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1、人教版九年级数学上册教案（全册）第二十一章二次根式教材内容1 .本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式.2 .本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章 反比例正函数、第十八章 勾股定理及其应用等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标1.知识与技能（1）理解二次根式的概念.（2）理 解&（a2 0）是一个非负数，（&）2=a（a2 0）,后=a（a2 0）.(3)掌 握&,4 b-(a2 0,b2 0),ab=4 a,4 b；4 a _ a4 b N b(a2 0,b 0),a _ 4 a(a2 0
2、,b 0).（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.2.过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算.（3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简.（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.3.情 感、态度与价值观通过
3、本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点1.二次根式6（a2 0）的 内 涵.4 a（aN O）是一个非负数：（JZ）2=a（a2 0）；“=a(a 2 0)及其运用.2.二次根式乘除法的规定及其运用.3.最简二次根式的概念.4.二次根式的加减运算.教学难点1.对、5(a O)是一个非负数的理解；对 等 式(J Z)2=a(a 2 0)及J/=a (a2 0)的理解及应用.2.二次根式的乘法、除法的条件限制.3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.教学关键1.潜移
4、默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点.2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神.单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下:21.1二次根式 3 课时21.2二次根式的乘法 3 课时21.3二次根式的加减 3 课时教学活动、习题课、小结 2 课时21.1二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并 利 用 五(a 2 0)的意义解答具体题目.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.教学重难点关键1.重 点:形 如(aN O)的式子叫做二次根式的概念；2.难点与关键：利用(a0)
5、”解决具体问题.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：3问 题1：已知反比例函数产一，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐x标是.问题2：如图，在直角三角形A B C中，A C=3,B C=1,Z C=9 0,那么A B边的长是问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S 2,那么S=.老师点评：问 题1：横、纵坐标相等，即*=丫，所以X2=3.因为点在第一象限，所以x=G，所以所求点的坐标（J 5,也）.问题2：由勾股定理得A B=J S问题3：山方差的概念得$=4二、探索新知很 明 显 百、屈、|,都是一些正数的算
6、术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，般地，我 们 把 形 如 五（a 2 0）的式子叫做二次根式，“J-”称为二次根号.（学生活动）议一议：1.-1有算术平方根吗？2.0的算术平方根是多少？3.当a 4(x0).XV 5、蚯、/、-、J x+y(x20,y 20).1+y分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或 0.解：二次根式有：血、y/x(x0)s Vo -/2 “+y(x20,y 2 0)；不是二次根式的有：密、痣、x x+y例 2.当 X是多少时，3 x-l在实数范围内有意义?分析：由二次根式的定义可知，被升方数一定
7、要大于或等于0,所以3x-l20,J3x-1才能有意义.解：由 3xl 2 0,得：X 2 一3当 X，时，J 3 x-1在实数范围内有意义.3三、巩固练习教材P练 习 1、2、3.四、应用拓展例 3.当 x 是多少时，J2 +3+一 在实数范围内有意义?X+1分析：要使j2 x +3+一在实数范围内有意义,必须同时满足j2 x +3 中的2 0 和x+11 -中的 x+l#0.x+f2x+30解：依题意，得 x+1H 0_ 3由得：X2由得:x*l3 _ _ _ _ _ i当X 2-1月 一 xW-l时，J2 X +3 +在实数范围内有意义.2x+1例4（1）已知k=7 +1 4-2+5,求
8、土的值.（答案:2）y（2）若V R+A/T=O,求 a Z+b?。0 4的 值.（答案?）五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1.形 如 五（a 2 0）的式子叫做二次根式，“，”称为二次根号.2 .要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.六、布置作业1.教材P 8复习巩固1、综合应用5.2 .选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第一课时作业设计一、选择题1.下列式子中，是二次根式的是（）A.-V 7 B.V 7 C.4 x D.X2 .下列式子中，不是二次根式的是（）A.V 4 B.V 16 C.V 8 D.-X3 .已知一个正方形的面积是5,那么它的边长
9、是（）A.5 B.V 5 C.-D.以上皆不对5二、填空题1.形如 的式子叫做二次根式.2 .面积为a的 正 方 形 的 边 长 为.3 .负数 平方根.三、综合提高题1.某工厂要制作一批体积为I n?的产品包装盒，其高为0.2 m,按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2.当x是多少时,口9+X 2在实数范围内有意义?X3 .若J TZ+J T。有意义，则 尸=.4.使式子J (X 5)2有意义的未知数x有()个.A.0 B.1 C.2 D.无数5.已知a、b为实数，且Ja -5 +2,10-2 a =b+4,求a、b的值.第一课时作业设计答案：一、1.A 2.D 3.B二、1
10、.4a(a 2 0)2.4 a 3.没有三、1.设底面边长为x,则02 x 2=1,解答：行 下.72x w 02.依题意得：2x+303/.当 x -且 x W O 时,2L+x 2在实数范围内没有意义.Xx4.B5.a=5,b=-42 1.1二次根式第二课时教学内容1.W (a 2 0)是一个非负数；2.(y fa)2=a (a NO).教学目标理解。(a 2 0)是一个非负数和(&)2=a (a 2 0),并利用它们进行计算和化简.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出&（a 2 0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（、区）2=a （a，0）；最后运用结论严谨解题.
11、教学重难点关键1.重点：W（a 2 0）是一个非负数；（后）2=a （a 2 0）及其运用.2 .难点、关键：用分类思想的方法导出夜（a 2 0）是一个非负数；用探究的方法导 出（）2=a （a NO）.教学过程一、复习引入（学生活动）口答1.什么叫二次根式？2 .当a 2 0时，叫什么？当a /4 x-12 x +9)分 析：(1)因为 x 2 0,所以 x+l0；(2)a2 0；(3)a2+2a+l=(a+1)2 0；(4)4x2-12x+9=(2x)2-2 2x-3+32=(2x-3)20.所 以 上 面 的4题 都 可 以 运 用（&）2=a（a 2 0）的重要结论解题.解：（1）因
12、为x 2 0,所 以x+10（J x +1）2=x+l(2)Va20,(T o7)2=a2(3)Va2+2a+l=(a+1)2又,:(a+1)0 .a?+2 a+l 2 0,d a +2 a+1 =a?+2 a+l(4)V 4X2-12X+9=(2X)2-2 2 x -3+32=(2 x-3)2又：(2x-3)22。A 4 x2-12x+9 0,，(V 4X2-12X+9 )2=4 x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式：(1)X2-3(2)X4-4 (3)2X2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1.y a(a O)是一个非负数；2.(s a)2=a (a O);反之:a=(y/
13、a)2(a O).六、布置作业1.教材Pg复习巩固2.(1)、(2)P9 7.2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第二课时作业设计一、选择题1.下 列 各 式 中 厉、而、扬 1、y!a2+b2,J +2 0、7-14 4 ,二次根式的个数是().A.4 B.3 C.2 D.12.数a没有算术平方根，则a的取值范围是().A.a 0 B.a 20 C.a 0)教学目标理解。=a(a O)并利用它进行计算和化简.通过具体数据的解答，探究J/=a (a 2 0),并利用这个结论解决具体问题.教学重难点关键1.重点：”=a(a O).2.难点：探究结论.3.关键：讲清a 2 0 时，J/=a
14、 才成立.教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1.形如JZ (a 2 0)的式子叫做二次根式；2.4a(a 2 0)是一个非负数；3.(Va y=a (a20).那么，我们猜想当a 2 0 时，必=2是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.二、探究新知(学生活动)填空：(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到:V?=2；V o.O l2=0.01；J(1)2=.;J(g)2=|；府=0；J(g)2=1.因此，一般地：J/=a (a 20)例1化简(1)V 9 (2)J(-4/(3)V 25 (4)(-3,分 析:因 为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)2
15、5=5 2,(4)(-3)2=32,所以都可运用C=a(a 2 0)去化简.解：(1)A/9 =A/3=3(2)J(-4)2=4(3)V 25 =V?=5 (4)J(-3)2=A/?=3三、巩固练习教材P:练习2.四、应用拓展例2填空：当a Z O时，4 a =_ _ _ _：当a a,则a可以是什么数？分析：；J 7=a (a 20),.要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“()2”中的数是正数，因为，当a W O时;必=，(-4 ,那么-a 20.(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根 据(1)、(2)可 知 必=|a|,而|a|要大于a
16、,只有什么时候才能保证呢？a a,即使a a 所以a 不存在；当a a,a 0 综上，a 2,化简 J(x -2)2 _ J(l_ 2 x)2 .分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：J/=a(a 2 0)及其运用，同时理解当a ,(-a)。-/?C.ya 2000所以 aT 995+Ja-2000=a,Ja-2000=1995,a-2000=19952,所以 a-19952=2000.3.10-x21.2二次根式的乘除第一课时教学内容4a,4b 4ab(a2 0,b 2 0),反之=&,弗(a 0,b 2 0)及其运用.教学目标理解。,Jh =-Jab(a2 0,b 2 0),ab=ya,y
17、b(aNO,b 2 0),并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出 扬=石(a20,b 2 0)并运用它进行计算；利用逆向思维，得 出 而=&4b(a2 0,b 2 0)并运用它进行解题和化简.教学重难点关键重点：4a -Jb y/ab(a20,b20),y/ah=4a 4b(aO,b0)及它们的运用.难点：发现规律，导出_,4b ab(aNO,b0).关 键：要 讲 清 疝(aO,b、/3 V6,(2)V2 x V5 回,(3)V5 X V6 回，(4)V4 X V5 V20,(5)V7 X V10 V70.老师点评(纠正学生练习中的错误)二、探索新知(学生活动)让3、4个同学上台
18、总结规律.老师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数.一般地，对二次根式的乘法规定为 y/h=yab.(aNO,b，0)反过来：|Z=V 6(a20,b20)例1.计算(1)V5 X V7(2)(3)V9 X V27(4)X V6分析：直接利用 4b=4ab(a20,b20)计算即可.解：(1)V5 X V7=V35心)囱=J；x9=百(3)次 义 厉=j9x27=x 3=9 6(4)X V 6=1x6=V3例2化简(1)79x16(2)716x81(3),81x100(4),9 (5)V54分
19、析：利用J拓=&4b(a20,b2 0)直接化简即可.解：(1)79x16=79 X 716=3X4=12(2)716x81=716 X A/81=4X9=36(3)781x100=781 X V100=9X 10=90(4),9x)2=-73 X yx2y2=A/?X yx X=3xy(5)V54=9x6=X 瓜=3 V6三、巩固练习(1)计算(学生练习，老师点评)瓜3而X 2丽(2)化简：V 2 0；V 1 8；V 2 4;V 5 4；y jl 2 a2h2教材P u练习全部四、应用拓展例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)5/(-4)X(-9)=VZ4X/9(2),4 x
20、 V 2 5=4 X j x V 2 5 =4./x V 2 5 =4 7 1 2=8 7 3V 2 5 V 2 5 2 5解：(1)不正确.改正：J(-4)x(-9)=J4 x 9 =A/4 x V 9 =2 x 3=6(2)不正确.改正：J 4 x V 2 5=J x V 2 5=J x 2 5 =7 1 1 2 =7 1 67 =4 7 7V 2 5 V 2 5 V 2 5五、归纳小结本节课应掌握：(1)V a ,屈 4 ab=(a 2 0,b2 0),ab=4 a,4 b(a 2 0,bN O)及其运用.六、布置作业1 .课本P is 1.4,5,6.(1)(2).2 .选用课时作业设
21、计.3.课后作 也：同步训练第一课时作业设计一、选择题1.若直角三角形两条直角边的边长分别为A c m和 屈c m,那么此直角三角形斜边 长 是().A.3 V2 cmB-3 A/3 cmC.9cmD.27cm2.化 简 a-的结果是（a).A.J a B.yfd C.-J a D.3.等式 G H G万=J f 1成立的条件是（）A.xl B.xT4.下列各等式成立的是（C.TW xW l D.xl 或 xWT).A.475 X 2下=8 V5B.56 X4A/2=20V5C.4/3 X3V2=775 D.573 X4A/2=2076二、填空题1.7 1 0 1 4=.2.自由落体的公式为S
22、=|g t2（g 为重力加速度，它的值为10m/s2）,若物体下落的高度为720m,则 下 落 的 时 间 是.三、综合提高题1.一个底面为30cmX 30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高 为 10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 20cm,铁桶的底面边长是多少厘米？2.探究过程：观察下列各式及其验证过程.122X2 _/F _ l(23-2)+2v 3-v T-v 3-*2 2.12(271)厂 一 I 2V22-l+22-l-V 22-l+22-1-V+31)+3 _ te-i)+_3_=rn 32-l V 32-l 32-l V ：同理可得：
23、4.=.4 +V 1 5 V 1 5=V 2 4 V 2 4通过上述探究你能猜测出：a.M=_ a-1答案：一、1.B 2.C 3.A 4.D二、1.13 m 2.1 2 s三、1.设：底面正方形铁桶的底面边长为X,贝 1 1 x 2 x 1 0=3 0 X 3 0 X 2 0,x2=3 0 X 3 0 X 2,x=j 3 0 x 3 0 X V 2 =3 0 V 2 .a/a2,a a2-l V +a2-l验 证:a j g JaY a3-a aV Y-l a2-l 1 a2-l V3_(a 0),并验证你的结论.a(a2-1)a _/aa2-l a2-l a2-l21.2二次根式的乘除第二
24、课时教学内容yfa _ ayfb y b（a0,b0）,反过来（a0,b0）及利用它们进行计算和化简.教学目标4a _ aa _ 4a理解(a0,b0)和（a）O,b0）及利用它们进行运算.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.教学重难点关键1.重点：理解(a0,b0),（a0,b0）及利用它们进行计算和化简.2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.2.填空规律：4=V 1 616 巫3 6 :V 1 63 6813.利用计
25、算器计算填空:V3 _V4-方=V2 忑=，宗=规律：a言E也4：耳 2也5；W(7m 也3；正每组推荐一名学生上台阐述运算结果.（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答,我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：品忑-b(a，0,b0),反过来,a y/a,、一=3(a，0,b0)b 4b下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.例1.计算：（1）半（2）出(3分析：上面4小题利用4a =7%（a NO,b 0）便可直接得出答案.解：（1）正3(2)x 8 =义 4 =8 X =2 3分析：直接利用i=去（a O,b 0）就可以达到化
26、简之目的.(4)解:三、巩固练习教材P14练 习 1.四、应用拓展例 3.已知号 一，且 x为偶数，求（1+x）v x 6x-Sx+4x2-l的值.分析：式子小|=亨，只有a 2 0,b 0 时才能成立.因此得到9-x 0且 x-6 0,即 6 x W9,又因为x 为偶数，所以x=8.解：山题意得9-x 0,即4x-6 0 x 6 6本节课要掌握(a 0,b0)a _ y/ab 4b和(a 0,b 0)及其运用.六、布置作业1.教材 P15 习题 21.2 2、7、8、9.2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第二课时作业设计一、选择题1.计算旧+旧十旧的结果是().2后 2 q V2A
27、.V5 B.C.v 2 D.7 7 72.阅读下列运算过程：1 _ V3 _ 7 3 2 _ 275 _2A/5出 一 拒x超-3 亚亚x曲-5数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么,化 简:2的结果是（）.A.2 B.6C.-V 63D.V6二、填空题1.分母有理化：（1）13722.已知x=3,y=4,z=5.那么J五+的最后结果是.三、综合提高题1.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为百：1,现用直径为3 V 1 5 c m的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？答案：一、1.A 2.CV3 V3 710 72x7 5 72二、
28、L T；(2)-；(3)斌FF2妪3三、1.设：矩形房梁的宽为x （c m）,则长为Gxcm,依题意,得：(V 3 x)2+x2=(3 7 1 5 )24 x 2=9X 1 5,X=y/52(c m),/3 x ,x=V 3 x2=V J (c m2).4n n/n2 r-x J n=-nm-m m/、l3(m+n)(m n)a-13a?r-(2)原式二-2、-x-x-=-2,Z6 aV 2a m-vn m-n V 22 1.2二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最
29、简二次根式.通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.重难点关键1.重点：最简二次根式的运用.2.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们完成下列各题(请三位同学上台板书)-in G (o 3近 限1.算(1)产，(2)，(3)V5 V27 y2a为田上、市 也岳 3 0 瓜 瓜 2 G老师点评：i=-,f=,-7=-V5 5 V27 3 yl2a a2.现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是km,hzkm,那么它 们 的 传 播 半 径 的 比 是.它们的比是J 2
30、R 2二、探索新知观察上面计算题1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:1 .被开方数不含分母；2 .被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式.学生分组讨论，推荐3 4个人到黑板上板书.老师点评：不是.例 1.(1)3 噌；(2)y x2y4+x4y2;(3)向 了例 2.如图，在 Rt a A B C 中，ZC=90 ,A C=2.5 c m,B C=6 c m,求 A B 的长.解：因为 AB2=AC?+BC2所以 A B=J2.5 2 +6 2 =J(
31、|+3 6 =6.5 (c m)因此A B 的长为6.5 c m.三、巩固练习教材P u练习2、3四、应用拓展例 3.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:1 _ l x(V I-l)6-1_ 尼V 2 +1 (V 2+1)(72-1)-2-1 ，1 _ l x(V 3-V 2)_ V 3-V 2 /-97177r(百+扬 出同理可得：.J 尸=一 百,V 4 +V 3从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+k+.1；（V 2 0 0 2+1）的值.V 2 +1 V 3 +V 2 V 4 +V 3 V 2 0 0 2 +V 2 0 0 1分析：由题意可知，本题所
32、给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的.解：（V 2-1+V 3-V 2+V 4-V 3+“+V 2 0 0 2-V 2 0 0 1 ）X（72 0 0 2+1）二（V 2 0 0 2-1）（V 2 0 0 2+1）=2 0 0 2-1=2 0 0 1五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.六、布置作业1 .教材 Pis 习题 2 1.2 3、7、1 0.2 .选用课时作业设计.3 .课后作业：同步训练第三课时作业设计一、选择题1 .如果（y 0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）.A.牛（y 0）B.y xy（y 0）C.J E （y 0）D.
33、以上都不对J yy2 .把（a-1）J -L中根号外的（aT）移入根号内得（）.V a-1A.y j C l 1 B.y/1 C l C.y j C l 1D.-J1 q3.在下列各式中，化筒正确的是（）A.=3后B.C.yja4h=a2 4bD.J/%2=x y j X 4.化 简 二 鸣 的 结 果 是（V27)A 6A.-3c巫32B.飞D.-V2二、填空题1 .化简 J d+.2)2 =.(x 2 0)2 .a安化简二次根式号后的结果是a三、综合提高题1.已知a为实数，化简:阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程:解：J-/=ay/-a-a y f a=(a
34、-1)y -aV a a2.若 x、y为实数，且产 J x2-4 +V4-X2+1，求 Jx+y Jx-y 的值.x+2答案:1.C 2.D 3.C 4.C三、1.不正确，正确解答:一优 0因为 1l a，所以a 0原式=J-。a2-a -a=(l-a)2.1%2 4 0 1，x-4=0,，x=2,但二*%2#。，x=2,y=-4-x2 0 4Jx+y Jx_y=2 1.3二次根式的加减第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法.先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.重难点关键1 .重点：二次根式
35、化简为最简根式.2 .难点关键：会判定是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式.(1)2 x+3 x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2 x+3 y；(4)3 a2-2 a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是字母不变，系数相加减.二、探索新知学生活动：计算下列各式.(1)2 /2 +3 2(2)2 A/8 _3 A/8 +5 V 8(3)V 7 +2 V 7 +3 J9 x 7(4)3 V 3 _2 /3 +V 2老师点评：(1)如果我们把垃当成X,不就转化为上面的问题吗？2 /+30=(2+3)&=5 及(2)把 血
36、 当 成 y；2瓜-3亚+5&=(2-3+5)血=4 a=8拒(3)把 J 7当成z；V7+2V7+V9 V7=2 A/7+2 +3 V 7 -(1+2+3)-/7 =6 y/1(4)J i看为x,、汇 看为y.3 y/3-2 y 3+V 2(3-2)/3 +V 2-V3+V2因此，二次根式的被升方数相同是可以合并的，如 2 0 与我表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的.(板 书)30 +&=3&+20=503 -/3 +J2 7 =3 y/3+3 =6 -/3所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.例 1.计算(1)V 8+V 1
37、8 (2)V 1 6 7 +V 6 4X分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并.解：(1)A/8+A/TS-2 V 2 +3 V 2 -(2+3)V 2 =5 /2(2)V16x+V64x=4 Vx+8 Vx=(4+8)Vx-2yx例 2.计算(1)3 J 48 _9+3 y/12(2)(7 4 8+V20)+(V12-V5)解:(1)3 7 4 8-9 J1+3/12=12V 3-3V 3+6A/3=(12-3+6)百=15百(2)(V48+V20)+(V12-V5)=748+20+V12-75=4百+2逐+2 6-6=6百+逐三、巩固练习
38、教 材 练 习 1、2.四、应用拓展例 3.已知 4x2+y2-4x-6y+10=0,求(+y2)-(x2-5x)的值.分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2 x T/+(y_3)2=o,即 x=-,y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并2同类二次根式，最后代入求值.解：4x2+y2-4x-6y+10=0V4x2-4x+l+y2-6y+9=0/.(2x-l)2+(y-3)2=0 x=,y=3原式二 2 1 的 7 +y23=2x yx+yxy-x y/x+5 yxy-x yx+6 yxy当 x=,y=3 时，2原式=L X 1 -=+32
39、V2 V2 4五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并.六、布置作业1 .教材 PR 习题 2 1.3 1、2、3、5.2 .选作课时作业设计.3 .课后作业：同步训练第一课时作业设计一、选择题1 .以下二次根式：/；万；g；场 中，与百是同类二次根式的是().A.和 B.和 C.和 D.和2 .下列各式:3 +3=6 ;,y/1=1;()/2 +y f6=y/s=2 V 2 :=2 V 2 ,其中错误的有().A.3个 B.2 个 C.1 个 D.0 个二、填空题1 .在 我、-4 1 5a,2廊、V 1 2 5 乙叱、3 而、
40、-23 3 a类 二 次 根 式 的 有.2 .计算二次根式5 五-3 逐-7。+9 血的最后结果是三、综合提高题;中，与 瓦 是 同141.已 知 逃、2.2 3 6,求(V 8 0-.1-)-(J 3-+-V 4 5 )的值.(结果精确到 0.01)55 52 .先化筒，再求值.答案：一、1.C 2.A二、1.-4 1 5 a -y/3a 2.&y/b-2y/a3a三、1.原式二4后-3 6-士 石-石二石 4 2 X 2.2 3 6 七0.455 5 5 5 52.原式=6 j +3 j -(4y/xy+&yxy)=(6+3-4-6)yxy-jxy,3t当 x=一，y=27时，原式二-2
41、2 1.3二次根式的加减(2)第二课时教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题.教学目标运用二次根式、化简解应用题.通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题.重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固.二、探索新知例 1.如图所示的Rt/XABC中，/B=90,点 P 从点B 开始沿BA边 以 1厘米/秒的速度向点A 移动；同时，点 Q也从点
42、B 开始沿BC边以2 厘米/秒的速度向点C 移 动.问：几秒后4PBQ的血枳为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)c分析：设 X秒后P B Q 的面积为3 5 平方厘米，那 么 P B=x,B Q=2 x,根据三角形面积公式就可以求出x的值.解：设 x后P B Q 的面积为3 5 平方厘米.则有 P B=x,B Q=2 x依题意，得：一x 2 x=3 52X2=35x=V 3 5所 以 庄 秒 后 P B Q 的面积为3 5 平方厘米.P Q=y P B2+BQ2=V x2+4 x2=石”=J 5 x 3 5 =5 用答：代 秒 后 P B Q 的面积为3 5 平方厘
43、米，P Q 的距离为5 J7厘米.例 2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1 m）?分析：此框架是由A B、B C、B D、A C 组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度.解：由勾股定理，得A B=y jA D2+BD2=A/42+22=而=2#B C=BD2+CD2=V 22+l2=亚所需钢材长度为A B+B C+A C+B D=2 5/5 +/5 +5+2=3 V5+7弋3 X 2.2 4+7 2 1 3.7 （m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要1 3.7 m的钢材.三、巩固练习教材P19练 习3四、应用拓展例3.若最简根式3。却4 a+38与根式J2
44、a b 2-4+6/是同类二次根式,求a、b的值.（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根 式，2 a 6+6从 不 是 最 简 二 次 根 式,因 此 把J 2 a b 2 一，+6Z化简成b J2a-b +6，才由同类二次根式的定义得3 a-b=2,2 a-b+6=4 a+3 b.解：首先把根式y l 2 ab2-b3+6b2化为最简二次根式:J2 a b 2 6+6/=y b2(2 a-+6)=ib 42a-b+6由题意得4 a+3 b=2 a-b +63 a b-2 2 a+4 b-63 a-b =2；
45、.a=l,b=l五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.六、布置作业1 .教材P 习题2 1.3 7.2 .选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练作业设计一、选择题1.已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为（）.（结果用最简二次根式）A.5A/2 B.V 5 0 C.2M D.以上都不对2.小明想自己钉一个长与宽分别为30 c m和 20 c m的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米.（结果同最简二次根式表示）A.1 3V 1 0 0 B.7 1 30 0 C.1 0 V 1 3 D.5 7 1
46、3二、填空题1 .某地有长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2 倍，它的面积是1 6 0 0 0?,鱼塘的宽是 m.（结果用最简二次根式）2.已知等腰直角三角形的直角边的边长为血，那么这个等腰直角三角形的周长是结果用最筒二次根式）三、综合提高题1 .若最简二次根式一,3/-2与1 4团2 1 0是同类二次根式,求m、n的值.32.同学们，我们以前学过完全平方公式a 22a b+b?=（a b）2,你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包 括 0）都可以看作是一个数的平方，如 3=（百）2,5=（V 5 ）2,你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（V 2 _1）2=（）2-
47、2,1 ,V 2+1 2=2-2 V 2+1=3-2 y/l,反之，3-27 2=2-27 2+1=（V2-1）2.,.3-2A/2=（V 2-1）2/.V 3-2V 2=V 2-1求：（1）,3+;(2),4+2百：(3)你 会 算-疯 吗？(4)若ja2/4n,则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由.答 案：一、1.A 2.C二、1.20 7 2 2.2+2V 21.依题意,J3/722 2=n2-l =W-10m=2n=3所以m=2V 2n=y/3或 卜=2 8或卜”-2及-=-6或卜2亚一 坨2.(1)A/3+2A/2=7(2+1)2=V 2+1(2),4+2 G=J(百 +1)?=
48、G+1(3)7 4-V 1 2 =7 4-2 7 3 =7(V 3-1)2=V 3-1(4)/6-3V2)-?2V2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律.解：(1)(V6+y/s)x V3=V6 X V3+5/8 X 垂)=718+724=372+2 76解：(4 V6 _35/2)r2 V2=4y6 4-2-/2 _3 V2 4-2-/2=2百 N2例 2.计算(1)(V5+6)(3-V5)(2)(V10+V7)(V10-V7)分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.解：(1)(V 5+6)(3-V 5 )=3 V
49、 5 -(V 5 )+1 8-6 A/5=1 3-3 V?(2)(V 1 0+V 7 )(V 1 0-V 7 )=(V io )2-(V7)2=1 0-7=3三、巩固练习课本P 2 0 练 习 1、2.四、应用拓展X h Y n例 3.已知=2-其中a、b 是实数，且 a+bW O,a b化筒Jx+1 -y/x Jx+1 +VxJ%+1 +y/X J%+1 -JX并求值.分析：由 于(而 1+4)=i,因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到X 的值，代入化简得结果即可.解：原式=(V X 4-1 y/x)(J x +1 +V x)2(Jx+1 +Vx)(V
50、x+T-Vx)(Jx+l-VX)(A/X+1+Vx)(Jx+1 -y/x)2+(Jx+1 +yx)2(x+l)-x(x+l)-x=(x+1)+x-2 yjx(x 4-1)+x+2 1x(x+1)=4 x+2.x-b x-a.-a h.*.b(x-b)=2 ab-a(x-a)bx-b2=2 ab-ax+a2/.(a+b)x=a2+2 ab+b2/.(a+b)x=(a+b)2+bW 0 x=a+b原式=4x+2=4(a+b)+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.六、布置作业1.教材 P 21 习题 21.3 1、8、9.2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练作业设计一、选