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1、120172017 年高考理科数学试题及答案年高考理科数学试题及答案（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。目要求的。1已知集合 A=22(,)1x yxy，B=(,)x yyx，则 AB 中元素的个数为A3B2C1D02设复数 z 满足(1+i)z=2i，则z=A12B22C2D23某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016
2、 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为A-80B-40C40D805 已知双曲线 C：22221xyab(a0,b0)的一条渐近线方程为52yx,且与椭圆2221123xy有公共焦点，则 C 的方程为A221810 xyB22145xyC22154xyD22143xy6设函数 f(x)=cos(x+3)，则
3、下列结论错误的是Af(x)的一个周期为2By=f(x)的图像关于直线 x=83对称Cf(x+)的一个零点为 x=6Df(x)在(2,)单调递减7执行下面的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为A5B4C3D28已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为AB34C2D49等差数列 na的首项为 1，公差不为 0若 a2，a3，a6成等比数列，则 na前 6 项的和为A-24B-3C3D810已知椭圆 C：22221xyab，（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切
4、，则 C 的离心率为A63B33C23D1311已知函数211()2()xxf xxxa ee 有唯一零点，则 a=A12B13C12D112在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若AP=AB+AD，3则+的最大值为A3B22C5D2二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13若x，y满足约束条件y0200 xxyy，则z34xy的最小值为_14设等比数列 na满足 a1+a2=1,a1 a3=3，则 a4=_15设函数10()20 xxxf xx，则满足1()()12
5、f xf x的 x 的取值范围是_。16a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所称角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所称角的最小值为 60；其中正确的是_。（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121
6、题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考生都必须作答。第生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。17（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+3cosA=0，a=27,b=2（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC,求ABD 的面积18（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高
7、气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年4六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最
8、大值？19（12 分）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC的余弦值20（12 分）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2,0）的直线 l 交 C 与 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P（4，-2），求直线 l 与圆 M 的方程21（12 分）已知函数()f x=x1alnx（1）若()0f x，求 a 的值
9、；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，21111+1+)222n()(1)(m，求 m 的最小值（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。2222 选修选修 4 4-4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（1010 分）分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为2+,xtykt（t 为参数），直线 l2的参数方程为52,xmmmyk （为参数）设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C（1）写出 C
10、 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：(cos+sin)-2=0，M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径2323 选修选修 4 4-5 5：不等式选讲：不等式选讲（1010 分）分）已知函数 f（x）=x+1x2（1）求不等式 f（x）1 的解集；（2）若不等式 f（x）x2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围6参考答案参考答案一、选择题：一、选择题：1B2C3A4C5B6D7D8B9A10A11C12A11、【解析】由条件，211()2(ee)xxf xxxa，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(ee)4442(ee)2(ee)
11、xxxxxxfxxxaxxxaxxa (2)()fxf x，即1x 为()f x的对称轴，由题意，()f x有唯一零点，()f x的零点只能为1x，即21 11 1(1)12 1(ee)0fa ，解得12a 12、【解析】由题意，画出右图设BD与C切于点E，连接CE以A为原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴建立直角坐标系，则C点坐标为(2,1)|1CD，|2BC 22125BD BD切C于点ECEBDCE是RtBCD中斜边BD上的高12|2222|5|55BCDBCCDSECBDBD即C的半径为255P在C上P点的轨迹方程为224(2)(1)5xy设P点坐标00(,)xy，可以设出P点坐标
12、满足的参数方程如下：700225cos5215sin5xy 而00(,)APxy，(0,1)AB ，(2,0)AD(0,1)(2,0)(2,)APABAD 0151cos25x，0215sin5y 两式相加得：222515sin1cos552 552()()sin()552sin()3 (其中5sin5，2 5cos5)当且仅当2 2k，kZ时，取得最大值 3二、填空题：二、填空题：131148151,41616、【解析】由题意知，abAC、三条直线两两相互垂直，画出图形如图不妨设图中所示正方体边长为1，故|1AC，2AB，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为
13、圆心，1为半径的圆以C为坐标原点，以CD 为x轴正方向，CB 为y轴正方向，CA 为z轴正方向建立空间直角坐标系则(1,0,0)D，(0,0,1)A，直线a的方向单位向量(0,1,0)a，|1a B点起始坐标为(0,1,0)，直线b的方向单位向量(1,0,0)b，|1b 设B点在运动过程中的坐标(cos,sin,0)B，8其中为B C与CD的夹角，0,2)那么AB在运动过程中的向量(cos,sin,1)AB，|2AB 设AB与a所成夹角为0,2，则(cos,sin,1)(0,1,0)22cos|sin|0,22a AB 故,4 2，所以正确，错误设AB与b所成夹角为0,2，cos(cos,si
14、n,1)(1,0,0)2|cos|2AB bb ABb AB .当AB与a夹角为60时，即3，12sin2cos2cos232222cossin1，2|cos|221cos|cos|220,2=3，此时AB与b夹角为60正确，错误三、解答题：三、解答题：17（1）由sin3cos0AA得2sin03A，即3AkkZ，又0,A，3A，得23A.9由余弦定理2222cosabcbcA.又12 7,2,cos2abA 代入并整理得2125c，故4c.（2）2,2 7,4ACBCAB，由余弦定理2222 7cos27abcCab.ACAD，即ACD为直角三角形，则cosACCDC，得7CD.由勾股定理
15、223ADCDAC.又23A，则2326DAB，1sin326ABDSADAB.18易知需求量x可取200,300,50021612003035P X3623003035P X 257425003035P X.则分布列为：当200n时：642Ynn，此时max400Y，当200n 时取到.当200300n时：4122002200255Ynn 880026800555nnn此时max520Y，当300n 时取到.当300500n时，12220022002300230022555Ynnn 10320025n此时520Y.当500n时，易知Y一定小于的情况.综上所述：当300n 时，Y取到最大值为5
16、20.19取AC中点为O，连接BO，DO；ABC为等边三角形BOACABBCABBCBDBDABDDBC ABDCBD.ADCD,即ACD为等腰直角三角形，ADC为直角又O为底边AC中点DOAC令ABa，则ABACBCBDa易得：22ODa，32OBa222ODOBBD由勾股定理的逆定理可得2DOB即ODOBODACODOBACOBOACABCOBABC平面平面ODABC平面又ODADC平面由面面垂直的判定定理可得ADCABC平面平面由题意可知VVDACEBACE即B,D到平面ACE的距离相等即E为BD中点11以O为原点，OA 为x轴正方向，OB 为y轴正方向，OD为z轴正方向，设ACa，建立
17、空间直角坐标系，则0,0,0O，,0,02aA，0,0,2aD，30,02Ba，30,44aEa易得：3,244aaAEa ，,0,22aaAD，,0,02aOA 设平面AED的法向量为1n，平面AEC的法向量为2n，则1100AE nAD n ，解得13,1,3n 2200AE nOA n ，解得20,1,3n 若二面角DAEC为，易知为锐角，则12127cos7nnnn 20 显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意设:2l xmy，11(,)A x y，22(,)B xy，联立：222yxxmy得2240ymy，2416m 恒大于0，122yym，124y y 12(2)
18、(2)mymy21212(1)2()4my ym yy24(1)2(2)4mmm 0，即O在圆M上 若圆M过点P，则1212(4)(4)(2)(2)0 xxyy1212(2)(2)(2)(2)0mymyyy21212(1)(22)()80my ymyy化简得2210mm 解得12m 或112当12m 时，:240lxy圆心为00(,)Q xy，120122yyy，0019224xy，半径2291|42rOQ 则圆229185:()()4216Mxy当1m 时，:20l xy圆心为00(,)Q xy，12012yyy，0023xy，半径22|31rOQ则圆22:(3)(1)10Mxy21()1l
19、nf xxax，0 x 则()1axafxxx，且(1)0f当0a时，0fx，fx在0，上单调增，所以01x时，0fx，不满足题意；当0a 时，当0 xa时，()0fx，则()f x在(0,)a上单调递减；当xa时，()0fx，则()f x在(,)a 上单调递增若1a，()f x在(,1)a上单调递增当(,1)xa时()(1)0f xf矛盾若1a，()f x在(1,)a上单调递减当(1,)xa时()(1)0f xf矛盾若1a，()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增()(1)0f xf满足题意综上所述1a 当1a 时()1ln0f xxx 即ln1xx 则有ln(1)xx当且仅当
20、0 x 时等号成立11ln(1)22kk，*k N一方面：221111111ln(1)ln(1).ln(1).112222222nnn，即2111(1)(1).(1)e222n另一方面：223111111135(1)(1).(1)(1)(1)(1)222222264n13当3n时，2111(1)(1).(1)(2,e)222n*mN，2111(1)(1).(1)222nm，m的最小值为322 将参数方程转化为一般方程1:2lyk x21:2lyxk消k可得：224xy即P的轨迹方程为224xy；将参数方程转化为一般方程3:20lxy联立曲线C和3l22204xyxy解得3 2222xy 由co
21、ssinxy解得5即M的极半径是523|1|2|f xxx可等价为 3,121,123,2 xf xxxx.由 1f x 可得：当1x时显然不满足题意；当12x 时，211x，解得1x；当2x时，31f x恒成立.综上，1f x 的解集为|1x x.不等式 2 f xxxm等价为 2f xxxm，令 2g xf xxx，则 g xm解集非空只需要 maxg xm.14而 2223,131,123,2 xxxg xxxxxxx.当1x时，max131 15g xg ；当12x 时，2max3335312224g xg ；当2x时，2max22231g xg.综上，max54g x，故54m.20
22、17 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）选择填空答案解析1【答案】B【解析】A 表示圆221xy上的点的集合，B 表示直线yx上的点的集合，直线yx与圆221xy有两个交点，所以AB中元素的个数为 2.2.【答案】C【解析】2i 1 i2izi 1 i1 i1 i 1 i，所以z2.3.【答案】A【解析】根据折线图可知，2014 年 8 月到 9 月、2014 年 10 月到 11 月等月接待游客量都是减少，所以 A 错误.4【答案】C【解析】当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含23x y的项，即 23352Cxy，当第一个括号内取y 时，第 二 个 括 号 内 要 取 含32x y
23、的 项，即 32252Cxy，所 以33x y的 系 数 为23325522108440CC.155【答案】B【解析】根据双曲线 C 的渐近线方程为52yx，可知52ba，又椭圆221123xy的焦点坐标为（3，0）和（3，0）,所以229ab，根据可知224,5ab,所以选 B.6【答案】D【解析】根据函数解析式可知函数 fx的最小正周期为2,所以函数的一个周期为2，A 正确；当8,333xx，所以cos13 x，所以 B 正确；4coscos33f xxx，当6x时，4332x，所以0fx，所以 C 正确；函数 cos3f xx在（2，23）上单调递减；（23，）上单调递增，故 D 不正确
24、.所以选 D.7【答案】D【解析】0100100102,100 91100 1090,13SMtSMt，；，,9091，输出S，此时，3t 不满足tN，所以输入的正整数N的最小值为 2，故选 D.8【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r，则22213=1=24r，所以，圆柱的体积33=1=44V，故选 B.9【答案】A【解 析】设 等 差 数 列na的 公 差 为d，因 为236,a a a成 等 比 数 列，所 以2263a aa，即211152adadad，又11a，所以220dd，又0,d 则2d ，所以6159aad，所以na的前 6 项的和61 96242S，故选 A.10【答案】A
25、以线段12A A为直径的圆的方程为222xya，由原点到直线20bxayab的距离222abdaba，得223ab，所以 C 的离心率22613bea.1611【答案】C【解析】由 2112xxf xxxa ee，得22121211211222 24422xxxxxxfxxxa eexxxa eexxa ee，所以 2fxf x，即1x 为 fx图像的对称轴.由题意 fx有唯一零点，所以 fx的零点只能为1x，即 21 11 1112 10fa ee ，解得12a.故选 C.12【答案】A【解析】以 A 为坐标原点，ABAD，所在直线分别为 x，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A（0，
26、0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），可得直线BD的方程为220 xy，点 C 到直线BD的距离为2222512，圆 C：224125xy，因为P在圆 C 上，所以 P（2 51cos5，2 52sin5）(1,0)AB ，(0,2)AD，(,2)APABAD ，所以2 51cos52 52sin25 2 552cossin2 sin355 ，tan2，选 A.13【答案】1【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线:340lxy，平移直线l，当直线34zxy经过点A（1，1）时，z取得最小值，最小值为341.1714【答案】8【解析】设等比数列 na的公比为q，则
27、121(1)1aaaq，2131(1)3aaaq，两式相除，得21113qq，解得12,1qa，所以3418a a q.15【答案】1（-，+）4【解析】当0 x，()=21xf x恒成立，当102x，即12x 时，121()=212xf x，当102x，即102x 时，111()=222f xx，则不等式1()()12f xf x恒成立.当0 x 时，113()()121222 f xf xxxx，所以104x.综上所述，x的取值范围是（14，）.16【答案】【解析】由题意知，,a b AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图.不妨设图中所示正方体的棱长为 1，则1,2ACAB，斜边AB以直线
28、AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，l为半径的圆.以C为坐标原点，以CD 的方向为x轴正方向，CB 方向为y轴正方向，CA 的方向为z轴正方向建立空间18直角坐标系.则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的单位方向向量(0,1,0),1.aaB点起始坐标为（0，1，0），直线b的单位方向向量b(1,0,0),1.b设B点在运动过程中的坐标B(cos,sin,0)，其中为CB与CD 的夹角，0,2).那么AB在运动过程中的向量(cos,sin,1),2ABAB .设直线AB与a所成的夹角为0,2,(cos,sin,1)(0,1,0)22cossin0,22a AB 故,4 2 所以正确，错误.设直线AB与b所成的夹角为，则0,2,bcosABb AB (cos,sin,1)(1,0,0)b AB 2=cos.2当AB与a成60角时，=3，12sin=2cos=2cos=2=.322因为22sin+cos=1,所以2cos=.219所以21cos=cos=.22因为0,2,所以=3，此时AB与b成60角.所以正确，错误.