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1、.绝密启用前 试卷类型：A 市 2019 年高三年级第一次调研考试 数 学（理科）2019.2 本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4作答选做题时，请先用
2、 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.复数 z=i(2 i)的共轭复数是（A）1 2i（B）1 2i（C）1 2i（D）1 2i 2.已知集合|lg(2)A x y x，2|3 0 B x x x，则 A B（A）|0 2 x x（B）|0 2 x x（C）|2 3 x x（D）|2 3 x x 3.设nS 为等差数列 na 的前n项和若525 S，3 48 a a，则 na 的公差为（A）2（B）1（C）1（D）2
3、4.已知某产品的销售额 y 与广告费用 x 之间的关系如下表:若求得其线性回归方程为 6.5 y x a，则预计当广告费用为6万元时的销售额为（A）42（B）45（C）48（D）51 x（单位：万元）0 1 2 3 4 y（单位：万元）10 15 20 30 35 .5.如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（A）72（B）64（C）48（D）32 6.已知直线6x 是函数()sin(2)f x x(|)2 的图象的一条对称轴，为了得到函数()y f x 的图象，可把函数sin 2 y x 的图象 7.在ABC 中，60
4、 ABC，2 2 BC AB，E 为 AC 的中点，则=AB BE（A）2（B）1（C）0（D）1 8.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）取线段 2 AB，过点 B 作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取12BC AB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点 D；（3）以 A为圆心，以 AD 为半径画弧，交 AB 于 点 E 则点 E 即为线段 AB 的黄金分割点若在线段 AB 上 随机取一点 F，则使得 BE AF AE 的概率约为（参考数据：5 2.236）（A）0.236（B）0.382（C
5、）0.472（D）0.618 9.已知偶函数()f x 的图象经过点(1,2)，且当0 a b 时，不等式()()0f b f ab a恒成立，则使得(1)2 f x 成立的 x 的取值围是（A）(0,2)（B）(2,0)（C）(,0)(2,)（D）(,2)(0,)10.已知直线(0)y kx k 与双曲线2 22 21(0,0)x ya ba b 交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若 ABF 的面积为24a，则双曲线的离心率为（A）向左平行移动6个单位长度（B）向右平行移动6个单位长度（C）向左平行移动12个单位长度（D）向右平行移动12个单位长度(第 5 题
6、图)(第 8 题图)EDCB A考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点再做答考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位万元单位万元若求得其线性回归方程为则预计当广告费用为万元时的销售额为如图所示网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱
7、锥后的几何体的三视图则该几何体的体积为已知.（A）2（B）3（C）2（D）5 11.已知 A，B，C为球O的球面上的三个定点，60 ABC，2 AC，P 为球O的球面上的动点，记三棱锥P ABC 的体积为1V，三棱锥O ABC 的体积为2V，若12VV的最大值为3，则球O的表面积为（A）169（B）649（C）32（D）6 12.若关于x的不等式1 1()9xx有正整数解，则实数的最小值为（A）6（B）7（C）8（D）9 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题第（23）题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共 4 小
8、题，每小题 5 分 13设 x，y 满足约束条件2 4 0,1 0,0,x yxy 则目标函数z x y 的最大值为 _ 14.若3()nxx的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中x的系数为 _ 15.已知点 E 在 y 轴上，点F是抛物线22(0)y px p 的焦点，直线 EF 与抛物线交于 M，N 两点，若点 M 为线段EF的中点，且|12 NF，则 p _ 16.在右图所示的三角形数阵中，用,()i ja i j 表示 第i行第j个数（*,i j N），已知,1,1112i i iia a（*i N），且当3 i 时，每行中的其他各数均等于 其“肩膀”上的两个数之和，即,1,1 1
9、,i j i j i ja a a(2 1)j i，若,2100ma，则正整数m的最小值为 _.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第（16）题图 考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点再做答考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位
10、万元单位万元若求得其线性回归方程为则预计当广告费用为万元时的销售额为如图所示网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图则该几何体的体积为已知.（17）（本小题满分 12 分）如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知1 BC，且3cos5BCD（1）若AC平分BCD，且2 AB，求AC的长；（2）若45 CBD，求CD的长 18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD是边长 为 1 的菱形，45 BAD，2 PD，M 为 PD 的中点，E 为 AM 的中点，点 F 在线段 PB 上，且3 PF FB.（1）求证：/E
11、F平面ABCD；（2）若平面PDC 底面ABCD，且PD DC，求平面 PAD 与平面PBC所成锐二面角的余弦值 19.（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为(1,0)F，且点3(1,)2P 在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左，右顶点分别为 A，B，M是椭圆上异于 A，B 的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线 MB 交直线4 x 于点 Q，求证：A，N，Q 三点在同一条直线上 20.（本小题满分 12 分）(第 18 题图)PABCDFMEA x y M N Q F 4 x O B（第 19 题图）ABCD第（17）题
12、图 考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点再做答考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位万元单位万元若求得其线性回归方程为则预计当广告费用为万元时的销售额为如图所示网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图则该几何
13、体的体积为已知.某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：会员等级 消费金额 普通会员 2000 银卡会员 2700 金卡会员 3200 预计去年消费金额在(0,1600的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在(1600,3200的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(3200,4800的消费者都将会申请办理金卡会员.消费者
14、在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励:普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖
15、励金；其他情况不给予奖励.规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.21.（本小题满分 12 分）消费金额/元 考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点再做答考生必须
16、保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位万元单位万元若求得其线性回归方程为则预计当广告费用为万元时的销售额为如图所示网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图则该几何体的体积为已知.已知函数()e(2)xaf x xx，其定义域为(0,).（其中常数e=2.718 28，是自然对数的底数）（1）求函数()f x的递增区间；（2）若函数()f x为定义域上的增函数，且1 2()()4e f x f x，证明:1 22 x x.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答注意：只
17、能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22.（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为,sin,cos 2t yt x（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 cos 2，直线 l与曲线C交于不同的两点 A，B（1）求曲线C的参数方程；（2）若点 P 为直线 l 与x轴的交点，求2 21 1PA PB的取值围 23.（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 设函数2 1)(x x x f，1)(2 mx x x g（1）
18、当4 m时，求不等式)()(x g x f 的解集；（2）若不等式)()(x g x f 在1 2,2 上恒成立，数m的取值围 考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点再做答考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位万元单位万元若求得其线性回归方程为则
19、预计当广告费用为万元时的销售额为如图所示网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图则该几何体的体积为已知.市 2019 年高三年级第一次调研考试 理科数学试题参考答案及评分标准 第卷 一选择题 1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A 9.C 10.D 11.B 12.A 11.解析:设ABC的外接圆圆心为 O，其半径为r，球 O 的半径为R，且|OO d，依题意可知 1max2()3V R dV d，即2 R d，显然2 2 2R d r，故23R r，又42sin3ACrABC，故23r，球O的表面积为2 216 644 3 9R r
20、，故选 B.12.解析：1 1()9xx，9 x x，ln2ln3xx，*x N，0，（法一）ln 2ln3 xx，令ln()xf xx，则21 ln()xf xx，易知()f x在(0,e)上递增，在(e,)上递减，注意到2e3，只需考虑(2)f和(3)f的大小关系，又ln 2 ln8(2)2 6f，ln 3 ln 9(3)3 6f，(2)(3)f f，只需ln 3 2ln3(3)3f，即6，即实数的最小值为6，故选 A.（法二）ln2ln3xx，2ln 3ln x x，令2ln3k，则ln x kx（*），不等式（*）有正整数解，即ln y x 在y kx 的图象上方（或者图象的交点）存在
21、横坐标为正整数的点，易知直线exy 与曲线ln y x 相切，如右图所示，ln 2 2k，或ln3 3k，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点再做答考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位万元单位万元若求得其线性回归方程为则预计当广告费用为万元时
22、的销售额为如图所示网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图则该几何体的体积为已知.解得4ln3ln 2，或6，不难判断4ln36ln 2，即实数的最小值为6，故选 A.二填空题：13.3 14.15 15.8 16.103 16.解析：,11112nna，1,1211,(2)2nna n 下面求数列,2 na的通项，由题意可知,2 1,1 1,2,(3)n n na a a n，,2 1,2 1,1211,(3)2n n nna a a n，即,2 1,2211,(3)2n nna a n，,2,2 1,2 1,2 2,2 3,2 2,2 2,221 5()
23、()()2 2n n n n nna a a a a a a a n，数列,2 na显然递增，又易知102,2 103,2100 a a，m的最小值为103，故应填103 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 12 分）如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知1 BC，且3cos5BCD（1）若AC平分BCD，且2 AB，求AC的长；（2）若45 CBD，求CD的长 解：（1）若对角线AC平分BCD，即2 2 BCD ACB ACD，23cos 2cos 15BCD ACB，cos 0 ACB，5cos5ACB，3 分 在ABC中，1 BC，2
24、 AB，5cos5ACB ABCD（第 17 题图）考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点再做答考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位万元单位万元若求得其线性回归方程为则预计当广告费用为万元时的销售额为如图所示网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是
25、由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图则该几何体的体积为已知.EFMPDACBN由余弦定理2 2 22 cos AB BC AC BC AC ACB 可得：22 53 05AC AC，解得5 AC，或3 55AC（舍去），AC的长为5.6 分（2）3cos5BCD，24sin 1 cos5BCD BCD，7 分 又45 CBD，sin sin(180 45)=sin(+45 CDB BCD BCD）2 2(sin cos)2 10BCD BCD，9 分 在BCD中，由正弦定理=sin sinBC CDCDB CBD，可得 sin=5sinBC CBDCDCDB，即CD的长为5.12 分【说明
26、】本题主要考察正弦定理，余弦定理，三角恒等变换等知识，意在考察考生数形结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养 18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD是边长 为 1 的菱形，45 BAD，2 PD，M 为 PD 的中点，E 为 AM 的中点，点 F 在线段 PB 上，且3 PF FB.（1）求证：/EF平面ABCD；（2）若平面PDC 底面ABCD，且PD DC，求平面 PAD 与平面PBC所成锐二面角的余弦值 解：（1）证明：（法一）如图，设DM中点为N，连接EN，NF，BD，则有/NE AD，NE 平面ABCD，AD 平面ABCD，
27、/NE 平面ABCD，2 分 又34PN PFPD PB，/NF DB，4 分（第 18 题图）PABCDFME考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点再做答考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位万元单位万元若求得其线性回归方程为则预计当广告费用为
28、万元时的销售额为如图所示网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图则该几何体的体积为已知.REFMPDACBQNF 平面ABCD，BD 平面ABCD，/NF 平面ABCD，5 分 又NF NE N，平面/NEF平面ABCD，/EF平面ABCD 6 分（法二）如图，设AD中点为R，Q为线段BD上一点，且3 DQ QB.连接ER、RQ、QF，则有/ER PD，1 分 14BF BQBP BD，/QF PD，3 分/QF ER，且14QF PD ER，4 分 即QFER为平行四边形，/EF QR，5 分 EF 平面ABCD，RQ 平面ABCD，/EF 平面ABCD
29、6 分（2）（法一）解：平面PDC 底面ABCD,且PD DC，PD 底面ABCD，7 分 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz，则(0,0,0)D，(0,0,2)P，(1,0,0)A，2 2(,0)2 2C，(1,0,0)BC AD，2 2(,2)2 2PC，8 分 设平面PBC的一个法向量为1(,)n x y z，则1100n BCn PC，02 22 02 2xx y z，取 2 2 y，可得1(0,2 2,1)n，10 分 又易知平面 PAD 的一个法向量2(0,1,0)n，11分 REFMPDACBQxzy考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并
30、将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点再做答考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位万元单位万元若求得其线性回归方程为则预计当广告费用为万元时的销售额为如图所示网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图则该几何体的体积为已知.GEFMPDACBS设平面 PAD 与平面PBC所成锐
31、二面角为q，则1 21 2|cos|n nn n2 23，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为2 23 12 分（法二）如图，过A、P 分别做PD、AD的平行线，交于点S，则/SP AD BC，直线SP为平面PAD与平面PBC的交线，过D做DG BC，交BC于G，连接PG，则BC 平面 PDG，GPD 即为平面PAD与平面PBC所成锐二面角，设为，9 分 底面ABCD是边长为 1 的菱形，45 BAD，DGC为等腰直角三角形，22DG，又2 PD，cos 2 23 12 分【说明】本题主要考察了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的性质，平面与平面所成角等知识，意在考察考生的空间想象能
32、力，逻辑推理能力以及运算求解能力 19.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为(1,0)F，且点3(1,)2P在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为 A、B，M是椭圆上异于 A，B 的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线 MB 交直线4 x 于 Q 点，求证：A，N，Q 三点在同一条直线上 解：（1）(法一)设椭圆C的方程为2 22 21(0)x ya ba b，A x y M N Q F 4 x O B（第 19 题图）考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并将条形码正向准确粘贴在答题卡的
33、贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点再做答考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位万元单位万元若求得其线性回归方程为则预计当广告费用为万元时的销售额为如图所示网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图则该几何体的体积为已知.一个焦点坐标为(1,0)F，另一个焦点坐标为(1,0)，1 分 由椭圆定义可知2a
34、2 2 2 23 3(1 1)(0)(1 1)(0)42 2 2 a，3 分 2 2 23 b a c，椭圆C的方程为2 214 3x y.4 分(法二)不妨设椭圆C的方程为2 21x ym n(0 m n)，一个焦点坐标为(1,0)F，1 m n，1 分 又 点3(1,)2P在椭圆C上，1 312 m n，2 分 联立方程，解得4 m，3 n，椭圆C的方程为2 214 3x y.4 分（2）设1 1(,)M x y，2 2(,)N x y，直线MN的方程为1 x my，由方程组2 2114 3x myx y，消去 x，并整理得：2 2(3 4)6 9 0 m y my，2 2(6)36(3
35、4)0 m m，1 2263 4my ym，1 2293 4y ym，7 分 直线BM的方程可表示为11(2)2yy xx，将此方程与直线4 x 联立，可求得点Q的坐标为112(4,)2yx，9 分 2 2(2,)AN x y，112(6,)2yAQx 考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点再做答考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回
36、第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位万元单位万元若求得其线性回归方程为则预计当广告费用为万元时的销售额为如图所示网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图则该几何体的体积为已知.12 2126(2)2yy xx 2 1 1 216(2)2(2)2y x y xx 2 1 1 216(1)2 2(1)21 2y my y mymy（）1 2 1 214 6()1my y y ymy 2 219 64()6()3 4 3 401mmm mmy，/AN AQ，11分 又向量AN和AQ有公共点A，故A，N，Q三点在
37、同一条直线上 12 分【说明】本题以直线与椭圆为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20.（本小题满分 12 分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：会员等级 消费金额 普通会员 2000 银卡会员 2700 金卡会员 3200 预计去年消费金额在(0,160
38、0的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在(1600,3200的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(3200,4800的消费者都将会申请办理金卡会员.消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：消费金额/元 考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点
39、再做答考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位万元单位万元若求得其线性回归方程为则预计当广告费用为万元时的销售额为如图所示网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图则该几何体的体积为已知.方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励:普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从
40、一个装有 3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励.规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.解：（1）设随机抽取的 2 人中，去年的消费金额超过 4000 元的消费者有X人，则X的可能值为“0,1,2”，1 分 1 1 28 4 42 212 121
41、6 3 19(1)(1)(2)33 33 33C C CP X P X P XC C.3 分（或者2821219(1)1(0)133CP X P XC.3 分）（2）方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：2825 7100，6025 15100，1225 3100，4 分 按照方案 1 奖励的总金额为：17 500 15 600 3 800 14900 元，5 分 方案 2：设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能值为“0,200,300”，6 分 摸到红球的概率：121525CPC
42、，0 3 1 20 13 32 3 2 3 81(0)5 5 5 5 125P C C，2 1232 3 36(200)5 5 125P C，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点再做答考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位万元单位万元若求得其线
43、性回归方程为则预计当广告费用为万元时的销售额为如图所示网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图则该几何体的体积为已知.3332 8(300)5 125P C，8 分 的分布列为 0 200 300 P 81125 36125 8125 81 36 80 200 300 76.8125 125 125E 元，10 分 按照方案 2 奖励的总金额为：2(28 2 60 3 12)76.8 14131.2 元，11分 方案 1 奖励的总金额1多于方案 1 奖励的总金额2，预计方案 2 投资较少.12 分【说明】本题以健身锻炼为背景，考查应用超几何分布、二项分布等分
44、布列模型及分层抽样与期望等统计学和概率知识对数据进行分析处理及决策的数学建模能力，综合考查了考生应用数学模型及所学知识对数据的处理能力及建模、解模的数学应用意识.21.（本小题满分 12 分）已知定义域为(0,)的函数()e(2)xaf x xx.（其中常数e=2.718 28，是自然对数的底数）（1）求函数()f x的递增区间；（2）若函数()f x为定义域上的增函数，且1 2()()4e f x f x，证明:1 22 x x.解：（1）易知22e(1)()()xx x af xx，1 分 若0 a，由()0 f x解得1 x，函数()f x的递增区间为(1,)；2 分 若0 1 a，则
45、x(0,)a a(,1)a 1(1,)()f x 0 0()f x 极大值 极小值 考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点再做答考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位万元单位万元若求得其线性回归方程为则预计当广告费用为万元时的销售额为如图所示网格
46、纸上小正方形的边长为粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图则该几何体的体积为已知.函数()f x的递增区间为(0,)a和(1,)；3 分 若1 a，则22e(1)(1)()0 xx xf xx，函数()f x的递增区间为(0,)；4 分 若1 a，则 x(0,1)1(1,)a a(,)a()f x 0 0()f x 极大值 极小值 函数()f x的递增区间为(0,1)和(,)a；5 分 综上，若0 a，()f x的递增区间为(1,)；若0 1 a，()f x的递增区间为(0,)a和(1,)；若1 a，函数()f x的递增区间为(0,)；若1 a，函数()f x的递增区间为(0,1
47、)和(,)a.（2）函数()f x为(0,)上的增函数，1 a，即1()e(2)xf x xx，6 分 注意到(1)2e f，故1 2()()4e 2(1)f x f x f，不妨设1 20 1 x x，7 分(法一)欲证1 22 x x，只需证2 12 x x，只需证2 1()(2)f x f x，即证1 14e()(2)f x f x，即证1 1()(2)4e f x f x，令()()(2)x f x f x，0 1 x，只需证()(1)x，8 分 2 22 22 2e(1)(3)()()(2)e(1)(2)xxx xx f x f x xx x，下证()0 x，即证2 22 2e(1)
48、(3)0(2)xx xx x，由熟知的不等式e 1xx 可知2 2 1 2 2 2e(e)(1 1)x xx x，当0 1 x 时，即2 22e1xx，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校和考生号并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区请保持条形码整洁不污损选择题每小题选出答案后用铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上非选择题必须用毫米 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案效作答选做题时请先用铅笔填涂选做题的题号对应的信息点再做答考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将答题卡交回第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有 广告费用之间的关系如下表单位万元单位万元
49、若求得其线性回归方程为则预计当广告费用为万元时的销售额为如图所示网格纸上小正方形的边长为粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图则该几何体的体积为已知.2 2 3 22 2 2 2e(1)(3)(3)3 11(2)(2)(2)xx x x x x xxx x x x，10 分 易知当0 1 x 时，22 1 0 x x，3 2 23 1(1)(2 1)0 x x x x x x，2 22 2e(1)(3)0(2)xx xx x，11分()0 x，即()x 单调递增，即()(1)x，从而1 22 x x 得证.12 分(法二)令22 2e(1)(1)e(1)()()e(1)x xxx
50、 x xg x f x xx x，则3 23e(1)(2)()xx x xg xx，8 分 x(0,1)1(1,)()g x 0()g x 极小值 由上表可画出1()e(2)xf x xx 的图象，如右图实线所示，右图虚线所示为函数1()e(2)xf x xx(0 1)x 的图象 关于点(1,2e)Q 对称后的函数()4e(2)h x f x 的图象，设图中点1 1(,()A x f x，则1 2(2,()C x f x，2 2(,()B x f x，欲证1 22 x x，只需证2 12 x x，只需证点B不在点C的左侧即可，即证当1 2 x 时，4e(2)()f x f x 恒成立，即证21