2020年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析.pdf

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1、2020年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 数 学（二）试 题 解 析 一、选 择 题：1 8 小 题,每 小 题 4 分，共 32分.下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个 选 项 是 符 合 题 目 要 求 的，请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 的 位 置 上.（1）当 x f 0+时，下 列 无 穷 小 量 中 最 高 阶 的 是（）rx.2 f.v f-T fsin x-fl-co sx/(A)上(e-l)d t(B)ln(l+U W(C)sintdt(D)j Vsin3 tdt答 案：(D)解 析：(A)(J-

2、l)/)=1 一 1 Y；(B)4Vll1(1+劝)=E(1+而)值;(C)(sin t2d ty=sin(sinx)2 cosx-x2;(D)(J,y/sin3 td t)r=/sin3(l-c o s x)sinx x3|x|i（2）函 数/（=e*n|l+x|的 第 二 类 间 断 点 的 个 数（e f（x-2）)(A)1(B)2(C)3(D)4答 案：（C）解 析：间 断 点 为 一 1,0,1,2；limA-llimA-0exx ln|l+x|(，一 l)(x 2)ex ln|l+x|=0 0,故 其 为 第 二 类 无 穷 间 断 点;,故 其 为 第 一 类 间 断 点;(/l

3、)(x 2)2elim!一 匚=8,故 其 为 第 二 类 间 断 点;f+（e-l）（x 2）exl ln|l+x|lim-L=o o1 2(ex-l)(x-2)(A)T(B)f(0741(/D、)冗 O答 案：（A）解 析：令 arcsin=/,代 入 原 式 有：上 式 二 口-sin f co sr2sinrcosrJ/=.4(4)已 知/(x)=x2 1n(l-x)(2 3),贝 认 尸)(0)=()(C)-3(A)n.n-2答 案：（A）(B)nn-2(D)(H-2)!n n解 析：/(x)=x2 ln(l-x)=-x2c o n 1y.贝 4(o)=f!-=i n n-2(5)关

4、 于/(x,y)=0 y f 0(3)lim/(x,y)=0 x-0y f 0其 中 正 确 个 数 为（)(A)4(B)3(0 2(D)1答 案：（B）解 析：案（0.0）=（x）|户 0=1；（。,。尸 吧 力（。，0）l i m-=oo；y)T 0 ylim/(x,y)=0 x f 0),-0lirnlim/(x,y)=0从 而 正 确 的 命 题 有 3 个.设/（x）在 2,2 上 可 导，/（幻/（幻 0,则（）-得 春 卷.(D)答 案：（B）解 析：/(X)/(x)0,可 得 函 数 F(x)=e-xf x)单 调 递 增，Vxe-2,21,从 而 F(0)F(-l)=/(0)

5、/(-1.(7)四 阶 矩 阵 A不 可 逆，4 2 声，%，%，%为 人 的 列 向 量 组，则 A*x=0 的 通 解 为()(A)x=kxa 4-k2a2+k3a3(B)x=ka+k2a2+k3a4(C)x=+左 2a3+&%(D)x=+42a3+23a4答 案：(C)解 析：由 于 四 阶 矩 阵 A不 可 逆，Al 2声 0,故 厂(4)=3,从 而 有 4*)=1且 4 4=网 石=0,即 因，a2,av*就 是 A*x=O的 解，又 因 为 A2 H 0,故 可 以 由 囚，av 线 性 表 示，故 四，ay%线 性 无 关.故 正 确 答 案 为(0(8)A为 3 阶 矩 阵，

6、囚，%为 属 于 特 征 值 1 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量，%为 A的 属 于 T 的(、特 征 向 量，满 足 P-M P=-1 的 可 逆 阵?为()、b(A)(1+a3,a2,-a3)(B)(+a2,a2,-a3)(C)(因+%,一。3，a2)(j+a2,-a3,a2)答 案：(D)解 析：相 似 对 角 化 的 过 程 要 求 P 与 A中 的 特 征 值 有 对 应 关 系，从 而 由 特 征 向 量 的 性 质 可 知(D)为 正 确 选 项.二、填 空 题：9 14小 题,每 小 题 4 分，共 24分.请 将 答 案 写 作 答 题 纸 指 定 的 位 置 上.设

7、，则 今 L=_-y=ln(Z+J l+产)dx、1 _q=_耳,刍 1=一 也 t_ t3 d f gJ1+乙 答 案：-(10)d y-Jx3+dx=2 45/2-2答 案：-9解 析：交 换 积 分 次 序 有 d)j,-Jx3+dx-dxj：y/x3+dy-x2-Jx3+dx-(11)设 z=arctan 回+sin(x+y),则 y=(Cl+xC2)e-又 y(O)=O,y(O)=l可 得 G=O，G=1，故 丁=犬 0-”/*+3O/4-oOj y(x)dx=J xexdx-1a 0-1 1z_,0 a 1-1(14)行 列 式=.-1 1 a 01-1 0 a答 案：a*4cz*

8、a 0-1 1 1 1 1解 析：0,a1 1 n k+4(i=2,3,4)a0 a 1-1 1 a 0-1 1 a1-1 0。1-1 01 1 1 1 1 1 1 1?0 a 1-1 2 0 7 7八+r+r.a=a(a-4)2=0 2 a o 0 2 a 00 0 1 1 0 0 1 1三、解 答 题：15 23小 题，共 94分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、1 1 1 1 1-1,0 1-1r,+r.a0-1 1 fl 0a 0 0 1 1证 明 过 程 或 演 算 步 骤.(1 5)(本 题 满 分 10分)x+x求 曲 线 y=%F(x 0)的 斜 渐 近 线。答 案：y=-

9、x+e 2eX+x(X 丫*ln上 解 析：y=乂 上=xe X(xo)(i+x r U+%JV xa=lim=lim e 1+A,而 lim xln=-linx+x x x-+x)%-+o o+尤 X T 0+ln(l+x)xi.nX-|j-_1i.b=lim(xe,+x x)=lim-=e 1%-*饮 0*-()+x x-ln(l+x).1i-=-l,故。=一；x el ln(l+x)e x-1,.x-ln(l+x)1im-=e lim-=包 x 0+x 2e综 上，斜 渐 近 线 的 方 程 为 y=x+e 2e(1 6)(本 题 满 分 10分)设/(无)连 续，且=l,g(x)=5

10、Xf(x)1 rv-f l/也)du答 案：g(x)=J 厂.2解 析：设/(x)连 续，且 lim(0=l,J f d t,求 g(x)且 证 明 g(x)在 x=0 处 连 续.x w 0 x=0则/(o)=o,r(o)=if Xri P f(u)du令=,则 g(x)=:f(xt)dt=史-Jo Xff ri fu)du故 当 x#0 时，g，(x)=2_L2业 _.一 X x(x w O),工=0 时，g(0)=0；当 x=()时，g(O)=l i m=limX-0 X XT f(u)dx ix2 2从 而 产 A cxr，/、1.f(x)0 f d u f(x)f(u)duhm g(

11、x)=hm-=lim-hm xf0 xf 0 x x-0%xf o 1 7g=g，即 g(x)是 连 续 的.(17)(本 题 满 分 10分)求/(羽 正/+打 3 f 的 极 值.答 案：有 极 小 值 点(一,)，极 小 值 为-.6 12 216解 析：令=3厂-y=0 0且 A(),故(2,-!-)为 极 小 值 点，相 应 的 极 小 值 为-一.6 12 6 12 216(1 8)(本 题 满 分 10分)设/(幻 在(0,+o o)上 有 定 义，且 满 足 2/(%)+/=导 W 求 f(x)；(2)求 曲 线 y=/(x),y=g,y=以 及 y 轴 围 成 的 图 绕 x

12、 轴 旋 转 一 周 的 体 积;X T T答 案：(1)f(x),X G(0,+oo)(2)71+x2 6解 析：因 为 2/(幻+/仕=号 丝，所 以 d)+l/(x)=X J 71+x2 X X x j l+尤 2消 去/()可 得/(x)=xe(0,+oo)x Vl+x2(3)含 j 轴 绕 x 轴 的 模 型，利 用 公 式 计 算 如 下：6 叵 2V=2乃&2 yx(y)dy=2J j2,.dy=2%|Jsin2 tdt=2 2 Jl-y2 6 6(19)(本 题 满 分 10分)计 算 二 重 积 分 JJ 1X+y db,其 中 区 域。由 x=l,x=2,y=x 及 X 轴

13、 所 围 成.D X答 案：w 卜+ln(l+J)/2,2 n 2 A”1 q 开 解 析：ffW da=AdO dr=-4-d 0=-4sec3,x J。J*cos。2Jo 8 s 3。2Jo又 sec3 OdO-sec ft/tan=sec 6tan 0-f tan2 6sec 6d0-sec 6tan f sec3 6d0-sec 0dO故 jsec，ede=2sec 0 tan+ln|sec+tan 6|+C所 以，|psec3|x/2+ln(l+V2).(20)(本 题 满 分 1 分)已 知 fix)-1 e dt(1)证 明：e(1,2),使 得/=(2J)消(2)证 明：三(1

14、,2),使 得 2)=足 20 2证 明：(1)令 Fx=/(x)-(2-x)ex x e 1,2因 为 尸(x)在 1,2 上 连 续 且/=/(l)e=G F(2)=/(2)0,从 而 根 据 零 点 定 理 可 知 至(1,2)使 得 尸 0=。令 G(x)=/(2)lnx-ln2-/(x)x e 1,2因 为 G(x)在 1,2 上 连 续，在(1,2)内 可 导，且 G(l)=0=G(2),从 而 根 据 罗 尔 定 理 可 知m e(l,2)使 得 G()=0.即 ln2.e，=0,整 理 后 可 得 e(1,2),使 得 f(2)=n2-rj-e.(21)(本 题 满 分 11分

15、)已 知/(x)可 导，且/(x)0(x20).曲 线 y=/(x)过 原 点，点 M 为 曲 线=/0)上 的 任 一 点，过 点 M 的 切 线 与 x 轴 相 交 于 点 T,过 点 M 做 M P 垂 直 于 x 轴 于 点 P,且 曲 线 y=/(x)与 直 线 M P 以 及 x 轴 所 围 成 的 图 形 面 积 与 三 角 形 M T P 的 面 积 比 恒 为 3:2,求 曲 线 满 足 的 方 程.答 案：y=C?解 析：设 点 M(a,/(a),则 知 5即=等 器；曲 线 y=/(x)与 直 线 M P 以 及 x 轴 所 围 成 的 图 形 面 积 为 从 而 根 据

16、 题 意 有 且/3)=0；两 边 同 时 对 a 求 导 并 整 理 有 3fa)f(a)-2f2(a)=0 即 3y/-2/2=0又 令/=p,则 y=p 立，代 入 上 式 有 包=女，解 之 得 p=,将 y=回 代，再 解 dy dy 3y之 得 y=C?+,又 爪 0)=0,故 G=0,从 而 y=C?.(22)(本 题 满 分 11分)二 次 型/、(%,工 2，%3)=#+xi+xl+2叼 毛+2。毛 毛 经 可 逆 线 性 变 换 x=Py变 换 为 g(出，%)=立+4货+2yly2(1)求 a 的 值；(2)求 可 逆 矩 阵 P2343O（1 a cr解 析：二 次 型

17、/（%/2，不）的 矩 阵 A=。1 aa 1?又 g Q M,Z i Q y W+d y+Z y M E y+M y+d y,故 r（A）=2,故 4=_；.（3）/（%,工 2，工 3）=%；+X2+工；+勿+2时 工 3+%天 刍 令 1 1Z!=|-2-V3Z2=Y 2-X3)Z3=X3即 z2lZ3J_-210_ v2-117西）x2 可 化/=Z；+Z；;(100g(y，%，为)=X+货+今；+2y%=(y+%F+4y；4=M+2z2=2y2*3=%即 z210,00、02人 外,110/、y%综 上/马、1z2210_ n2-1170、0M、%00100110 2人 引（23）（

18、本 题 满 分 11分）设 A 为 2 阶 矩 阵，P=（a,A a）,其 中 c 是 非 零 向 量 且 不 是 A 的 特 征 向 量.（1）证 明 P 是 可 逆 阵;（2）若 A2g+A a 6a=0,求 p T,并 判 断 A 是 否 可 以 相 似 对 角 化.【详 解】(I)a 不 是 特 征 向 量 且 a#(),则 AawAa,即 Aa,a线 性 无 关,所 以 尸)=2,矩 阵 P 可 逆.(II)设 PTAP=3,则 AP=P 8,即 A(a,Aa)=(Aa,A2a)=(Aa,6a-Aa)所 以 pTAP=B=,则 A,X-6XE-B=(X+3XX-2)=O1 1-1 X+l 八%=-3,九 2=2，因 为 无 看 入 2,所 以 B 可 以 相 似 对 角 化，则 A 可 以 相 似 对 角 化.