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1、2022年 秋 期 高 中 三 年 级 期 终 质 量 评 估 数 学 试 题（理）注 意 事 项：1.本 试 卷 分 第 I卷（选 择 题）和 第 H 卷（非 选 择 题）两 部 分.考 生 做 题 时 将 答 案 答 在 答 题 卡 的 指 定 位 置 上，在 本 试 卷 上 答 题 无 效 2.答 题 前，考 生 务 必 先 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上.3.选 择 题 答 案 使 用 2B铅 笔 填 涂，非 选 择 题 答 案 使 用 0.5亳 米 的 黑 色 中 性（签 字）笔 或 碳 素 笔 书 写 字 体 工 整,笔 迹 清 楚.4.请 按
2、照 题 号 在 各 题 的 答 题 区 域（黑 色 线 框）内 作 答，超 出 答 题 区 域 书 写 的 答 案 无 效.5.保 持 卷 面 清 洁，不 折 叠、不 破 损.第 I 卷 选 择 题（共 60分）、选 择 题（本 大 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的）1.若 集 合 A=x|-2x-3W。,8=xllog”4 1，则 4 7 8=（）A.-1.3|B.（-oo,3J C.（0,2 D.（0,32.已 知 复 数 2满 足（i-l）z=2i,则 忖（）A.1 B.72
3、 C.6 D.23.从 3,4,5.6 四 个 数 中 任 取 三 个 数 作 为 三 角 形 的 三 边 长，则 构 成 的 三 角 形 是 锐 角 三 角 形 的 概 率 是（）A.-B.-C.-D.-4 3 2 44.已 知 向 量 1=（4,一 2 6），6=（1,75）,则 向 量 区 在 向 量 方 向 上 的 投 影 是（）A.-76 B.-1 C.I D.#5.已 知 x w R,）w R，若 p:|x+11+|y-2|2 1,tf：x2+y2+2x-4y+4 0.则 是 0,0）的 左、右 焦 点 分 别 为,6 点”在 C 的 右 支 上，直 线 月 河 与 C 的 左 支
4、 交 于 点 M 若 巧 N|=b,且|M用=则 双 曲 线 C 的 渐 近 线 方 程 为（）A.y=-x B.v=3x C.y=x3 27.设/（x）是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 4 的 奇 函 数，当 0 4 x 4 2 时,（X）+/+）,则 函 数 产 g（x）的 最 大 值 为（）A.I B.-1 C.2D.y=2.v，、A;0 A 1J(x)=i 2-A 1 A./-恒 成 立,则 9 的 值A.2 B.C.I D.-2 29.已 知 抛 物 线 C：=4.r的 焦 点 为 F,过 点 下 作 直 线/交 抛 物 线 C 于 点 A,8（A 在 x 轴 上 方），与 抛
5、 物 线 准 线 交 于 点 若 18Ml=2|8f,则 直 线/的 倾 斜 角 为（）A.60 B.30 或 150 C.30 D.60 或 12010.对 于 函 数/（x）=sinx+x-e,xe0,?r.下 列 说 法 正 确 的 是（）A.函 数/鼻）有 唯 一 的 极 大 值 点 B.函 数/（、）有 唯 一 的 极 小 值 点 C.函 数/（.r）有 最 大 值 没 有 最 小 值 D.函 数/（x）有 最 小 值 没 有 最 大 值 II.如 图 为“杨 辉 三 角”示 意 图，已 知 每 一 行 的 数 字 之 和 构 成 的 数 列 为 等 比 数 列 且 记 该 数 列
6、前 八 项 和 为 Sn,设 b“=j5kg?（S“+l）_|,将 数 列,中 的 整 数 项 依 次 取 出 组 成 新 的 数 列 记 为 q,则 5 2 3 的 值 为（A.5052 B.5057 C.5058 D.506312.十 七 世 纪 法 国 数 学 家、被 誉 为 业 余 数 学 家 之 壬 的 皮 埃 尔 德 费 马 提 出 的 个 著 名 的 几 何 问 题：“己 知 一 个 三 角 形，求 作 一 点，使 其 与 这 个 三 角 形 的 三 个 顶 点 的 距 离 之 和 最 小”它 的 答 案 是：当 三 角 形 的 三 个 角 均 小 于 120时，所 求 的 点
7、为 三 角 形 的 正 等 角 中 心，即 该 点 与 三 角 形 的 三 个 顶 点 的 连 线 两 两 成 角 120；当 三 角 形 有 一 内 角 大 于 或 等 于 120时，所 求 点 为 三 知 形 最 大 内 角 的 顶 点.在 费 马 问 题 中 所 求 的 点 称 为 费 马 点.已 知 a,b,。分 别 是 ABC三 个 内 角 4,n，C 的 对 边，且 从 一（。一。2=6,C=sin（c-）,若 点 2cos 8 1 6）P 为 ABC的 费 马 点，则 丽 P S+丽 无+画 冗=（）A.-6 B.-4 C.3 I）.2二、填 空 题（本 大 题 共 4 小 题，
8、每 小 题 5 分，共 20分）13.上 级 将 5 名 农 业 技 术 员 分 派 去 3 个 村 指 导 农 作 物 种 植 技 术，要 求 每 村 至 少 去 一 人，一 人 只 能 去 一 个 村，则 不 同 的 分 派 种 数 有.（数 字 作 答）14.如 图，A A S C 内 接 于 椭 圆，其 中 A 与 椭 圆 右 顶 点 重 合，边 8 c 过 椭 圆 中 心。若 A C 边 上 中 线 8 M 恰 好 过 椭 圆 右 焦 点 人 则 该 椭 圆 的 离 心 率 为.15.九 章 算 术 是 算 经 十 书 中 最 重 要 的 一 部，全 书 总 结 了 战 国、泰、汉
9、时 期 的 数 学 成 就，内 容 十 分 丰 富，在 数 学 史 上 有 其 独 到 的 成 就.在 九 章 算 术 中,将 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 的 四 面 体 称 之 为“鳖 腌”,将 底 面 为 长 方 形 旦 有 一 条 侧 棱 与 底 面 垂 直 的 四 棱 锥 称 为“阳 马 如 图，几 何 体 F-A8C。为 一 个 阳 马，其 中 叨 J_ 平 面 A8CD,若 D E 工 PA,D F 1,PB,D G 1 P C,且 P O=A C=2 4 8=4,则 几 何 体 EFGA8co的 外 接 球 表 面 积 为.X16.已 知 函 数/。）三 不?一 后+
10、忧（I（）的 值 域 为 0,+8）,则 实 数，取 值 范 围 为 em三、解 答 题（本 大 题 共 6 小 题，共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 聚）17.（本 题 满 分 12分）己 如 数 列,是 各 项 均 为 正 粢 的 等 差 数 列，S“是 其 前 项 和，且 S0=（%二（产）（I）求 数 列 6 的 通 项 公 式;（2）若 包 弋）以,求 仇 取 得 最 大 值 时 的 小 18.（本 题 满 分 12分）在 2022年 卡 塔 尔 世 界 杯 亚 洲 区 预 选 赛 十 二 强 赛 中，中 国 男 足 以 I胜 3 平 6
11、 负 进 9 球 失 19球 的 成 绩 惨 败 出 局.甲、乙 足 球 暧 好 者 决 定 加 强 训 练 提 高 球 技，两 人 轮 流 进 行 定 位 球 训 练（每 人 各 踢 一 次 为 一 轮），在 相 同 的 条 件 下，每 轮 甲、乙 两 人 在 同 一 位 置，一 人 踢 球 另 一 人 扑 球,甲 先 踢，每 人 踢 一 次 球，两 人 有 1 人 进 球 另 一 人 不 进 球，进 球 者 得 1分，不 进 球 者 得 一 1分：两 人 都 进 球 或 都 不 进 球，两 人 均 得。分，设 甲 每 次 踢 球 命 中 的 概 率 为 工，乙 每 次 踢 球 命 中 的
12、概 率 为 二，甲 扑 到 乙 踢 出 球 的 概 率 为 乙，乙 扑 到 甲 踢 出 球 的 概 率,，2 3 2 5且 各 次 踢 球 互 不 影 响，（1）经 过 一 轮 踢 球，记 甲 的 得 分 为 X,求 X 的 分 布 列 及 数 学 期 望：（2）若 经 过 两 轮 踢 球，用 生 表 示 经 过 第 2 轮 踢 球 后 甲 累 计 得 分 高 于 乙 累 计 得 分 的 概 率，求 2.19.（本 题 满 分 12分）如 图，四 枝 俳 P A B C D 的 底 而 为 直 角 梯 形，N A B C=/B A D=-.P 8，底（f t i ABCD,2B=A B=A D
13、=-B C=,设 平 面 与 平 面 F 8 c 的 交 线 为/.2（1）证 明：/.L平 面 PAB；（2）设 Q 为/上 的 动 点，求 P D 与 平 面 Q A B 所 成 角 的 正 弦 值 的 最 大 值.20.（本 题 满 分 12分）已 知 函 数 f（A）=a In x-x2+ax.（1）当=1 时，求 证：f（A）0：（2）若 函 数/（.v）有 且 只 有 一 个 零 点，求 实 数”的 取 值 范 围.21.（本 题 满 分 12分）已 知 卿 圆。：5+与=1（。人（），离 心 率 为 其 左 右 焦 点 分 别 为/；,点 八（】，-1）在 树 i 圆 内，a b
14、 2尸 为 椭 圆 上 一 个 动 点，且|P用+1 PA|的 最 大 值 为 5.（I）求 号 圆 C 的 方 程；（2）在 椭 圆 C 的 上 半 部 分 取 两 点 M,N（不 包 含 脚 圆 左 右 端 卓），且 嗨=2&N,求 四 边 形 鸟 N M 的 面 枳.选 考 题：共 10分.请 考 生 在 第 22、23两 题 中 任 选 一 题 作 答.注 意：只 能 做 所 选 定 的 题 目.如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 个 题 目 计 分.22.【选 修 4一 4：坐 标 系 与 参 数 方 程】（10分）x=2 COSG）在 平 面 直 角 坐 标 系 A Q V
15、中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为 1 为 参 数），y=sin9（1）在 以 O 为 极 点，、轴 的 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中，求 曲 线 C 极 坐 标 方 程：（2）若 点,。为 曲 线 C 上 的 两 个 点 且。4_L0B,求 证：一 二+J 为 定 值.10 4 5|O B|223.【选 修 4一 5：不 等 式 选 讲】（10分）已 如 存 在 x eR,使 得 民+4-民 一 羽 2 4 成 立，,5 e R.（I）求 a+2/）的 取 值 范 围；（2）求 a?+的 最 小 值.2022年 秋 期 高 中 三 年 级 期 终 质 量 评 估 数 学
16、（理）参 考 答 案、选 择 题（本 大 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 苟 T一 项 是 符 合 题 三、解 答 题（本 大 题 共 6 小 题，共 70分,解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤）17.【解 析】(1)当=1 时,S|=!=14-1)(6+2)2,解 得：=2或 者 4=一 1因 为”“0,故 q=2.方 法 一：因 为 S,=(q+a”)_。+2),(+2)_(-)(+2)-,j 夕 r以-又 见,即 可 得，=+.方 法 二：当=2 时，522-2+叼.*.（2二 1
17、）?+2）,易 得：=3.因 为 数 列。“是 等 差 数 列，故 4“=+1.当 b f；当=7 时，b,t t=h：当”7 时，%（A）=1xl-lj=|：,F（B）=|X,-1）=P甲 的 得 分 X 的 可 能 取 值 为-1,0,1,P（X=-1）=P（M=P）P（8）=（lJ）xg=g，P（X=O）=P（AB）+P（Afi）=P（A）P（B）+P（）/（B）=|xl+l-|lP（X=1）=P（“）=P（A）P=|x（l-；）=，所 以 X 的 分 布 列 为；-1012581545Q 4 I所 以 E（X）=lx+0 x 2+lx;=-L/5 15 15 15（2）根 据 题 意，
18、经 过 第 2轮 踢 球 累 计 得 分 后 甲 得 分 高 于 乙 得 分 的 情 况 有 三 种;分 别 是：甲 两 轮 中 第 1轮 得 0 分，第 2轮 得 I分；或 者 甲 第 1轮 得 I分，第 2轮 得 0分：或 者 甲 两 轮 各 得 I分，于 是：？=P(X=O)P(X=I)+P(X=I)P(X=O)+Q(X=I)8 4 4/8 4 A 16=X-1-X-1-=15 15 15 115 15；4519.【解 析】(1)证 明：因 为 PB _1_底 面 A B C D,所 以 PB.L BC.乂 底 面 A8C。为 直 角 梯 形，且/4 8。=/8 八。=工，所 以 吊 8
19、,8。.2因 此 8。1 平 面 弘 8.因 为 3C A。，8 c o 平 面 Q4。，所 以 B C/平 面 PAD.又 由 题 平 面 以。与 平 面 P B C 的 交 线 为 I.所 以/8 C,故(1.平 面 PA8.(2)以 8 为 坐 标 原 点，元 的 方 向 为 K 轴 正 方 向，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 8-0 2,则 8(0,0,0),C(2,0,0),A(0,1,0),P(0,0,l),由(1)可 设 Q(4,0,l),则 丽=(4,0,1).设=(x,y,z)是 平 面 Q A 8 的 法 向 量，则|二，即 J,可 取=(一 1,0
20、,“fi B A=o l.y=o所 以 cos(,哨=J=r；-设 P。与 平 面 Q 4 8 所 成 角 为。，一 八 6 h+d 丛 匕 _ 2r则 sin0=x!-1-x J|+-；3 3 7 1+/因 此：当 a 0 时，可 得 且 x J+乌 4 渔(当 且 仅 当。=1时 等 号 成 立)又 当 a 4 0 时，易 知 不 符 合 题 意.所 以 P,与 平 面 Q A 8 所 成 角 的 正 弦 值 的 最 大 值 为 丰.故/(、)在(0,1)上 是 单 调 增 加 的，在(1,+8)上 是 单 调 减 少 的.所 以/(%、=/0)=。，即/(x)MO(2)当=0 时，/(工
21、)=厂，不 存 在 零 点 当 a 工 0时，由/(x)=0 得=，x w(0,+a5)设 g(x)=Inxx则 g(x)=l-21n.v-xX令(x)=】-2 h u-x,易 知 A(x)在(0,+e)上 是 单 调 减 少 的，且=0.故 g(力 在(0,1)上 是 单 调 增 加 的，在(I,+8)上 是 单 调 减 少 的.由 于 耳。,g)=i,且 当 xl 时，g(x)0故 若 函 数/(x)有 口 只 有 一 个 零 点，则 只 须，=1或，0a a即 当 aw(Y O,0)3 1 时,函 数/(x)有 且 只 有 一 个 零 点.21.【解 析】1(I)由 题 意 知：一=,即
22、 a=2c,a 2又 由 椭 圆 定 义 可 得：|历|+|PA|=2a+(|M-PF2)W2a+|A 国=2a+(l-c)=5,又：=2+c2,且 a V?,2故 可 得：a=2,b=6，c=.即 椭 圆 C：的 方 程 为：+-=14 3(2)延 长 交 椭 圆 于 点 P,itl砂=2FN,根 据 椭 圆 的 对 称 性 可 得 F1M=2%.设 M(X|，X),P(电,为)，则 可(一 9,一 丫 2),显 然，M。设 宜 线 P M 的 方 程 为.r=my-,联 立 1x-my-x1 y2 得，(3 广+4)y2-6 zy-9=0,4 36m 公:.%+弘=-Z-W+4y7,t y
23、72 2=-3-加-+4乂.而=2所，得）=-2%由 得,？=-.得 直 线 P M 的 方 程 为 x=学 y-1,即-2y+J设 用 到 直 线 P M 的 距 离 为 d,|石+番|2小 则 由 距 离 公 式 得：=1-7=,J5+4 3又 由 弦 长 公 式 得：|PM|=yj+m2|）j-y2=Jl+M)1+)2)2-4)仍 Jl-M3m-+4）将 利=乎 代 入 上 式 得|P M|,设 四 边 形 耳&N M 的 面 积 为 S.口 m c 一 1 In4i/_ 1 27 275 9 易 知 S=,lr M,u X-X.-2 1 1 2 8 3 8【选 做 题】22.【解 析】
24、（1）因 为 4 丫，），=sin0*所 以 ilh线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 三+y2=1.4 因 为 x=pcosO,y=夕 sin0,所 以，曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为：p2=一?3sin泪+1（2）由 于 04 J.0 8,故 可 设 A（月，6）,夕 2，夕+24 2 4P=彳，P、=3siir8+I 3 c o s 1所 以-T7-7-2=r|0 A|0 8 p pl(3cos2+l)+(3sin26J+l)_5-,4-4即 1 11cAi2、。6 为 定 值 上 423【解 析】（1）由 题 知：,+d k 一 2 区|（犬+”）一（犬 一 2/川=|4+2.=4+2/2,因 为 存 在 xwR,使 得 苗+4-|一 劝|之 4,所 以 只 需 a+2方 N4,即 a+2 b 的 取 值 范 围 是 4,+e）.（2）方 法 一：由（I）知 a+2 24,因 为 a”w/?+，不 妨 设 f=，/+，当 人？2时，t=a2+b2 4,当 0 2时，有 一 二 22（4一 2/2）2,整 理 得,+.此 时，的 最 小 值 为 一:5 5综 上：?+/的 最 小 值 为 3.5方 法 二：令 产=2+，不 妨 设=fcos。，b=tsnO.因 为 a+2/,24,所 以 小 西 小 北，所 以“2即 f+从 的 最 小 值 为 竺.5