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1、通 州 区 20222023学 年 高 三 年 级 摸 底 考 试 数 学 试 卷 2023年 1 月 本 试 卷 共 4 页,共 150分。考 试 时 长 120分 钟。考 生 务 必 将 答 案 答 在 答 题 卡 上,在 试 卷 上 作 答 无 效。考 试 结 束 后，请 将 答 题 卡 交 回。第 一 部 分(选 择 题 共 4 0分)一、选 择 题 共 10小 题，每 小 题 1分，共 40分。在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项。(1)已 知 集 合 人=|一 2/1,5=川 0 1 3,则 41)5=(A)x|0 x(B)x|
2、2VnV3(C)x|lx3(D)x|-2x2”是“2一 一 10”的(A)充 分 而 不 必 要 条 件(B)必 要 而 不 充 分 条 件(C)充 分 必 要 条 件(D)既 不 充 分 也 不 必 要 条 件(8)已 知 半 径 为 1 的 圆 经 过 点(2,3),则 其 圆 心 到 直 线 3z-4y-4=0 距 离 的 最 大 值 为(A)l(B)2(0 3(D)4高 三 数 学 试 卷 第 1 页(共 4 页)（9）要 制 作 一 个 容 积 为 2167t（cm：）的 圆 柱 形 封 闭 容 器，要 使 所 用 材 料 最 省,则 圆 柱 的 高 和 底 面 半 径 应 分 别
3、为（A）6 cm6 cm（B）6 y/2 cm,3显 cm（C）67?cm,3泞 cm（D）8 cm,373 cm（10）设 点 P（n y）是 曲 线 C：/+J=i+E y|上 任 意 一 点，则 点 p 到 原 点 距 离 的 最 大 值、最 小 值 分 别 为（A）最 大 值 最 小 值 乎（B）最 大 值，最 小 值 1（C）最 大 值 2,最 小 值 喀（D）最 大 值 2,最 小 值 1第 二 部 分（非 选 择 题 共 11 0分）二、填 空 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 25分。（11）复 数 z=f 的 共 扼 复 数 2=（12）若 双 曲 线 4 一 1=
4、1（。0 0）的 一 条 渐 近 线 的 倾 斜 角 为 60,则 该 双 曲 线 的 离 心 率 等 于 a bIn（13）已 知 函 数/（工）=1，若 函 数/（工）存 在 最 大 值，则 a 的 取 值 范 围 为.,x ax（14）齐 王 与 田 忌 赛 马，田 忌 的 上 等 马 优 于 齐 王 的 中 等 马，劣 于 齐 王 的 上 等 马；田 忌 的 中 等 马 优 于 齐 王 的 下 等 马，劣 于 齐 王 的 中 等 马；田 忌 的 下 等 马 劣 于 齐 王 的 下 等 马.现 双 方 各 出 上、中、下 等 马 各 一 匹，分 3 组 各 进 行 一 场 比 赛，胜 2
5、 场 及 以 上 者 获 胜.若 双 方 均 不 知 对 方 马 的 出 场 顺 序，则 田 忌 获 胜 的 概 率 为;若 已 知 田 忌 的 上 等 马 与 齐 王 的 中 等 马 分 在 一 组，则 田 忌 获 胜 的 概 率 为.（15）已 知 数 列 a,的 前 项 和 为 S.（S,#0）,7”为 数 列 S 的 前 项 积，满 足 S,+T“=S T（”e N）,给 出 下 列 四 个 结 论：=2；=T,为 等 差 数 列；5=中.T l LtJl k/fl其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.高 三 数 学 试 卷 第 2 页（共 4 页）三、解 答 题 共 6 小
6、 题，共 85分。解 答 应 写 出 文 字 说 明，演 算 步 骤 或 证 明 过 程。（16）（本 小 题 13分）已 知 函 数/（z）=sin23_r+2cosZ3H（3 0）的 最 小 正 周 期 为 兀（I）求 3 的 值；（口）把 y=/（z）的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍（纵 坐 标 不 变），再 把 得 到 的 图 象 向 右 平 移 合 个 单 位，得 到 函 数 y=g（W 的 图 象，求 函 数*（工）的 单 调 递 增 区 间.0（17）（本 小 题 14分）如 图.在 四 棱 锥 P-ABCD中，底 面 A B C D 为
7、 矩 形，平 面 P A D,平 面 ABCD.AB=2,AD=AP=,M.N 分 别 是 BC,PD 的 中 点.（I）求 证:M N 平 面 P A Bf（II）再 从 条 件,条 件 两 个 中 选 择 一 个 作 为 已 知，求 平 面 A M N 与 平 面 A B C D 夹 角 的 余 弦 值.条 件:A D M N；条 件:A M=A N.注：如 果 选 择 条 件 和 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.（18）（本 小 题 13分）为 了 解 A、B 两 个 购 物 平 台 买 家 的 满 意 度，某 研 究 性 学 习 小 组 采 用 随 机 抽 样
8、的 方 法，获 得 A平 台 问 卷 100份，B 平 台 问 卷 80份.问 卷 中，对 平 台 的 满 意 度 等 级 为：好 评、中 评、差 评，对 应 分 数 分 别 为：5 分、3 分、1分，数 据 统 计 如 下：好 评（5 分）中 评（3 分）差 评（1 分）A 平 台 75 20 5B 平 台 64 8 8假 设 用 频 率 估 计 概 率，且 买 家 对 A,B平 台 的 满 意 度 评 价 相 互 独 立.（I）估 计 买 家 对 A 平 台 的 评 价 不 是 差 评 的 概 率；（II）从 所 有 在 A 平 台 购 物 的 买 家 中 随 机 抽 取 2 人，从 所
9、有 在 B 平 台 购 物 的 买 家 中 随 机 抽 取 2 人,估 计 这 4 人 中 恰 有 2 人 给 出 好 评 的 概 率；（ffl）根 据 上 述 数 据，你 若 购 物，选 择 A、B 哪 个 平 台？说 明 理 由.高 三 数 学 试 卷 第 3 页（共 4 页）（19）（本 小 题 15分）已 知 椭 圆 C：4+g=l（a60）的 左、右 顶 点 分 别 为 A,B,且|AB|=4,离 心 率 为 a b/（I）求 椭 圆 C 的 方 程；（n）设 P 是 椭 圆 c 上 不 同 于 A,B的 一 点，直 线 P A.P B 与 直 线 工=4 分 别 交 于 点 M.N
10、.试 判 断 以 M N 为 直 径 的 圆 是 否 过 定 点，若 过 定 点，求 出 定 点 坐 标；若 不 过 定 点，请 说 明 理 由.（20）（本 小 题 15分）已 知 函 数/（比）=冷 静.（I）当 a=0 时,求 曲 线 y=/（z）在 点（0,/（0）处 的 切 线 方 程；（II）求 函 数 八 幻 的 单 调 区 间；（111）当 函 数/（l）存 在 极 小 值 时，求 证：函 数/（工）的 极 小 值 一 定 小 于 0.（21）（本 小 题 15分）约 数，又 称 因 数.它 的 定 义 如 下：若 整 数 a 除 以 整 数 m（m W 0）除 得 的 商 正
11、 好 是 整 数 而 没 有 余 数，我 们 就 称 a 为 机 的 倍 数，称 m 为 a 的 约 数.设 正 整 数。共 有 k 个 正 约 数，即 为 ax,如，-1,aA（al a2 4 时，若%，%一 生，,4一。构 成 等 比 数 列，求 正 整 数（HI）记 A=a1a2+a2a3+生 4，求 证：AV.（考 生 务 必 将 答 案 答 在 答 题 卡 上，在 试 卷 上 作 答 无 效）高 三 数 学 试 卷 第 4 页（共 4 页）通 州 区 20222023学 年 高 三 年 级 摸 底 考 试 数 学 参 考 答 案 及 评 分 标 准 2023年 1 月 一、选 择 题
12、（共 10小 题，每 小 题 4 分，共 40分）题 号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)答 案 B A D C B A A C C B二、填 空 题（共 5 小 题，每 小 题 3 分，共 25分）（ll）l-i（12）2（13）Ee.+oo）（14）4-,4-（15）0 Z说 明：（14）题 两 空 前 3 后 2;（15）题 全 选 对 5 分，漏 选 3 分，其 他 情 况 0 分。三、解 答 题（共 6 小 题，共 85分）（16）（本 小 题 13分）解：（I）因 为/（彳）=sin2ttKr+2cos2sz=sin2a）jrH-cos2cdJ7+1=V
13、sin仅 卬 彳+孑）+1,所 以/的 最 小 正 周 期 T=三.依 题 意，三=K，解 得 3=1.5 分 乙 3 U）U）（11）/（x）=V2sin 2x+Y）+L把=/（z）的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍（纵 坐 标 不 变），得 到 尸”sin（z+）+l 的 图 象，.7 分 再 把 得 到 的 图 象 向 右 平 移 半 个 单 位，得 到 尸 展 sin卜 一 言）+1 的 图 象，即 g（z）=7?sin（z恚）+1.9 分 由 函 数 k sinZ 的 单 调 递 增 区 间 为 2薪 一 会,2石 元+$（狂 2）.10分 由
14、 24n一 尊 4 2&K+3,得 2石 4一 雪 44244+条.12 分 乙 1乙 乙 1 乙 1.乙 所 以/（工）的 单 调 递 增 区 间 为 2批 一 捐,2批+修&e z）.13分（17）（本 小 题 14分）解：（I）取 A P 中 点 E,连 接 EN,BE.因 为 N 为 P D 中 点,所 以 有 EN A D 且 E N=5AD.因 为 B M A D,B M=/A D,所 以 EN BM 且 E N=BM.高 三 数 学 参 考 答 案 及 评 分 标 准 第 1 页（共 5 页）所 以 四 边 形 B M N E 为 平 行 四 边 形.所 以 BE/MN.又 因
15、为 M N U平 面 P A B,B E U平 面 PAB,所 以 M N 平 面 PAB.4 分(I)选 择 条 件;因 为 平 面 PA DJ_平 面 A B C D,A B C D 为 矩 形 所 以 A B,平 面 PAD.所 以 ABJ_PA.又 因 为 A D-L M N,由(1)可 知 BE M N,B E U平 面 PAB,所 以 A D J_B E,又 因 为 AD_LAB,ABCBE=B,所 以 A D,平 面 PAB.所 以 PAAD.8 分 以 A 为 原 点，以 A B,A D,A P分 别 为？轴、y 轴、z 轴 建 立 坐 标 系，则 A(0,0,0),M(2,2
16、,0),N(0,2,2),则 同 宓=(2,2,0),万 芮=(0,2,2),设 面 A M N的 法 向 量”=(H,Z),n-A必=2 z+2 y=0I n AI=2z+2y=0令 y=l,则=(一 1,1,一 1),.12 分 因 为 A PJ_平 面 ABC。，则 平 面 A M N与 平 面 A B C D夹 角 的 余 弦 值|cos n,舒|=义=呼.1 4分 473 3选 择 条 件:A M=A N.因 为 平 面 ABCDJ_平 面 P A D,A B C D 为 矩 形 所 以 有 A B,平 面 PAD.所 以 ABPA.又 因 为 A M=A N,取 A D 中 点 为
17、 G,连 接 M G，NG,则 有 MG=AG=2,NG/7PA.所 以 A N G Z A M G.所 以 N A G M=N A G N=90所 以 PAAD.8 分 以 A 为 原 点，以 A B,A D,A P分 别 为 z 轴、y 轴、z 轴 建 立 坐 标 系，则 A(O,O,O),M(2,2,O),N(0,2,2),则 碗=(2,2,0),互 符=(0,2,2),设 面 A M N的 法 向 量”=(才,y,z),n A/J=2 x+2 v=0则，n A N=2z+2y=0令 y=l,则=(1,1,D,则 平 面 A M N与 平 面 A B C D夹 角 的 余 弦 值 Ic
18、o s 5,河|=冬=呼.1 4分 4乃 3高 三 数 学 参 考 答 案 及 评 分 标 准 第 2 页(共 5 页)（18）（本 小 题 13分）解：（1）设“买 家 对 A 平 台 的 评 价 不 是 差 评”为 事 件 C,则（2）设“这 4 人 中 恰 有 2 人 给 出 好 评”为 事 件 D,由 已 知 数 据 估 计,买 家 在 A 平 台 好 评 的 概 率 芸=,，买 家 在 B 平 台 好 评 的 概 率 寡=高,。事 件 包 含:A 平 台 2 个 好 评,B 平 台。个 好 评;A 平 台 1个 好 评,B平 台 1个 好 评;A 平 台 0 个 好 评,B 平 台
19、2 个 好 评.P（D）=（4）（1-4）+c 4（i-4）c 4（i-4）+（i-4）（4）4 5 44 4 5 5 4 5（3）设 一 位 买 家 对 A 平 台 的 满 意 度 评 分 为 X,一 位 买 家 对 B 平 台 的 满 意 度 评 分 为 Y,X 5 3 1P 0.75 0.2 0.05Y 5 3 1P 0.8 0.1 0.1则 EX=4.4,EY=4.4.D X=1.24,DY=1.64.从 买 家 对 两 个 平 台 满 意 度 得 分 看 两 个 平 台 均 分 相 等，但 DXVDY.所 以 选 择 A 平 台.13分 注：1.若 在 均 值 相 等 的 条 件 下
20、，没 有 计 算 方 差，只 从 好 评 率 高 的 角 度 选 择 B 平 台，不 扣 分 2.若 在 均 值 相 等 的 条 件 下，没 有 计 算 方 差，只 从 差 评 率 低 的 角 度 选 择 A 平 台，不 扣 分；3.若 没 有 计 算 均 值 和 方 差，只 从 好 评 率、差 评 率 的 角 度 选 择 A,B 平 台 给 2 分.（19）（本 小 题 15分）2a=4,解:（1）由 题 设，伯 C=/1，,a2=b2+c2.a=2,解 得 v 6=3c=l.2 2所 以 求 椭 圆 C 的 方 程 为 亍+=1.5 分（U）设 P（相，）（加 2）,可 知 3加+4/=1
21、2.6 分 依 题 意 可 知,A P 的 直 线 方 程 为 y=f（z+2）,Tn-rZB P 的 直 线 方 程 为 y 2）.8 分 m 2令 z=4,可 得 M=（4,-）,N（4,-）.10 分 根 十，m-L假 设 以 M N 为 直 径 的 圆 过 定 点，不 妨 设 定 点 为 Q（z。，）依 题 意 可 知，M Q L N Q,所 以 函 而 5=0.11分 高 三 数 学 参 考 答 案 及 评 分 标 准 第 3 页（共 5 页）血 丽=(4 一 4，%-7)(x04,0-2)=(x0 4)2+J；O8mn 8 7 2.12w2因 为 3m?+4 2=12,所 以 丽。
22、N 5=（4 4）2+就 一 包？一 到 九 9.因 为 M N匕=0,所 以（0-4）2+就 一 誓 9=0.13 分 T Y I-4令.=0,可 得（104）2=9,解 得 4=1,=7.1 4分 所 以 以 M N为 直 径 的 圆 过 定 点（1,0）,（7,0）.1 5分（20）（本 小 题 15分）解：（I）当 a=0,f（z）=,至,V，则/（0）=0,（T 十 1）因 为/（工）=-2 x+20+1)3所 以/(0)=2.所 以 曲 线 y=/（z）在（0,0）的 切 线 方 程 为 y=2x.4 分（U）函 数 定 义 域 为 川 2/一 1.5 分 _(-2 z+2 a+2
23、)(z+l)2(x a 1)(J+1)(x+1)4(x+1)46 分 令 r(z)=0,解 得:z=a+l.7 分 当 a+l=-l 即。=一 2 时,（Z）=一 2L 2=2（z+l）=T o.（x+l）3（jr+1）3（T+1）2 所 以 函 数 y=/（x）的 单 调 递 减 区 间 为（-8,1）和（一 1,+8）,无 单 调 递 增 区 间.当 a+l-1 即 a-2 时，.8 分 9 分 函 数 3=八 工）的 单 调 递 减 区 间 为（一 8,1）和（a+1,+8）,单 调 递 增 区 间 为.1 0分 综 上 所 述：a=-2 时，函 数 y=/（z）的 单 调 递 减 区
24、间 为（8,1）和（一 1,+8）,无 单 调 递 增 区 间.a 2 时，函 数 y=/（z）的 单 调 递 减 区 间 为 和（a+1,+8）,单 调 递 增 区 间 为（1,a+1）.（皿）函 数 定 义 域 为 工|工#一 1.由 题 意，函 数 存 在 极 小 值，高 三 数 学 参 考 答 案 及 评 分 标 准 第 4 页（共 5 页）则 在 极 小 值 点 有 定 义，且 在 该 点 左 侧 函 数 单 调 递 减，在 该 点 右 侧 函 数 单 调 递 增.12分 由（U）可 知，当。一 2 时，函 数,=/（外 在 工=+1处 取 得 极 小 值.14分 即 外 外 极 小
25、 值+D=1.15分（21）（本 小 题 15分）（I）存 在，比 如 1,2,4,8为 8 的 所 有 约 数 即 a=8.3 分(II)易 知%=l,&=a,a-5 分 因 为 为 4,依 题 意 可 知 包%一%-1味 1 一 味 2所 吟 aa化 简 可 得（4 一。2）2=（2 1）3所 以 生=（Q).因 为 如 GN,所 以 至 二，因 此 可 知 如 是 完 全 平 方 数.7 分 由 于 如 是 整 数 a 的 最 小 非 1 因 子,4 是 Q 的 因 子，且。3 如，所 以。3=近.所 以 2，。3 4-1 为。2-1，af。2，1 2 2 所 以。=点 7&4）.9 分(IH)易 知 aak=a,a2ak 1=a,，。必 计 i=a,，2 2 2所 以 A=+.akak ak-2ak-l。1做 2 2 2 1 1 1所 以 A=+-+=a+-+)ak 1 ak ak-2ak i a a2 ak iak ak-2ak i aa20Ca(-1-1-,1 1 1,n 十,1 1),2a,(1 1、)外%a2 a3 ak 1 4 a】A因 为=1,%=a,所 以 工 一 工 1.a1 4所 以 A a2(X a2.%即 A V/.15分 高 三 数 学 参 考 答 案 及 评 分 标 准 第 5 页（共 5 页）