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1、学习好资料 欢迎下载 第二章圆锥曲线与方程 一、课程目标 在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。二、学习目标：（1）、圆锥曲线：了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。能用坐标法解决
2、一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。三、本章知识结构框图：四、课时分配 本章教学时间约需 9 课时，具体分配如下：2.1 曲线与方程约 1 课时 2.2 椭圆约 2 课时 2.3 双曲线约 2 课时 2.4 抛物线 约 2 课时 直线与圆锥曲线的位置关系 约 1 课时 小结 约 1 课时 2.1 求曲线的轨迹方程（新授课）一、教学目标 知识与技能：结合已经学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法；能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质。过程与方法：通
3、过求曲线方程的学习，可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力，帮助我们理解研究圆锥曲线的基本方法。坐 标 法 曲线与方程 曲线与方程 求曲线的方程 椭圆 椭圆及其标准方程 椭圆的简单几何性质 双曲线 双曲线及其标准方程 双曲线的简单几何性抛物线 抛物线及其标准方程 抛物线的简单几何性学习好资料 欢迎下载 情感、态度与价值观：通过曲线与方程概念的学习，可培养我们数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义观。二、教学重点与难点 重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法 难点：作相关点法求动点的轨迹方法 三、教学过程(一)复习引入 平面解析几何研究的主要问题是：1、根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；2
4、、通过方程，研究平面曲线的性质 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析(二)几种常见求轨迹方程的方法 1直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法 例 1、(1)求和定圆 x2+y2=R2的圆周的距离等于 R的动点 P的轨迹方程；(2)过点 A(a，o)作圆 Ox2+y2=R2(a Ro)的割线，求割线被圆 O截得弦的中点的轨迹 对(1)分析：动点 P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特
5、征，但是给出了动点 P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0 解：设动点 P(x，y)，则有|OP|=2R 或|OP|=0 即 x2+y2=4R2或 x2+y2=0 故所求动点 P的轨迹方程为 x2+y2=4R2或 x2+y2=0 对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数解答为：设弦的中点为 M(x，y)，连结 OM，则 OM AM kOMkAM=-1，其轨迹是以 OA为直径的圆在圆 O内的一段弧(不含端点)2定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的
6、动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法 这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件 直平分线 l 交半径 OQ于点 P(见图 245)，当 Q点在圆周上运动时，求点 P的轨迹方程 生将学习圆锥曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单
7、几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学习好资料 欢迎下载 分析：点 P在 AQ的垂直平分线上，|PQ|=|PA|又 P在半径 OQ上|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R 故 P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义 写出 P点的轨迹方程 解：连接 PA l PQ，|PA|=|PQ|又 P在半径 OQ上|PO|+|PQ|=2 由椭圆定义可知：P点轨迹是以 O、A为焦点的椭圆 3相关点
8、法 若动点 P(x，y)随已知曲线上的点 Q(x0，y0)的变动而变动，且 x0、y0可用 x、y 表示，则将 Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P的轨迹方程这种方法称为相关点法(或代换法)例 3、已知抛物线 y2=x+1，定点 A(3，1)，B为抛物线上任意一点，点 P 在线段 AB上，且有 BPPA=1 2，当 B点在抛物线上变动时，求点 P的轨迹方程 分析：P点运动的原因是 B点在抛物线上运动，因此 B可作为相关点，应先找出点 P与点 B的联系 解：设点 P(x，y)，且设点 B(x0，y0)BPPA=1 2，且 P为线段 AB的内分点 生将学习圆锥曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程
9、的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学习好资料 欢迎下载 4待定系数法 求
10、圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求 例 4、已知抛物线 y2=4x 和以坐标轴为对称轴、实轴在 y 轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线 y=2x 被双曲线所截的的线段长等于52，求此双曲线方程。a2x2-4b2x+a2b2=0 抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程 a2x2-4b2x+a2b2=0应有等根=16b4-4a4b2=0，即 a2=2b 由弦长公式得：即 a2b2=4b2-a2 (三)巩固练习 1ABC 一边的两个端点是 B(0，6)和 C(0，-6)，另两边斜率的积是94，求顶点 A 的轨迹。2点 P 与一定点 F(2，0)
11、的距离和它到一定直线 x=8 的距离的比是 12，求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3求抛物线 y2=2px(p0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程(四)课时小结 求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍（五）布置作业：习题 2.1 A组 2.3.4 四、课后反思：2.2.1 椭圆及其标准方程（新授课）生将学习圆锥曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系
12、进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学习好资料 欢迎下载 一、教学目标 知识与技能：了解椭圆的实际背景，掌握椭圆的定义及其标准方程。过程与方法：通过椭圆的概念引入椭圆的标准方程的推导，培养学生的分析探索能力，
13、熟练掌握解决解析问题的方法坐标法。情感、态度与价值观：通过对椭圆的定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，让学生体会运动变化、对立统一的思想，提高对各种知识的综合运用能力 二、教学重点与难点 重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程 难点：椭圆的标准方程的推导 三、教学过程(一)椭圆概念的引入 问题 1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？问题 3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”对学生提出的轨迹命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹”“到两定点距离之
14、差等于常数的点的轨迹”取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的 F1和 F2两点(如图 2-13)，当绳长大于 F1和 F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等 生将学习圆锥曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲
15、线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学习好资料 欢迎下载 在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点 F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距 学生开始只强调主要几何特征到两定点 F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个
16、方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段 F1F2；若常数|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”(二)椭圆标准方程的推导 1标准方程的推导 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤(1)建系
17、设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的 以两定点 F1、F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系(如图 2-14)设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有 F1(-1，0)，F2(c，0)生将学习圆锥曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的
18、过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学习好资料 欢迎下载 (2)点的集合 由定义不难得出椭圆集合为：P=M|MF1|+|MF2|=2a (3)代数方程 (4)化简方程（学生板演，教师点拨）2两种标准方程的比较(引导学生归纳)0)、F2(c，0)，这里 c2=a
19、2-b2；-c)、F2(0，c)，这里 c2=a2+b2，只须将(1)方程的 x、y 互换即可得到 教师指出：在两种标准方程中，a2b2，可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上 (三)例题讲解 例、平面内两定点的距离是 8，写出到这两定点的距离的和是 10 的点的轨迹的方程 分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程 解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用 F1、F2表示取过点 F1和 F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 2a=10，2c=8 a=5，c=4，b2=a2-c2=25-16=9 b=3 生将学习圆锥曲线
20、与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学习好资料
21、 欢迎下载 因此，这个椭圆的标准方程是 思考：焦点 F1、F2放在 y 轴上呢？（四）课堂练习：课本 42 页 练习 1、2、3、4 (五)课时小结 1定义：椭圆是平面内与两定点 F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 3图形 （六）布置作业：习题 2.2 A 组 1、7 四、课后反思 2.2.2 椭圆的简单几何性质（新授课）一、教学目标 知识与技能：通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并能根据几何性质解决一些简单的问题，从而培养我们的分析、归纳、推理等能力。过程与方法：掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，进一步体会数形结合的思想。情感
22、、态度与价值观：通过本小节的学习，进一步体会方程与曲线的对应关系，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。二、教学重点与难点 重点：椭圆的几何性质及初步运用 难点：椭圆离心率的概念的理解 三、教学过程(一)复习提问 1椭圆的定义是什么？2椭圆的标准方程是什么？(二)几何性质 根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一。1、范围 即|x|a，|y|b，这说明椭圆在直线 x=a 和直线 y=b 所围成的矩形里，注意结合图形讲解，并指出描生将学习圆锥曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题
23、中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学习好资料 欢迎下载 点画图时，就不能取范围以外的点 2对称性 先请大家阅读课本椭圆的几何性质 2 设问：为什
24、么“把 x 换成-x，或把 y 换成-y？，或把 x、y 同时换成-x、-y 时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴或原点对称的”呢？事实上，在曲线的方程里，如果把 x 换成-x 而方程不变，那么当点 P(x，y)在曲线上时，点 P关于 y 轴的对称点 Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于 y 轴对称类似可以证明其他两个命题 同时向学生指出：如果曲线具有关于 y 轴对称、关于 x 轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称如：如果曲线关于 x 轴和原点对称，那么它一定关于 y 轴对称 事实上，设 P(x，y)在曲线上，因为曲线关于 x 轴对称，所以点 P1(x，-y)必在
25、曲线上又因为曲线关于原点对称，所以 P1关于原点对称点 P2(-x，y)必在曲线上因 P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于 y 轴对称 最后指出：x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心 3顶点 只须令 x=0，得 y=b，点 B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和 y 轴的两个交点；令 y=0，得 x=a，点 A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和 x 轴的两个交点强调指出：椭圆有四个顶点 A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)教师还需指出：(1)线段 A1A2、线段 B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 2a
26、 和 2b；(2)a、b 的几何意义：a 是长半轴的长，b 是短半轴的长；这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形 4离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义：等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率 e 的几何意义 先分析椭圆的离心率 e 的取值范围：ac0，0 e1 再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当 e 接近 0 时，c 越接近 0，从而 b 越接近 a，因此椭圆接近圆；(3)当 e=0 时，c=0，a=b 两焦点重合，椭圆的标准方程成为 x2+y2=a2，图形就是圆了(三)应用 为了加深对椭圆的几何性质的
27、认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例 1 例 1、求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形 本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：生将学习圆锥曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解
28、决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学习好资料 欢迎下载 (2)描点作图 先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图 2-19)要强调：利用对称性可以使计算量大大减少 本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：设 d 是点 M到直线 l 的距离
29、，根据题意，所求轨迹就是 MF=acd 将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)这是椭圆的标准方程，所以点 M的轨迹是椭圆 由此例不难归纳出椭圆的第二定义(四)椭圆的第二定义 1定义 平面内点 M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数 线叫做椭圆的准线，常数 e 是椭圆的离心率 2说明 生将学习圆锥曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双
30、曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学习好资料 欢迎下载 这时还要讲清 e 的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比(五)课时小结 解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关前面我们着重分析了第一个
31、标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质布置学生最后小结下列表格：（五）布置作业 1求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0 2我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面 266Km，远地点距地面 1826Km，求这颗卫星的轨道方程 3点 P 与一定点 F(2，0)的距离和它到一定直线 x=8 的距离的比是 12，求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形 四、课后反思：2.3.1 双曲线及其标准方程（新授课）一、教学目标 知识与技能：使学
32、生理解并掌握双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程。过程与方法：了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程，感受双曲线定义在解决实际问题中的作用。情感、态度与价值观：通过对双曲线的定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发我们在研究问题时，抓住问题的本质。二、教学重点与难点 重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程 难点：双曲线的标准方程的推导 三、教学过程(一)复习提问 1椭圆的定义是什么？平面内与两定点 F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点 F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数 2
33、a|F1F2|生将学习圆锥曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时
34、椭圆约课时双曲线约课学习好资料 欢迎下载 2椭圆的标准方程？(二)双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1简单实验(边演示、边说明)如图 2-23，定点 F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点 M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支 注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形这样作出的曲线就叫做双曲线 2设问 问题 1：定点 F1、F2与动点 M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答，不能强调“在平面内”问题 2：|MF1
35、|与|MF2|哪个大？请学生回答，不定：当 M在双曲线右支上时，|MF1|MF2|；当点 M在双曲线左支上时，|MF1|MF2|问题 3：点 M与定点 F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|正确表示为|MF2|-|MF1|问题 4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？请学生回答，应小于|F1F2|且大于零当常数=|F1F2|时，轨迹是以 F1、F2为端点的两条射线；当常数|F1F2|时，无轨迹 3定义 在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点 F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这
36、两个定点 F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距 教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记(三)双曲线的标准方程 现在来研究双曲线的方程我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导 标准方程的推导：(1)建系设点 取过焦点 F1、F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴(如图 2-24)建立直角坐标系 设 M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是 2c(c 0)，那么 F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)又生将学习圆锥
37、曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学习好
38、资料 欢迎下载 设点 M与 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(2)点的集合 由定义可知，双曲线就是集合：P=M|MF1|-|MF2|=2a=M|MF1|-|MF2|=2a (3)代数方程 (4)化简方程(由学生演板)将这个方程移项，两边平方得：化简整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导)由双曲线定义，2c2a 即 ca，所以 c2-a20 设 c2-a2=b2(b 0)，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2 这就是双曲线的标准方程 两种标准方程的比较(引导学生归纳)：说明：(1)双曲线标准方程中，a0，b0，但 a 不一定大于 b；
39、(2)如果 x2项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上(3)双曲线标准方程中 a、b、c 的关系是 c2=a2+b2，不同于椭圆方程中 c2=a2-b2(四)例题讲解：1求满足下列的双曲线的标准方程：焦点 F1(-3，0)、F2(3，0)，且 2a=4；3已知两点 F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是 6 的点的轨迹方程如果把这里的数字6 改为 12，其他条件不变，会出现什么情况？解：由定义，所求点的轨迹是双曲线，因为 c=5，a=3，所以 b2=c2-a2=52-3
40、2=42 因为 2a=12，2c=10，且 2a2c 所以动点无轨迹 生将学习圆锥曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四
41、课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学习好资料 欢迎下载(五)课时小结 1定义：平面内与两定点 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 3图形：4焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)5a、b、c 的关系：c2=a2+b2 五、布置作业 1根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点 A(-5，2)；3已知圆锥曲线的方程为 mx2+ny2=m+n(m 0m+n)，求其焦点坐标 四、课后反思：2.3.2 双曲线的几何性质（新授课）一、教学目标 知识与技
42、能：理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能根据这些几何性质解决一些简单问题，从而培养我们的分析、归纳和推理等能力。过程与方法：在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法。情感、态度与价值观：通过本小节的学习，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题 二、教学重点与难点 重点：双曲线的几何性质及初步运用 难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证 三、教学过程(一)复习提问引入新课 1椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2双曲线的两种标准方程是什么？下面我们类比椭圆的
43、几何性质来研究它的几何性质(二)类比联想得出性质(性质 13)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)(三)问题之中导出渐近线(性质 4)在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b 为邻边的矩形，对于估计 生将学习圆锥曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解决一些与圆锥曲
44、线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学习好资料 欢迎下载 仍以原点为中心，2a、2b 为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图 2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想 接着再提出问题：当 a、b 为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？下面，我们来证明它：双曲线在第一象限的部分可写成：生将学习
45、圆锥曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学
46、习好资料 欢迎下载 当 x 逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x 无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线 ON的下方逐渐接近于射线 ON 在其他象限内也可以证明类似的情况 现在来看看实轴在 y 轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在 y 轴上的双曲线方程是由焦点在 x轴上的双曲线方程，将 x、y 字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将 x、y 字母对调 这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精 再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线(四)离心率(性质 5)由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就
47、容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔 这时，教师指出：焦点在 y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变(五)典型例题剖析：1求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 由此可知，实半轴长 a=4，虚半轴长 b=3 生将学习圆锥曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结
48、合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学习好资料 欢迎下载 焦点坐标是(0，-5)，(0，5)本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结 解：设 d 是点 M到直线 l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：化简得：
49、(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)这就是双曲线的标准方程 由此例不难归纳出双曲线的第二定义(六)双曲线的第二定义 1定义(由学生归纳给出)平面内点 M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数 e=叫做双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率 2说明 生将学习圆锥曲线与方程了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例了解曲线与方程的对应关系进一步体会数形结合的思想情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质能用
50、坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的置关系和实际问法椭圆双曲线抛物线椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性四课时分配本章教学时间约需课时具体分配如下曲线与方程约课时椭圆约课时双曲线约课学习好资料 欢迎下载 (七)课时小结：将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结（八）布置作业 1已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率 e 和渐近线方程(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144 2求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是 10，虚轴长是 8，焦点在 x 轴上；(2)焦距是 10，