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1、-.-.word.zl.离散数学考试试题(A 卷及答案 一、证明题10分 1)(PQAC)(APQC)(A(PQ)C。PQ=(p-Q)合取Q-p 证明:(PQAC)(APQC)(PQAC)(APQC)(PQA)(APQ)C 反用分配律 (PQA)(APQ)C (A(PQ)(PQ)C 再反用分配律 (A(PQ)C(A(PQ)C 2)(P Q)P Q。证明：(P Q)(PQ)(P Q)P Q。二、分别用真值表法和公式法求(P(QR)(P(QR)的主析取式与主合取式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值15分。主析取式与析取式的区别：主析取式里每个括号里都必须有全部的变元。主析取式可由 析取式经等值演算
2、法算得。证明：公式法：因为(P(QR)(P(QR)(PQR)(P(QR)(QR)(PQR)(PQ)(PR)(QR)分配律(PQR)(PQQ)(PQR)(PRQ)(PRR)(PQR)(PQR)(PQR)4M5M6M使非 P 析取 Q 析取 R为 0 所赋真值，即 100，二进制为 4-.-.word.zl.0m1m2m3m7m 所以，公式(P(QR)(P(QR)为可满足式，其相应的成真赋值为 000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。真值表法：PQR QR P(QR)P(QR)(P(QR)(P(QR)0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1
3、 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 由真值表可知，公式(P(QR)(P(QR)为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。三、推理证明题10分 1PQ，QR，RSPS。证明：(1)P 附加前提(2)PQ P(3)Q T(1)(2)，I析取三段论(4)QR P(5)R T(3)(4)，I析取三段论(6)RS P(7)S T(5)(6)，I假言推理(8)PS CP 2)x(P(x)Q(y)R(x)，xP(x)Q(
4、y)x(P(x)R(x)证明1 xP(x)(2)P(a)(3)x(P(x)Q(y)R(x)析取式与主合取式并写出其相应的成真赋值和成假赋值分主析取式与析取式的区别主析取式里每个括号里都必须有全部的变元主析取式可由析取式经等值演算法算得证明公式法因为分配律使非析取析取为所赋真值即二进制为所以公值为三推理证明题分证明附加前提析取三段论析取三段论假言推理证明五是三个集合证明分证明因为所以八证明整数集上的模同余关系是等价关系其中的含义是可以被整除分证明因为所以即假设那么即所以所以即假设那么于是因此试题卷及答案一证明题分证明左端摩根律分配律等幂律代入证明二求命题公式的主析取式和主合取式分解析取要使之为假
5、即赋真值即使之为真三推理证明题分证明析取三段论假言推理假言推理证明假言三段论四只要今天天气不好就-.-.word.zl.(4)P(a)Q(y)R(a)(5)Q(y)R(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a)(9)P(a)R(a)(10)x(P(x)R(x)(11)Q(y)x(P(x)R(x)五、A、B、C 是三个集合，证明(AB)C(AC)(BC)10分 证明：因为 x(AB)Cx(AB)C x(AB)xC(xAxB)xC(xAxC)(xBxC)x(AC)x(BC)x(AC)(BC)所以，(AB)C(AC)(BC)。八、证明整数集 I 上的模 m 同余关系 R=|x y(mod m)是
6、等价关系。其中，x y(mod m)的含义是 x-y可以被 m 整除15分。X(modm)=y(modm)证明：1 xI，因为x-x/m=0，所以 x x(mod m)，即 xRx。2 x,yI，假设 xRy，那么 x y(mod m)，即x-y/m=k I，所以y-x/m=-kI，所以 y x(mod m)，即 yRx。3 x,y,zI，假设 xRy，yRz，那么x-y/m=u I，y-z/m=v I，于是x-z/m=x-y+y-z/m=u+v I，因此 xRz。九、假设 f:AB 和 g:BC 是双射，那么gf-1=f-1g-110分。析取式与主合取式并写出其相应的成真赋值和成假赋值分主析
7、取式与析取式的区别主析取式里每个括号里都必须有全部的变元主析取式可由析取式经等值演算法算得证明公式法因为分配律使非析取析取为所赋真值即二进制为所以公值为三推理证明题分证明附加前提析取三段论析取三段论假言推理证明五是三个集合证明分证明因为所以八证明整数集上的模同余关系是等价关系其中的含义是可以被整除分证明因为所以即假设那么即所以所以即假设那么于是因此试题卷及答案一证明题分证明左端摩根律分配律等幂律代入证明二求命题公式的主析取式和主合取式分解析取要使之为假即赋真值即使之为真三推理证明题分证明析取三段论假言推理假言推理证明假言三段论四只要今天天气不好就-.-.word.zl.证明：因为 f、g 是双
8、射，所以 gf：AC 是双射，所以 gf 有逆函数gf-1：CA。同理可推 f-1g-1：CA 是双射。因为 f-1g-1存在 z g-1 f-1存在 z f ggf gf-1,所以gf-1=f-1g-1。离散数学考试试题(B 卷及答案 一、证明题10分 1)(PQ)(P(Q R)(P Q)(P R)T 证明:左端(PQ)(P(QR)(PQ)(PR)(摩根律)(PQ)(PQ)(PR)(PQ)(PR)(分配律)(PQ)(PR)(PQ)(PR)(等幂律)T(代入)2)xy(P(x)Q(y)(xP(x)yQ(y)证明：xy(P(x)Q(y)xy(P(x)Q(y)x(P(x)yQ(y)xP(x)yQ(
9、y)xP(x)yQ(y)(xP(x)yQ(y)二、求命题公式(PQ)(P Q)的主析取式和主合取式10分 解：(PQ)(P Q)(PQ)(P Q)(PQ)(P Q)(P Q)(P Q)(PP Q)(QP Q)(P Q)M1 析取要使之为假，即赋真值 001，即 M1 析取式与主合取式并写出其相应的成真赋值和成假赋值分主析取式与析取式的区别主析取式里每个括号里都必须有全部的变元主析取式可由析取式经等值演算法算得证明公式法因为分配律使非析取析取为所赋真值即二进制为所以公值为三推理证明题分证明附加前提析取三段论析取三段论假言推理证明五是三个集合证明分证明因为所以八证明整数集上的模同余关系是等价关系其
10、中的含义是可以被整除分证明因为所以即假设那么即所以所以即假设那么于是因此试题卷及答案一证明题分证明左端摩根律分配律等幂律代入证明二求命题公式的主析取式和主合取式分解析取要使之为假即赋真值即使之为真三推理证明题分证明析取三段论假言推理假言推理证明假言三段论四只要今天天气不好就-.-.word.zl.m0m2m3 使之为真 三、推理证明题10分 1)(P(QS)(RP)QRS 证明：(1)R (2)RPp(3)PT1 2析取三段论(4)P(QS)p(5)QST3 4I 假言推理(6)QP(7)ST5 6I 假言推理(8)RSCP 2)x(A(x)yB(y)，x(B(x)yC(y)xA(x)yC(y
11、)。证明：(1)x(A(x)yB(y)P (2)A(a)yB(y)T(1)ES(3)x(B(x)yC(y)P(4)x(B(x)C(c)T(3)ES(5)B(b)C(c)T(4US(6)A(a)B(b)T(2)US(7)A(a)C(c)T(5)(6)I 假言三段论(8)xA(x)C(c)T(7)UG(9)xA(x)yC(y)T(8)EG 四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进展。所以，如果考试准时进展，那么天气就好15分。解：设P：今天天气好，Q：考试准时进展，A(e)：e提前进入考场，个体域：考生的集 合，那么命题可符号化为：PxA(x
12、)，xA(x)QQP。析取式与主合取式并写出其相应的成真赋值和成假赋值分主析取式与析取式的区别主析取式里每个括号里都必须有全部的变元主析取式可由析取式经等值演算法算得证明公式法因为分配律使非析取析取为所赋真值即二进制为所以公值为三推理证明题分证明附加前提析取三段论析取三段论假言推理证明五是三个集合证明分证明因为所以八证明整数集上的模同余关系是等价关系其中的含义是可以被整除分证明因为所以即假设那么即所以所以即假设那么于是因此试题卷及答案一证明题分证明左端摩根律分配律等幂律代入证明二求命题公式的主析取式和主合取式分解析取要使之为假即赋真值即使之为真三推理证明题分证明析取三段论假言推理假言推理证明假
13、言三段论四只要今天天气不好就-.-.word.zl.(1)PxA(x)P(2)PxA(x)T(1)E(3)xA(x)PT(2)E(4)xA(x)QP(5)(xA(x)Q)(QxA(x)T(4)E(6)QxA(x)T(5)I(7)QPT(6)(3)I 五、A、B、C 是三个集合，证明 A(BC)=(A B)(AC)10分 证明：x ABC x Ax BC x Ax Bx C x A x Bx Ax C x ABx AC x ABACA BC=ABAC 六、A=x1,x2,x3，B=y1,y2，R=,，求其关系矩阵及关系图10分。有就是 1，没就是 0 七、设 R=,，求 r(R)、s(R)和 t
14、(R)，并作出它们及 R的关系图15分。r(R)=,自反闭包 s(R)=,对称闭包 t(R)=,传递闭包 九、设f：AB，g：BC，h：CA，证明：如果hogofIA，fohogIB，gofohIC，那么f、g、h均为双射，并求出f1、g1和h110分。解 因IA恒等函数，由hogofIA可得f是单射，h是满射；因IB恒等函数，由fohogIB可得g是单射，f是满射；因IC恒等函数，由gofohIC可得h是单射，g是满射。从而f、g、h均为双射。由hogofIA，得f1hog；由fohogIB，得g1foh；由gofohIC，得h1gof。析取式与主合取式并写出其相应的成真赋值和成假赋值分主析
15、取式与析取式的区别主析取式里每个括号里都必须有全部的变元主析取式可由析取式经等值演算法算得证明公式法因为分配律使非析取析取为所赋真值即二进制为所以公值为三推理证明题分证明附加前提析取三段论析取三段论假言推理证明五是三个集合证明分证明因为所以八证明整数集上的模同余关系是等价关系其中的含义是可以被整除分证明因为所以即假设那么即所以所以即假设那么于是因此试题卷及答案一证明题分证明左端摩根律分配律等幂律代入证明二求命题公式的主析取式和主合取式分解析取要使之为假即赋真值即使之为真三推理证明题分证明析取三段论假言推理假言推理证明假言三段论四只要今天天气不好就-.-.word.zl.五.(12分)令 X=x
16、1,x2,.,xm,Y=y1,y2,.,yn,问:(1)有多少不同的由 X 到 Y 的关系?(2)有多少不同的由 X 到 Y 的影射?(3)有多少不同的由 X 到 Y 的单射，双射?12分 是个群，uG，定义 G 中的运算“为 a b=a*u-1*b，对任意 a,bG，求证：也是个群。证明：1 a,bG，a b=a*u-1*b G，运算是封闭的。2 a,b,cG，a b c=a*u-1*b*u-1*c=a*u-1*b*u-1*c=a b c，运算是可结合的。3 aG，设 E 为 的单位元，那么 a E=a*u-1*E=a，得 E=u，存在单位元。4 aG，a x=a*u-1*x=E，x=u*a
17、-1*u，那么 x a=u*a-1*u*u-1*a=u=E，每个元素都有逆元。所以也是个群。六.析取式与主合取式并写出其相应的成真赋值和成假赋值分主析取式与析取式的区别主析取式里每个括号里都必须有全部的变元主析取式可由析取式经等值演算法算得证明公式法因为分配律使非析取析取为所赋真值即二进制为所以公值为三推理证明题分证明附加前提析取三段论析取三段论假言推理证明五是三个集合证明分证明因为所以八证明整数集上的模同余关系是等价关系其中的含义是可以被整除分证明因为所以即假设那么即所以所以即假设那么于是因此试题卷及答案一证明题分证明左端摩根律分配律等幂律代入证明二求命题公式的主析取式和主合取式分解析取要使之为假即赋真值即使之为真三推理证明题分证明析取三段论假言推理假言推理证明假言三段论四只要今天天气不好就