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1、1 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。1设 1 i2i1 iz，则|zA 0B 12C 1 D 22已知集合 22 0 A x x x，则 AReA 1 2 x xB 1
2、2 x xC|1|2 x x x x UD|1|2 x x x x U3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区 农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼 图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍2 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4设 nS为等差数列 na的前 n项和，若 3 2 43S S S，12 a，则5aA12B10C10D12
3、5设函数3 2()(1)f x x a x ax，若()f x为奇函数，则曲线()y f x在点(0,0)处的切线方程为A2 y xBy xC2 y xDy x6在 ABC 中，AD 为BC边上的中线，E 为 AD 的中点，则EBuuu rA3 14 4AB ACuuu r uuu rB 1 34 4AB ACuuu r uuu rC3 14 4AB ACuuu r uuu rD1 34 4AB ACuuu r uuu r7 某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中
4、，最短路径的长度为A 17 2 B 5 2 C 3 D 2 8 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM FNuuuu r uuu r=A 5 B 6 C 7 D 8 9 已知函数e 0()ln 0 xxf xx x，()()g x f x x a若g（x）存在 2 个零点，则a的取值范围是A 1，0）B 0，+）C 1，+）D 1，+）10 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，ACABC的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 II，其余部分记为 II
5、I 在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，III 的概率分别记为p1，p2，p3，则指定位置上回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择 年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番更好地了解该地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不 农村建设后养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半设为等差数列的前项和若则设函数若为奇函数则曲
6、线在点处的切线方程为在中为边上的中线为的中点则某圆柱的高为底面周长为其三视图如图圆柱表面上的点在正视3 A p1=p2 B p1=p3C p2=p3 D p1=p2+p311 已知双曲线 C：2213xy，O为坐标原点，F为 C的右焦点，过 F的直线与 C的两条渐近线的 交点分别为 M、N.若 OMN为直角三角形，则|MN|=A 32B 3 C 2 3D 4 12 已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面 面积的最大值为 A 3 34B 2 33C 3 24D 32二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 若 x，y满足约束条件
7、 2 2 01 00 x yx yy，则 3 2 z x y的最大值为 _ 14 记 nS为数列 na的前 n项和，若 2 1n nS a，则 6S_ 15 从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 _ 种（用数字填写答案）16 已知函数 2sin sin2 f x x x，则 f x的最小值是 _ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17（12 分）在平面四边形 ABCD中，90 ADCo
8、，45 Ao，2 AB，5 BD.（1）求 cos ADB；（2）若 2 2 DC，求 BC.18（12 分）如图，四边形 ABCD为正方形，,E F分别为,AD BC的中点，以 DF为折痕把 DFC 折起，使 点 C到达点 P的位置，且 PF BF.（1）证明：平面 PEF平面 ABFD；指定位置上回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择 年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番更好地了解该地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建
9、设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不 农村建设后养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半设为等差数列的前项和若则设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为在中为边上的中线为的中点则某圆柱的高为底面周长为其三视图如图圆柱表面上的点在正视4（2）求 DP与平面 ABFD所成角的正弦值.19（12 分）设椭圆 22:12xC y的右焦点为 F，过 F的直线 l与 C交于,A B两点，点 M的坐标为(2,0).（1）当 l与 x轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）设 O为坐标原点，证明：OMA OMB.20（12 分）某工厂的某种产
10、品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出 不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是 否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)1 0(p p，且各件产品是否为 不合格品相互独立（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为)(p f,求)(p f的最大值点 0p（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 0p作为 p的值已知 每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的 赔偿费用学.科网（i）若不对该箱
11、余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21（12 分）已知函数 1()ln f x x a xx（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x存在两个极值点 1 2,x x，证明：1 21 22f x f xax x（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分。22 选修 4 4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy中，曲线1C的方程为|2 y k x.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2
12、C的极坐标方程为22 cos 3 0.（1）求2C的直角坐标方程；指定位置上回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择 年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番更好地了解该地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不 农村建设后养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半设为等差数列的前项和若则设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为在中
13、为边上的中线为的中点则某圆柱的高为底面周长为其三视图如图圆柱表面上的点在正视5（2）若 1C与 2C有且仅有三个公共点，求 1C的方程.23 选修 4 5：不等式选讲（10 分）已知()|1|1|f x x ax.（1）当 1 a时，求不等式()1 f x的解集；（2）若(0,1)x时不等式()f x x成立，求 a的取值范围.指定位置上回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择 年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番更好地了解该地区农村
14、的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不 农村建设后养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半设为等差数列的前项和若则设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为在中为边上的中线为的中点则某圆柱的高为底面周长为其三视图如图圆柱表面上的点在正视6 参考答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A B D A B D C A B A 13.6 14.63 15.16 16.3 3217.（12 分）解：（1）在 ABD 中，由正弦定理得 sin sinBD ABA ADB.由
15、题设知，5 2sin 45 sin ADB，所以 2sin5ADB.由题设知，90 ADB，所以 2 23cos 125 5ADB.（2）由题设及（1）知，2cos sin5BDC ADB.在 BCD 中，由余弦定理得 2 2 22 cos BC BD DC BD DC BDC225 8 2 5 2 2525.所以 5 BC.18.（12 分）解：（1）由已知可得，BF PF，BF EF，所以 BF平面 PEF.又 BF平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.（2）作 PH EF，垂足为 H.由（1）得，PH 平面 ABFD.以 H为坐标原点，HFuuu r的方向为 y轴正方向，|BF
16、uuu r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 H-xyz.指定位置上回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择 年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番更好地了解该地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不 农村建设后养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半设为等差数列的前项和若则设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为在中为边
17、上的中线为的中点则某圆柱的高为底面周长为其三视图如图圆柱表面上的点在正视7 由（1）可得，DE PE.又 DP=2，DE=1，所以 PE=3.又 PF=1，EF=2，故 PE PF.可得 3 3,2 2PH EH.则 3 3 3 3(0,0,0),(0,0,),(1,0),(1,),2 2 2 2H P D DPu uu r3(0,0,)2HPuuu r为平面 ABFD 的法向量.设DP与平面ABFD所成角为，则334sin|4|3HP DPHP DPuuu r uuu ruuu r uuu r.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.19.（12 分）解：（1）由已知得(1,0)F，l的
18、方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为2(1,)2或2(1,)2.所以AM的方程为222y x或222y x.（2）当l与x轴重合时，0 OMA OMB.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMA OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为(1)(0)y k x k，1 2 2 1(,),(,)A y x y x B，则1 22,2 x x，直线MA，MB的斜率之和为21 212 2MA MBx xy yk k.由1 1 2 2,y k k x y k x k得1 2 1 21 2(2 3()42)(2)MA MBx x x x k kx xkk k.将(1)y k x代入22
19、12xy得2 2 2 2(2 1)4 2 2 0 k x k x k.指定位置上回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择 年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番更好地了解该地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不 农村建设后养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半设为等差数列的前项和若则设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为
20、在中为边上的中线为的中点则某圆柱的高为底面周长为其三视图如图圆柱表面上的点在正视8 所以，2122 12224 2 2,2 1 2 1x x xk kkxk.则 313132 224 4 12 8 42 3()4 02 1k k k k kk k kkx x x x.从而 0MA MBk k，故 MA，MB的倾斜角互补，所以 OMA OMB.综上，OMA OMB.20.（12 分）解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 2 2 1820()C(1)f p p p.因此 2 18 2 17 2 1720 20()C 2(1)18(1)2C(1)(1 10)f p p p p p p
21、 p p.令()0 f p，得 0.1 p.当(0,0.1)p时，()0 f p；当(0.1,1)p时，()0 f p.所以()f p的最大值点为 00.1 p.（2）由（1）知，0.1 p.（i）令 Y表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B:，20 2 25 X Y，即 40 25 X Y.所以(40 25)40 25 490 EX E Y EY.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.由于 400 EX，故应该对余下的产品作检验.21.（12 分）解:（1）()f x的定义域为(0,)，22 21 1()1a x ax
22、f xx x x.（i）若 2 a，则()0 f x，当且仅当2 a，1 x时()0 f x，所以()f x在(0,)单调递减.（ii）若2 a，令()0 f x得，242a ax或242a ax.当2 24 4(0,)(,)2 2a a a ax U时，()0 f x；当2 24 4(,)2 2a a a ax时，()0 f x.所 以()f x在2 24 4(0,),(,)2 2a a a a单调递减，在2 24 4(,)2 2a a a a单调递增.（2）由（1）知，()f x存在两个极值点当且仅当2 a.由于()f x的两个极值点1 2,x x满足21 0 x ax，所以1 21 x
23、x，不妨设1 2x x，则21 x.由于指定位置上回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择 年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番更好地了解该地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不 农村建设后养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半设为等差数列的前项和若则设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为在中为边上的中线为的中点则某圆
24、柱的高为底面周长为其三视图如图圆柱表面上的点在正视9 1 2 1 2 1 2 21 2 1 2 1 2 1 222()()ln ln ln ln 2ln 11 2 21f x f x x x x x xa a ax x x x x x x xxx，所以 1 21 2()()2f x f xax x等价于 2 2212ln 0 x xx.设函数 1()2ln g x x xx，由（1）知，()g x在(0,)单调递减，又(1)0 g，从而当(1,)x时，()0 g x.所以 2 2212ln 0 x xx，即 1 21 2()()2f x f xax x.22 选修 4-4：坐标系与参数方程（1
25、0 分）【解析】（1）由cos x，sin y得2C的直角坐标方程为2 2(1)4 x y（2）由（1）知2C是圆心为(1,0)A，半径为2的圆由题设知，1C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l 由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点学#科网当1l与2C只有一个公共点时，A 到1l所在直线的距离为 2，所以2|2|21kk，故43k或0 k经检验，当0 k时，1l与2C没有公共点；当43k时，1l与2C只有一个公共点，2l与2
26、C有两个公共点当2l与2C只有一个公共点时，A 到2l所在直线的距离为 2，所以2|2|21kk，故0 k或43k经检验，当0 k时，1l与2C没有公共点；当43k时，2l与2C没有公共点综上，所求1C的方程为4|23y x23 选修 4-5：不等式选讲（10 分）【解析】（1）当1 a时，()|1|1|f x x x，即2,1,()2,1 1,2,1.xf x x xx故不等式()1 f x的解集为1|2x x（2）当(0,1)x时|1|1|x ax x成立等价于当(0,1)x时|1|1 ax成立指定位置上回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后
27、再选涂其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择 年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番更好地了解该地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不 农村建设后养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半设为等差数列的前项和若则设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为在中为边上的中线为的中点则某圆柱的高为底面周长为其三视图如图圆柱表面上的点在正视10 若 0 a，则当(0,1)x时|1|1 ax；若 0 a，|1|1 ax的解集为
28、 20 xa，所以 21a，故 0 2 a 综上，a的取值范围为(0,2 指定位置上回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择 年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番更好地了解该地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不 农村建设后养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半设为等差数列的前项和若则设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为在中为边上的中线为的中点则某圆柱的高为底面周长为其三视图如图圆柱表面上的点在正视