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1、辽宁省阜新市辽宁省阜新市 2021 年中考数学试题年中考数学试题一、选择题（在每一个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题一、选择题（在每一个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题 3 分，共分，共 30 分分）1.计算：31，其结果等于（）A.2B.2C.4D.4【答案】A【解析】【分析】根据有理数的加减运算即可求解【详解】31=2故选 A【点睛】此题主要考查有理数的加法运算，解题的关键是熟知其运算法则2.一个几何体如图所示，它的左视图是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据左视图的定义即可求解【详解】由图可知左视图是故选 B【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题
2、的关键是熟知左视图的定义3.在庆祝中国共产党成立 100 周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15 个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）取前 7 名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这 15 个参赛班级成绩的（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差【答案】B【解析】【分析】由于比赛取前 7 名参加决赛，共有 15 名选手参加，根据中位数的意义分析即可【详解】解：15 个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之后的共有 7 个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了故选：B【点睛】本题考查了中位数意义解题的关键是正确的求出这组数据的中位数
3、4.不等式组22413xx 的解集，在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集，从而可以解答本题【详解】解：22413xx，由得：1x ，由得：2x，故原不等式组的解集为：2x，故选：C【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确解不等式组的方法5.已知点11,A x y，22,B xy都在反比例函数1yx 的图象上，且120 xx，则1y，2y的关系是（）A.12yyB.12yyC.120yyD.120yy【答案】A【解析】【分析】先判断两个点是否在同一象限内，然后根据反比例函数的增减性
4、解答即可【详解】点11,A x y，22,B xy都在反比例函数1yx 的图象上，10k ，图象位于第二、四象限内，且y随x增大而增大，120 xx，点B在第四象限，点A在第二象限，210yy，故选：A【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质，并会用数形结合的思想解决问题6.小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（）A.12B.23C.16D.56【答案】C【解析】【分析】利用列表法或树状图即可解决【详解】分别用 r、b 代表红色帽子、黑色帽子，用
5、R、B、W 分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，列表如下：RBWrrRrBrWbbRbBbW则所有可能的结果数为 6 种，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为 1 种，根据概率公式，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是16故选：C【点睛】本题考查了简单事件的概率，常用列表法或画树状图来求解7.如图，A，B，C 是O 上的三点，若70O，则C的度数是（）A.40B.35C.30D.25【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理即可求解【详解】70O，C=1235O故选 B【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理的性质8.在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每
6、年 100 万字增加到九年级的每年 121万字设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为 x，根据题意，所列方程正确的是（）A.2100(1)121xB.100 2(1)121xC.100(1 2)121xD.2100(1)100(1)121xx【答案】A【解析】【分析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为 x，根据从七年级的每年 100 万字增加到九年级的每年121 万字，即可得出关于 x 的一元二次方程【详解】解：该校七至九年级人均阅读量年均增长率为 x，依题意得：2100(1)121x故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键9.如图，二次
7、函数2(2)ya xk的图象与 x 轴交于 A，,1 0B两点，则下列说法正确的是（）A.0a B.点 A 的坐标为4,0C.当0 x 时，y 随 x的增大而减小D.图象的对称轴为直线2x 【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断【详解】由图可得开口向上，故 a0，A 错误；解析式为2(2)ya xk，故对称轴为直线 x=-2，D 正确,1 0BA 点坐标为（-3，0），故 B 错误；由图可知当2x 时，y 随 x的增大而减小，故 C 错误；故选 D【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点10.如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在
8、0,2将弓形沿 x 轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2021时，圆心的横坐标是（）A.2020B.10102020C.2021D.10112020【答案】D【解析】【分析】求出一个周期圆心走的路程，即可求出圆心经过的路径长为2021时圆心的位置，故可求解【详解】如图，圆心在0,2，可得 r=2OA=124r，AB=2r=4，BC=124r，12OOl=124r=23O Ol一个周期圆心经过的路径长为 OA+1223OOO Oll+BC=4，C（4+2，0），故当圆心经过的路径长为2021时，20214=5051圆心的横坐标是 505（4+2）+=10112020故选 D【点睛】此题主要
9、考查弧与坐标综合，解题的关键是根据题意求出一个周期圆心经过的路径长二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分）11.计算：1192_【答案】1【解析】【分析】直接计算求解即可【详解】解：1193212故答案为：1【点睛】本题考查了二次根式的化简，负指数幂的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键12.如图，直线/ABCD，一块含有 30角的直角三角尺顶点 E 位于直线 CD 上，EG 平分CEF，则1的度数为_【答案】60【解析】【分析】根据角平分线的定义可求出CEG的度数，即可得到CEF的度数，再利用平行线的性质即可解决问题【详解】一块含有 30角的直角三角尺顶点 E 位
10、于直线 CD 上，30FEG，EG平分CEF，30CEGFEG，60CEFCEGFEG，/ABCD，160CEF 故答案为：60【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型13.如图，已知每个小方格的边长均为 1，则ABC与CDE的周长比为_【答案】2:1【解析】【分析】设AF、DG分别与BE交于点F、G，则/AFDG，可得到FAGCDG，在网格图中，利 用 锐 角 三 角 函 数 值 得 到BAFEDG，继 而BAGCDE，可 得 到/ABDE，证 得ABCDEC，然后分别求出AB、DE，即可解答【详解】如图，设AF、DG分别与BE交于点F、G
11、，则/AFDG，FAGCDG,21tan42BAF，1tan2EDG，BAFEDG，BAGCDE，/ABDE，ABCDEC，由图可知：22242 5AB，22125DE:2 5:52:1ABDE，即ABC与CDE的相似比为2:1，ABC与CDE的周长比为2:1故答案为：2:1【点睛】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比14.如图，甲楼高 21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是 45，看乙楼底的俯角是 30，则乙楼高度约为_m（结果精确到 1m，31.7）【答案】57【解析】【分析】根据题意画出下图：ABBC，DCBC，垂足分别为点B、点C，21ABm，4
12、5DAE，30CAE，AECD，垂足为点E，可得四边形ABCE是矩形，继而得到21CEAB，在RtACE中，可求出AE，然后在RtADE中，求出DE，即可求解【详解】解：根据题意画出下图：ABBC，DCBC，垂足分别为点B、点C，21ABm，45DAE，30CAE，AECD，垂足为点E，ABBC，DCBC，AECD，90ABCBCEAEC ，四边形ABCE是矩形，21CEAB，在RtACE中，212121 3tantan 3033CEAECAE，在RtADE中，tan 4521 3DEAE，21 32157CDDECEm，即乙楼高度约为 57m【点睛】本题主要考查了直角三角形的应用中仰角俯角问
13、题，解题的关键是明确题意构造直角三角形，并结合利用锐角三角函数解直角三角形15.如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 B 的对应点 E 落在 CD 边上，GH 为折痕，已知6AB，10BC 当折痕 GH 最长时，线段 BH 的长为_【答案】345（或 6.8）【解析】【分析】根据题意确定点 E 与点 D 重合时，折痕 GH 最长，根据翻折变换的性质得出HEBH，设HCx，则10,BHDHx在Rt CHD中根据勾股定理列出方程，解方程即可，再用BCCH即可求出答案【详解】当点 E 与点 D 重合时，GH 最长，如图所示，由折叠可知：,BHHD设HCx，则10,BHDHx四边形 ABCD 为矩形，9
14、0,6,CABCD在Rt CHD中，222,CHCDDH2226(10)xx，解得：3.2,x 34103.2,5BHBCCH故填：345（或 6.8）【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，解题关键是确定折痕最长时 E 点的位置，根据题意列出方程求解16.育红学校七年级学生步行到郊外旅行七（1）班出发 1h 后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离 s（km）与七（2）班行进时间 t（h）的函数关系图象如图所示若已知联络
15、员用了2h3第一次返回到自己班级，则七（2）班需要_ h才能追上七（1）班【答案】2【解析】【分析】分析题目可知，当七（2）班出发时，七（1）班出发 1 小时，已经走了 4km，即七（1）班的速度为4,km h图中1(,0)2表示联络员追上七（1）班，用时12h，可以算出联络员与七（1）班的速度差8,km h那么联络员的速度为12,km h联络员用了2h3第一次返回到自己班级七（2）班，即联络员用12h走的路程等于七（2）班23h走的路程与联络员16h走的路程之和，据此列出方程，求出七（2）班的速度，即可计算出追上七（1）班所需时间【详解】解：由题意得：七（1）班的速度为：4 14,km h
16、联络员与七（1）班的速度差为：148,2km h即联络员的速度为：8412,km h当七（2）班出发23h时，联络员用12h走的路程等于七（2）班23h走的路程与联络员21()32h走的路程之和，设七（2）班的速度为,vkm h列出方程：1221124()2332v g，解得：6,v 即七（2）班的速度为6km h，则七（2）班追上七（1）班需要的时间为：4(64)2,h故填：2【点睛】本题考查从函数图像获取信息，解题关键是由图像给出的信息，结合实际问题，求出两个班级的速度三、解答题（三、解答题（17、18、19、20 题每题题每题 8 分，分，21、22 题每题题每题 10 分，共分，共 5
17、2 分）分）17.先化简，再求值：21221121xxxxx，其中21x【答案】11xx，21【解析】【分析】分式算式中有加法和除法两种运算，且有括号，按照运算顺序，先算括号里的加法，再算除法，最后代入计算即可【详解】原式211221121xxxxxxx222(1)1(1)xxx22(1)1 2(1)xxx11xx当21x 时，原式21 1222121 12 【点睛】本题是分式的化简求值题，考查了二次根式的混合运算，二次根式的除法等知识，化简时要注意运算顺序，求值时，最后结果的分母中不允许含有二次根式18.下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整（1）三角形在平面直角坐标系中
18、的位置如图 1 所示，简称 G，G 关于 y 轴的对称图形为1G，关于x轴的对称图形为2G则将图形1G绕_点顺时针旋转_度，可以得到图形2G（2）在图 2 中分别画出G 关于 y 轴和直线1yx的对称图形1G，2G将图形1G绕_点（用坐标表示）顺时针旋转_度，可以得到图形2G（3）综上，如图 3，直线1:22lyx 和2:lyx所夹锐角为，如果图形 G 关于直线1l的对称图形为1G，关于直线2l的对称图形为2G，那么将图形1G绕_点（用坐标表示）顺时针旋转_度（用表示），可以得到图形2G【答案】（1）O，180；（2）图见解析，0,1，90；（3）2 2,3 3，2【解析】【分析】（1）根据图
19、形可以直接得到答案；（2）根据题意画出图形，观察图形，利用图形旋转的性质得到结论；（3）从（1）（2）问的结论中得到解题的规律，求出两个函数的交点坐标，即可得出答案【详解】解：（1）由图象可得，图形1G与图形2G关于原点成中心对称，则将图形1G绕 O 点顺时针旋转 180 度，可以得到图形2G；故答案为：O，180；（2）1G，2G如图；由图形可得，将图形1G绕0,1点（用坐标表示）顺时针旋转 90 度，可以得到图形2G，故答案为：0,1，90；（3）当 G 关于 y 轴的对称图形为1G，关于x轴的对称图形为2G时，1G与2G关于原点（0,0）对称，即图形1G绕 O 点顺时针旋转 180 度，
20、可以得到图形2G；当 G 关于 y 轴和直线1yx的对称图形1G，2G时，图形1G绕0,1点（用坐标表示）顺时针旋转 90 度，可以得到图形2G，点（0,1）为直线1yx与 y 轴的交点，90 度角为直线1yx与 y 轴夹角的两倍；又直线1:22lyx 和2:lyx的交点为2 2,3 3，夹角为，当直线1:22lyx 和2:lyx所夹锐角为，图形 G 关于直线1l的对称图形为1G，关于直线2l的对称图形为2G，那么将图形1G绕2 2,3 3点（用坐标表示）顺时针旋转2度（用表示），可以得到图形2G故答案为：2 2,3 3，2【点睛】本题主要考查了图形的对称性与旋转的性质，关键在于根据题意正确的
21、画出图形，得出规律19.育红学校为了了解学生家长对教育部关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知（以下简称通知）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为 A（十分了解），B（了解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项在对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：（1）参与这次学校调查的学生家长共_人；（2）通过计算将条形统计图补充完整；（3）若该校共有 2000 名学生家长，请估计该校学生家长中对通知“十分了解”和“了解较多”的一共约有多少人？【答案】（1）150；（2）见解析
22、；（3）1120 人【解析】【分析】（1）观察两幅统计图中 A 分别是 30 人，其所占的百分比为 20%，则可求得参与这次学校调查的学生家长总人数；（2）在求得了参与调查的学生家长总人数的情况下，根据 A、B、D 的人数，即可求得 C 的人数，从而可把条形统计图补充完整；（3）可求得该校参与调查的学生家长中对通知“十分了解”和“了解较多”的百分比，用此百分比作为该校学生家长中对通知“十分了解”和“了解较多”的百分比，其与 2000 的积便是所求的结果【详解】解：（1）由条形统计图知，A 所占的人数为 30 人，由扇形统计图知，A 所占的百分比为 20%，所以参与这次学校调查的学生家长共有：3
23、020%=150（人）故答案为：150；（2）C 选项人数为：15030542442（人）补充条形统计图如下图所示（3）305420001120150（人）所以估计该校学生家长中对通知“十分了解”和“了解较多”的一共约有 1120 人【点睛】本题综合考查了两种统计图：条形统计图和扇形统计图，用样本的百分比估计总体的百分比，关键是读懂两个统计图，并能从统计图中获取有用的信息20.为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的 1.5 倍，乙公司安装 36 间教室比甲公司安装同样数量的教室多用 3 天（1）
24、求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？（2）已知甲公司安装费每天 1000 元，乙公司安装费每天 500 元，现需安装教室 120 间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过 18000 元，则最多安排甲公司工作多少天？【答案】（1）甲公司每天安装 6 间教室，乙公司每天安装 4 间教室；（2）12 天【解析】【分析】（1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，根据题意列出分式方程，故可求解；（2）设安排甲公司工作 y 天，则乙公司工作12064y天，根据题意列出不等式，故可求解【详解】解：（1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，根据题意，得3636
25、31.5xx解这个方程，得4x 经检验，4x 是所列方程的根1.51.5 46x（间），所以，甲公司每天安装 6 间教室，乙公司每天安装 4 间教室（2）设安排甲公司工作 y 天，则乙公司工作12064y天，根据题意，得12061000500180004yy解这个不等式，得12y 所以，最多安排甲公司工作 12 天【点睛】此题主要考查分式方程与不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解21.在图 1 中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是直线 AB，BC 上的点（E，F 在直线 AC
26、的两侧），且AECF（1）如图 2，求证：DEDF；（2）若直线 AC 与 EF 相交于点 G，如图 3，求证：DGEF；（3）设正方形 ABCD 的中心为 O，CFE，用含的式子表示DGO的度数（不必证明）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DGO=+45或DGO=-45或DGO=45-【解析】【分析】（1）四边形 ABCD 是正方形，ADCD，CDAB，又知道AECF，可得到DAEDCF即可求解；（2）作/EH BC交 AC 于点 H,则EHGFCG,知道四边形 ABCD 是正方形可得ABBC，90B推出BACBCA，/EH BC，AHEACB，BAHAHE，AEEH，得到AECF，
27、EHCF，又知道EGHFGC 得到EHGFCG即可求解（3）分三种情况点 E 在线段 AB 上、点 E 在线段 BA 的延长线上、点 E 在线段 AB 的延长线上，逐一进行讨论即可求解【详解】解：（1）四边形 ABCD 是正方形，ADCD，90CDAB90 DAEC又AECF，DAEDCFDEDF（2）（解法一）作/EH BC交 AC 于点 H，如图 1则EHGFCG 图 1四边形 ABCD 是正方形，ABBC，90B45BACBCA/EH BC，45AHEACBBAHAHEAEEHAECF，EHCF又EGHFGC，EHGFCGEGGF由（1）同理可得DEDF，DGEF（解法二）作/EH BC
28、交 AC 于点 H，如图 2图 2四边形 ABCD 是正方形，ABBC，90B45BACBCA，/EH BC，45AHEACB BAHAHEEAEH又AECF，EHCF连接 CE，FH 又/EH CF四边形 CEHF 是平行四边形EGGF由（1）同理可得DEDF，DGEF（3）解：当点 E 在线段 AB 上时，四边形 ABCD 是正方形，BCD=ADC=90，ACD=45，DAEDCF，ADE=CDF，ADE+EDC=ADC=90，EDC+CDF=90，即EDF=90，DE=DF，DGEF，GDF=2=45，1=45-3，BCD=90，3+2+CFE=90，3=90-45-=45-，1=45-
29、3=，DGO=ACD+1，DGO=+45；当点 E 在线段 BA 的延长线上时，四边形 ABCD 是正方形，BCD=ADC=90，BDC=45，DAEDCF，ADE=CDF，ADF+CDF=ADC=90，EDA+ADF=90，即EDF=90，DE=DF，DGEF，GDF=GFD=BDC=45，1=2，BCD=90，3+2=90，3=CFE-GFD=-45，2=90-+45=135-，1=2=135-，DGO=90-1=-45；当点 E 在线段 AB 的延长线上时，四边形 ABCD 是正方形，ABCD，ACD=45，ABC=ADC=90，DAEDCF，ADE=CDF，ADE+EDC=ADC=90
30、，EDC+CDF=90，即EDF=90，2=3，DE=DF，DGEF，GDE=DEG=45，1+3=45，ABC=90，CFE+2+DEG=90，CFE-2=45，CFE=1=，DGO+1=ACD=45，DGO=45-综上：DGO=+45或DGO=-45或DGO=45-【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质得 DE=DF，利用等腰直角三角形的性质求解22.在平面直角坐标系中，抛物线23yaxbx交 x 轴于点(1,0)A，(3,0)B，过点 B 的直线223yx交抛物线于点 C（1）求该
31、抛物线的函数表达式；（2）若点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点（P 不与点 B，C 重合），求PBC面积的最大值；（3）若点 M 在抛物线上，将线段 OM 绕点 O 旋转 90，得到线段 ON，是否存在点 M，使点 N 恰好落在直线 BC 上？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【答 案】（1）223yxx；（2）12527；（3）存 在，(0,3)或197 21 3 97,48或197 21 3 97,48或115,24【解析】【分析】（1）将 A、B 两点的坐标分别代入抛物线的解析式中，得关于 a、b 的二元一次方程组，解方程组即可求得 a、b，从而可求得抛物线
32、的函数解析式；（2）过点 P 作/PDy轴，交 x 轴于点 D，交 BC 于点 E，作CFPD于点 F，连接 PB，PC，则有PBCPEBPECSSS，设2,23P m mm，则可得 E 点坐标，从而可分别求得 PE、DE，从而求得PE，解由二次函数与一次函数组成的方程组，可求得点 C 的坐标，进而求得PBC 的面积关于 m 的函数，求出函数的最值即可；（3）设点 M 的坐标为(p,q)，分别求出直线 OM、ON 的解析式，再求得 ON 与直线223yx的交点 N 的坐标，根据 OM=ON，即可求出 p 与 q 的值，从而求得点 M 的坐标【详解】（1）将点1,0A，3,0B代入23yaxbx
33、中，得：030933abab解得12ab 该抛物线表达式为223yxx（2）过点 P 作/PDy轴，交 x 轴于点 D，交 BC 于点 E，作CFPD于点 F，连接 PB，PC，如图设点2,23P m mm，则点2,23E mm点 P、E 均位于直线223yx的下方P、E 两点的纵坐标均为负223+PEmm+，223DEm 222323PEPDDEmmm 2813mm 点 C 的坐标为方程组223223yxxyx的一个解解这个方程组，得13x，213x 点 B 坐标为3,0点 C 的横坐标为13110333BDCF PBCPEBPECSSS1122PE BDPE CF1()2PE BDCF21
34、8101233mm2541253327m （其中133m）503这个二次函数有最大值，且当43m 时，PBCS的最大值为12527（3）存在设 M(p,q)，其中223qpp，且 p0，则直线 OM 的解析式为：qyxp由于 ONOM，则直线 ON 的解析式为：pyxq 解方程组223pyxqyx，得623qxqp，623pyqp 即点 N 的坐标为66,2323qpqpqp2222226636()2+32+3(23)qppqONqpqpqp 222OMpq，且 OM=ON2222236()(23)pqpqqp2(23)36qp即236qp或236qp 把223qpp代入两式中并整理，得：22
35、120pp或220pp解方程得：11974p，21+974p，312p，40p(舍去)当11974p时，121 3 978q；当21+974p 时，221 3 978q；当312p 时，3154q 故点 M 的坐标分别为：197 21 3 97,48或197 21 3 97,48或115,24当 p=0 时，则 q=3，即 M(0,3)，而(3,0)B，且 OMOB即此时点 M 也满足题意综上所述，满足题意的点 M 的坐标为(0,3)或197 21 3 97,48或197 21 3 97,48或115,24【点睛】本题是二次函数的压轴题，也是中考常考题型，它考查了待定系数法求二次数解析式，二次函数的图象，求二次函数的最值，平面直角坐标系中图象旋转问题，解方程组，勾股定理等知识，运算量较大，这对学生的运算能力提出了更高的要求；求三角形面积时用到图形的割补方法，这是在平面直角坐标系中求图象面积常用的方法