 1；如果两条直线的方程组的方程组有唯一解，则这两条直线相交；直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离；直线/i：(“一 l)x+2)，+l=0 与 直 线 x+a y+3=0 平行，则 a=-1 或 a=2.答案 研考点练方法-点明为纲关键能力考点一直线的倾斜角与斜率 例 1 (1)已知直线/：x+yc o s J+3=0(0 C R),则直线/的倾斜
7、角a的取值范围是()A.0,兀)B.(j,2；兀 3 兀 (i t f i t 3 储c z，DQ,9 叱,彳)j rC 解法一：当 c o s 9=0 时，a=2，当c o s ”0时，斜 率 人 一击，Vc o s 9e-l,0)U(0,l ,.%(8,-1JUL1,+0),，3,翡.综上aG彳，%T T解法二：选 C.当 c o s e=0时，直线方程为x+3=0,此时直线的倾斜角为受，排 除 B,D.因为x的系数为1,所以斜率Z W 0,故倾斜角a W O,排除A.故选C.(2)已知直线x+(a 2+i)y+l=0,则直线的倾斜角的取值范围是()A.。,0B修,兀)c(”)暗,纵序，兀
8、B 设直线的倾斜角为夕 由题意得t a n 6=-匕，1 Wt a n 6 0,kPA 0,故 上 0 时，a为锐角.又 4=-2J-(o-1)=-1，,L(l)1 .1V Y 1kpB一。八 一1,20又当 0W&W1 时，OWaW?3 7 1当一1W攵 VO 时，故倾斜角a 的取值范围为 o,j|u 竽，兀）.答菊 L 1,1 0,.序兀）方法指导（1）求倾斜角的取值范围的一般步骤求出斜率=tan a 的取值范围；利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角a 的取值范围.（2）斜率的求法定义法：若已知直线的倾斜角a 或 a 的某种三角函数值，一般根据=ta n a 求斜率；公式法：若已知直
9、线上两点A（x i,a），8（x2,”），一般根据斜率公式%=三 金（刖彳及）求斜率.注意 直线倾斜角的范围是 0,兀），而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分。，?）,曰与（方 三种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当倾斜角a 6 0,号时，斜 率 附 0,+8）；当0（=方 时，斜率不存在；当。喏，兀）时，斜率左e（-0 0,0）.思维变式1.若图中的直线/1,11，/3的斜率分别为俗，依，依，贝 1（）A.Zi V左 2Vz3 B.k3VkikiC.43Vk2VD.3Vz2D 直线/i 的倾斜角a 是钝角，故 Zi V O,直线/2与 h 的倾斜角2与。3均
10、为锐角，且 2 3,所以 OVZ3Vz2,因此.故选 D.2.若 a b 0,则 过 点 P（0,/与Q&0）的 直 线 P Q 的倾斜角的取值范围是b U 解析 kpQ=-=0,历 0).二,圆与两坐标轴均相切，.a=b,且半径r=q,圆的标准方程为(x a)2+(y 4)2=4 2.,点(2,1)在 圆 上,(2 a/+(1 a)2=a2,6 4+5=0,解得 a=l 或 a=5.当”=1时，圆心坐标为(1,1),此时圆心到直线2 x-y-3=0 的距离1 ,/2-+(1)-2A/55；1 2 X 5-5-3 1y j 22+(I)2当a=5 时，圆心坐标为(5,5),此时圆心到直线2 x
11、 y 3=0 的距离d=2、行综上，圆心到直线2 x y 3=0的距离为=一.点评 圆的标准方程，直线与圆相切，点到直线的距离.求解时注意讨论两种圆心位置.创新应用妙用直线系求直线方程直线系方程的常见类型(1)平行于已知直线A x+B y+C=0的直线系方程是：A x+B y+X=0(X是参数且2#。；(2)垂直于已知直线A x+B y+C=0的直线系方程是：BAA y+2=0(/l 是参数)；(3)过两条已知直线/1：A i x+B i y+G=0 和 8 A2x+B2y+C 2=0 的交点的直线系方程是:4 x+B i y+G+2(A 2 x+B 2 y+C2)=0(/i e R,但不包括
12、%).1 .平 行 于 直 线 3 x +4 y 2 =0,且 与 它 的 距 离 是 1 的 直 线 方 程 为|一2一。|解析J设 所 求 直 线 方 程 为3x+4y+c=0(cW 2),则d=1,Ac=3 或 c=732+42即 所 求 直线方程为3x+4)，+3=0或3x+4y7=0 答案3x+4y+3=0 或 3x+4y7=02.经 过 两 条 直 线2 x+3 y+l=0和x3 y+4=0的交点，并且垂 直 于 直 线3x+4y7=0的直线方程为.解析 法 一 由 方 程 组，2x+3y+l=0,kx3y+4=0,解得，5=一,即两直线交点为(一|,7.所求直线与直线3 x+4
13、y-7=0垂直，4二所求直线的斜率为k=-j.由点斜式得所求直线方程为即 4x-3)，+9=0.法 二 由 垂 直 关 系 可 设 所 求 直 线 方 程 为4x-3y+m=0,由方程组，2x+3y+l=0,；可解得两直线交点为j 3y+4=0,（一/,寺），代入 4x3 y+,=0,得?=9,故所求直线方程为4x3y+9=0.法 三 由 题 意 可 设 所 求 走 线 方 程 为(2x+3y+l)+2(x-3y+4)=0,即(2+Q x+(3-3Q y+1+4 2=0,又.所求直线与直线3x+4y7=0垂直，/.3(2+2)+4(3-32)=0,/.2=2,代入式得所求直线方程为4x-3y+
14、9=0.答案4x3y+9=0课时作业(四十一)A 级 基 础 达 标I.直 线 以+b y+c=O同时要经过第一、第二、第四象限，则a,b,c应满足()A.abOf bc0C.ab0B.ab0,bc0D.abOf bc 0,故M 0,bcVO.2.已 知 直 线/：奴+厂2=0在x轴 和y轴上的截距相等，则a的值是()A.1C.一2 或 一1B.-1D.-2 或 1D 由 题 意 可 知.当x=0时，y=a+2.Q+2当 y=0 时，所 以=/=4+2,解 得a=2或a=L 3.若 直 线/与 直 线y=l,x=7分 别 交 于 点P,Q,且 线 段P Q的中点坐标为(1,-1),则 直 线/
15、的 斜 率 为()1c 1 -3 2A-3B.-3 C.-2 Dqf+7=2,B 依题意，设点p(a l),2(7,b),则有,解得。=一 5,b=-3,从而可g+l=2,-3-1 1知直线/的斜率为7+5=_)4.已知直线/i：m x-y1=0 与直线，2：(m 2)x+m y 2 0,则?=1 是 ul _LI2 的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A 由得?（，”-2）+机=0,解得机=0 或%=1,所 以 机=1 是/1 J-/?”的充分不必要条件，故选A.5.直线or+y+3a 1=0 恒过定点M,则直线2r+3y6=0 关于M 点对称的直线
16、方程为（）A.2x+3y-12=0C.2x-3y+12=0B.2x3y12=0D.2x+3y+12=0D 由 o x+y+3 a-l=0,可得 a(x+3)+(y-l)=0,令x+3=0,八 可得 x=-3,y=I,J-1=0,所以M（-3,l）,定点M 不在直线2 x+3 y-6=0 上，设直线2 x+3 y-6=0 关于M 点对称的直线方程为 2x+3y+c=0(cW 6),则|6+3-6 4+96+3+c|4 4+9,解得c=12或 c=16(舍去),所以所求方程为2 x+3 y+1 2=0,故选D.6.直线/经过点A（l,2）,在 x 轴上的截距的取值范围是（一3,3）,则其斜率的取值
17、范围是（）A.-k 或 k 1.故选C.9.设点A（2,3）,8（3,2）,若直线分+y+2=0 与线段A 8没有交点，则（/的取值范围是（）C(21 3.2 4B 易知直线ci x+y+2=0过定点P（0,2）,左 例=予k p n=y 设直线a x+y+2=05 4的斜率为左 若直线以+），+2=0 与线段A3没有交点，根据图象（图略）可知一 V k V 即一5 4 4 51VV 予 解 得 一 V4V2，故选B.1 0.若直线经过点A（一小，3）,且倾斜角为直线M 5 x+y+l=0 的倾斜角的一半，则该直线方程为.解析 由小x+y+l=0 得此直线的斜率为一小，所以倾斜角为1 2 0,
18、从而所求直线的倾斜南为60。，故所求直线的斜率为小.又直线过点A（一小，3）,所以所求直线方程为y 3=小。+5），即小x-y+6=0.答案 小 x-y+6=01 1 .已知,W0,则过点（1,一1）的直线a x+3,孙+2 a=0 的斜率为 .解析,点（1,1）在直线a x+3 n z y+2 =0上，：.a-3 m+2 a=0f u：m=a 09 答案1 -11 2 .已 知 点 A（1,2）,3（3,4）.尸 是 x 轴上一点，且 照|=|PB|,则的面积为 解析 设 AB的中点坐标为M（1,3）,4-2 1 8=3-（-1）=2-所以AB的中垂线方程为y-3 =-2（x-l）.即 2
19、r+y-5=0.令 y=0,则x=|;即 P 点的坐标为（，0）,|A 8|=d（1 _ 3）2+（2 4）2=2 小.P到AB的距离为|PM=4+32=乎.所以 SA/MB=2H B H P M=X2/X 2 =2 答案 yB级 能 力 提 升1 3 .在平面直角坐标系xOv（O 为坐标原点）中，不过原点的两直线6x-m y+2m-1=0,/2：，加+厂 加-2=0 的交点为P,过 点。分别向直线小/2 引垂线，垂足分别为M,N,则四边形O M P N面积的最大值为（）3 5A.3 B./C.5 D.,D 将直线的方程变形得。-1)+m(2 )=0,由x1=02-y=0 x=1得，则直线/|
20、过定点A(l,2),同理可知，直线，2 过定点A(l,2),ly=2所以，直线/和直线/2 的交点P 的坐标为(1,2),易知，直 线 如 图 所 示,易知，四边形O MP N为矩形，且|0叩=、7+2 2=4,设Q M=a,|0川=4 则 a2+b2=5,层+b 2 5四边形 O M P N 的面积为 S=OM-ON=ah 2=,当且仅当a=b A/TO，_ L 八，U ，即当=0=七？时，等号成立,相十。2 =5 N因此，四边形0 M p N面积的最大值为,，故选D.1 4 .已知直线y=2 x 是 A 8 C 中NC的平分线所在的直线，若点A,B的坐标分别是(一4,2),(3,1)则点C
21、的 坐 标 为()A.C.(-2,4)(2,4)B.(-2,-4)D.(2,-4)导2=-1,设&-4,2)关 于 直 线y=2x的对称点为(凡y),则,解得y+2-4+x=2XCx=4,产 一2,所以8C所在直线方程为-1=年 年。-3),即 3 x+y-1 0=0.同理可得点B(3,l)关于直3 2线)，=2%的对称点为(一 1,3),所以AC所在直线方程为)，-2=_；_(_ 4,(x+4)，即X 一3)，+3 x+y 1 0=0,f x=2,1 0=0.联立得 解得 则 C(2,4).故选C.x-3 y+1 0=0,卜=4,1 5 .直线/经过点P(3,2)且与x 轴、y轴的正半轴分别
22、交于4、8两 点.OA B 的面积为1 2,则 直 线/的 方 程 为 .解析 解法一：设直线/的方程为，方=1(4 0,Q0),3 2 1则有味+彳=1,且呼b=1 2.解得=6,b=4.所以所求直线/的方程为5+1=1,即 2 x+3 y-1 2=0.解法二：设直线/的方程为)，-2=Z(x3)(2 V 0),2令 x=0,得 y=2 3 攵；令 y=0,得 x=3 所以 SAO AB=3（2 3%）（3 生）=1 2,解得 A:=1.2故所求直线方程为y 2=一（x3）,即 2 x+3 y-1 2=0.答案 2 x+3 y-1 2=01 6.已知直线/：x-2 y+8=0 和两点 A（2
23、,0）,5（2,-4）.在直线/上求一点尸，使 附|+|PB|最小；（2）在直线I上求一点P,使|尸 8|一照|最大.解 设 A关于直线/的对称点为A （?，），则，-0m 2=2.m+2 +0,2 -2,-2-+8=0,m 2,解得 故 A （2,8）.ln=8,P 为直线/上的一点，W|B 4|+|PB|=|M,|+|PB|（A,B,当且仅当B,P,A 三点共线时，|刚+|PB|取得最小值，为H B,则点尸就是直线A Bx=-9 r=9与直线/的交点，解:得 tx2 y+8=0,（y=3,故所求的点P 的坐标为（-2,3）.（2）4,2两点在直线/的同侧，P 是直线/上的一点，则|P8|一
24、|R M|W|A 8|,当且仅当A,B,P 三点共线时，|尸 8|一|用|取得最大值,为|A B|,则点P 就是直线AB与直线/的交点，y=X-2,X 1 2,得 故所求的点尸的坐标为x-2 y+8=0,y=1 0,（1 2,1 0）.第 二 节 圆的方程精教科固基砒-基固为根必备知识1.圆的定义及方程 基础自梳定义平面内与 定点 的距离等于 定;氐 的点的集合（轨迹）标准方程(X G +(V )2 =户(r 0)圆心：3，b）,半径：r一般方程/+y 2+)x+/=0(Z 2+E2-4F 0)圆心：（一与，一5 ,半径：D2+E24F点 拨 对于方程3+产+6+尸=0.若D+E24尸=0,方
25、程表示点（一号，一号2.点与圆的位置关系点 AY（X O，泗）与圆（X 4）2+。-6）2=户的位置关系：若 M（x o，州）在圆外，则（小一”）2+（先-6）2户（2）若“（必，州）在圆上，则（X o a）2+（V o b）2=r2（3）若 M（x o，y o）在圆内，贝!！（x p a A+C”-b/V r2 基础自测1.(教材改编)过点4 1，-1).且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A.(x3)2+(y+1/=4 B.(x+3)2+0，一=4C.(X-1)2+6 1)2=4 D.(x+1)2+。，+1)2=4 答案c2.圆心在y轴上，半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()
26、A.x2+(y-2)2=l B./+&+2)2=1C.。一 1产+。-3)2=1 D.3)2=1 答 案 A3(教材改编)圆C的直径的两个端点分 别 是A(-l,2),8(1,4),则 圆C的方程为 答案 1 3)2=24.(易错点：二元二次方程表示圆的条件)圆的方程;小+2+4处-2/一5相=0,其圆心为 答案(2,1)5.(教材改编)ABC的三个顶点分别为A(1,5),B(-2,-2),C(5,5),则其外接圆的方程为.答案x2+y24x2y20=0 研 考点练方法-点明为纲关键能力考点一求圆的方程 例1 (1)圆心在y轴上，半径长为1,且过点4 1,2)的圆的方程是()A.x2+(y-2
27、)2=l B./+。+2)2=1C.(X-1)2+63)2=1 D.炉+&-3)2=4A 根据题意可设圆的方程为3+。-6)2=1,因为圆过点A(l,2)所 以F+(2份2=1,解得b=2,所以所求圆的方程为了+0-2)2=1.(2)一题多解 圆心在直线x-2 y-3=0上，且过点A(2,-3),B(-2,一5)的圆的方程为 .解析 解法一：设点C为圆心，因为点C在直线1一2丫-3=0上，所以可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,8两点，所以|CA|=|CB|,即.(2 4+3-2)2+(+3)2=，(2a+3+2)2+g+5)2,解得 a=-2,所以圆心C的坐标为(-1,-2),半
28、径r=|C 4|=E，故所求圆的方程为(x+1尸+()，+2产=10.解法二：设所求圆的标准方程为(工一)2+()-3 2=/，(2-a)2+(-3-b)2=r2,由题意得+F=0(D2+E2-4 F 0),将P,。两点的坐标分别代入得2 D-4 E F=2 0,3E+F=10.在圆C的方程中令y=0,得/+0犬+尸=o设 X I,及是方程的两根，由|同一切=6,即3+*2)24为及=3 6,得 24/=36,由解得。=-2,E=-4,F=-8 或。=一 6,=-8,F=0.故圆 C 的方程为 x2+y2 _2x_4 y _ 8=0 或/+)2 6x 8y=0.答案 始+产2%4)，-8=0
29、或*2+产一6x 8y=0方法指导求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法若已知条件与圆心3,份和半径，有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a,b,r 的方程组，从而求出a,6,r 的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D,E,尸的方程组，进而求出。，E,尸的值.注意 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.I 思维变式圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是()A.x2+y2+1 0 y=0 B.A2+y2 1 0 y=0C.+/+1 0%=0
30、 D./+y 2-1 0 x=0B 设圆心为(0,b),半径为R,则 R=|此所以圆的方程为/+。-6)2=序，因为点(3,1)在圆上，所以9+(1 6)2=，解得人=5.所以圆的方程为x2+y2-10 =0.考点二与圆有关的最值问题角度1|利用几何性质求最值 例 2 已知实数x,y 满足方程好+产 一 以+1=0.(1)求:的最大值和最小值；(2)求y x的最大值和最小值.解 原方程可化为(x 2)2+y 2=3,表示以(2,0)为圆心，仍为半径的圆.(1弓的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设即y=k x.当直线)，=与 圆 相 切 时，斜率攵取最大值或最小值，此时，急出=小，解得Z
31、=W 5(如图 1).所以?的最大值为小，最小值为一小.(2)y x可看作是直线y=x+b 在 y轴上的截距，当直线y=x+与圆相切时，纵截距b12 o+A I取得最大值或最小值，此时不=小，解得=一 2 同 如 图 2).所以y x的最大值为-2+黄，最小值为一2 一黄.角度2 建立函数关系求最值 例 3 设点P(x,y)是圆：(x 3 +y 2=4 上的动点，定点A(0,2),8(0,2),则西+访I 的最大值为.解析 由题意，知两=(一x,2 y),PB=(x,2-y),所以两+无=(-2 x,2y),由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程。-3)2+炉=4,故 产=-83)2+
32、4,所以|百+诵 尸、4/+4 炉=2 寸6犬-5.由圆的方程Q-3+y=4,易知l W x =7 4小.考点三与圆有关的轨迹问题 例 4 已知直角三角形A B C 的斜边为4 B,且 4-1,0),8(3,0),求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程.解(1)设顶点C(x,y),因为A C _ L 8 C,且 A,B,C三点不共线，所以x r 3 且 x W 1.又以c=p 依。=言,且 ICAC k B C=1,所以味啖=-1,x+1 x-3化简得 x1+y22 x 3=0.因此，直角加点C的轨迹方程为r+产-Z v 3=0(x#3 且 x#1).(2)设点 M(
33、x,y),点 C(x o,y o),因为8(3,0),M是线段BC的中点，由中点坐标公式得且xW l),于是有xo=2r 3,y o=2 y.由(1)知，点 c在圆a且 x#1)上运动，将 xo,y o代入该方程得(2x4)2+(2y)2=4,即(x2y+y 2=i.因此动点M的轨迹方程为(x2)2+产=l(x 3 且 xr l).方法指导求与圆有西整迹问题的四种方法直接法|直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法定 义 法 根据圆的定义列方程求解的方法儿何法1利用圆的儿何性质，得出方程的方法代入法(相关点法)找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式的方法 思维变式J已知圆/+)2=
34、4 上一定点A(2,0),8(1,1)为圆内一点，P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若/尸8。=90。，求线段尸。中点的轨迹方程.解 设 AP的中点为M x,y),由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x-2,2y).因为P点 在 圆/+产=4上，所以(2%2)2+(2)，)2=4.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1 )2+炉=1.(2)设 PQ的中点为M x,y),在 Rt/PB Q 中，|P N|=|B N|,设。为坐标原点，连接O N(图略)，则O N工PQ,所以|O P F=1。胛+伊川2=|0 所+伊 阿，所以 j t2+_ y2+(j c l)2+(y 1)2=
35、4.故线段P Q中点的轨迹方程为j +y x y 1 =0.链高考提素养-素养为本创新应用 再研高考1(20 20 全国I I I 卷)在平面内，A,8是两个定点，C是动点.若就诙=1,则点C的轨迹为()A.圆B.椭 圆 C.抛物线 D.直线A 以A8所在直线为x 轴，线段AB的垂直平分线为)，轴建立平面直角坐标系，设点A,B 分别为(-4,0),m，0)(a 0),点 C 为(x,y),则/=(x+a,y),B C=(x-a,y),所以说 病=(xa)(x+a)+y y=x2+)24 2=,整理 得/+炉=/+.因此点c的轨迹为圆.故选A J点评 建立以AB的由点为原点，AB所在直线为x 轴
36、的平面直角坐标系，设出A,B两点的坐标，表示出赢，B C,再利用庆正=1 求出表示点C轨迹的曲线方程，进而确定点C的轨迹.创新应用阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作 圆锥曲线论一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：己知动点M 与两定点A,8的距离之比为2(%0,2 1),那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.1.若已知A(2,0),8(2,0),2=；,则此阿波罗尼斯圆的方程为()A.x2+y2-2x+4=0 B.x2+y2+12x+4=020 20C.x2+y2x+4 =0 D.x2+y2+x+4 =0D 由题意，设
37、P(x,y),则胆 热 (x2)z+yz 乙化简可得x 2+y 2+20 L+4=o,故选D.2.己知圆。：+炉=1 上的动点M和定点月(一皆o),B(1,1),则 21M A i+|M B|的最小值为()A.乖 B.币 C.V T b D.V 7 1C 当点M 在 x 轴上时，点 M 的坐标为(一 1,0)或(1,0).若点 M 的坐标为(-1,0),则 2 1 MAi+|MB|=2 X；+Y(1 +1 尸+1 2=1+小;O _若点 M 的坐标为(1,0),则 2 1 AMi+|MB|=2 X 5+y(l 1)2+=4.当点M 不在x轴上时，取点砥一2,0),连接O M,M K(图略)，因
38、为|O M|=1,1。4 尸;，OK=2,所 以 黑=掾 茏=2.因为 NM OK=NA OM,所以 M O KS/A OM,则 髓 =解 =2,所以|MK|=2 MA,则 2 1 AMi +|MB|=+眼刈易知幽B|+|MK|2|B K ,可知|例8|+的最小值为由的长.因为 B(l )，阳一2,0),所以(2|MA|+|MB|)m i n=|B K|=q(-2-1)2+(0 1)2=E.综上，易知2 1 MAi+|MB|的最小值为闻.故选C.点评 圆 0:9+9=1可认为是阿波罗尼斯圆，动点M 到A 点与到K点的距离之比为今MK=2 MA.课时作业(四十二)A 级 基 础 达 标1 .设
39、A(2,-1),8(4,1),则以线段4B为直径的圆的方程为()A.(x 3)2+y 2=2 B.(%-3)2+2=8C.(x-3)2+y2=2 D.(X+3)2+V=8A 设 P(x,y)是圆上任意一点，则丽=0.淳=。-2,)，+1),B P=(x 4,y-l),所以。一2)(%4)+。+1)。-1)=0,整理得/+)，2 6 犬+7=0,即。-3)2+)，2=2,故选 A.2 .若圆炉+?2+2 一步=0的半径为2,则点3,6)到原点的距离为()A.1B.2 C.y/2 D.4B 由 r=j D2+E24F=l 4a2+4b2=2,得y 序 7 =2.点3,力到原点的距离d=7 层+吩=
40、2,故选B J3.已知点M 是直线3x+4 y 2=0上的动点，点 N为圆(x+l)2+(y+l)2=l 上的动点,则|MN|的最小值是()94 1 3A.gB.1 C g D.了I 34 2 1C 圆心(一1,一1)到点M 的距离的最小值为点(一 1,一1)到 直 线 的 距 离-5-94=彳 故点N到点M 的 距 离 的 最 小 值 为 1=亍 4.圆心在直线2 x y-7=0上的圆C 与 y轴交于A(0,-4),8(0,2)两点，则 圆 C的标准方程为()A.(x+2)2+(y+3)2=5 B.(x-2)2+(y-3)2=5C.(x+2)2+(y 3=5 D.(%-2)2+(y+3)2=
41、52 ab7=0D l 通 解：设圆的标准方程为。一。)2 +。一与2 =产，故 层+(4+6)2=/，解得.屋+(2 +6)2 =3半径r=J22+l2=V 5,故圆C 的标准方程为(x-2)2+G，+3)2=5.故选D.l b=-3,优解：利 用 圆 心 在 直 线 一7=0上来检验，只有D符合，即(x-2)2+(y+3)2=5 的圆心为(2,-3),2 X 2 4-3-7=0,其他三个圆心(一2,3),(2,3),(2,3)均不符合题意.5.(2 0 2 1 江西南昌二中月考)若坐标原点在圆(工一,)2+。+,)2=4 的内部，则实数机的取值范围是()A.(-1,1)B.(一小，小)C.
42、(一 也,也)D.(一乎,C 厂.,原点(0,0)在圆(x?)2+(y+?)2=4 的内部，,)2+(0+/)2 V4,解得一m|=1,：.r=A C=y 1 2=CP,故 C(正，1),故 圆 C 的标准方程是(一加)2+。-1)2=2,故选C.7.(2 0 2 1.湖北名校联考)圆。-3)2+。-1)2=5 关于直线丫=一 对称的圆的方程为()A.。+3)2+。-1 y=5 B.(x-l)2+(y-3)2=5C.(x+l)2+(y+3)2=5 D.(A-l)2+(y+3)2=5C 由题意知，所求圆的圆心坐标为(-1,-3),所以所求圆的方程为(x+l)2+(y+3)2=5,故选C.8.(2
43、 0 1 9 北京卷)设抛物线y 2=4 x 的焦点为F,准线为/,则以尸为圆心，且与/相切的圆的方程为.解析 .抛物线y=4 x 的焦点F的坐标为(1,0),准线/为直线=一 1,二圆的圆心坐标为(1,0).又；圆与/相线，.圆心到/的距离为圆的半径，Ar=2.圆的方程为(x i)2+)a=4.答案(X 1)2+/=49 .若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=l 相切，则圆C 的方程是 .解析 由已知可设圆心为(2,b),由 22+b2=(b)2=r2,3,2 5H b=-2,r=y.故圆C 的方程为(x-2)2+(y+1 =*答案(-2)2+6+|)2=与1 0 .已知点P是圆
44、(x+3)2+(y 1 =2 上的动点，点。(2,2),。为坐标原点，则 O P Q面 积 的 最 小 值 是 .解析J因为|0。|=2 吸，直线。的方程为、=工，圆心(-3,1)到直线。的距离为d=I 3 j I取=2 小,所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为2 巾 一 巾=巾,所以 O P。面积的最小 值 为 2 巾 X 巾=2.答案 21 1 .已知点尸(-2,3),圆 C：(x 4)2 +(y 2)2=9,过点P作圆C 的两条切线，切点为 A,B,则过P、A、8 三 点 的 圆 的 方 程 为.解析 易知圆C的圆心为C(4,2),连接A C、BC,由题意知出_ L AC,PB B
45、 C,所以P,A,B,C 四点共圆，连接PC,则所求圆的圆心。为尸C的中点，所以0 (1,一；)，所以所求圆的半径r =y j(1+2)2+(一,+3)=所以过P,A,8 三点的圆的方程为(x 1)2+。+=学 答案 1 。-1)2+。+，=牛12.已知以点P 为圆心的圆经过点A(-l,0)和 8(3,4),线段A B的垂直平分线交圆P 于点C 和。，且|。|=4/.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程.|解|直 线 A B的斜率&=1,A B的中点坐标为(1,2),直线C D 的方程为y-2=-(x 1),即 x+y 3=0.(2)设圆心P(，b),则由尸在CD上得-3=0.又直径|。
46、9|=4 76,：.PA=2 y i b.1/+岳=4 0.由解得=3或6=6b=2圆心 P(3,6)或 6(5,-2),圆 P 的方程为(x+3)2+(y6)2=4 0 或(x-5)2+(y+2)2=4 0.B级 能 力 提 升13.(20 21 海南联考)抛物线尸炉一2%3与坐标轴的交点在同一圆上，则由交点确定的圆的方程为()A.-1=4B.1产=4C.(X 1)2+)=4D.(x-l)2+(y+1产=5D 抛物线)，=/-2%3关于直线x=l对称，与坐标轴的交点为A(1,0),B(3,0),C(0,一3),设圆心为M(l,b),半径为r,则|M A|2=|M C F=/,即 4+坟=1+
47、仍+3)2=/，解得匕=-1,r=邓,二由交点确定的圆的方程为(x-l)2+(y+l)2=5,故选D.14.(20 21.江西赣州模拟)已知动点A(XA,以)在直线/：y=6-x上，动 点 8 在 圆 C：x2+)2-2 x-2 y-2=0 上，若/C AB=3 0。，则加的最大值为()A.2B.4 C.5 D.6C 由题意可知，当A B是圆的切线时，NC48 最大，此时|C A|=4,点 A 的坐标满足(xl)2+(y1)2=1 6,与 y=6 x联立，解得x=5或 x=l,.,.点A 的横坐标的最大值为5.故选 C.15.(20 19浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直
48、线M一y+3=0 与圆C 相切于点 A(2,1),则?=,r .则|AB|=(_ 2 _。)2+(_ 1 _ 3 尸=2小,|A C|=/(-2-0)2+(-1 -w)2=W 3(机+1 A，|B Q=|m-3|.直线 2 r-y+3=0 与圆 C 相切于点 A,；.N B AC=90,.-.|/1/?|2+|0|2=|2.即 20+4+(?+1)2=(,-3)2,解得?=2.因此 r=|AC|=-/4+(2+1)2=5.答案-2 V 516.在平面直角坐标系x O)，中，曲线匚丫=彳27n x+2/n OG R)与 x轴交于不同的两点A,B,曲线与 y 轴交于点C.(1)是否存在以A B为直
49、径的圆过点C?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.(2)求证：过 A,B,C三点的圆过定点.解 由曲线八 y=mx+2m(mR),令 y=0,得/一如+2 m=0.设 A(j q,0),6 a 2,0),则 可 得/=/8加 0,X+x 2=n t,x X2=2 m.令 x=0,得 y=2%即 C(0,2m).(1)若存在以A 8 为直径的圆过点C,则A b谎=0,得国及+4 加 2=0,即 2?+4 m 2=0,所以m=0或m=由/0得/n V O或 8,所以力z=-g,此时C(0,-1),A B的中点M(一=0)即圆心，半径，=巾|=呼，故所求圆的方程为(2)证明：设过A,8 两
50、点的圆的方程为/+,2/总+1),+2%=0,将 点。(0,2m)代入可得=一 1一2m，所以过A,B,C三点的圆的方程为N+y 2 必一(1+2m)y+2m=0,整理得 x2+y2y f n(x+2 y 2)=0.24产彳故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和住，。第 三 节 直 线 与 圆、圆与圆的位置关系 梳教科 固基础-基固为根必备知识 基础自梳x=0,门或y+Z-,=o,中x+2 y-2=0,令 1.直线与圆的位置关系与判断方法方法过程依据结论代数法联立方程组消去x(或 y)得一元二次方程，计算/=一 4或J 0ffl交4=0相切J 0相离几何法计算圆心到直线的距离，比较 4 与半