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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题 第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、
2、符号等须加黑、加粗。参考公式：样本数据1 2,nx x x 的方差2211niis x xn，其中11niix xn柱体的体积V Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高锥体的体积13V Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 1,0,1,6 A，|0,B x x x R，则A B I.2已知复数(2i)(1 i)a的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数a的值是.3下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.4函数27 6 y x x的定义域是.5已知一组数据 6，7，8，8，9，1
3、0，则该组数据的方差是.6从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是.7在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 2221(0)yx bb经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线 方程是.8已知数列*()na n N是等差数列，nS是其前 n项和.若 2 5 8 90,27 a a a S，则 8S的值是.9如图，长方体 1 1 1 1ABCD A B C D的体积是 120，E为 1CC的中点，则三棱锥 E-BCD的体积是.10 在平面直角坐标系 xOy中，P是曲线 4(0)y x xx上的一个动点，则点 P到直线 x+y=0
4、 的 距离的最小值是.11 在平面直角坐标系 xOy中，点 A在曲线 y=ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点 A的坐标是.12 如图，在 ABC 中，D是 BC的中点，E在边 AB上，BE=2EA，AD与 CE交于点 O.若 6 AB AC AO ECuuu r uuu r uuur uuu r，则ABAC的值是.13 已知tan 23tan4，则sin 24的值是.14 设(),()f x g x是定义在 R 上的两个周期函数，()f x的周期为 4，()g x的周期为 2，且()f x是奇函数.当2(0,x时，2()1(1)f x x，
5、(2),0 1()1,1 22k x xg xx，其中k0.若在区间(0，9 上，关于 x 的方程()()f x g x有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是.二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、卷共页均为非选择题第题第题共题本卷满分为分考试时间为分钟考试结束后请将本试卷和答题卡一片交回答题前请务必将自己的姓名准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置请认真核对监考员从答题卡上所 答在其他位置作答一律无效如需作图须用铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加参考公式样本数据的方差其中柱体的体积其中是柱体的底面积是柱体的高锥体的
6、体积其中是锥体的底面积是锥体的高一填空题本大题共小题每小题分共计分 程图则输出的的值是函数的定义域是已知一组数据则该组数据的方差是从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务则选出的名同学中至少有名女同学的概率是在平面直角坐标系中若双曲线经过点则该双曲线的渐近线方程是证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分）在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c（1）若 a=3 c，b=2，cos B=23，求 c 的值；（2）若 sin cos2A Ba b，求 sin()2B的值 16（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D，E分别为 BC，AC的中点，A
7、B=BC 求证：（1）A1B1平面 DEC1；（2）BE C1E 17（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:2 22 21(0)x ya ba b的焦点为 F1（1、0），F2（1，0）过 F2作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2:2 2 2(1)4 x y a交于点 A，与椭 圆 C交于点 D.连结 AF1并延长交圆 F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C于点 E，连结 DF1 已知 DF1=52（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标 18（本小题满分 16 分）卷共页均为非选择题第题第题共题本卷满分为分考试时间为分钟考试结束后请
8、将本试卷和答题卡一片交回答题前请务必将自己的姓名准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置请认真核对监考员从答题卡上所 答在其他位置作答一律无效如需作图须用铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加参考公式样本数据的方差其中柱体的体积其中是柱体的底面积是柱体的高锥体的体积其中是锥体的底面积是锥体的高一填空题本大题共小题每小题分共计分 程图则输出的的值是函数的定义域是已知一组数据则该组数据的方差是从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务则选出的名同学中至少有名女同学的概率是在平面直角坐标系中若双曲线经过点则该双曲线的渐近线方程是如图，一个湖的边界是圆心为 O的圆，湖的一侧有一条直线型公
9、路 l，湖上有桥 AB（AB是圆 O的 直径）规划在公路 l 上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA 规划要求：线段 PB、QA上的所有点到点 O的距离均不小于圆 O的半径已知点 A、B到直线 l的距离分别为 AC和 BD（C、D为垂足），测得 AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）（1）若道路 PB与桥 AB垂直，求道路 PB的长；（2）在规划要求下，P和 Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路 PB和 QA的长度均为 d（单位：百米）.求当 d最小时，P、Q两点间的 距离 19（本小题满分 16 分）设函数()()()(),f x x a
10、x b x c a b c R、()f x 为 f（x）的导函数（1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值；（2）若 a b，b=c，且 f（x）和()f x 的零点均在集合 3,1,3中，求 f（x）的极小值；（3）若 0,0 1,1 a b c,，且 f（x）的极大值为 M，求证:M 427 20（本小满分 16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M 数列”.（1）已知等比数列 an*()n N满足：2 4 5 3 2 4,4 4 0 a a a a a a，求证：数列 an 为“M 数 列”；（2）已知数列 bn*()n N满足：111 2 21,n n nbS b b
11、，其中 Sn为数列 bn 的前 n项和 求数列 bn 的通项公式；设 m为正整数，若存在“M 数列”cn*()n N，对任意正整数k，当km时，都有1 k k kc b c剟成立，求m的最大值2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5 分，共计 70 分.1.1,62.2 3.5 4.1,75.536.7107.2 y x卷共页均为非选择题第题第题共题本卷满分为分考试时间为分钟考试结束后请将本试卷和答题卡一片交回答题前请务必将自己的姓名准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置请认真核对监考员从
12、答题卡上所 答在其他位置作答一律无效如需作图须用铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加参考公式样本数据的方差其中柱体的体积其中是柱体的底面积是柱体的高锥体的体积其中是锥体的底面积是锥体的高一填空题本大题共小题每小题分共计分 程图则输出的的值是函数的定义域是已知一组数据则该组数据的方差是从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务则选出的名同学中至少有名女同学的概率是在平面直角坐标系中若双曲线经过点则该双曲线的渐近线方程是8.16 9.10 10.4 11.(e,1)12.313.21014.1 2,3 4二、解答题 15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运
13、算求 解能力.满分 14 分.解：（1）因为 23,2,cos3a c b B，由余弦定理 2 2 2cos2a c bBac，得 2 2 22(3)(2)3 2 3c cc c，即 213c.所以 33c.（2）因为 sin cos2A Ba b，由正弦定理 sin sina bA B，得 cos sin2B Bb b，所以 cos 2sin B B.从而 2 2cos(2sin)B B，即 2 2cos 4 1 cos B B，故 24cos5B.因为 sin 0 B，所以 cos 2sin 0 B B，从而 2 5cos5B.因此 2 5sin cos2 5B B.16.本小题主要考查直
14、线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象 能力和推理论证能力.满分 14 分.证明：（1）因为 D，E分别为 BC，AC的中点，所以 ED AB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB A1B1，所以 A1B1 ED.又因为 ED?平面 DEC1，A1B1平面 DEC1，所以 A1B1平面 DEC1.（2）因为 AB=BC，E为 AC的中点，所以 BE AC.因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 CC1平面 ABC.又因为 BE?平面 ABC，所以 CC1 BE.因为 C1C?平面 A1ACC1，AC?平面 A1ACC1，C1C AC=C，所以 BE平面
15、A1ACC1.因为 C1E?平面 A1ACC1，所以 BE C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关 系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 14 分.卷共页均为非选择题第题第题共题本卷满分为分考试时间为分钟考试结束后请将本试卷和答题卡一片交回答题前请务必将自己的姓名准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置请认真核对监考员从答题卡上所 答在其他位置作答一律无效如需作图须用铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加参考公式样本数据的方差其中柱体的体积其中是柱体的底面积是柱体的高锥体的体积其中是锥体的底面积是锥
16、体的高一填空题本大题共小题每小题分共计分 程图则输出的的值是函数的定义域是已知一组数据则该组数据的方差是从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务则选出的名同学中至少有名女同学的概率是在平面直角坐标系中若双曲线经过点则该双曲线的渐近线方程是解：（1）设椭圆 C的焦距为 2c.因为 F1(-1，0)，F2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1.又因为 DF1=52，AF2 x 轴，所以 DF2=2 2 2 21 1 25 3()22 2DF F F，因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2.由 b2=a2-c2，得 b2=3.因此，椭圆 C的标准方程为 2 214 3x y.（2）解法一
17、：由（1）知，椭圆 C：2 214 3x y，a=2，因为 AF2 x 轴，所以点 A的横坐标为 1.将 x=1 代入圆 F2的方程(x-1)2+y2=16，解得 y=4.因为点 A在 x轴上方，所以 A(1，4).又 F1(-1，0)，所以直线 AF1：y=2x+2.由 2 2()2 21 16y xx y，得 25 6 11 0 x x，解得 1 x 或 115x.将 115x代入 2 2 y x，得 125y，因此 11 12(,)5 5B.又 F2(1，0)，所以直线 BF2：3(1)4y x.由 2 214 33(1)4xy xy，得 27 6 13 0 x x，解得 1 x或 13
18、7x.又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以 1 x.将 1 x代入 3(1)4y x，得 32y.因此 3(1,)2E.解法二：由（1）知，椭圆 C：2 214 3x y.如图，连结 EF1.因为 BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB，从而 BF1E=B.因为 F2A=F2B，所以 A=B，卷共页均为非选择题第题第题共题本卷满分为分考试时间为分钟考试结束后请将本试卷和答题卡一片交回答题前请务必将自己的姓名准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置请认真核对监考员从答题卡上所 答在其他位置作答一律无效如需作图须用铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加参考公式样本
19、数据的方差其中柱体的体积其中是柱体的底面积是柱体的高锥体的体积其中是锥体的底面积是锥体的高一填空题本大题共小题每小题分共计分 程图则输出的的值是函数的定义域是已知一组数据则该组数据的方差是从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务则选出的名同学中至少有名女同学的概率是在平面直角坐标系中若双曲线经过点则该双曲线的渐近线方程是所以 A=BF1E，从而 EF1 F2A.因为 AF2 x轴，所以 EF1 x轴.因为 F1(-1，0)，由 2 214 31 xx y，得 32y.又因为 E是线段 BF2与椭圆的交点，所以 32y.因此 3(1,)2E.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线
20、与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及 运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 16 分.解：解法一：（1）过 A作 AE BD，垂足为 E.由已知条件得，四边形 ACDE 为 矩形，6,8 DE BE AC AE CD.因为 PB AB，所以 8 4cos sin10 5PBD ABE.所以 12154cos5BDPBPBD.因此道路 PB的长为 15（百米）.（2）若 P在 D处，由（1）可得 E在圆上，则线段 BE上的点（除 B，E）到点 O的距离均小于圆 O的半 径，所以 P选在 D处不满足规划要求.若 Q在 D处，连结 AD，由（1）知 2 210 AD AE ED，从而 2
21、2 27cos 02 25AD AB BDBADAD AB，所以 BAD为锐角.所以线段 AD上存在点到点 O的距离小于圆 O的半径.因此，Q选在 D处也不满足规划要求.综上，P和 Q均不能选在 D处.（3）先讨论点 P的位置.卷共页均为非选择题第题第题共题本卷满分为分考试时间为分钟考试结束后请将本试卷和答题卡一片交回答题前请务必将自己的姓名准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置请认真核对监考员从答题卡上所 答在其他位置作答一律无效如需作图须用铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加参考公式样本数据的方差其中柱体的体积其中是柱体的底面积是柱体的高锥体的体积其中是锥体的底面积是锥体的高
22、一填空题本大题共小题每小题分共计分 程图则输出的的值是函数的定义域是已知一组数据则该组数据的方差是从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务则选出的名同学中至少有名女同学的概率是在平面直角坐标系中若双曲线经过点则该双曲线的渐近线方程是当 OBP90 时，在 1PPB 中，115 PB PB.由上可知，d 15.再讨论点 Q的位置.由（2）知，要 使 得 QA 15，点 Q只 有 位 于 点 C的 右 侧，才 能 符 合 规 划 要 求.当 QA=15 时，2 2 2 215 6 3 21 CQ QA AC.此时，线段 QA上所有点到点 O的距离均不小于圆 O的半径.综上，当 PB AB，点
23、 Q位于点 C右侧，且 CQ=3 21时，d最小，此时 P，Q两点间的距离 PQ=PD+CD+CQ=17+3 21.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为 17+3 21（百米）.解法二：（1）如图，过 O 作 OH l，垂足为 H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为 3，-3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（-4，-3），直线AB的斜率为34.因为PBAB，所以直线PB的斜率为43，直线 PB的方程为4 253 3y x.所以P（-13
24、，9），2 2(13 4)(9 3)15 PB.因此道路PB的长为 15（百米）.（2）若P在D处，取线段BD上一点E（-4，0），则EO=45，所以P选在D处不满足规划要求.卷共页均为非选择题第题第题共题本卷满分为分考试时间为分钟考试结束后请将本试卷和答题卡一片交回答题前请务必将自己的姓名准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置请认真核对监考员从答题卡上所 答在其他位置作答一律无效如需作图须用铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加参考公式样本数据的方差其中柱体的体积其中是柱体的底面积是柱体的高锥体的体积其中是锥体的底面积是锥体的高一填空题本大题共小题每小题分共计分 程图则输出的的值
25、是函数的定义域是已知一组数据则该组数据的方差是从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务则选出的名同学中至少有名女同学的概率是在平面直角坐标系中若双曲线经过点则该双曲线的渐近线方程是若 Q在 D处，连结 AD，由（1）知 D（-4，9），又 A（4，3），所以线段 AD：36(4 4)4y x x 剟.在线段 AD上取点 M（3，154），因为 22 2 2153 3 4 54OM，所以线段 AD上存在点到点 O的距离小于圆 O的半径.因此 Q选在 D处也不满足规划要求.综上，P和 Q均不能选在 D 处.（3）先讨论点 P的位置.当 OBP90 时，在 1PPB 中，115 PB PB.由
26、上可知，d 15.再讨论点 Q的位置.由（2）知，要使得QA 15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15 时，设Q（a，9），由2 2(4)(9 3)15(4)AQ a a，得a=4 3 21，所以Q（4 3 21，9），此时，线段QA 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O的半径.综上，当P（-13，9），Q（4 3 21，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离4 3 21(13)17 3 21 PQ.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17 3 21（百米）.19 本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力满分 16 分解
27、：（1）因为a b c，所以3()()()()()f x x a x b x c x a因为(4)8 f，所以3(4)8 a，解得2 a（2）因为b c，所以2 3 2 2()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab，从而2()3()3a bf x x b x令()0 f x，得x b或23a bx因为2,3a ba b，都在集合 3,1,3中，且a b，卷共页均为非选择题第题第题共题本卷满分为分考试时间为分钟考试结束后请将本试卷和答题卡一片交回答题前请务必将自己的姓名准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置请认真核对监考员从答题卡上所
28、 答在其他位置作答一律无效如需作图须用铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加参考公式样本数据的方差其中柱体的体积其中是柱体的底面积是柱体的高锥体的体积其中是锥体的底面积是锥体的高一填空题本大题共小题每小题分共计分 程图则输出的的值是函数的定义域是已知一组数据则该组数据的方差是从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务则选出的名同学中至少有名女同学的概率是在平面直角坐标系中若双曲线经过点则该双曲线的渐近线方程是所以 21,3,33a ba b 此时 2()(3)(3)f x x x，()3(3)(1)f x x x 令()0 f x，得 3 x或 1 x列表如下：x(,3)3(3,1)1(1,)()
29、f x+0 0+()f xZ极大值 极小值 Z所以()f x的极小值为 2(1)(1 3)(1 3)32 f（3）因为 0,1 a c，所以 3 2()()(1)(1)f x x x b x x b x bx，2()3 2(1)f x x b x b 因为 0 1 b，所以 2 24(1)12(2 1)3 0 b b b，则()f x有 2个不同的零点，设为 1 2 1 2,x x x x 由()0 f x，得 2 21 21 1 1 1,3 3b b b b b bx x 列表如下：x1(,)x1x1 2,x x2x2(,)x()f x+0 0+()f xZ极大值 极小值 Z所以()f x的
30、极大值 1M f x 解法一：3 21 1 1 1(1)M f x x b x bx2211 1 12 11(1)3 2(1)3 9 9 9b bx b b bx b x b x2322 1(1)(1)2127 9 27b b bb bb b23(1)2(1)(1)2(1)1)27 27 27b b b bb b(1)2 427 27 27b b因此 427M 解法二：因为 0 1 b，所以 1(0,1)x 卷共页均为非选择题第题第题共题本卷满分为分考试时间为分钟考试结束后请将本试卷和答题卡一片交回答题前请务必将自己的姓名准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置请认真核对监考
31、员从答题卡上所 答在其他位置作答一律无效如需作图须用铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加参考公式样本数据的方差其中柱体的体积其中是柱体的底面积是柱体的高锥体的体积其中是锥体的底面积是锥体的高一填空题本大题共小题每小题分共计分 程图则输出的的值是函数的定义域是已知一组数据则该组数据的方差是从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务则选出的名同学中至少有名女同学的概率是在平面直角坐标系中若双曲线经过点则该双曲线的渐近线方程是当(0,1)x时，2()()(1)(1)f x x x b x x x 令 2()(1),(0,1)g x x x x，则 1()3(1)3g x x x 令()0 gx，得 1
32、3x列表如下：x1(0,)3131(,1)3()gx+0()g xZ极大值 所以当 13x时，()g x取得极大值，且是最大值，故 max1 4()3 27g x g 所以当(0,1)x时，4()()27f x g x，因此 427M 20 本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化 与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分 16 分 解：（1）设等比数列 an 的公比为 q，所以 a1 0，q 0.由 2 4 53 2 14 4 0a a aa a a，得 2 4 41 121 1 14 4 0a q a qa q a q a，解得 112aq
33、因此数列 na为“M 数列”.（2）因为 11 2 2n n nS b b，所以 0nb 由 1 1 11,b S b，得 21 2 21 1 b，则 22 b.由 11 2 2n n nS b b，得 112()n nnn nb bSb b，当 2 n时，由 1 n n nb S S，得 1 11 12 2n n n nnn n n nb b b bbb b b b，整理得 1 12n n nb b b 所以数列 bn 是首项和公差均为 1的等差数列.因此，数列 bn 的通项公式为 bn=n*n N.由知，bk=k，*k N.因为数列 cn 为“M 数列”，设公比为 q，所以 c1=1，q0
34、.因为 ck bk ck+1，所以 1 k kq k q，其中 k=1，2，3，m.卷共页均为非选择题第题第题共题本卷满分为分考试时间为分钟考试结束后请将本试卷和答题卡一片交回答题前请务必将自己的姓名准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置请认真核对监考员从答题卡上所 答在其他位置作答一律无效如需作图须用铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加参考公式样本数据的方差其中柱体的体积其中是柱体的底面积是柱体的高锥体的体积其中是锥体的底面积是锥体的高一填空题本大题共小题每小题分共计分 程图则输出的的值是函数的定义域是已知一组数据则该组数据的方差是从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务
35、则选出的名同学中至少有名女同学的概率是在平面直角坐标系中若双曲线经过点则该双曲线的渐近线方程是当 k=1时，有 q 1；当 k=2，3，m时，有 ln lnln1k kqk k 设 f（x）=ln(1)xxx，则 21 ln()xf xx 令()0 f x，得 x=e.列表如下：x(1,e)e(e，+)()f x+0 f（x）极大值 因为 ln 2 ln8 ln 9 ln 32 6 6 3，所以 maxln 3()(3)3f k f 取 33 q，当 k=1，2，3，4，5时，lnlnkqk,，即 kk q，经检验知 1 kq k也成立 因此所求 m 的最大值不小于 5 若 m 6，分别取 k
36、=3，6，得 3 q3，且 q5 6，从而 q15 243，且 q15 216，所以 q不存在.因此所求 m的最大值小于 6.综上，所求 m的最大值为 5 数学(附加题)21【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若多 做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）已知矩阵 3 12 2A（1）求 A2；（2）求矩阵 A的特征值.B.选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在极坐标系中，已知两点 3,2,4 2A B，直线 l的方程为 sin 34.（1）求 A，
37、B两点间的距离；（2）求点 B到直线 l的距离.C.选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10分）设 x R，解不等式|+|2 1|2 x x.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 卷共页均为非选择题第题第题共题本卷满分为分考试时间为分钟考试结束后请将本试卷和答题卡一片交回答题前请务必将自己的姓名准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置请认真核对监考员从答题卡上所 答在其他位置作答一律无效如需作图须用铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加参考公式样本数据的方差其中柱体的体积其中是柱体
38、的底面积是柱体的高锥体的体积其中是锥体的底面积是锥体的高一填空题本大题共小题每小题分共计分 程图则输出的的值是函数的定义域是已知一组数据则该组数据的方差是从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务则选出的名同学中至少有名女同学的概率是在平面直角坐标系中若双曲线经过点则该双曲线的渐近线方程是22.（本小题满分 10 分）设 2*0 1 2(1),4,n nnx a a x a x a x n n N L.已知 23 2 42 a a a.（1）求 n的值；（2）设(1 3)3na b，其中*,a b N，求 2 23 a b的值.23.（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy中，设点
39、集(0,0),(1,0),(2,0),(,0)nA n，(0,1),(,1),(0,2),(1,2),(2,2),(,2),.n nB n C n nN L令 n n n nM A B C U U.从集合 Mn中任取两个不同的点，用随机变量 X表示它们之间的距离.（1）当 n=1时，求 X的概率分布；（2）对给定的正整数 n（n 3），求概率 P（X n）（用 n表示）.数学(附加题)参考答案 21【选做题】A 选修 4 2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力满分 10分 解：（1）因为 3 12 2A，所以 23 1 3 12 2 2 2A=3 3 1
40、2 3 1 1 22 3 2 2 2 1 2 2=11 510 6（2）矩阵 A 的特征多项式为 23 1()5 42 2f.令()0 f，解得 A的特征值 1 21,4.B 选修 4 4：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分 10 分 解：（1）设极点为 O.在 OAB中，A（3，4），B（2，2），由余弦定理，得 AB=2 23(2)2 3 2 cos()52 4.（2）因为直线 l的方程为 sin()34，则直线 l过点(3 2,)2，倾斜角为 34 又(2,)2B，所以点 B到直线 l的距离为 3(3 2 2)sin()24 2.卷共页均为非
41、选择题第题第题共题本卷满分为分考试时间为分钟考试结束后请将本试卷和答题卡一片交回答题前请务必将自己的姓名准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置请认真核对监考员从答题卡上所 答在其他位置作答一律无效如需作图须用铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加参考公式样本数据的方差其中柱体的体积其中是柱体的底面积是柱体的高锥体的体积其中是锥体的底面积是锥体的高一填空题本大题共小题每小题分共计分 程图则输出的的值是函数的定义域是已知一组数据则该组数据的方差是从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务则选出的名同学中至少有名女同学的概率是在平面直角坐标系中若双曲线经过点则该双曲线的渐近线方程是C
42、 选修 4 5：不等式选讲 本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力满分 10分 解：当 x0时，原不等式可化为 1 2 2 x x，解得 x2，即 x 12时，原不等式可化为 x+2x 12，解得 x 1.综上，原不等式的解集为 1|13x x x 或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分 10 分解：（1）因为0 1 2 2(1)C C C C 4n n nn n n nx x x x n L，所以2 32 3(1)(1)(2)C,C2 6n nn n n n na a，44(1)(2)(3)C24nn n n
43、 na因为23 2 42 a a a，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)26 2 24n n n n n n n n n，解得5 n（2）由（1）知，5 n5(1 3)(1 3)n0 1 2 2 3 3 4 4 5 55 5 5 5 5 5C C 3 C(3)C(3)C(3)C(3)3 a b 解法一：因为*,a b N，所以0 2 4 1 3 55 5 5 5 5 5C 3C 9C 76,C 3C 9C 44 a b，从而2 2 2 23 76 3 44 32 a b解法二：5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 55 5 5 5 5 5(1 3)C C(3)C(3)C(3)C(3)
44、C(3)0 1 2 2 3 3 4 4 5 55 5 5 5 5 5C C C(3)C(3)C(3)(3 C 3)因为*,a b N，所以5(1 3)3 a b因此2 2 5 5 53(3)(3)(1 3)(1 3)(2)32 a b a b a b卷共页均为非选择题第题第题共题本卷满分为分考试时间为分钟考试结束后请将本试卷和答题卡一片交回答题前请务必将自己的姓名准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置请认真核对监考员从答题卡上所 答在其他位置作答一律无效如需作图须用铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加参考公式样本数据的方差其中柱体的体积其中是柱体的底面积是柱体的高锥体的体积其中是
45、锥体的底面积是锥体的高一填空题本大题共小题每小题分共计分 程图则输出的的值是函数的定义域是已知一组数据则该组数据的方差是从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务则选出的名同学中至少有名女同学的概率是在平面直角坐标系中若双曲线经过点则该双曲线的渐近线方程是23【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查 逻辑思维能力和推理论证能力满分 10分 解：（1）当 1 n时，X 的所有可能取值是 1 2 2 5，X的概率分布为 2 26 67 7 4 4(1),(2)C 15 C 15P X P X，2 26 62 2 2 2(2),(5)C 15 C 15P
46、X P X（2）设()A a b，和()B c d，是从 nM中取出的两个点 因为()1()P X n P X n，所以仅需考虑 X n的情况 若 b d，则 AB n，不存在 X n的取法；若 0 1 b d，则 2 2()1 1 AB a c n，所以 X n当且仅当 21 AB n，此时 0 a c n，或 0 a n c，有 2 种取法；若 0 2 b d，则 2 2()4 4 AB a c n，因为当 3 n时，2(1)4 n n，所以 X n当且仅当 24 AB n，此时 0 a c n，或 0 a n c，有 2 种取法；若 1 2 b d，则 2 2()1 1 AB a c n
47、，所以 X n当且仅当 21 AB n，此时 0 a c n，或 0 a n c，有 2 种取法 综上，当 X n时，X 的所有可能取值是 21 n和 24 n，且 2 22 22 4 2 44 2(1),(4)C Cn nP X n P X n 因此，2 222 46()1(1)(4)1CnP X n P X n P X n 卷共页均为非选择题第题第题共题本卷满分为分考试时间为分钟考试结束后请将本试卷和答题卡一片交回答题前请务必将自己的姓名准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置请认真核对监考员从答题卡上所 答在其他位置作答一律无效如需作图须用铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加参考公式样本数据的方差其中柱体的体积其中是柱体的底面积是柱体的高锥体的体积其中是锥体的底面积是锥体的高一填空题本大题共小题每小题分共计分 程图则输出的的值是函数的定义域是已知一组数据则该组数据的方差是从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务则选出的名同学中至少有名女同学的概率是在平面直角坐标系中若双曲线经过点则该双曲线的渐近线方程是