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1、三角形（一）知识网络：一、三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。判断三线段能否构成三角形方法：较短两段之和是否大于最长线段。二、三角形中的角的关系：(1)三角形的三个内角的和等于 180；（2）三角形的外角和等于 3600；（3）三角形的一个外角等于不相邻的两内角这和；（4）三角形的一个外角大于不相邻的内角.三、三角形三线：（1）有三条角平分线，交于一点，在三角形的内部；（2）有三条中线，交于一点，在三角形内部；（3）有三条高线，交于一点，在锐角三角形的内部、在直角三角形的直角顶点处、在钝角三角形的外部.四、三角形分类：1、按角分类：（1）锐角三角形；（2
2、）直角三角形；（3）钝角三角形.2、按边分类：（1）不等边三角形；（2）等腰三角形；（3）等边三角形.五、全等图形：能够重合的两个图形称为全等图形.（全等图形的形状和大小都相同）【典型例题】一边的大小关系，范围讨论 例 1 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm）（1）1，3，3 （）（2）3，4，7 （）（3）5，9，13 （）（4）11，12，22（）（5）14，15，30（）例 2 下列命题：（1）只有两个三角形才能完全重合；（2）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；（3）两个正方形一定是全等形；（4）边数相同的图形一定能互相重合.其中错误
3、命题的个数是 （）A.4 个 B.3个 C.2个 D.1个 例 3 已知一个三角形的两边长分别是 3cm 和 4cm，则第三边长 X 的取值范围是 ；若 X是奇数，则 X 的值是 ，这样的三角形有 个；若 X 是偶数，则 X 的值是 ；这样的三角形又有 个。例 4 一个等腰三角形的一边是 5cm，另一边是 7cm,则这个三角形的周长是多少？例 5 如图，在ABC中，AD是 BC边上的中线，ADC的周长比ABD的周长多 5cm，AB与 AC的和为 11cm，求 AC的长 过手变式练习：1 有一个三角形的两边分别为 5 和 12，且周长为奇数，则满足条件的三角形的个数为_ 2 已知一个三角形有两边
4、相等，周长为 56cm，两边之比为 3：2，则这个三角形各边的长为_ 3 已知ABC 有两边长分别为 2,7，另一边长是关于 x 的方程（3x-m）+2=2（x+1）的解，求 m 的取值范围 4 若 a，b，c 是ABC 的三边，试化简cbacbacba 5 从长度分别为 2,34,5 的四条线段中，任选三条，能组成三角形的概率是_ 6 在ABC 中，D 是 BC 边上的任意一点，求证 AB+BC+AC 2AD 7 三角形的三边长都为自然数，其中一边是 4（但不是最短边），这样的三角形共有几个？8 已知在ABC 中，010616222bcabcba，若 a，b，c 是三角形的三边，求证bca2
5、 二角的关系 例 1 AD 是ABC 的一条高，也是ABC 的角平分线，若B=40,求BAC 的度数.例 2 如图，ABC中，B34，ACB104，AD是 BC边上的高，AE是 BAC的平分线，求 DAE的度数 例 3（1）如图所示，A+B+C+D+E=（）A.180 B.260 C.270 D.360 A B C D E 例 4.一副三角板按图中的方式叠放，则等于（）A75 B60 C45 D30 能否构成三角形方法较短两段之和是否大于最长线段二三角形中的角的关系三角形的三个内角的和等于三角形的外角和等于三角形的一个外角等于不相邻的两内角这和三角形的一个外角大于不相邻的内角三三角形三线有三条
6、角平分角形的直角顶点处在钝角三角形的外部四三角形分类按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形按边分类不等边三角形等腰三角形等边三角形五全等图形能够重合的两个图形称为全等图形全等图形的形状和大小都相同典型例题一边个三角形才能完全重合如果两个图形全等它们的形状和大小一定都相同两个正方形一定是全等形边数相同的图形一定能互相重合其中错误命题的个数是个个个个例知一个三角形的两边长分别是和则第三边长的取值范围是若是奇数则 过手变式练习：A=120，B=45，E=33，F=108，求COD的度数 2、如图，已知 EFH，求：ABACDCDG 的度数 3、如图，DAB 和BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于
7、点 P，并且与 CD、AB 分别相交于 M、N解答下列问题：(1)若D40，B36，求P 的度数；(2)如果图中的D 和B 为任意角时，其它条件不变，试问P 与D、B 之间存在着怎样的数量关系？（直接写出结论即可）4、如图，BD 是ABC 中ABC 的角平分线，CD 是ABC 的外角ACE 的平分线，它与 BD 的延长线交于点 D，我们将会得到A2D 这一结论，试想一想为什么？并加以说明 5（1）在中，A-B=20，B-C=20，求A和C的度数。（2）在中，CBA3121，试判断ABC的形状。（3）在中，CBA32，试判断ABC的形状。三角平分线和中线 注意：1 三角形角平分线和角的平分线的区
8、别：2 在ABC中，ABC，ACB的平分线交于 O，则BOC=90+1/2A 能否构成三角形方法较短两段之和是否大于最长线段二三角形中的角的关系三角形的三个内角的和等于三角形的外角和等于三角形的一个外角等于不相邻的两内角这和三角形的一个外角大于不相邻的内角三三角形三线有三条角平分角形的直角顶点处在钝角三角形的外部四三角形分类按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形按边分类不等边三角形等腰三角形等边三角形五全等图形能够重合的两个图形称为全等图形全等图形的形状和大小都相同典型例题一边个三角形才能完全重合如果两个图形全等它们的形状和大小一定都相同两个正方形一定是全等形边数相同的图形一定能互相重合其中错
9、误命题的个数是个个个个例知一个三角形的两边长分别是和则第三边长的取值范围是若是奇数则例 1 已知 D是ABC的边 BC的中点，且ADCS=10，求ABCS 例 2 如图，ABC中，ABC与ACB的平分线交于点 I，根据下列条件，求BIC 的度数（1）若ABC=60，ACB=70，则BIC=（2）若ABC+ACB=130，则BIC=（3）若A=50，则BIC=（4）若A=110 则BIC=（5）从上述计算中，我们能发现已知A，求BIC的公式是：BIC=（6）如图，若 BP，CP分别是ABC与ACB的外角平分线，交于点 P，若已知A，则求BPC的公式是：BPC=过手变式练习：1 在一个钝角三角形，
10、已知一个锐角是 30，则另一个锐角的取值范围是：2 在ABC中，已知C=90，BAD=1/3 BAE,ABD=1/3 ABF,则D 3 在ABC 中，已知C=90，AD平分BAC，且B=3，求的度数 在 ABC 中，已 知 CE AB 于 E 点，DF AB 于 点 F，AC ED，CE 是 ACB 的 平 分 线能否构成三角形方法较短两段之和是否大于最长线段二三角形中的角的关系三角形的三个内角的和等于三角形的外角和等于三角形的一个外角等于不相邻的两内角这和三角形的一个外角大于不相邻的内角三三角形三线有三条角平分角形的直角顶点处在钝角三角形的外部四三角形分类按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角
11、形按边分类不等边三角形等腰三角形等边三角形五全等图形能够重合的两个图形称为全等图形全等图形的形状和大小都相同典型例题一边个三角形才能完全重合如果两个图形全等它们的形状和大小一定都相同两个正方形一定是全等形边数相同的图形一定能互相重合其中错误命题的个数是个个个个例知一个三角形的两边长分别是和则第三边长的取值范围是若是奇数则，求证EDF与BDF 5（2011怀化）如图所示，A，1，2 的大小关系 能否构成三角形方法较短两段之和是否大于最长线段二三角形中的角的关系三角形的三个内角的和等于三角形的外角和等于三角形的一个外角等于不相邻的两内角这和三角形的一个外角大于不相邻的内角三三角形三线有三条角平分角
12、形的直角顶点处在钝角三角形的外部四三角形分类按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形按边分类不等边三角形等腰三角形等边三角形五全等图形能够重合的两个图形称为全等图形全等图形的形状和大小都相同典型例题一边个三角形才能完全重合如果两个图形全等它们的形状和大小一定都相同两个正方形一定是全等形边数相同的图形一定能互相重合其中错误命题的个数是个个个个例知一个三角形的两边长分别是和则第三边长的取值范围是若是奇数则6 如图，D是ABC的 BC边上的一点，且 AD=BD=CA，BAC=63 求DAC的度数 高线，面积 例 1 如图，AD,AE 分别是ABC 的高和中线,已知 AD=5cm,EC=2cm（）求和有
13、面积；（）它们面积之间存在什么结论？（）由此你有什么猜想？过手变式练习：在三角形 ABC中,已知三条高 AD、BF、CE相交于点 O,求1+2+3 的度数 在ABC中，AD BC于点 D，AE平分BAC（CB）试研究（1）EAD与C，B的关系；（2）若 F 是 AE上一动点，若 F 移动到 AE之间的位置时，FD BD，此时EAD与C，B的关系如何若 F继续移动到 AE的延长线上时，FD BD，中的结论是否还成立？说明理由 3(2005 聊城)D，E分别是 BC，AD的中点，F为 CE的三等分点,S ABC=4，则 SBEF=4 在ABC中，D、E分别是 BC、AC上的点，AE=2CE，BD=
14、2CD，AD、BE交于点 F，若 SABC=3，则四边形 DCEF的面积为 能否构成三角形方法较短两段之和是否大于最长线段二三角形中的角的关系三角形的三个内角的和等于三角形的外角和等于三角形的一个外角等于不相邻的两内角这和三角形的一个外角大于不相邻的内角三三角形三线有三条角平分角形的直角顶点处在钝角三角形的外部四三角形分类按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形按边分类不等边三角形等腰三角形等边三角形五全等图形能够重合的两个图形称为全等图形全等图形的形状和大小都相同典型例题一边个三角形才能完全重合如果两个图形全等它们的形状和大小一定都相同两个正方形一定是全等形边数相同的图形一定能互相重合其中错误
15、命题的个数是个个个个例知一个三角形的两边长分别是和则第三边长的取值范围是若是奇数则 5.O 是等边三角形 ABC内任意一点,ODAB,OE BC,OFAC高 AM BC,求证 OD+OE+OF=AM 6.分别以 2 cm、3 cm、4 cm、5 cm 的线段为边可构成_个三角形.课后练习：1.在ABC中，C=90，A=40，则B=_.2.两根木棒的长分别是 7cm和 9 cm，现要你选择第 3 根木棒，将它们钉成一个三角形，若选择的木棒长度是 7 的倍数，则你选择的木棒的长为_cm.3.有三个三角形,它们的两个内角的度数分别是：30和 5070和 20；82和 23,其中属于锐角三角形的是_.
16、4.在ABC中，若C=21B=31A，则ABC是_三角形(按角分类).5.如图 1 所示，CD是ABC的高，且CD5，SABC25，则AB_.6.如图 2 所示,BE、CD是角平分线，A80,则12_.7.如图 3 所示,在ABC中，CDAB，ACB86,B=20,则ACD_.A B C D A B C D E12 A B C D 图 1 图 2 图 3 8.如图所示，其中1_.65 o1 00 o1 9一定在ABC内部的线段是 （）A锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 B钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线 C任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高 D直角三角形的三条高、三
17、条角平分线、三条中线 10下列说法中，正确的是 （）A一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 B一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形 C一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 D一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形 11下列说法正确的个数为 （）能否构成三角形方法较短两段之和是否大于最长线段二三角形中的角的关系三角形的三个内角的和等于三角形的外角和等于三角形的一个外角等于不相邻的两内角这和三角形的一个外角大于不相邻的内角三三角形三线有三条角平分角形的直角顶点处在钝角三角形的外部四三角形分类按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形按边分类不等边三角形等
18、腰三角形等边三角形五全等图形能够重合的两个图形称为全等图形全等图形的形状和大小都相同典型例题一边个三角形才能完全重合如果两个图形全等它们的形状和大小一定都相同两个正方形一定是全等形边数相同的图形一定能互相重合其中错误命题的个数是个个个个例知一个三角形的两边长分别是和则第三边长的取值范围是若是奇数则（1）用一张像底片冲出来的 10 张一寸照片是全等形（2）我国国旗商店四颗小五角星是全等形（3）所有的正六边形是全等形（4）面积相等的两个正方形是全等形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.在三角形的角平分线、中线、高线中，属于直线的有(每种线只有一条)A.0 条 B.1 条 C.2 条 D
19、.3 条 13.现有两根木棒分别长 40 cm 和 50 cm，要从下列长度的木棒中选出一条，与前面两根木棒钉成一个三角架(木棒不能余)，则可选出 ()5 cm 10 cm 40 cm 45 cm 80 cm 90 cm A.3 条 B.4 条 C.5 条 D.6 条 14.在一个三角形的三个内角中，说法正确的是 ()A.至少有一个直角 B.至少有一个钝角 C.至多有两个锐角 D.至少有两个锐角 15.锐角三角形中，任意两个内角之和必大于 ()A.120 B.100 C.90 D.60 16.如图所示，1=2=3=4，则AD是ABC的 ()1 2 3 4 A B C D A.高 B.角平分线
20、C.中线 D.以上都不是 17.若三角形的三边分别为x1、x、x+1(x1),则x的取值范围是 （）A.x1 B.1x2 C.x2 D.x2 18.一个三角形中最小角不能大于 ()A.50 B.60 C.80 D.90 19.小明说：有这样一个三角形，它两条边上的高的交点正好是该三角形的一个顶点.你认为小明说的这个三角形一定 ()A.是钝角三角形 B.是直角三角形 C.是锐角三角形 D.不存在 20.在ABC中，A31B51C，则ABC是 ()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都不对 21.如图所示，虚线部分是小刚作的辅助线，则你认为线段CD为 ()A B C D A.边
21、AC上的高 B.边BC上的高 C.边AB上的高 D.不是ABC的高 22.如图所示，CE平分ACD,F为CA延长线上一点，FGCE交AB于点G，ACD100,AGF=20,你能求出B的度数吗？若能求，请写出求解过程；若不能求，请说明理由.能否构成三角形方法较短两段之和是否大于最长线段二三角形中的角的关系三角形的三个内角的和等于三角形的外角和等于三角形的一个外角等于不相邻的两内角这和三角形的一个外角大于不相邻的内角三三角形三线有三条角平分角形的直角顶点处在钝角三角形的外部四三角形分类按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形按边分类不等边三角形等腰三角形等边三角形五全等图形能够重合的两个图形称为全等
22、图形全等图形的形状和大小都相同典型例题一边个三角形才能完全重合如果两个图形全等它们的形状和大小一定都相同两个正方形一定是全等形边数相同的图形一定能互相重合其中错误命题的个数是个个个个例知一个三角形的两边长分别是和则第三边长的取值范围是若是奇数则A B C D EFG 23一个三角形的周长为 36cm，三边之比为 abc234，求 a、b、c 24如图，豫东有四个村庄 A、B、C、D现在要建造一个水塔 P请回答水塔 P 应建在何位置，才能使它到 4 村的距离之和最小，说明最节约材料的办法和 理由 【家庭作业】1.有两条线段的长分别为a=8 cm,b=6 cm,要选一条线段c，使a、b、c构成一个
23、三角形，则c的取值范围应是_.2已知ABC的周长为 48cm，最大边与最小边之差为 14cm，另一边与最小边之和为 25cm，求ABC各边的长 3三角形所有外角的和是 （）A180 B360 C720 D540 4锐角三角形中，最大角的取值范围是 （）A090 B60180 C6090 D6090 5如果三角形的一个外角不大于和它相邻的内角，那么这个三角形为（）A锐角或直角三角形 B钝角或锐角三角形 C直角三角形 D钝角或直角三角形 6已知ABC中，ABC与ACB的平分线交于点 O，则BOC一定 （）A小于直角 B等于直角 C大于直角 D大于或等于直角 7如图，ABC ADC FEC 90（1
24、）在ABC中，BC边上的高是_；（2）在AEC中，AE边上的高是_；（3）在FEC中，EC边上的高是_；（4）若 AB CD 3，AE 5，则AEC的面积为_.8如图，在ABC中，D、E分别为 BC上两点，且 BD DE EC，则图中面积相等的三角形有 （）能否构成三角形方法较短两段之和是否大于最长线段二三角形中的角的关系三角形的三个内角的和等于三角形的外角和等于三角形的一个外角等于不相邻的两内角这和三角形的一个外角大于不相邻的内角三三角形三线有三条角平分角形的直角顶点处在钝角三角形的外部四三角形分类按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形按边分类不等边三角形等腰三角形等边三角形五全等图形能够重
25、合的两个图形称为全等图形全等图形的形状和大小都相同典型例题一边个三角形才能完全重合如果两个图形全等它们的形状和大小一定都相同两个正方形一定是全等形边数相同的图形一定能互相重合其中错误命题的个数是个个个个例知一个三角形的两边长分别是和则第三边长的取值范围是若是奇数则 A4 对 B5 对 C6 对 D7 对 9如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 无法确定 10下列各题中给出的三条线段不能组成三角形的是 （）Aa1，a2，a3（a0）B三条线段的比为 4610 C3cm，8cm，10cm D3a，5a，2a1（a0）
26、11若等腰三角形的一边是 7，另一边是 4，则此等腰三角形的周长是 （）A18 B15 C18 或 15 D无法确定 12如图，AB CD，BC AB，若 AB 4cm，212cm ABCS，求ABD中 AB边上的高。13 已知：在ABC中，AD是 BC边上的中线，E是 AD上一点，且 BE=AC，延长 BE交 AC于 F，求证：AF=EF 14 在ABC 中，已知 C 是上的一点，A 是延长线上的一点，连接于点，且，求的度数 15 如图，直线 ab，直线 AC 分别交 a、b 于点 B、C，直线 AD 交 a 于点 D若1=20，2=65，则3 度数等于（），16 如图，将一等边三角形剪去一
27、个角后，1+2=（）能否构成三角形方法较短两段之和是否大于最长线段二三角形中的角的关系三角形的三个内角的和等于三角形的外角和等于三角形的一个外角等于不相邻的两内角这和三角形的一个外角大于不相邻的内角三三角形三线有三条角平分角形的直角顶点处在钝角三角形的外部四三角形分类按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形按边分类不等边三角形等腰三角形等边三角形五全等图形能够重合的两个图形称为全等图形全等图形的形状和大小都相同典型例题一边个三角形才能完全重合如果两个图形全等它们的形状和大小一定都相同两个正方形一定是全等形边数相同的图形一定能互相重合其中错误命题的个数是个个个个例知一个三角形的两边长分别是和则第三
28、边长的取值范围是若是奇数则 17 如图 1，有一个五角星 ABCDE，你能说明A+B+C+D+E=180 吗？如图 2、图 3，如果点B 向右移到 AC 上，或 AC 的另一侧时，上述结论仍然成立吗？请分别说明理由 18 在三角形 ABC 中,已知三条高 AD、BF、CE 相交于点 O,求1+2+3 的度数。19 如 图 所 示，ABC中，ABAC，BE、CD是 ABC的 中 线，下 列 结 论 不 正 确 的 有 （）A.SADC=SBDC B.SABE=SCBE C.SBDF=SCEF D.SADE=SBDC EFA B C D 能否构成三角形方法较短两段之和是否大于最长线段二三角形中的角的关系三角形的三个内角的和等于三角形的外角和等于三角形的一个外角等于不相邻的两内角这和三角形的一个外角大于不相邻的内角三三角形三线有三条角平分角形的直角顶点处在钝角三角形的外部四三角形分类按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形按边分类不等边三角形等腰三角形等边三角形五全等图形能够重合的两个图形称为全等图形全等图形的形状和大小都相同典型例题一边个三角形才能完全重合如果两个图形全等它们的形状和大小一定都相同两个正方形一定是全等形边数相同的图形一定能互相重合其中错误命题的个数是个个个个例知一个三角形的两边长分别是和则第三边长的取值范围是若是奇数则