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1、-1-绝密绝密本科目考试启用前本科目考试启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学数学本试卷共本试卷共 5 页页，150 分分，考试时长考试时长 120 分钟分钟考试务必将答案答在答题卡上考试务必将答案答在答题卡上，在试在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题第一部分（选择题共共 40 分）分）一、选择题一、选择题 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项符合题目要
2、求的一项1.已知集合 1,0,1,2A ，|03Bxx，则AB（）A.1,0,1B.0,1C.1,1,2D.1,2【答案】D【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】1,0,1,2(0,3)1,2AB II，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则iz（）A.1 2iB.2i C.1 2iD.2i【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得1 2zi，2izi.故选：B.-2-【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3.
3、在5(2)x 的展开式中，2x的系数为（）A.5B.5C.10D.10【答案】C【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x的系数即可.【详解】52x 展开式的通项公式为：55215522rrrrrrrTCxC x，令522r可得：1r，则2x的系数为：11522510C .故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项
4、4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）A.63B.62 3C.123D.-3-122 3【答案】D【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为 2 的等边三角形，侧面为三个边长为 2 的正方形，则其表面积为：132 222 2 sin60122 32S .故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧
5、面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和5.已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】【分析】求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点O的距离减去半径 1 可得答案.【详解】设圆心,C x y，则22341xy，化简得22341xy，所以圆心C的轨迹是以(3,4)M为圆心，1 为半径的圆，-4-所以|1|OCOM 22345，所以|5 14OC ，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.6.已知函数()21xf xx，则不等式(
6、)0f x 的解集是（）A.(1,1)B.(,1)(1,)C.(0,1)D.(,0)(1,)【答案】D【解析】【分析】作出函数2xy 和1yx的图象，观察图象可得结果.【详解】因为 21xf xx，所以 0f x 等价于21xx，在同一直角坐标系中作出2xy 和1yx的图象如图：-5-两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21xx的解为0 x 或1x.所以不等式 0f x 的解集为：,01,.故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为lP是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线（）A.经过点OB.经过点
7、PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP【答案】B【解析】【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P，即求解.-6-【详解】如图所示：因为线段FQ的垂直平分线上的点到,F Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，PQPF，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.8.在等差数列 na中，19a ，31a 记12(1,2,)nnTaaa n，则数列 nT（）A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项【答案】B【解
8、析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差511 925 15 1aad，则其通项公式为：11912211naandnn ，注意到123456701aaaaaaa ，且由50T 可知06,iTiiN，由117,iiiTaiiNT可知数列 nT不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1aaaaaa ，-7-故数列 nT中的正项只有有限项：263T，463 15945T.故数列 nT中存在最大项，且最大项为4T.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类
9、讨论的数学思想等知识，属于中等题.9.已知,R，则“存在kZ使得(1)kk”是“sinsin”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在kZ使得(1)kk 时，若k为偶数，则sinsinsink；若k为奇数，则sinsinsin1sinsinkk；(2)当sinsin时，2m或2m，mZ，即12kkkm 或121kkkm，亦即存在kZ使得(1)kk 所以，“存在kZ使得(1)kk”是“sinsin”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条
10、件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（Day）历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算-8-单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值 按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是（）A.30303sintannnnB.30306sintannnnC.60603sintannnnD.60606sintannnn【答案】A【解析】【分析】计算出单位圆内接正6n边形
11、和外切正6n边形的周长，利用它们的算术平均数作为2的近似值可得出结果.【详解】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360606nn，每条边长为302sinn，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为3012 sinnn，单位圆的外切正6n边形的每条边长为302tann，其周长为3012 tannn，303012 sin12 tan303026sintan2nnnnnnn，则30303sintannnn.故选：A.【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第二部分（非选择题第二部分（非选择题共共 11
12、0 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.11.函数1()ln1f xxx的定义域是_【答案】(0,)-9-【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得010 xx，0 x故答案为：(0,)【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知双曲线22:163xyC，则 C 的右焦点的坐标为_；C 的焦点到其渐近线的距离是_【答案】(1).3,0(2).3【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到
13、渐近线的距离.【详解】在双曲线C中，6a，3b，则223cab，则双曲线C的右焦点坐标为3,0，双曲线C的渐近线方程为22yx，即20 xy，所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为23312.故答案为：3,0；3.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.13.已知正方形ABCD的边长为 2，点 P 满足1()2APABAC ，则|PD _；PB PD _【答案】(1).5(2).1-10-【解析】【分析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以
14、及PB PD 的值.【详解】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点0,0A、2,0B、2,2C、0,2D，1112,02,22,1222APABAC ，则点2,1P，2,1PD ，0,1PB ，因此，22215PD ，021(1)1PB PD .故答案为：5；1.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14.若函数()sin()cosf xxx的最大值为 2，则常数的一个取值为_【答案】2（2,2kkZ均可）【解析】【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 2
15、2cossin1sinf xx，可得22cossin12，即可解出.-11-【详解】因为 22cossinsin1 coscossin1sinf xxxx，所以22cossin12，解得sin1，故可取2.故答案为：2（2,2kkZ均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量 W 与时间 t 的关系为()Wf t，用()()f bf aba的大小评价在,a b这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，
16、甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：在12,t t这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在2t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在 112230,tt tt t这三段时间中，在10,t的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果-12-【详解】()()f bf aba表示区间端点连线斜率的负数，在12,t t这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；甲企业在 112230,tt tt t这三段
17、时间中，甲企业在12,t t这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在12,t t的污水治理能力最强错误；在2t时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；正确；故答案为：【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正方体1111ABCDABC D中，E 为1BB的中点（
18、）求证：1/BC平面1AD E；（）求直线1AA与平面1AD E所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）23.-13-【解析】【分析】（）证明出四边形11ABC D为平行四边形，可得出11/BCAD，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（）以点A为坐标原点，AD、AB、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz，利用空间向量法可计算出直线1AA与平面1AD E所成角的正弦值.【详解】（）如下图所示：在正方体1111ABCDABC D中，11/AB AB且11ABAB，1111/ABC D且1111ABC D，11/AB C D且11ABC D，所以，四边形11ABC D为平
19、行四边形，则11/BCAD，1BC 平面1AD E，1AD 平面1AD E，1/BC平面1AD E；（）以点A为坐标原点，AD、AB、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz，-14-设正方体1111ABCDABC D的棱长为2，则0,0,0A、10,0,2A、12,0,2D、0,2,1E，12,0,2AD ，0,2,1AE ，设平面1AD E的法向量为,nx y z，由100n ADn AE ，得22020 xzyz，令2z ，则2x，1y，则2,1,2n.11142cos,3 23n AAn AAnAA .因此，直线1AA与平面1AD E所成角的正弦值为23.
20、【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.17.在ABC中，11ab，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求：（）a 的值：（）sinC和ABC的面积条件：17,cos7cA；条件：19cos,cos816AB注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】选择条件（）8（）3sin2C,6 3S；-15-选择条件（）6（）7sin4C,15 74S.【解析】【分析】选择条件（）根据余弦定理直接求解，（）先根据三角函数同角关系求得sin A,再根据正弦定理求sinC,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件（
21、）先根据三角函数同角关系求得sin,sinAB，再根据正弦定理求结果，（）根据两角和正弦公式求sinC，再根据三角形面积公式求结果.【详解】选择条件（）17,cos7cA，11ab22222212cos(11)72(11)7()7abcbcAaaa 8a（）214 3cos(0,)sin1 cos77AAAA，由正弦定理得：873sinsinsinsin24 37acCACC113sin(11 8)86 3222SbaC 选择条件（）19cos,cos,(0,)816ABA B，223 75 7sin1 cos,sin1 cos816AABB由正弦定理得：116sinsin3 75 7816a
22、baaaAB（）3 795 717sinsin()sincossincos8161684CABABBA11715 7sin(11 6)62244SbaC【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档-16-题.18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200 人400 人300 人100 人方案二350 人250 人150 人250 人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立（）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支
23、持方案一的概率；（）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；（）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p，假设该校年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p，试比较0p与1p的大小（结论不要求证明）【答案】（）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34；（）1336,（）01pp【解析】【分析】（）根据频率估计概率，即得结果；（）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（）先求0p，再根据频率估计概率1p，即得大小.【详解】（）该校男生
24、支持方案一的概率为2001200+4003，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004；（）3 人中恰有 2 人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个-17-男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以 3 人中恰有 2 人支持方案一概率为：2121311 313()(1)()(1)3433 436C;（）01pp【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19.已知函数2()12f xx（）求曲线()yf x的斜率等于2的切线方程；（）设曲线()yf x在点(,()t f t处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S
25、 t，求()S t的最小值【答案】（）2130 xy，（）32.【解析】【分析】（）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（）因为 212f xx，所以 2fxx，设切点为00,12xx，则022x，即01x，所以切点为1,11，由点斜式可得切线方程为：1121yx，即2130 xy.（）显然0t，因为 yf x在点2,12tt处的切线方程为：2122ytt xt，令0 x，得212yt，令0y，得2122txt，所以 S t 221121222|ttt，不
26、妨设0t(0t 时，结果一样)，-18-则 423241441144(24)44ttS ttttt，所以 St4222211443(848)(324)44ttttt222223(4)(12)3(2)(2)(12)44ttttttt，由 0S t，得2t，由 0S t，得02t，所以 S t在0,2上递减，在2,上递增，所以2t 时，S t取得极小值，也是最小值为 16 162328S.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.20.已知椭圆2222:1xyCab过点(2,1)A，且2ab（）求椭圆 C 的方程：（）过点(4,0)B 的直线 l 交椭
27、圆 C 于点,M N,直线,MA NA分别交直线4x 于点,P Q求|PBBQ的值【答案】（）22182xy；（）1.【解析】【分析】()由题意得到关于 a,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；()首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线 MA,NA 的方程确定点 P,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0PQyy，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为：222210 xyabab，由题意可得：-19-224112abab，解得：2282ab，故椭圆方程为：22182xy.(2)设11,M x y，22,N xy，直线MN的方程为：4y
28、k x，与椭圆方程22182xy联立可得：222448xkx，即：222241326480kxk xk，则：2212122232648,4141kkxxx xkk.直线 MA 的方程为：111122yyxx，令4x 可得：1111111141214122122222Pk xkxyxyxxxx ，同理可得：222142Qkxyx.很明显0PQy y，且：PQPByPQy，注意到：122112121242424421212222PQxxxxxxyykkxxxx ，而：122112124242238xxxxx xxx2222648322384141kkkk 22226483328 412041kkk
29、k ，故0,PQPQyyyy.-20-从而1PQPByPQy.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21.已知 na是无穷数列给出两个性质：对于 na中任意两项,()ija a ij，在 na中都存在一项ma，使2imjaaa；对于 na中任意项(3)na n，在 na中都存在两项,()kla a kl使得2knlaaa()若(1,2,)nan n，判断数列 na是否满足性质，说明理由；()若12(1,2,)nna
30、n，判断数列 na是否同时满足性质和性质，说明理由；()若 na是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：na为等比数列.【答案】()详见解析；()详解解析；()证明详见解析.【解析】【分析】()根据定义验证，即可判断；()根据定义逐一验证，即可判断；()解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明2231aaa，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得123,a a a成等比数列，之后证得1234,a a a a成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.【详解】()2323292,3,2naaaaZaQ不具有性质；-21-()22*(
31、2)1*2,2,2ijiiijnjjaai jNijijNaaaaQ具有性质；2*(2)11,3,1,2,22,k lnknnlanNnknlanaa Q具有性质；()【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然0*nanN，假设数列中存在负项，设0max|0nNn a，第一种情况：若01N，即01230aaaa，由可知：存在1m，满足12210maaa，存在2m，满足22310maaa，由01N 可知223211aaaa，从而23aa，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N，由知存在实数m，满足0210Nmaaa，由0N的定义可知：0mN，另一方面，0000221
32、NNmNNaaaaaa，由数列的单调性可知：0mN，这与0N的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231aaa：利用性质：取3n，此时23klaakla，由数列的单调性可知0klaa，而3kkklaaaaa，故3k，此时必有2,1kl，即2231aaa，-22-最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列 na的前3k k 项成等比数列，不妨设111ssaa qsk，其中10,1aq，（10,01aq的情况类似）由可得：存在整数m，满足211kkmkkaaa qaa，且11kmkaa qa（*）由得：存在st，满足：21ssksstt
33、aaaaaaa，由数列的单调性可知：1tsk，由111ssaa qsk可得：2211111s tkskktaaa qaa qa（*）由（*）和（*）式可得：211111ks tka qa qa q，结合数列的单调性有：211kstk ，注意到,s t k均为整数，故21kst，代入（*）式，从而11kkaa q.总上可得，数列 na的通项公式为：11nnaa q.即数列 na为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质：取3n，此时23klaakla，由数列的单调性可知0klaa，而3kkklaaaaa，故3k，此时必有2,1kl，即2231aaa，即123,a a a成等比数
34、列，不妨设22131,1aa q aa qq，然后利用性质：取3,2ij，则224331121maa qaa qaa q，-23-即数列中必然存在一项的值为31a q，下面我们来证明341aa q，否则，由数列的单调性可知341aa q，在性质中，取4n，则24kkkkllaaaaaaa，从而4k，与前面类似的可知则存在,1,2,3k lkl，满足24klaaa，若3,2kl，则：2341klaaa qa，与假设矛盾；若3,1kl，则：243411klaaa qa qa，与假设矛盾；若2,1kl，则：22413klaaa qaa，与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数,k l，可见341aa q不成立，从而341aa q，同理可得：455161,aa q aa q，从而数列 na为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列 na为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.