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1、2016 年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题解析 戴又发（1）设函数)(xfy 在),(内连续，其导函数的图象如图所示，则 （A）函数)(xf有 2 个极值点，曲线)(xfy 有 2 个拐点（B）函数)(xf有 2 个极值点，曲线)(xfy 有 3 个拐点（C）函数)(xf有 3 个极值点，曲线)(xfy 有 1 个拐点（D）函数)(xf有 3 个极值点，曲线)(xfy 有 2 个拐点 解析：由导函数的图象得知导函数有 3 个不同零点，其中有一个是导函数图象与x轴的切点，不是函数)(xf的极值点，所以函数)(xf有 2 个极值点；又因为导函数有 2 个极值点，当然是曲线)(xfy 的拐点；
2、另外，导函数的图象还有 1 个间断点，导函数在该点左右两侧同号，而函数在该点处连续，所以该点也是曲线)(xfy 的 1 个拐点 故选（B）（2）已知函数yxeyxfx),(，则（A）函数0yxff O x y 欢迎下载 2（B）函数0yxff（C）函数fffyx（D）函数fffyx 解析：由yxeyxfx),(得 2)()(yxeeyxfxxx，2)(yxefxy 于是fyxeyxeeyxffxxxyx22)()()(，故选（D）（3）设)3,2,1(3idxdyyxJiDi，其中10,10),(1yxyxD，xyxyxD0,10),(2，1,10),(23yxxyxD，则（A）321JJJ
3、（B）213JJJ（C）132JJJ（D）312JJJ 解析：在平面坐标系中，312,DDD所表示的区域分别为：在区域21DD 上，xy，于是03 yx，即21JJ；在区域31DD 上，xy，于是03 yx，即31JJ；所以213JJJ，故选（B）O x y 1 1 D1 O x y 1 1 D2 O x y 1 1 D3 线函数函数有个极值点曲线有个极值点曲线函数有个极值点曲线有个拐点有个拐点有个拐点有个拐点解析由导函数的图象得知导函数有个不同零点其中有一个是导函数图象与轴的切点不是函数的极值点所以函数有个极值点又因为导续所以该点也是曲线故选的个拐点已知函数则函数欢迎下载函数函数函数解析由得
4、于是故选设其中则解析在平面坐标系中所表示的区域分别为在区域上于是即在区域上于是即所以故选欢迎下载级数为常数绝对收敛条件收敛发散收敛的是与相似与相似与相似与相似解析由与相似的定义存在可逆矩阵使得对于因为得所以与相似对于因为得所以与相似对于因为所以与相似故选的正负惯性指设二次型数分别为则或解析考虑用特殊值法当时其矩阵为由此求得特征值为 欢迎下载 3（4）级数)sin()111(1knnnn，（k为常数）（A）绝对收敛 （B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与k有关 解析：由11)1(1)sin()sin()111(nnnnnnknknnn 因为nnnnnnnnnnkn1)1(11)1(1)sin(所
5、以由正项级数的比较判别法，知该级数绝对收敛故选（A）（5）设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB 相似（D）1AA与1 BB相似 解析：由A与B相似的定义，存在可逆矩阵P，使得BAPP 1 对于（A），因为TTBAPP)(1得TTTTBPAP 1)(，所以TA与TB相似；对于（B），因为111)(BAPP得111BPAP，所以1A与1B相似；对于（D），因为111111)(BBPAPAPPPAAP，所以1AA与1 BB相似 故选（C）线函数函数有个极值点曲线有个极值点曲线函数有个极值点曲线有个拐点有个拐点有个拐点有个拐点
6、解析由导函数的图象得知导函数有个不同零点其中有一个是导函数图象与轴的切点不是函数的极值点所以函数有个极值点又因为导续所以该点也是曲线故选的个拐点已知函数则函数欢迎下载函数函数函数解析由得于是故选设其中则解析在平面坐标系中所表示的区域分别为在区域上于是即在区域上于是即所以故选欢迎下载级数为常数绝对收敛条件收敛发散收敛的是与相似与相似与相似与相似解析由与相似的定义存在可逆矩阵使得对于因为得所以与相似对于因为得所以与相似对于因为所以与相似故选的正负惯性指设二次型数分别为则或解析考虑用特殊值法当时其矩阵为由此求得特征值为 欢迎下载 4（6）设二次型313221232221321222)(),(xxxx
7、xxxxxaxxxf的正负惯性指数分别为 1,2，则（A）1a （B）2a（C）12a（D）1a或2a 解析：考虑用特殊值法当0a时，313221321222),(xxxxxxxxxf，其矩阵为011101110，由此求得特征值为1,1,2，满足正惯性指数为 1,负惯性指数为 2，即0a成立 故选（C）（7）设A,B为两个随机事件，且1)(0,1)(0BPAP，如果1)(BAP，则（A）1)(ABP （B）0)(BAP（C）1)(BAP（D）1)(ABP 解析：由1)(BAP知，)()(BPABP，)()(APBAP 1)(1)(1)(1)()()()(APBAPAPBAPAPBAPABP 故
8、选（A）线函数函数有个极值点曲线有个极值点曲线函数有个极值点曲线有个拐点有个拐点有个拐点有个拐点解析由导函数的图象得知导函数有个不同零点其中有一个是导函数图象与轴的切点不是函数的极值点所以函数有个极值点又因为导续所以该点也是曲线故选的个拐点已知函数则函数欢迎下载函数函数函数解析由得于是故选设其中则解析在平面坐标系中所表示的区域分别为在区域上于是即在区域上于是即所以故选欢迎下载级数为常数绝对收敛条件收敛发散收敛的是与相似与相似与相似与相似解析由与相似的定义存在可逆矩阵使得对于因为得所以与相似对于因为得所以与相似对于因为所以与相似故选的正负惯性指设二次型数分别为则或解析考虑用特殊值法当时其矩阵为由
9、此求得特征值为 欢迎下载 5（8）设随机变量X与Y互相独立，且)2,1(NX，)4,1(NY，则)(XYD（A）6 （B）8（C）14（D）15 解析：由随机变量X与Y互相独立，则 22222)()()()(EYEXEYEXXYEXYEXYD 222)()()(EYEXEYDYEXDX 14)11()14()12(222 故选（C）（9）已知函数)(xf满足2112sin)(1lim30 xxexxf，则)(lim0 xfx 解析：因为2112sin)(1lim30 xxexxf，用等价的无穷小替换，当0 x时，xex313，xxfxxf2sin)(2112sin)(1 于是有 232sin)
10、(21lim0 xxxfx，即23)(lim0 xfx 所以6)(lim0 xfx，答案 6（10）极限)sin2sin21(sin1lim2nnnnnnn 解析：由)sin2sin21(sin1lim2nnnnnnn 线函数函数有个极值点曲线有个极值点曲线函数有个极值点曲线有个拐点有个拐点有个拐点有个拐点解析由导函数的图象得知导函数有个不同零点其中有一个是导函数图象与轴的切点不是函数的极值点所以函数有个极值点又因为导续所以该点也是曲线故选的个拐点已知函数则函数欢迎下载函数函数函数解析由得于是故选设其中则解析在平面坐标系中所表示的区域分别为在区域上于是即在区域上于是即所以故选欢迎下载级数为常数
11、绝对收敛条件收敛发散收敛的是与相似与相似与相似与相似解析由与相似的定义存在可逆矩阵使得对于因为得所以与相似对于因为得所以与相似对于因为所以与相似故选的正负惯性指设二次型数分别为则或解析考虑用特殊值法当时其矩阵为由此求得特征值为 欢迎下载 6)sin2sin21sin1(1limnnnnnnnnnn 101010cos01coscossinxdxxxxxdxdxx 1cos1sin1sin1cos，答案1cos1sin （11）设函数),(vuf可微，)(xzz 由方程),()1(22yzxfxyzx确定，则)1,0(dz 解析：由),()1(22yzxfxyzx有1,0 yx时1z，dyyzx
12、fxdzdxyzxfxyzxxfydyzdxdzxvu),()(,(),(22)1(22将1,0 yx，1z代入，得dydxdz2 答案dydx2 （12）设11,1),(xyxyxD，则dxdyexDy22 解析：积分区域D如图，可得 dxdyexDy22100222yydxexdy 1022102103)(31013131322222ydeeydeydyeyyyyy 0131312yeeeee3313131312答案：)1(31e2 O x y 1 1 线函数函数有个极值点曲线有个极值点曲线函数有个极值点曲线有个拐点有个拐点有个拐点有个拐点解析由导函数的图象得知导函数有个不同零点其中有一个
13、是导函数图象与轴的切点不是函数的极值点所以函数有个极值点又因为导续所以该点也是曲线故选的个拐点已知函数则函数欢迎下载函数函数函数解析由得于是故选设其中则解析在平面坐标系中所表示的区域分别为在区域上于是即在区域上于是即所以故选欢迎下载级数为常数绝对收敛条件收敛发散收敛的是与相似与相似与相似与相似解析由与相似的定义存在可逆矩阵使得对于因为得所以与相似对于因为得所以与相似对于因为所以与相似故选的正负惯性指设二次型数分别为则或解析考虑用特殊值法当时其矩阵为由此求得特征值为 欢迎下载 7（13）行列式1234100010001 解析：1241001012310011234100010001 413101
14、21412310012 43243)2(23422 答案：432234 （14）设袋中有红、白、黑球各一个，从中有放回的取球，每次取一个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 4 的概率为 解析：若最后一次取到黑球后停止，则前三次只能取到红色球和白色球，且两种颜色都有 次取球，无论红白还是白红，概率都是91273，于是最后一次取到黑球后停止的概率为2723192，同理最后一次取到红球或白球后停止的概率都为272，所以取球次数恰好为 4 的概率为923272答案：92 线函数函数有个极值点曲线有个极值点曲线函数有个极值点曲线有个拐点有个拐点有个拐点有个拐点解析由导函数的图象得知导函数有
15、个不同零点其中有一个是导函数图象与轴的切点不是函数的极值点所以函数有个极值点又因为导续所以该点也是曲线故选的个拐点已知函数则函数欢迎下载函数函数函数解析由得于是故选设其中则解析在平面坐标系中所表示的区域分别为在区域上于是即在区域上于是即所以故选欢迎下载级数为常数绝对收敛条件收敛发散收敛的是与相似与相似与相似与相似解析由与相似的定义存在可逆矩阵使得对于因为得所以与相似对于因为得所以与相似对于因为所以与相似故选的正负惯性指设二次型数分别为则或解析考虑用特殊值法当时其矩阵为由此求得特征值为 欢迎下载 8（15）（本题满分 10 分）求极限 410)sin22(coslimxxxxx 解析：44344
16、241324224122x)x(o)!xx(x!xx0 xxxsinxxcos0 xx10 xelimelimxsinx)2x2(coslim4 31e （16）（本题满分 10 分）设某商品最大需求量为 1200 件，该商品的需求函数)(pQQ，需求弹性)0(120pp，p为单元价（万元）（）求需求函数的表达式；（）求100p万元时的边际收益，并说明其经济意义 解析：（）由弹性公式，可得ppdpdQQp120，分离变量，得120pdpQdQ 两边积分，得Cln)pln(Qln120，即)p(CQ120 因为最大需求量为 1200 件，所以12000)(Q，解得10C 故p)p(Q101200
17、12010（）收益2101200ppQpR，边际收益为1202101201200p)(p(dQdpdpdRdQdR 100p万元时的边际收益为80120200100pdQdR 其经济意义是：需求量每提高件，能增加收益万元 （17）（本题满分 10 分）设函数)0()(1022xdtxtxf，求)(xf 并求)(xf的最小值 线函数函数有个极值点曲线有个极值点曲线函数有个极值点曲线有个拐点有个拐点有个拐点有个拐点解析由导函数的图象得知导函数有个不同零点其中有一个是导函数图象与轴的切点不是函数的极值点所以函数有个极值点又因为导续所以该点也是曲线故选的个拐点已知函数则函数欢迎下载函数函数函数解析由得
18、于是故选设其中则解析在平面坐标系中所表示的区域分别为在区域上于是即在区域上于是即所以故选欢迎下载级数为常数绝对收敛条件收敛发散收敛的是与相似与相似与相似与相似解析由与相似的定义存在可逆矩阵使得对于因为得所以与相似对于因为得所以与相似对于因为所以与相似故选的正负惯性指设二次型数分别为则或解析考虑用特殊值法当时其矩阵为由此求得特征值为 欢迎下载 9 解析：对于 dtxt)x(f1022，当11x时，dt)xt(dt)tx()x(fxx221220，313423xx 当1x时，3122210 xdt)tx()x(f)x(f为偶函数，13134131232x,xxx,x)x(f 所以121024012
19、41222x,xx,xxx,xxx,x)x(f)x(f为偶函数，在),0上，10 x，0)(xf；1x，0)(xf；所以)x(f的最小值为323111)(f （18）（本题满分 10 分）设函数)(xf连续，且满足1)()()(00 xxxedttftxdttxf，求)(xf 解析：令txu，则duufudufdttxfxxx)()()()(000 于是有1000 xxxxedttf tdttfxduuf)()()(，两边对x求导，xxedttfxf)()(0，10)(f，再两边对x求导，xexfxf)()(，解这个微分方程，得223xxeexf)(线函数函数有个极值点曲线有个极值点曲线函数有
20、个极值点曲线有个拐点有个拐点有个拐点有个拐点解析由导函数的图象得知导函数有个不同零点其中有一个是导函数图象与轴的切点不是函数的极值点所以函数有个极值点又因为导续所以该点也是曲线故选的个拐点已知函数则函数欢迎下载函数函数函数解析由得于是故选设其中则解析在平面坐标系中所表示的区域分别为在区域上于是即在区域上于是即所以故选欢迎下载级数为常数绝对收敛条件收敛发散收敛的是与相似与相似与相似与相似解析由与相似的定义存在可逆矩阵使得对于因为得所以与相似对于因为得所以与相似对于因为所以与相似故选的正负惯性指设二次型数分别为则或解析考虑用特殊值法当时其矩阵为由此求得特征值为 欢迎下载 10（19）（本题满分 1
21、0 分）求幂级数022121nnnnx)(的收敛域及和函数 解析：令 022121nnnnxxS)()(，两边求导012122nnnxxS)(，两边再求导022122nnxxxS)(，两边积分，得CxxxS11ln)(，且00)(S，xxxS11ln)(再两边积分)ln()()ln()()(xxxxxS1111 易知，022121nnnnxxS)()(的收敛半径为 1，又11xx,时级数收敛，即其收敛域为,11，所以,),ln()()ln()()(111111xxxxxxS （20）（本题满分 11 分）设矩阵11101111aaaaA，2210a，且方程组Ax无解（）求a的值；（）求方程组T
22、TAAxA的通解 解析：（）由方程组Ax无解，知0A，由0011101111aaaaaA或2a 线函数函数有个极值点曲线有个极值点曲线函数有个极值点曲线有个拐点有个拐点有个拐点有个拐点解析由导函数的图象得知导函数有个不同零点其中有一个是导函数图象与轴的切点不是函数的极值点所以函数有个极值点又因为导续所以该点也是曲线故选的个拐点已知函数则函数欢迎下载函数函数函数解析由得于是故选设其中则解析在平面坐标系中所表示的区域分别为在区域上于是即在区域上于是即所以故选欢迎下载级数为常数绝对收敛条件收敛发散收敛的是与相似与相似与相似与相似解析由与相似的定义存在可逆矩阵使得对于因为得所以与相似对于因为得所以与相
23、似对于因为所以与相似故选的正负惯性指设二次型数分别为则或解析考虑用特殊值法当时其矩阵为由此求得特征值为 欢迎下载 11 由0a时，),()(ArAr而2a时，),()(ArAr，所以 0a（）当0a时，222222223AAT，221TA，于是021000110001221222222223),(TTAAA，所以，方程组TTAAxA的通解为021110kx，k为任意实数 （21）（本题满分 11 分）已知矩阵000032110A（）求99A；（）设3 阶矩阵),(321B满足BAB 2,记),(321100B，将321,分别表示为321,的线性组合 解析：（）由0 AE求得矩阵A的特征值为2,
24、1,0321，所以210A 分别就01、12、23，求得矩阵A属于1、2、3特征向量分别为：2231；0112；0213 线函数函数有个极值点曲线有个极值点曲线函数有个极值点曲线有个拐点有个拐点有个拐点有个拐点解析由导函数的图象得知导函数有个不同零点其中有一个是导函数图象与轴的切点不是函数的极值点所以函数有个极值点又因为导续所以该点也是曲线故选的个拐点已知函数则函数欢迎下载函数函数函数解析由得于是故选设其中则解析在平面坐标系中所表示的区域分别为在区域上于是即在区域上于是即所以故选欢迎下载级数为常数绝对收敛条件收敛发散收敛的是与相似与相似与相似与相似解析由与相似的定义存在可逆矩阵使得对于因为得所
25、以与相似对于因为得所以与相似对于因为所以与相似故选的正负惯性指设二次型数分别为则或解析考虑用特殊值法当时其矩阵为由此求得特征值为 欢迎下载 12 设002212113P，可知1PPA，于是19999PPA 求矩阵P的逆矩阵211121221001P，所以 19999PPA0022121139921021112122100 00022212222212299100100989999（）因为),(321B，由BAB 2,可得223BABAAABB，3224BAABB，99100BAB，所以，9932199321100),(),(ABAB 000222122222122),(991001009899
26、99321 于是，21001991)22()22(；21001992)21()21(；2991983)22()22(（22）（本题满分 11 分）设二维随机变量),(YX在区域线函数函数有个极值点曲线有个极值点曲线函数有个极值点曲线有个拐点有个拐点有个拐点有个拐点解析由导函数的图象得知导函数有个不同零点其中有一个是导函数图象与轴的切点不是函数的极值点所以函数有个极值点又因为导续所以该点也是曲线故选的个拐点已知函数则函数欢迎下载函数函数函数解析由得于是故选设其中则解析在平面坐标系中所表示的区域分别为在区域上于是即在区域上于是即所以故选欢迎下载级数为常数绝对收敛条件收敛发散收敛的是与相似与相似与相
27、似与相似解析由与相似的定义存在可逆矩阵使得对于因为得所以与相似对于因为得所以与相似对于因为所以与相似故选的正负惯性指设二次型数分别为则或解析考虑用特殊值法当时其矩阵为由此求得特征值为 欢迎下载 13 xyxxyxD2,10),(上服从均匀分布，令YXYXU.,0,1（）写出),(YX的概率密度；（）问U与X是否相互独立？并说明理由；（）求XUZ的分布函数)(zF 解析：（）先计算二维随机变量),(YX所在区域的面积，3101)3132()()(323101022xxdxxxdydxDsxx，而),(YX在D上服从均匀分布，所以),(YX的概率密度为 其他,0,3),(2xyxyxf（）因为21
28、2121,21XPUPXUP，所以U与X不相互独立 事实上12121,21,021,21XYXPXUPXUP，而2121YXPUP，2121XP，412121XPUP（）由)(zXUPzF 1 1 0 0UPUzXUPUPUzXUP ,1,YXzXPYXzXP 线函数函数有个极值点曲线有个极值点曲线函数有个极值点曲线有个拐点有个拐点有个拐点有个拐点解析由导函数的图象得知导函数有个不同零点其中有一个是导函数图象与轴的切点不是函数的极值点所以函数有个极值点又因为导续所以该点也是曲线故选的个拐点已知函数则函数欢迎下载函数函数函数解析由得于是故选设其中则解析在平面坐标系中所表示的区域分别为在区域上于是
29、即在区域上于是即所以故选欢迎下载级数为常数绝对收敛条件收敛发散收敛的是与相似与相似与相似与相似解析由与相似的定义存在可逆矩阵使得对于因为得所以与相似对于因为得所以与相似对于因为所以与相似故选的正负惯性指设二次型数分别为则或解析考虑用特殊值法当时其矩阵为由此求得特征值为 欢迎下载 14 其中1,2110,230,0,32zzzzzYXzXP；1,2121,)1(23)1(21,0,1223zzzzzYXzXP，Z的分布函数为2,121,)1(23)1(22110,230,0)(22332zzzzzzzzzF （23）（本题满分 11 分）设总体X的概率密度为其他,00,3),(32xxxf，其中
30、），（0为未知参数，321,XXX为来自总体X的简单随机样本，令),max(321XXXT （）求T的概率密度；（）确定a，使)(aTE 解析：（）因为321,XXX为来自总体X的简单随机样本，显然互相独立，于是T的分布函数为),max()(321tXXXPtFT 1tXP2tXP3tXP31)(tXP 当0t时，0)(tFT；线函数函数有个极值点曲线有个极值点曲线函数有个极值点曲线有个拐点有个拐点有个拐点有个拐点解析由导函数的图象得知导函数有个不同零点其中有一个是导函数图象与轴的切点不是函数的极值点所以函数有个极值点又因为导续所以该点也是曲线故选的个拐点已知函数则函数欢迎下载函数函数函数解析
31、由得于是故选设其中则解析在平面坐标系中所表示的区域分别为在区域上于是即在区域上于是即所以故选欢迎下载级数为常数绝对收敛条件收敛发散收敛的是与相似与相似与相似与相似解析由与相似的定义存在可逆矩阵使得对于因为得所以与相似对于因为得所以与相似对于因为所以与相似故选的正负惯性指设二次型数分别为则或解析考虑用特殊值法当时其矩阵为由此求得特征值为 欢迎下载 15 当 t0时，9930323)(tdxxtFtT；当t时，1)(tFT；所以T的概率密度为其他,00,9)(98tttfT（）由1099)()(098adtttaTaEaTE，所以910a 线函数函数有个极值点曲线有个极值点曲线函数有个极值点曲线有个拐点有个拐点有个拐点有个拐点解析由导函数的图象得知导函数有个不同零点其中有一个是导函数图象与轴的切点不是函数的极值点所以函数有个极值点又因为导续所以该点也是曲线故选的个拐点已知函数则函数欢迎下载函数函数函数解析由得于是故选设其中则解析在平面坐标系中所表示的区域分别为在区域上于是即在区域上于是即所以故选欢迎下载级数为常数绝对收敛条件收敛发散收敛的是与相似与相似与相似与相似解析由与相似的定义存在可逆矩阵使得对于因为得所以与相似对于因为得所以与相似对于因为所以与相似故选的正负惯性指设二次型数分别为则或解析考虑用特殊值法当时其矩阵为由此求得特征值为