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1、广东省河源市河源中学2023届高三上学期10月教学质量检测数学试题学校:姓名:班级:考号:、单选题1.已知集合 A=x|logzX+Z,则4=()A.(卜。0)B.C.(-8,0)1;,+8)D.(-0o,0uf；,+oo2.设 i 是虚数单位,(1+可 i=l-Z,则 l+z+zZ+zS+.+z202S的值 为()A.1 B.0 C.-1 D.-23.已知 p：4 b 0,则。是 4 的（）a bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.九章算术中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图,现有一方亭A B C D-E F H G,其中上底面
2、与下底面的面积之比为1:4,方亭的高=成,BF=E F,方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形,已知方亭四个侧面的面积之和212下,则方亭的体积 为（）D.165.设 。，且 姉=2,则+人 的 最 小值是（）A.1 B.2C.3D.4且 后,贝 sin（2!二（B.D.)7.设。=京，+，=e0-l,c=lnl.O 2,则。,c 的大小关系为（）A.c a b B.b c aC.a b c D.b a 0)与函数y (x),g(x)的图象都相 切,则4“+:的最小值为.b四、解答题1 7 .已知等比数列 q j的前项和为5 ,公比“0,S =22,邑=为-2,数列色 的前项和为此,且满足6%=(+
3、1)(2 +1).求 数 列 依 和数列 也,的通项公式;若 数 列 匕 的通项公式为c,尸一 ,(为奇数)牛,(为偶数),其 前 项 和 为 求(”.1 8 .已知a ws i n 2 a 4 c o s 2 +t a n a(2)若尸e(O,兀),且s i n,卜-労求a +的值.1 9 .在b s i n-=c s i n B,-=-,&(c c o&4 )=-a s i n C这三个2 c o s C c o s A +c o s B条件中任选个,补充在下面的问题中,并解答.在锐角 A B C中,内 角ABC的对边分别为a,b,c,且满足.(1)求角C的大小:若 =6,角4与角8的内角
4、平分线相交于点,求 4 3 n面积的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.2 0.为了丰富孩子们的校园生活,某校团委牵头,发起同一年级两个级部A 进行体育运动和文化项目比赛,由4部、B部争夺最后的综合冠军.决赛先进行两天,每天实行三局两胜制,即先赢两局的级部获得该天胜利,此时该天比赛结束.若A部、8部中的一方能连续两天胜利,则其为最终冠军；若前两天A部、8部各赢一天，则第三天只进行局附加赛,该附加赛的获胜方为最终冠军.设每局比赛A部获胜的概率为P(0 P b 0,且“。=2,则有 “6,即标 2a2+=a2+-=a2-2+-+22+2=4a(a-b)a2-2 a2-2当且仅
5、当-2=1,即=6=叵时“等号”成立.3故选:D.6.A【分析】根据s in Q-x)0 可确定奈 x 的范围，由此 可 得 冋 2;利用二倍角正弦公式可求得s in 5-2 x),由此可得结果.【详解】Q0 x -,/.rx f 又,m x=7，0 x ,2 3 6 6 16 丿 4 6 6324四=巫,4 48答案第2页,共 19页【分析】易得。=条+，=；1 6+1 2 (1 +1 2,构造函数x)=e*-l-1;+,求 导,根据函数的单调性即可比较 4 力的大小,构造函数Mx)=e-l-l n(2 x+l),求导,根据函数的单调性即可比较 c 的大小,从而可得出答案.【详解】解:a=、
6、+白 =；xl(T 6+i o-2 0 时,g(x)0,所以函数g(x)在(0,+oo)上递增,所以g(x)g(O)=O,即f (x)(0)=0,所以函数，(X)在(0,内)上递增,所 以/(1 0-2)0)=0,即 e 1 丄 X1 0 T +1 0-2,2所以。0 时,?(x)0,所以函数，(x)在(,+8)上递增,m(O.l)=1.2 eo,-2 =2-e0 J-1因为1!啖吧1010i普眇百，答案第3页,共 1 9 页所以|e”1,所以，(O.D ul Zea-Zuz d ea-l JvO,所以当0 c x 0.1 时,相(x)0,即/(x)0,所以函数/?(x)在(0。1)上递减,所
7、以(0.0 1)0)=0,即 e0 0 1-l-l nl.O2 0，所以 c,综上 所 述 AB2+AC2=2 AE=BC=l,OE=7OAE2=72“-I2=6，。是 AP 中点，所以一惭=2%_.8 c=2x g s 5c Q E =2 xgx；x lx K x g =l,故选 A.答案第4页,共 1 9 页p【点睛】方法点睛:求几何体外接球的半径,可以根据题意先画出图形,确定球心的位置,进而得到球的半径的表达式,解题 时注意球心在过底面外接圆的圆心且垂直于底面的直线上,且球心到几何体各顶点的距离相等.在确定球心的位置后可在直角三角形中求球的半径,此类 问 题 对考生的空间想象能力和运算求
8、解能力要求较高.9.AB【分析】根据中位数和极差定义可判断C D,根据表中数据可判断AB.【详解】由图可 知:第1天、第3天、第4天空气质量为级，A正确;从3日到6日PM2.5日均值逐渐升 高,B正确;由图可 知,这10天中PM2.5日均值的中位数为失”=43,C错 误;这10天中PM2.5日均值的极差是8 0-30=50,D错 误.故选：AB10.AC【分析】A选 项由E为 线段 尸 的中点以及抛物线定义即可判断;B选 项由丽:=2方 及抛物线方程求出A,8坐标，再说明，B,A三点共线,即存在直线加即 可,C选 项 设4占,斗),表示出直线A E,联立抛物线，利用A=0即可判断,D选 项 设
9、出直线加，联立抛物线得到2=4,通过焦半径公式结合基本不等式得IAFI+|4即可判断.【详解】解:对于A:如图:由抛物线知。为的中点，/y轴，所以E为 线段 尸 的中点,由抛物线的定义知|AH=|AF|,所以AE丄尸,故A正确;B 选 项,设 4 再，y),B(X2,%),%,x,尸(1,0),E为 线段 尸的中点，则E(0，V)，答案第5页,共19页BF=（1 ,一 月），E B=,必一等），1-X2=2X2 由豆戸=2万,得 、凹、,解得九2 =,y 二 3%,2=20 2一号）3又犬=4片,尺=4,故 B（丄,半），A（3,2）,0（-1,0）,-/7 H,_ 273-C可得=包=也,”
10、。了一彳,故存在直线满足 屛=2万.故 B 不正确;M 3+1 2-+1C选 项:由题意 知,E为 线段 尸 F 的中点,从而设芭,乂）,则E（0,4）,直线AE的方程:=豊。+），2x与抛物线方程=4x联立可得:尸（7+）,由 城=4%,代入左式整理得X2y；y+y；=0,则神 I T）山=0,所以直线AE与抛物线C 相 切,故 C 正确:对于 D:设AB的方程 2=x+l,联立 7,贝=4（吟1），y%:%+必=4%,M%=4,由|A尸|+|8 尸|=为+1 +1 =2+-+?=2 +:（弘 +%）2-2 耳必=4，而|C F|=2,由皿4 父）=4%,得=16，160,解 得:，1,故4
11、Z 4=2|。I，所以|AF|+忸冃 2。耳,故 D错 误.故选:AC.答案第6页,共 19页【点睛】本题考查了抛物线的定义和性质,考查向量问题,考查韦达定理的应用以及数形结合思想,是难题.11.ABD【分析】先根据部分图像得/(x)=4sin(3x+?),A 正确;根据赋值法可判断B,根据整体代入法可判断C,解三角不等式可判断D.【详解】由图可知A=4,且3 T=芋47t+R7 T =7 1，所以=,所 以 二三二3,3T代入(一7,。)得:4sin(+9)=0,I :.-+(p=kit,又网 2 ,即 sin(3x+2 g,所以2 兀+W3x+2兀+処,#x e ,+,A:eZ,D 正确.
12、6 6 6 3 3 9答案第7 页,共 19页故 选:ABD12.BCD【分析】根据函数的的对称性和周期性,以及函数的导数的相关性质,逐个选项进行验证即可.【详解】方法一:对于A,若 x)=x,符合题意,故错误,对于B,因已知奇函数”x)在R上可导,所以，(0)=0,故正确,对于C和D,设g(x)=x)-X,则g(x)为R上可导的奇函数，g(0)=0,由题意 1 x)+x l=/(l+x)T x,得g(l x)=g(l+x),g(x)关于直线 =l 对称,易得奇函数g(x)的个周期为4,g(2022)=g(2)=g(0)=0,故C正确，由对称性可知,g(x)关于直线x=-l对称,进而可得g(-
13、l)=0,(其证明过程见备注)且g(x)的一个周期为4,所以(2023)=(1)=0,故D正确.备 注:g(l-x)=g(l+x),即-g(l-x)=-g(l+x),所以g(l+x)=g(-1,等式两边对x求 导 得,g j+x)(一一),令x=0,得g(-l)=-g(-1),所以g(-1)=0.方法二:对于A,若，(x)=x,符合题意,故错误，对于B,因已知奇函数x)在R上可导,所以0)=0,故正确，对于C,将，(1/(l+x)+2x=0中的 代换为x+1,得了(x)/(2+x)+2x+2=0,所 以/(x+2)+/(x)=2x+2,可得x+4)+x+2)=2 x+6,两式相减得,x+4)司
14、=4,则 6)-2)=4,*6)=4,7(2022)-/(2018)=4,叠加得2022)2)=2020,又由/(x+2)+/(x)=2 x+2,得/(2)=/(。)+2=2,答案第8页,共19页所 以/(2022)=/(2)+2020=2 0 2 2,故正确,对于 D,将/(1/(l+x)+2x=0 的两边对x 求导,得一，(1-x)-/(l+x)+2=0,令x=o 得,r（i）=i,将/（-x）=/（x）的两边对x 求 导,得（一力5x）,所以/（-1）=1,将 x+4)-/(x)=4 的两边对x 求 导,得 r(x +4)=/(x),所以，（2023）=（2019）=/（一 1）=1,故
15、正确.故 选:BCD13.-1【分析】/（-X）=X）对任意的 e R 恒成立等价于（0+D（2、+2）=0 对任意的x R 恒成立,即 得解.【详解】由题得x）=2+a 2*.由题意,得=。）对任意的 e R 恒成立2T+a 2*=-2-a 2对任意的 x e R 恒成立；.（a+1）（2+2-）=0 对任意的x e R 恒成立，考虑到2，+2一，0,于是a=-1.故答案为:-114.240【分析】根据平均分组原则和分步计数原理即可解答.【详解】先将5 名学生分成4 组共有二 三 强=10 种,再将4 组学生安排到4 所不同的学校有A：=24种，根据分步计数原理可知:不同的安排方法共有10
16、x24=240种.故答案为:24015.3【详解】首先根据离心率为 c,由山M=W用+附 用=4 判断出点的轨迹方程,利用代入法求得P 点的轨迹方程，进而求得忻R 的最大值.答案第9 页,共 19页【分析】由条件得 =士 互=丄,.从=3,.椭圆G 的方程是+片=1，a2 4 4 4 3品-h =1.丹（-1,0）,月（1,0）.由于点N 在 线 段 的 延 长 线 上,|肱V|=|M闾,所以I耳MTMI+W用=4,.点N 的 轨 迹 是 以 为 圆 心,以 4 为半径的圆,方程为（x+l +y2=16.设 P（x,y）,则（1,0）关于P（x,y）对称的点的坐标为（2x-l,2y）,/.（2
17、 1 +（2才=16,化简得点P 的轨迹方程为+=4,即点P 的轨迹是以原点为圆心,以 2 为半径的圆,耳（1,0）,所以阳）的最大值为3.故答案为:316.4e【分析】利用导数的几何意义可列出不等式组,得a=加2,再根据基本不等式即可求解.(士,加)，Q(x2,anx2),/,(x)=-,g,(x)=/?e,=k则有，X2cAnxkx-,bex=kbe=kx,解 得:x2=e,眞=1,因为 0,所以a 0,0,答案第10页,共 19页:.k=be=,得。=加2,e4?74e2=4e,b b当且仅当4加=1,即=时取等号.h 2e即4a+y 的最小值 为4e.b故答案为:4e.17.(1)。“
18、=2；b=n2(2)+*7-9【分析】(1)根据已知条件及等比数列的通项公式及前”和公式,再利用“与“,的关系即可求解;(2)根 据(1)的结 论及,求出力,再利用错位相减法在数列求和中的应用即可求解.(1)因为等比数列 的前项和为5”,公比q 0,S?=2%-2,邑=4 -2,所以风一邑=q-2=%,B P a2q2-2a2=a2q,因为生。,所 以 -q-2 =0,解得9=2或2cos (sin-)=0,得cos=0(舍 去)，sin=.2 2 2 2 2 2 2 2 2答案第13页,共 19页故eg由，=”b可得也 =sinA+s in B,即cosC cosA+cosB cosC co
19、sA+cosBcosC(sin A+sin B)=sin C(cosA+cosB)sin AcosC-sin CcosA=sin CcosB-sin BcosCsin(A-C)=sin(C-B)因为ABC为锐角三角 形,所 以 A C=C 3,且 A+B+C=%故eg由 (ccosA-Z?)=-asinC得 6(sin CcosA-sin B)=-sin AsinC化简可得 G sin Acos C=sin AsinC；因为 3 c 为锐角三角形,所以sin A w O,即tanC=g故eg(2)TT2_7T己知。,角A与角3 的内角平分线相交于点,故/ADB=Tc=G,根据正弦定理sin Z
20、ADBBDsin ZBADADsin ZAB=2;设/BA。M。TT即 3。=2sin 9,AD=2 sin 4 ABD=2 sin(0)；S.=丄 A。6。sin ZADB=sin 夕 sin(0-0)一2V32sinecos6-sin-e)=1-21-2sin(20+)-6 4因为 ABC为锐角三角形,所以026-20v-2。O0-4 得。O 4 =；比分为2:1或1:2的概率均为2 3 !=丄.匕,5则y=4或=5.y=4即获 胜方两天均为2：o获 胜,故 P(Y =4)=2 x：xJ=：；y=5即获 胜方前两天的比分为2:0和2:1或者2:0和0:2再加附加赛，故 p(y=5)=2x(
21、x；x2+丄x丄x2 x丄)=q.所以”,5)=p(r=4)+p(r=5)=-+-=-.22 1.(1)证明见解析FP 1(2)存 在,=-答案第1 5页,共1 9页【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明A F丄平面48c0,可得 A丄 即,再 根据线面垂直的判定里证明B。丄平面4 F C,从 而 可 得 丄 C；（2）连接 A C,交 8O于点。,取 FC的中点G,连接。G.以。为原 点,以。8,OC,OG所在的直线分别为x 轴,轴,z轴,建立空间直角坐标系.利用空间向量可求出结果.（1）证明:如 图,连接 A C,因为四边形ABCZ）为菱 形,所 以 AC丄必.因为/B 4F=9 0,所
22、以84丄A F,又平面 t1BE/丄 平面BC。,ABEF A iF ABCD=AB,A尸u平面 应广，所以A丄平面ABC。.又 比）u平面ABC。,所以A丄3。.又A尸AC=A,AF,ACu平面A F C,所以B丄平面AFC.又 C u 平面A F C,所以3。丄君 C.（2）连接 A C,交 8。于点。,取尸C的中点G,连接。G.在VC4F中,G 分别是 A C,C的中点,所以OG/AF.由（1）知A丄平面A8C。,又 AC,8。（=平 面 ABC。，所以A F LA C,A FLB D,又 OGI/AF,所以 OG 丄 AC,OGA.BD.以。为原 点,以。8,OC,OG所在的直线分别为
23、x 轴，）轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则 A（O TO）,8（石,0,0）,C（0,l,0）,F（0,-l,l）,所以荏=（6 1,0）,而=（0,0,1）,答案第16页,共 19页所 以 平 面 的 一 个 法 向 量 是 丽=（0,0,1）.设 E（“,b,c）,则 厚=（a S +l,c-l）=gA/j =：（g/M，解得=立,b=-,c =l,2 2即 E ,-,1 ,所以 E C=-,-,-1 .（22丿 （22丿设 EP =2 E C=-2,-2,-A （4 0,1）,所以4尸=AE+E尸=（/）+=（冃 设平面!8的个法向量为耳=（%,%,）,n-AB=0 为 +y
24、=0A P =2-）玉 +（g+x +0_ ）=o令玉=1,解得x=百,Z 包,所 以 万=1,名,習解 得 *或 =-1 （舍）.所以存在点尸,使得二面角P-A B O的 余 弦 值 为 ,此 时 花=；.2 2.（1）0当x (0,+0 0)时恒成立,*.e(x)在(0,田)上 单调递增,0(x)e(o)=l+a当xe(0,+o o)时恒成立,若保证/(x)=0在xw(0,+o o)上有解,只需l +a 0,即“0,g 0当犬0时恒成立，则函数g。)在(0,+8)上单调递增，则g。)g(0)=0,即e 2 2 +%=g(j i)o,则由(1)可知函数/。)在(0,+e)上单调递增，则x 土 ，即2 x0 x,+.2答案第1 8页，共1 9页【点睛】本题关键点在于作差判断了（，）,/三!j的大小关系,整理得到:伍）亨卜 的单 调性判断出广（与）丿x2-xy x2-xx e 2-e 2-x2+x,/J X2+Xj,观察构建 g(x)=e*-ex-2 x,通过 g(x)答案第19页,共19页