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1、专题十三简单几何体的结构特征、表面积与体积第I卷（选择题）一、单选题1 .“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，也是很多人儿时美好的童年记忆，陀螺一般为木制的圆锥和圆柱的组 合 体，上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使 其 旋 转.如 图 是 一 个 陀 螺 的 几 何 体，由图中所给 数 据，得 该 几 何 体 的 表 面 积 为（）A.（45+9/2j cm2C.（72+9&）万 cm?B.（45+672）7TCm2D.（72+6夜）乃 cm?【答 案】A【分 析】分析可知该几何体是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成的几何体，结合三视图中的数据可求得几何体的表面积.【详 解】由该几何体的侧面
2、展开图可知，该几何体的表面积为上圆锥侧面展开图面积和圆柱的侧面展开图面积以及底面圆的面积之和，圆柱侧面展开图面积S1=6乃x6=36乃c m z,底面圆面积为s?=1x3?=9 cm2,圆锥侧面展开图扇形面积为S3=gj32+32 x6乃=9后 乃cm2,所以几何体的表面积为S=5 +S?+S3=（45+972）-cm2,故选：A.2.如图，四 棱 键P ABC。的底面为矩形，ED_L底 面ABC。，A=1,PD=AB=2,点E是 心 的中点，过A,D，E三点的 平 面a与 平 面PBC的 交 线 为/，则 下 列 说 法 错 误 的 是（）pA./平面 P A DB.I P DC.直线Q4与
3、/所成角的正切值为23D.平面a截四棱锥P-ABC D所得的上下两部分几何体的体积之比为w【答案】C【分析】根据线面平行的判定定理判断A,由线面垂直的性质判断B,求出异面直线所成角的正切值判断C,作出交线/,根据组合体体积公式计算体积后判断D.【详解】因为A O/BC,ADZ平面PBC,B C u平面PBC，所以A。/平面尸BC,又ADu平面AOE，平面平面P B C=/,所以AD 1,而AO u平面24。，平面D4O，所以/平面P4.A正确；PD _L平面A 8CO，AO u平面A8 C 0,所以P O L AD，所以B正确；P A 2直线B4与/所成角即NR4。，在中t a n/尸A O=
4、2,C错；A D 1取尸。中点尸，因为 七 是 四 中 点，则 M/8 C,所以。/AQ,所 即 为直线/,连接 B D，A BCZ)是矩形，5八4s o =，则 VP.ABD=P-BDC=P-ABCD，E F 是 尸BC 口 勺 中位线，所以 S 诋=彳 ，所以 V/)_P E F =7 V)_P BC=d P-ABC D ,A)是PA B 的中线，54P AE =S ABE D-P AE =/Vj)_pA8 =P-ABC D，一、3 5所以 p-AE F D =D-P E F +Vj)_pAE =P-ABC D，从川1ABC D E F P-ABC D 1H lVp-ADFE 一 3所以1
5、-.D 正确.ABCDFE,故选：C.3.祖晅原理，“慕势既同，则积不容异”，即高度相等的两个几何体，在任意等高处被一个平面所截，如果截面面积总相等，则两个几何体体积相等.祖在研究 九章算术中利用该原理解决了“牟合方盖”的体积计算问题，其中重要的思想如下：图 1 是一个棱长为。的正方体，以左下棱和后下棱为轴，棱长为半径作四分之一的圆柱面,两次分割该正方体得到牟合方盖（如图2）,图 3 也为一个棱长为。的正方体，B A B CR为倒立的四棱锥，用一个平面在任意等高处去截图1 和图3 这两个几何体，袒眶通过计算，发现阴影部分的截面面积总相等，则由祖眶原理，牟合方盖的体积为（）3 2 3【答案】C【
6、分析】由祖瞄原理可知，四棱锥G-A B C。的体积与图（1）中正方体去掉“牟合方盖”的体积相等，即可得出答案.【详解】由祖晒原理可知，四棱锥G-A 8 C。的体积与图（1）中正方体去掉“牟合方盖”的体积相等，所以牟合方盖i 2的体枳为/=/.3 3故选：C.4.已知正三棱锥产一ABC的底面边长为6cm,顶点尸到底面ABC的距离是c m,则这个正三棱锥的侧面 积 为（）A.27cm2 B.9V3cm2 C.9乖）cm2 D.9V2cm2【答案】A【分析】利用己知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的侧面积.【详解】由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：昱x6=6cm ,3 2所以正三棱锥
7、的斜高为：底3cm，所以这个正三棱锥的侧面积为：3xlx6x3=27（cw2）.2故选：A.5.如图，点P在正方体ABC。A A G 2的面对角线B G上运动，则下列结论正确的个数是（）三棱锥A-DtPD的体积不变;A。/平面A C；平面P D B,A平面ACD,；AP1D.C.A.4B.3C.2D.1【答案】B【分析】结合图形，利用三棱锥的体积公式即可判断；利用面面平行的判定定理推出线面平行；利用面面垂直的判定定理即可判断；当P 与 8 重合时，AP与 C?成45的角，不符题意.【详解】如图，由一棱锥A -Q P。的体积即为三棱锥P-D.AD的体积，而底面ADR的面积为定值，尸到平面ADD,
8、的距离为正方体的棱长，故三棱锥P-Q A。的体积为定值，则正确；由AG AC,BC AD,由面面平行的判定定理可得平面4 8&/平面ACR,而 AP u平面所以A/平面A C。，则正确；由 8。A C,A C 1 BB,可得 A C _L 平面 B DDt,则 A C 与O,同理可得A D 1 DB 则DB _L 平面ACD,而。与 u平面P。与，即平面PZ 4八平面AC ,则正确；当P 与 8 重:合时，4 与 C R 成4 5 的角，则不正确.故选：B.6.如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形是阿基米德最引以为豪的
9、发现.该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为（）A.8:3【答 案】C【分 析】B.4:3C.3:2D.2:1设内切球的半径 为 拉，推出圆柱的底面圆半径，高，再套公式求解.【详 解】设内切球的半径为R，则圆柱的高为2 R，底面 圆 半 径 为R.圆柱的表面积E=2 x;r R 2+2;r R x 2 R =6开店.内切球的表面积$2 =4%/?2.E 6 兀 N所 以 一=7S2 4 万 R 232故 选：C.7.球。的表面积为3 6万，A ,B，。为球面上不同的三个 点，。|为 A B C的外接 圆，且满足AB=BC=AC;二 3001,则。1的 面 积 为（)2 32 5 2 7r 2
10、9A.7 1B.-71 C.一7tD.44444【答 案】c【分 析】由球的表面积公式可求出R =3，设。a=a,在 A 6 C中，根据正弦定理可求出。的半 径 乙 再利用我 ,。1三者的关系即可求出.【详 解】球 的 半 径R,。的半 径 为，则4万/?2=3 6万，得R=3,如图所示：设 A 8 =8 C =A C =30 a=3a,则 O A =r =J W，在 AABC中，由正弦定理=2 r =2A/9-2s i n 6 09-4=42解得o 2 7 9 7所 以r=9 /=9一二=，所 以。a的面积为一 万.4 4 4故选：c.8.已知圆柱。及其侧面展开图如图所示，则该圆柱的侧面积为
11、（）.-r-A.6兀 B.77r C.8乃 D.9%【答案】C【分析】根据圆柱的侧面展开图的形状和矩形的面积公式计算可得选项.【详解】由图可知圆柱的侧面展开图是一个矩形，所以该圆柱的侧面积为2万X4=&T,故选：C.二、多选题9.三棱锥P 中，已知平面ABC,A C L B C,且B4=4C =8C=1,则下列说法正确的有（）A.A C P B B.3CJ_平面 PACC.二面角。一P B-A的大小为60 D.三棱锥的外接球表面积为3万【答案】BCD【分析】用反证法证明A错误，由线面垂直的判定定理的性质定理证明B正确，作出二面角的平面角，并计算后判断C,确定外接球的直径（半径）计算出表面积判断
12、D.【详解】/M_L平面A BC,4。,8。,4 8匚平面48。，则 丛，回,丛，4。,%，5。,若A C_L PB,PA PB =P,Q4,P8u平面钻，则 人 平 面2钻，而4?i平面P钻，所以A C_L A B，与 A C_L 3C矛盾.，A 错；由 A C_L BC,PA LB C，Q4n A e =A,%,ACu平面尸A C得8CJ平面PA C,B 正确；作A EJ_P6于E，PF 1.PC于F，连接/，如图，由8CL平面PA C,AFu平面尸A C，得AF L BC，又尸CcBC=C，尸。,8。匚平面尸3。，所以人/_1平面PBC，E F,PB u面PB C，所以A F _L防，A
13、 F PB tA En AF =A.AE,A/u平面A f,所以PBJ_平面A EF，EF u平面A EE，所以石尸，所以NA EF是二面角C QB-A的平面角,因为*A C=BC=1,所以.=冬A B =，A E =弋治与AEFI.sinZA E F =,ZA E F =60,C 正确;A E V6 23由上面证明知尸5是三棱锥尸一 A B C外接球的直径，PB =6,所以球表面积为5=4(r)=3万，D正确.故选：BCD.C10.正方体A8CO 4 4 C Q为棱长为2,动点尸，。分别在棱8C,CG上，过点A，P,。的平面截该正方体所得的截面记为S,设3P=x,CQ=y,其中x,yw 0,
14、2,下列命题正确的是()A.当x=0时，S为矩形，其面积最大为4；9B.当x=y=1时，S的面积为一；24C.当X=l,ye(l,2)时，设S与棱G A的交点为R，则/?。=4一 ；D.当y=2时，以用为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值.【答案】BCD【分析】由题意可知，当x,y变化时，截面s为不同的图形，所以根据选项逐一判断即可.【详解】解：对A：当x=0时，点尸与点3重合，所以A BJ_PQ,此时S为矩形，当点。与点G用合时，S的面积最大,S=2 x2 6=4 0，故选项A错误;当X=l,y =l时，P。为ABCG的中位线，P Q/B G，BCJ/AA，A R/PQ，s为等腰梯形APQA，
15、过 p 作尸EJL A Q|于 E，P Q =近，A R=2&,二 4：=m，A P=逐,.P E =妪,2 .S的面积为工X3 0XW Z=2,故选项8正确；2 2 2对C：AB由图可设S与。交于点尸，可得R F/C G，K Q R s AD#R,某=奥UK f D、4：CQ=y,则 GQ=2-y,.RA=4一一，故选项 C 正确:y对 Q：如图，当y=2时，以左为顶点，s为底面的棱锥为耳-APGM,1 1 Q-APclM=2匕 FG”=2X-X-X2X2X2=-,故选项。正确；故选：BCD.1 1.已知正四棱锥S-45C的底面边长为1,且 侧 棱 长 为 血，点E,尸分别为侧棱%，SC上的
16、动点，则下列结论中，正确的为（）A.A&1C为等边三角形B.正四棱锥S-ABCD的侧面积为2山C.若A/=C E，则石户_L平面S3。D.正四棱锥S-ABC。的外接球表面积为 J3【答案】AD【分析】选项A中由三角形三边相等可得A 4 C为等边三角形；选项B中正四棱锥的侧面积等于侧面一个三角形面积乘以4；选项C中当点石不是SA中点时，由点尸的位置关于线段S C的中点对称来说明结果；选项D中先找球心，再利用勾股定理求半径.【详解】依题意作图：s由题知，SA=S C =4 2 因为A BC。为正方形，且边长为1,所以=所以A C=SA =SC=0，S A C为等边三角形.故选项A正确；在 A 也中
17、，SA=SB=yi，A B=1，取 AB 的中点M，连接S M，则有SM _L A8,A M =-,S M =.2 2的面积 SS A =1S M.A3=1XX1 =E.aS4B 2 2 2 4所以正四棱锥S-的侧面积 为 近.故选项B 错误；因为ASAC为等边三角形，当E 为的中点时，若 AF=C E,则点尸也是S C 的中点，此时E F满足题意.因为E，尸分别为&4，S C 的中点，所以F AC.因为A BC。为正方形，所以A CJ_8.乂 S-ABCD为正四棱锥，所以SOJ.平面A5C D，又 AC u 平面A BC。，所以S O L AC.又SO,3。在平面S3。内，且相交于点0,所以
18、AC L 平面S8D.又因为石尸 A C，所以F_L平面SB。当点E不是必的中点时，若 A F =C E,则点F的位置关于S C的中点对称,如图，点尸可能在点用 位置（点 号 满足E K J/A C）,也可能在点K 点 用,K2关于S C的中点对称）位置.因为经过一定点作平面的垂线有且只有一条，所以E&,E（不可能同时垂直平面S3。.故选项C错误.因为S-M C D为正四棱锥，所以其外接球球心在SO上，设球心为P,半径为R.连接P C，则有 P C =S P=R.在 ASOC 中，SO=ylsc2-o c2=.=，V 2 2由 PC2=OC2+O尸得，R2=-+（-R,整理得，R 二 旦.2
19、I2）3所以外接球表面积S=4 =4 x1=?故选项D正确.故选：AD.1 2.如图，正方体A3CD-4 4 G A的棱长为3,线段用口上有两个动点E，/且 尸=1，则当E，F移动时，下列结论正确的是()B.四面体A C E b的体积不为定值C.三棱锥A-跳 产 的体积为定值D.四面体ACDE的体积为定值【答案】ACD【分析】根据面面平行的性质定理，可判断A 选项是否正确，根据锥体的体积计算公式，可判断BCD选项是否正确.【详解】如图，正方体ABC。4 4 G A 中，BD/B D ,AB D C ,从而易得:平面A B Q /平面3)G，又 A E u 平面ABQI.他/平面。/。，选项A
20、正确.A EE中，E F=,点 A 到 距 离 不 变，.NAE尸的面积为定值乂因为C到平面A囱。的距离不变，所以四面体A CEF体积为定值，所以选项B错误.根据前面的分析，的面积为定值.，艮8到平面A EF的距离为定值，所以三棱锥B-AE F的体积为定值，又因为VA-B E F=VB-A E F,所以选项C正确.由于AA C O面积为定值，且EF到平面A C。的距离为定值，所以四面体A CD尸的体积为定值，所以选项D正确.故选：A CD.13.直三棱柱AB C-%B 1&中，A B L A C,A B=A C=然=1,点。是线段BQ上的动点（不含端点），则以下正确的有（）A.AC/平面4 8
21、。B.三棱锥4一A BC的外接球的表面积为12乃C.A0+O C的最小值为百 D.N ADC一定是锐角【答案】A CD【分析】由线面平行的判定定理可判断A正确；将三棱锥A -A BC补成棱长为1的正方体，进而可判断B错误；由。C=骂可知A O+OC=4）+OEI NA；=J ,进而可知C正确：由A O+D C 2 结合余弦定理和均值不等式可判断D正确.【详解】对于选项A：显然AC/4 G，又AC u平面4 8 G，AC.平面4 B G，所以AC/平面AG,即A C/平面4切，故A正确；对于选项B：三棱锥4 一 ABC可以补成楼长为1的正方体A BEC AggG，且二者的外接球相同，显然外接球半
22、径R=走，所以外接球表面积为4/?2=411*3 =3孔 故8错误；2 4对于选项 C：易知 AJCB 合 ,从而 C=O&,所以 A O+OC=A O+O&N Ag,当A、D、&三点共线时，A +DC有最小值为正方体的对角线长 百.故C正确；对于选项D：设4）=x,DC=y,则x,y 0,且x+y N （x =y时，取等号）.由f+yzzxynd +yz七之之|（x =y时，取等号）.则cosN,4 0c+9 一一,0所 以 一 定 是 锐 角.故D正确.2xy 2xy故选：ACD.B.三棱锥8-8（。的体积为定值C.当0为 中 点 时，异面直线与。与所成的角最小D.当。为A。中点时，直线5
23、 Q与平面BCGg所成的角最大【答案】ABD【分析】证明B.D 1平面C DtA,得线线垂直判断A,根据线面平行及体积公式判断B,由5C/B.C,作出异面直线所成的角，并计算其余弦值，可判断C,由平面B C C/J/平面AD 2 4,所以直线4 Q 与平面5CC|g所成的角等于宜线用。与平面ADDA所成的角，然后求出线面角的正切值，可得角最大值，判断D.【详解】连接AC,B O,正方形A BC。中，ACBD,乂平面ABCD,AC u平面ABCD，所以3 g_ LAC,（下面要用到正方体的棱与相应面上的立线垂直就不再证明了，方法相同）.BB C BD=B,平面 BBQ。，所以 A C_L 平面
24、BBQ。，BQ u 平面 BBQZ）,所以 A C _L ，同理 CD J_8Q,ACn CR=C,AC,C。u 平面 C A,所以 B Q,平面。，C Q u 平面 C A,所以 BQ _L CQ,A正确；正方体中A。/平面B C G 4，因此。到平面B C G 4 的距离不变，即三棱锥Q-B B C 的高不变，又 B 4 c 面积不变，所 以:棱 锥 Q-即三棱锥3-用 CQ 的体积不变，B 正确.连接AQ，G Q，因为8 c 4G，所以NQ 4G （或其补角）是异面直线用Q 与 的 所 成 的 角.设正方体 的棱长为。，设。卫=左=则在 4 AQ 中，AQ=,+(&妨)2 一 2a X
25、6 k a co s =也/一 2 +l a,由 4 旦，4。,G A，A。，得 4 Q=y/a2+(2 k2-2k+)a2=yj2 k2-2k +2a，CQ=荷+e ha?=，2)+i a ,g Q G 中，co s NQ4G=Q 七2V一 +1空=及2 ay/2 k2-2k +2xa y/2 k2-2k +2%=1 时，co s/Q 与C|=0,E e 0,l)时，设f =l-%e(O,l,co s /.QB,C,-,1j 2(l-f)(T)+2-=1,即攵=0时，c o sN QB C i取 得 最 大 值 巫，t2所以。与A重合时，/。耳 取得最小值 三，C错误；4因为平面s e e
26、4/平面AO）M，所以直线用。与平面8 C G 4所成的角等于直线与Q与平面A。/所成的角，由上讨论知N B|Q4就是直线ByQ与平面A DD所成的角，A Q Q中，ta n Z.A,Q B.=/。1-=r 1 .y/2k2-2k +1 a，2劣-2 Z +1 /伏 与 +工，所以=g时，ta n N Q片取得最大值，而N 4 Q 4为锐角，乙4,。片最大，此时。是中点.D正确.故选：AB D.【点睛】本题考查棱锥的体积，空间直线的垂直，异面直线所成的角，线面角等知识，需要掌握的知识点较多，难度较大.要确定空间角的大小，需要通过定义作出此角（化为平面上的角），然后计算其某个三角函数值,由三角函
27、数性质得最值.1 5.已知圆锥的底面半径为1,高为2后，S为顶点，A,8为底面圆周上两个动点，则（）A.圆锥的体积为2夜7B.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为3C.圆锥截面&S的面积的最大值为2加D.从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为3君【答案】B C D【分析】对于A：直接求出圆锥的体积即可判断；对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断；对于C：先判断出圆锥截面1s4 5为轴截面时，其面积最大，在求其面积；对于D：先分析出细绳的长度最短即为求线段4A.在三角形S4 A中，由余弦定理得即可求解.【详解】对于A：因为圆锥的底面半径为1,高为2及，所以体积丫 =2夕2
28、=1乃*1 2*2夜=过 身.3 3 3故A错误；对 于B：设圆锥的母线为/,则/=,.+2 =,俨+（2近=3.2 4设圆锥的侧面展开图的圆心角为。，由弧长公式得：=2仃,即3 6=2不，解得：0=丁 故B正确；对于C：显然当圆锥截面S4 B为轴截面时，其面积最大，此时5 =工2小为=工2.2夜=2及，故C正确；2 2对于D：作出圆锥的侧面展开图如图示，要使从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的长度最短，只需求线段4 4.在三角形W中，必=必=3,Z ASA=120,由余弦定理得：A4,=V SA2+SA2-2SASA/?=好，所以2万=乎 万，所以C正确选项D:平移CB到 A H,
29、连接。”，在翻折过程中当A T P+A B?=。”2 时，直线A。与直线BC垂直，故 D正确.故选：A C D第 H 卷（非 选 择 题）三、填空题1 7 .已知棱台A B C。-%与CQ”A A =3,正方形ABCO的边长为2,正方形44GA的边长为4,平面A B C。/平面A4GA，且 AA，平面A B CD,则楼台A B C D-A B.C.D,的体积为.【答案】2 8【分析】根据台体体积公式即可求出.【详解】由棱台的体积公式可得丫=工*3、（4 +庆讳+1 6）=28,所以棱台-的体积为2 8.故答案为：2 8.1 8 .已知一个长方体的长、宽、高的比为1：2：3,它的对角线长是2 J
30、 值，则 这 个 长 方 体 的 体 积 为.【答案】4 8【分析】由已知设长方体的长、宽、高分别为x,2 x,3 x,则可得/+（2 力2+（3%）2=（2 西）2,求出工,从而可求出长、宽、高，进而可求出体积【详解】解：由题意设长方体的长、宽、高分别为x,2 x,3 x(x 0),因为长方体的对角线长是2日，所以/+(2%)2+(3%)2=(2掘y，r=4,解得了 =2或%=-2(舍去)，所以长方体的长、宽、高分别为2,4,6,所以长方体的体枳为2x 4x 6=48,故答案为：4819.面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所 得 的 几 何 体 的 侧 面 积 为.【答案】8兀【分
31、析】由旋转体定义可得，正方体绕边旋转之后得到圆柱，圆柱侧面展开是一个矩形，圆柱底面周长即为矩形的长，圆柱的母线长即为矩形的宽，由此即得该几何体的侧面积.【详解】由已知条件可得，面积为4的正方形边长为2,绕其一边旋转之后得到的为圆柱，且此圆柱的母线长为2,底面半径也为2,所以，该圆柱的侧面积为：S例=2兀 =271x 2x 2=871,故答案为：8兀.20.已知/%,PB,PC两两垂直且PA =6,PB=K，PC=1,则过P、A、B、。四点的球的体积为.9【答案】2【分析】先把四面体可补全为以2 4，PB,PC为长、宽、高的长方体，利用长方体求出外接球的半径，即可求出球的体积.【详解】四面体可补
32、全为以P 4，PB,PC为长、宽、高的长方体，且四面体和长方体的外接球相同.设外接球的半径为r,则2r=y/PA2+P B2+P C2=后+忖+段=3，3所 以r =一2A 4，3 V 9所以过 尸、A、B、C四点的球的体积为丫=?/=2%?=兀.3 3 29故答案为：71 22 1.如 图，在 正 四 棱 柱AJS C O-A A G A中，P是 侧 棱CG上任意一点，设 三 棱 锥P DD乃 的 体 积 为 匕,V正 四 棱 柱A B C D -AB C Q的 体 积 为V,则 藁 的值为.【分 析】根据等积法可求出三棱锥尸-D R B的体积，由棱柱的体积公式可求出正四棱柱A B C D
33、-4B C R的体积,即求解.【详 解】设 正 四 棱 柱A BC。-4 4 G A的 底 面A BC。的 边 长A B=BC=a,高 的=b,则V=V 8=V p=x a x x a b =a2b,所 以J1 3 2 6 v 6故答案为：一.62 2.如 图，。为长 方 体A 3CQ A4 G 2的中心，截取 两 个 棱 锥0 ABCD和0 AgG A的组合体作为装饰物，已 知A3=5C=2,该 组 合 体 的 体 积 为 区，则 该 长 方 体 的 外 接 球 的 体 积 为.【答案】36 7r【分析】根据棱锥的体积公式求得长方体的高，再求得长方体的外接球的半径，从而求得其外接球的体积.【
34、详解】设长方体的高为人,由题意得装饰品的体积 丫=*2*2*2 =或，解得。=26，3 2 3设长方体外接球的的半径为，则2 r=2+2 2+（2近）2 ,解得=3,所以外接球的体积为V =3乃r =3 6万.3故答案为：3 6%.2 3.中国古代数学家刘徽在 九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如 图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者 .约2 0 0年后，祖冲之的儿子祖随提出“幕势既同，则积不容异”，后世称为祖唯原理，即:两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如
35、 图（3）（4）.已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幕等积”，祖瞄由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1,则其牟合方盖的体积为【答案】-3【分析】根据题意，列等式.套用正方体，锥体体积公式求解.【详解】由题知乙方 体=1 X 1 X 1 =1，因为KE方 体一（嘘合 方 卷=：,所 以/合 方 盖=1.o o J o 3故答案为：.32 4.已知AABC是面积为亚的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上，若球。的表面积为1 6万，则。4到平面A B C的距离为【答案】1【分析】画出图形，利用已知条件求三角形A 5
36、C的外接圆的半径，然后求解OQ即可.【详解】由题意可知图形如图：AABC是面积为 期 的 等边三角形，可 得 且AB2=2叵，4 4 4/.AB=BC=AC=3,可得：AO.=-x-x3 =y/3 1 3 2球0的表面积为1 6万，设外接球的半径为R；所以4万A?=1 6万，解得R =2,所以0到平面A B C的距离为：百-（回2 =1.故答案为：1.2 5.取棱长为。的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，如图所示.则此多面体：有12个顶点；有2 4条棱；有12个面;表面积为2a2；体积为
37、15 ,以 上 结 论 正 确 的 是.（填上所有正确的序号）【答案】【分析】先根据题意画出图形，如图，原来的六个面还在只不过是变成了一个小正方形，再添了八个顶点各对应的个三角形的面，计算或数-数它的面数、棱数等，再结合割补法求出它的表面积及体积即可.【详解】如图，原来的六个面还在只不过是变成了一个小正方形,再添了八个顶点各对应的一个三角形的面，所以总计6+8 =1 4个面，故错；每个正方形4条边，每个三角形3条边，4 x6 +3 x8 =4 8,考虑到每条边对应两个面，所以实际只有1 x4 8 =2 4条棱.正确；2所有的顶点都出现在原来正方体的棱的中点位置，原来的棱的数目是1 2,所以现在
38、的顶点的数目是1 2.或者从图片上可以看出每个顶点对应4条棱，每条棱很明显对应两个顶点，所以顶点数是棱数的一半即12个.正确；三角形和四边形的边长都 是 也4,所 以 正 方 形 总 面 积 为=3，2 2;角形总面积为8 S A B C=X X 1 =2/l Z,4/io c 2 2 4:3 h Ae A/ioBLC-3 A。.S史DC，解得 h .CJJUX.5B若O 为AC中点，则0 为4 ADC外接圆的圆心,若E为。C中点，连 接5E则8ELO C且8=正2设0为锥体外接球球心且半径为R，则0尸=。/=4 2 =,0 0 =FE=-2 2A R2=OF2+(B E-FE)2,解 得 火
39、2=五，故 四 面 体ABC。外接球的表面积为4万&=号.f“J 1 5 13故答案为：-,.5 329.在三棱锥尸一ABC中，A4=BC=5,PB =A C=4 T i，PC=A B =M，则该三棱锥外接球的表面积为；外接球体积为【答 案】26%T3亚兀3【分 析】根据题意得到三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，再求长方体外接球的表面积和体积即可.【详 解】由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示:储+从=10记该长方体的棱长为,上C,pi i j -+c2=17,b2+c2=25即/+。2+0 2=2 6,所以r =三=叵,2 2S-=4“万厂2
40、=“26 兀,TV,=4 7ir3 -1-3-2-6-3 3故答案为：26%；13底 万33 0.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆 等，蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点A,B,C,。满足 A B=5C =CD=NM=)5=l()cm，AC=15cm,则点 A 到平面BCD的距离为c m,该“鞠”的表面积为 cm2.【答案】q2【分析】700万3设球心为O,设 B C O 的中心为0 ,取 BO 的中点凡 连接根据线面垂直的 判 定 可 证 得 平 面 AFC,从而求解三角
41、形可求得NA 尸C=120。，在平面4 FC 中过点4 作 C尸的垂线，与 C F的延长线交于点E,由3。，平面AFC,得 8。1 AE,故 AE，平面B C D，过点O作O G1A E丁点G,解三角形可求得点A到平面BCD的距离.设球的半径为R,OO=x c m,根据勾股定理建立方程可求得球半径，由此可得答案.【详解】由已知得 A3O,ACBD均为等边三角形.如图所示,设球心为0,设8CO的中心为0 ,取BO的中点F，连接AE,COO,OB,OB,AO,则AF A.BD,CF BD,得 BD_L平面 A产C,则 AF=CF=5 6 cm，而AC=15cm,所以NAFC=120.在平面AFC中
42、过点A作C F的垂线，与Cr的延长线交于点E,由3 0，平面AFC,得3。_L他，故，平面8 c 0，过点。作0G L A E于点G,则四边形OEGO是矩形.则O8=5Csin60 x2=122m(cm),3 30 N=,0 8=(c m)，2 3AE=A/7sin600=(cm),即点 A 到平面 8c。的 距 离 为 cm,EF=AFsin30=(cm).2 2 2设球的半径为 R,OO=xcm，则由 O O,+o =052,042=4 +G O?,得f+与=R2.解得x=5cm,R=J与cm,故三棱锥A BCD外接球的表面积5=4万收=Z (Cm2故答案为：2【点睛】700万3方法点睛：
43、解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的：（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.3 1.以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转1 8 0。后，再将上、下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如图所示的“扭反三棱柱”上、下底为全等的等腰三角形
44、，且顶点A,B,C,4,Bi,G均在球。的球面上，AB=AC=Ai BAi C m,截面BCBQ是矩形，BC=2,B C=4.则该几何体的外接球表面积为,当 该 几 何 体 体 积 最 大 时.【答案】2 0万 回【分析】利用A,C,A,G四点共圆，则四边形AC4G为矩形，从而确定外接球的球心。的位置，然后求解半径，由球的表面积公式求解即可；点A在球。的球面上运动，则A O _L平面B C B i G时，四棱锥的高人最大，此时四棱锥的体积最大，求解即可.【详解】由题意可知，四边形ACAG为平行四边形，又该几何体由外接球，所以A,C,4,G四点共圆，故四边形4c4G为矩形，则A 4,8 8 1均
45、与CG交于一点，则该点即为该儿何体外接球的球心O,故外接球的半径R=毁=小,2 2所以外接球的表面积为5=4或2=2（）乃；该几何体的体积为四棱锥A -B CB C体积的2倍,又矩形B C 5 C 1的面积S=8,又外接球球心0 在矩形BCBiG内，点 A 在球0 的球面上运动，则 A。，平面B C S G 时，四棱锥的高最大，此时四棱锥的体积最大,如图所示，此时 04=/?=布，0E=2,则 A E=3,又 AE=yj病 一1 ,所以m=J1 0.故答案为：20万；国.3 2.中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年 前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置
46、，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥底面圆的直径和3高均为4cm,当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的一（细管长度忽略不计）.若细沙的流速为每分钟IcnP,4则上部细沙全部流完的时间约为 分钟（结果精确到整数部分）；若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则该沙堆的高为 cm.【分析】细沙漏入前可看作一圆锥，求出其体积，便可计算细沙流完所需时间，再根据细沙漏入前后体积不变，列等式求高.【详解】由题设，圆锥底面圆半径为R,高为人,则R =2 c m,h=4
47、c m,当细沙全部在上部时，细沙形状可看作一个圆锥，其底面圆半径r满足,细沙的体积丫=-x7t r2 x /?=x 3 =c m33 4 3 4若细沙的流速为每分钟I c nP,则上部细沙全部流完的时间为一分钟，约为7分钟.4若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，设该圆锥形沙堆高为九，则由细沙漏入前后体积不变得，把R =2代入，解得九=c m.3 4 1 62 7故答案为：7：.1 63 3.如图，已知圆锥尸。的底面半径OA的长度为1,母线2 4的长度为2,半径为飞 的球。与圆锥的侧面相切，并与底面相切于点。，则凡=；若球R与 球 圆 锥 的 底 面 和 侧 面 均 相
48、切，则 球 的 表 面3 2 7【分析】作出轴截面，利用等面积法可求出Rj利用两圆外切的关系和直角三角形的边的关系可求出尺2,从而可求出球。2的表面积【详解】解：该几何体的轴截面如图所示，由 题 意 可 知 为 等 边 三 角 形，且边长为2,圆0|与三角形的三边都相切，圆。的半径等于球。的 半 径 为 则1 1 /7一(2+2+2)6=x 2x 2s i n 60。，解 得 凡=匕2 2 3因为/0质0=30。，所以 A O2=2O2C=2/?2,A O=2 0 0、=2R1,因为 A Ol=A O2+O2Ot,所以24=2/?2+氏2 +4，所以R2=；R1=等,所以球。2的表面积为4万4
49、 2=4万)=*,故答案为：Y 3,3 27五、解答题34.如图，A B是。的直径，E是圆周上异于A5的动点，矩形A BCO的边CB垂直于。所在的平面,已知 A B=2,A O=1.(1)求证：A*_L平面E B C；(2)求几何体ABC0E的体积的最大值.(参考公式：锥体体积公式V=；S。，其中S为底面面积，为高.)【答案】(1)证明见解析；(2)|【分析】(1)由 题 意 可 证 得 和C 3 J _ AE,结合B E n3 C =B B E u平面EBC即可；(2)当点E到平面4 8 c o的距离最大时，多面体A 8CDE的体积最大，利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】(1)因为A8是
50、直径，E是圆上一点，所以 AE J _ B E，因为平面A 8E,所以 C 8 LAE，又 BECBC=B,8 E u 平面 EBC,所以平面EBC.(2)当点E到平面A B C D的距离最大时，多面体A B C D E的体积最大，点E到平面A B C D的距离4政=厂=1，因为C B L平面A BE,B C u平面A 8CD,所以平面A BC。！平面A BE,1 1?3 m ax S矩 形A BC D =X1 X 2 X 1 =.3 5.如图，直三棱柱ABC A AG中，平面AB C是边长为2的等边三角形，=4,E为棱AG的中点，产为棱A 4的中点，B C B,C =O.AiA（I）若M为线