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1、1 / 18【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-19-1 直线的方程试题理北师大直线的方程试题理北师大1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，把 x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角，叫作直线 l 的倾斜角当直线 l 和 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.倾斜角的范围为0，180)(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角 的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan_，倾斜角是 90的直线斜率不存在过
2、两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)的直线的斜率公式为 k.2直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式yy1 y2y1xx1 x2x1不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)2 / 18截距式 1x ay b不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( )(3)
3、直线的倾斜角越大，其斜率就越大( )(4)直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 .( )(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等( )(6)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示( )1(2016天津模拟)过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( )A1 B4C1 或 3 D1 或 4答案 A解析 依题意得1，解得 m1.2(2016合肥一六八中学检测)直线 x(a21)y10 的倾斜角的取值范围是( )A0， B，)C0，(，) D，)，)答案 B3 / 18解析 由直线方程
4、可得该直线的斜率为，又10，在 y 轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限4(教材改编)直线 l：axy2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则实数 a_.答案 1 或2解析 令 x0，得直线 l 在 y 轴上的截距为 2a；令 y0，得直线 l 在 x 轴上的截距为 1，依题意 2a1，解得 a1 或 a2.5过点 A(2，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_答案 3x2y0 或 xy50解析 当直线过原点时，直线方程为 yx，即 3x2y0；当直线不过原点时，设直线方程为1，即 xya，将点 A(2，3)代入，得 a5，即直线方程为 xy50.故所求直线的
5、方程为3x2y0 或 xy50.4 / 18题型一 直线的倾斜角与斜率例 1 (1)(2016北京东区期末)已知直线 l 的倾斜角为 ，斜率为 k，那么“”是“k”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_答案 (1)B (2)(，1，)解析 (1)当时，”是“k”的必要不充分条件，故选 B.(2)如图，kAP1，kBP，k(， 1，)引申探究1若将本例(2)中 P(1,0)改为 P(1,0)，其他条件不变，求直线 l斜率的取值范围解 P(1,0
6、)，A(2,1)，B(0，)，kAP，5 / 18kBP.如图可知，直线 l 斜率的取值范围为.2若将本例(2)中的 B 点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的范围解 如图，直线 PA 的倾斜角为 45，直线 PB 的倾斜角为 135，由图像知 l 的倾斜角的范围为0，45135，180)思维升华 直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论由正切函数图像可以看出，当 时，斜率 k0，)；当时，斜率不存在；当 时，斜率 k(，0)(2016南昌模拟)已知过定点 P(2,0)的直线 l 与曲线 y相交于 A，B 两点
7、，O 为坐标原点，当AOB 的面积取到最大值时，直线 l 的倾斜角为( )A150 B135C120 D不存在答案 A解析 由 y得 x2y22(y0)，它表示以原点 O 为圆心，以为半径的圆的一部分，其图像如图所示显然直线 l 的斜率存在，设过点 P(2,0)的直线 l 为 yk(x2)，则圆心到此直线的距离d，6 / 18弦长|AB|22，所以 SAOB222k2 1k21，当且仅当(2k)222k2，即 k2时等号成立，由图可得 k(k舍去)，故直线 l 的倾斜角为 150.题型二 求直线的方程例 2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)经过点 P
8、(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为 5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为 ，则 sin (00，b0)，把点 P(3,2)代入得12，得 ab24，从而 SAOBab12，当且仅当时等号成立，这时 k，从而所求直线方程为 2x3y120.方法二 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k2答案 A解析 解方程组得Error!因为直线 y2x3k14 与直线 x4y3k2 的交点位于第四象限，所以 k60 且 k2x02，则的取值范围为( )A(，) B(，C(， D(，0)答案 A解析 设 A(x1，y1)，k，则 y
9、0kx0，AB 的中点为 P(x0，y0)，B(2x0x1,2y0y1)13 / 18A，B 分别在直线 x2y10 和 x2y30 上，x12y110,2x0x12(2y0y1)30，2x04y020，即 x02y010.y0kx0，x02kx010，即 x0.又 y0x02，kx0x02，即(k1)x02，即(k1)()2，即0，bc0，bc014 / 18Cab0 Dab0，故 ab0，bc0，a1)的图像恒过定点 A，若点 A 在 mxny10(mn0)上，则的最小值为_答案 4解析 函数 ya1x(a0，a1)的图像恒过定点 A(1,1)16 / 18把 A(1,1)代入直线方程得
10、mn1(mn0)()(mn)24(当且仅当 mn时取等号)，的最小值为 4.11(2016太原模拟)已知两点 A(1,2)，B(m,3)(1)求直线 AB 的方程；(2)已知实数 m1，1，求直线 AB 的倾斜角 的取值范围解 (1)当 m1 时，直线 AB 的方程为 x1，当 m1 时，直线 AB 的方程为 y2(x1)即 x(m1)y2m30.(2)当 m1 时，；当 m1 时，m1，0)(0，k(，)，)(，综合知，直线 AB 的倾斜角 ，12已知点 P(2，1)(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是
11、多少？(3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由17 / 18解 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，1)，显然，过点 P(2，1)且垂直于 x 轴的直线满足条件，此时直线 l 的斜率不存在，其方程为 x2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.由已知得2，解得 k.此时 l 的方程为 3x4y100.综上可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100.(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图所示由 lOP，得 klkOP1，所
12、以 kl2.由直线方程的点斜式，得 y12(x2)，即 2xy50.所以直线 2xy50 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过点 P 不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线13.如图，射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45和 30角，过点P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落18 / 18在直线 yx 上时，求直线 AB 的方程解 由题意可得 kOAtan 451，kOBtan(18030)，所以直线 lOA：yx，lOB：yx.设 A(m，m)，B(n，n)，所以 AB 的中点 C，由点 C 在直线 yx 上，且 A、P、B 三点共线得Error!解得 m，所以 A(，)又 P(1,0)，所以 kABkAP，所以 lAB：y(x1)，即直线 AB 的方程为(3)x2y30.