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1、.!.DNC M BA相似三角形综合题练习 类型一 相似三角形中动点问题 例 1：如图正方形 ABCD 的边长为 2，AE=EB，线段 MN 的两端点分别在 CB、CD 上滑动，且 MN=1，当 CM 为何值时AED 与以 M、N、C 为顶点的三角形相似？变式：如图，在ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点 P 从 A 沿 AB 移动到 B，移动速度为 2 单位/秒，有一动点 Q 从 C 沿 CA 移动到 A，移动速度为 1 单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，PQA 与BCA 相似.例 2：如图，ABC 是边长为 6cm 的等边三角形,动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分
2、别沿AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停顿运动，设运动时间为 t s，解答以下问题：1当 t 2 时，判断BPQ 的形状，并说明理由；2设BPQ 的面积为 S cm2，求 S 与 t 的函数关系式；3作 QR/BA 交 AC 于 点 R，连结 PR，当 t 为 何 值时，APRPRQ？变式：如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=8cm 点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动 点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点
3、 F 追上点 G即点 F与点 G 重合 时，三个点随之停顿移动 设移动开场后第 t 秒时，EFG的面积为 S cm2 1当 t=1 秒时，S 的值是多少？2写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值*围.（3）假设点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶 点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由 例 3：如图，在梯形 ABCD 中，AD BC，AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高为 4动点 M 从B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动 N 同时从 C 点出发沿线段CD 以每秒 1 个单
4、位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为 t秒 1当 MN/AB 时，求 t 的值；2试探究：t 为何值时，MNC 为直角三角形 变式：如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，D=90 o，ACBC，AB=10cm,BC=6cm，F点以 2cm/秒的速度在线段 AB 上由 A 向 B 匀速运动，E 点同时以 1cm/秒的速度在线段 BC 上由 B 向 C 匀速运动，设运动时间为 t 秒(0t5)1求证：ACDBAC；2求：DC 的长；3试探究：B EF可以为等腰三角形吗？假设能，求 t 的值；假设不能，请说明理由 例 4：如图，在ABC 中，AB BC 5，AC=6.ECD 是ABC 沿
5、BC 方向平移得到的，连接 AE.AC 和 BE 相交于点 O.!.1判断四边形 ABCE 是怎样的四边形，说明理由；2如图，P 是线段 BC 上一动点不与点 B、C 重合，连接 PO 并延长交线段 AB 于点Q，QRBD，垂足为点 R.四边形 PQED 的面积是否随点 P 的运动而发生变化？假设变化，请说明理由；假设不变，求出四边形 PQED 的面积；当线段 BP 的长为何值时，PQR 与BOC相似？变式：如图，在 Rt ABC 中，A=90，AB=6，AC=8，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQ BC 于 Q，过点 Q 作 Q
6、R BA 交 AC 于 R，当点 Q 与点 C 重合时，点 P 停顿运动设 BQ=*，QR=y 1求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；2求 y 关于*的函数关系式不要求写出自变量的取值*围；3是否存在点 P，使 PQR 为等腰三角形？假设存在，请求出所有满足要求的*的值；假设不存在，请说明理由 类型二 结合坐标系的解析几何 例 1：如图，在平面直角坐标系中，A 0，6，B 8，0，P从 A 开场在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向 O 移，同时 Q 从 B 开场在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向 A移，设 P，Q 移的时间为 t s 当 t 为何值时，APQ 与AOB
7、？并求出此时 P 与 Q 的坐标 变式：如图，直线 l 的函数表达式为483y x，且 l 与 x轴，y轴分别交于A B，两点，动点Q从B点开场在线段BA上以每秒 2 个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开场在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，设点Q P，移动的时间为 t 秒 1求出点A B，的坐标；2当 t 为何值时，APQ 与 AOB 相似？3求出 2中当APQ 与 AOB 相似时，线段PQ所在直线的函数表达式 A B C D E R P H Q O P A Q B y*值时与以为顶点的三角形相似变式如图在中有一动点从沿移动到移动速度为单位秒有一动点从沿移动
8、到移动速度为单位秒问两动点同时移动多少时间时与相似例如图是边长为的等边三角形动点同时从两点出发分别沿匀速运动其中点 由设的面积为求与的函数关系式作交于点连结当为何值时变式如图在矩形中点分别从点三点同时出发沿矩形的边按逆时针方向移动点的速度均为点的速度为当点追上点即点与点重合时三个点随之停顿移动设移动开场后第秒时的面积 点的三角形与以点为顶点的三角形相似请说明理由例如图在梯形中梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动动同时从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒当时求的值试探究.!.例 2：如图，在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形，ACB=90，点
9、 A、C 的坐标分别为 A(-3,0)，C(1,0)，43ACBC,1求过点 A、B 的直线的函数表达式；2在*轴上找一点 D,连接 DB，使得ADB 与ABC 相似不包括全等，并求点 D 的坐标；3在 2的条件下，如 P、Q 分别是 AB 和 AD 上的动点，连接 PQ，设 AP=DQ=m，问是否存在这样的 m 使得APQ 与ADB 相似，如存在，请求出 m 的值；如不存在，请说明理由 变式：如图，在平面直角坐标系中，点(3 0)C，点A B，分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足23 1 0 OB OA 1求点 A，点 B 的坐标 2 假设点 P 从C点出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线CB
10、运动，连结 AP 设ABP 的面积为S，点 P 的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值*围 3在 2的条件下，是否存在点 P，使以点A B P，为顶点的三角形与AOB 相似？假设存在，请直接写出点 P 的坐标；假设不存在，请说明理由 例 3：如图直线 y=-*+10 与*轴、y 轴分别交于 A、B 两，P 从 A 开场在线段 AO 上以每秒 2 个长度单位的速度向原 O 运动 直线 EF 从*轴开场以每秒 1 个长度单位的速度向上平行移动 即EF*轴，并且分别与 y 轴、线段 AB 交于 E、F 当 A 运动到 O 时，直线 EF 随之停顿运动 连接 FP，设 P 与直线
11、EF 同时出发，运时间为 t 秒 1当 t=1 秒时，求APF 的面积；2设 t 的值分别取 t1、t2时 t1t2，所对应的三角形分别为AF1P1和AF2P2 试判断这两个三角形是否相似，请证明你的A C O B*y 值时与以为顶点的三角形相似变式如图在中有一动点从沿移动到移动速度为单位秒有一动点从沿移动到移动速度为单位秒问两动点同时移动多少时间时与相似例如图是边长为的等边三角形动点同时从两点出发分别沿匀速运动其中点 由设的面积为求与的函数关系式作交于点连结当为何值时变式如图在矩形中点分别从点三点同时出发沿矩形的边按逆时针方向移动点的速度均为点的速度为当点追上点即点与点重合时三个点随之停顿移
12、动设移动开场后第秒时的面积 点的三角形与以点为顶点的三角形相似请说明理由例如图在梯形中梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动动同时从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒当时求的值试探究.!.判断；变式：如图，A 的坐标为 1，1，点 C 是线段 OA 上的一个动点不运动至 O，A 两点，过 C 作 CD*轴，垂足为 D，以 CD 为边在右侧作正方形 CDEF 连接 AF 并延长交*轴的正半轴于 B，连接 OF，假设以 B，E，F 为顶的三角形与OFE 相似，那么 B 的坐标是 类型三 动态几何中的相似 例 1、在图 1 至图 3 中，直线 MN 与
13、线段 AB 相交于点 O，1=2=45 1如图 1，假设 AO=OB，请写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系；2将图 1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到图 2，其中 AO=OB 求证：AC=BD，ACBD；3将图 2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到图 3，求的值 变式：在 RtABC 中，ABC90，A30，点 P 在AC 上，且MPN90.当点 P 为线段 AC 的中点，点 M、N 分别在线段 AB、BC上时 如图 1，过点 P 作 PEAB 于点 E，PFBC 于点 F，可证 tPMEtPNF，得出 PN 3PM 不需证明 当 PC 2PA，点 M、N 分别在线段 A
14、B、BC 或其延长线上，如图 2、图 3 这两种情况时，请写出线段 PN、PM 之间的数量关系，并任选取一给予证明 例 2：等腰ABC，AB=AC=8，BAC=120，P 为 BC 的中点，小慧拿着含 30角的透明三角板，使 30角的顶点落在点 P，三角板绕 P 点旋转 1如图 a，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证：BPECFP；2操作：将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC于点 E、F 图 2 A D O B C 2 1 M N 图 1 A D B M N 1 2 图 3 A D O B C 2 1 M N O ACBD值时
15、与以为顶点的三角形相似变式如图在中有一动点从沿移动到移动速度为单位秒有一动点从沿移动到移动速度为单位秒问两动点同时移动多少时间时与相似例如图是边长为的等边三角形动点同时从两点出发分别沿匀速运动其中点 由设的面积为求与的函数关系式作交于点连结当为何值时变式如图在矩形中点分别从点三点同时出发沿矩形的边按逆时针方向移动点的速度均为点的速度为当点追上点即点与点重合时三个点随之停顿移动设移动开场后第秒时的面积 点的三角形与以点为顶点的三角形相似请说明理由例如图在梯形中梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动动同时从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒当时求的值
16、试探究.!.探究 1：BPE 与CFP 还相似吗？只需写出结论 探究 2：连接 EF，BPE 与PFE 是否相似？请说明理由；设 EF=m，EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S 作业练习：1.如图，四边形 ABCD 中，AD CD，DABACB90，过点 D 作 DEAC，垂足为F，DE 与 AB 相交于点 E.1求证：ABAFCBCD 2 AB 15cm，BC 9cm，P 是射线 DE 上的动点.设 DP*cm*0，四边形 BCDP 的面积为 ycm2.求 y 关于*的函数关系式；当*为何值时，PBC 的周长最小，并求出此时 y 的值.2.如下图，在 ABC 中，BA=BC=20
17、cm，AC=30cm，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，设运动时间为*.（1）当*为何值时，PQBC？（2）当31ABCBCQSS，求ABCBPQSS的值；3APQ 能否与 CQB 相似？假设能，求出 AP 的长；假设不能，请说明理由。3.直角坐标系中菱形 ABCD 的位置如图，C，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点 P，Q 分别从 A,C 同时出发，点 P 沿线段 AD 向终点 D 运动，点 Q 沿折线 CBA 向终点 A 运动，设运动时间为 t 秒.(1)填
18、空：菱形 ABCD 的边长是，面积是，高 BE 的长是；(2)探究以下问题：假设点 P 的速度为每秒 1个单位，点 Q 的速度为每秒 2个单位.当点 Q 在线段 BA 上时，求APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式，以及 S 的最大值.值时与以为顶点的三角形相似变式如图在中有一动点从沿移动到移动速度为单位秒有一动点从沿移动到移动速度为单位秒问两动点同时移动多少时间时与相似例如图是边长为的等边三角形动点同时从两点出发分别沿匀速运动其中点 由设的面积为求与的函数关系式作交于点连结当为何值时变式如图在矩形中点分别从点三点同时出发沿矩形的边按逆时针方向移动点的速度均为点的速度为当点追上点即点与点重
19、合时三个点随之停顿移动设移动开场后第秒时的面积 点的三角形与以点为顶点的三角形相似请说明理由例如图在梯形中梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动动同时从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒当时求的值试探究.!.假设点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度变为每秒 k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的 k 值，使得APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当 t=4 秒时的情形，并求出 k 的值.4将两块大小一样含 30角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边 AB 重合，直角边不重合，AB=8，BC=AD
20、=4，AC 与 BD 相交于点 E，连结 CD(1)填空：如图 1，AC=，BD=；四边形 ABCD 是梯形.(2)请写出图 1 中所有的相似三角形不含全等三角形.(3)如图 2，假设以 AB 所在直线为x轴，过点 A 垂直于 AB 的直线为 y 轴建立如图 2 的平面直角坐标系，保持 ABD 不动，将 ABC 向*轴的正方向平移到 FGH 的位置，FH 与 BD 相交于点 P，设 AF=t，FBP 面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值*围.4在直角坐标系中，点 A(5，0)关于原点 O 的对称点为 C 1请直接写出点 C 坐标；2假设点 B 在第一象限内，OAB=
21、OBA，并且点 B 关于原点 O 的对称点为 D：试判断四边形 ABCD 的形状；并说明理由；现有一动点 P 从 B 出发，沿路线 BAAD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动，另一动点 Q 从 A 点同时出发，沿 AC 方向以每秒 0.4 个单位长度的速度向终点 C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停顿运动 AB=6，设点 P、Q 运动时间为 t，在运动过程中，当 t 为何值时，PQAC？D C B A E 图 1 E D C H F G B A P y*图 2 O*y 值时与以为顶点的三角形相似变式如图在中有一动点从沿移动到移动速度为单位秒有一动点从沿移动到移动速度为单位秒问两动点同时移动多少时间时与相似例如图是边长为的等边三角形动点同时从两点出发分别沿匀速运动其中点 由设的面积为求与的函数关系式作交于点连结当为何值时变式如图在矩形中点分别从点三点同时出发沿矩形的边按逆时针方向移动点的速度均为点的速度为当点追上点即点与点重合时三个点随之停顿移动设移动开场后第秒时的面积 点的三角形与以点为顶点的三角形相似请说明理由例如图在梯形中梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动动同时从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒当时求的值试探究