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1、机密启用前广东省2022年普通高等学校专升本招生考试高等数学本试卷共4 页，20小题，满 分 100分。考试时间120分钟。注意事项：1.考生必须在答题卡上作答，否则答案无效。2.答卷前，考生务必按答题卡要求填写考生信息栏、粘贴条形码。3.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应试题答案的信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔在答题卡各题目指定区域内作答；如需改动，先划掉需改动部分，再重新书写；不得使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题(本
2、大题共5小题，每小题3分，共15分，每小题只有一项符合题目要求)得分阅卷人x+,x .1 若函数/(x)=在Xa,x=1A.-1 B.02.lim(l-3x)v-()x-0A.e B.3 叫%=0 是级数收 敛 的(/l=lA.充分条件C.充要条件1处连续，则常数。=()C.I D.2C.1D.?)B.必要条件 1D.即非充也非公必要条件广东省2022年普通高等学校专升本招生考试 高等数学 第1页 共4页1/10I +oo4.已知-y 是函数/(x)的 一 个 原 函 数，则J f(x)dx=()X1A.2 B.1 C.-l D.-25,将 二 次 积 分/=方 化 为 极 坐 标 形 成 的
3、 二 次 积 分，则/=()A 1 4deJ：cf(p2)dpr-P cs c 0,B.J 4 d 可 0 pf(P-Mp兀B.j 2 呵助J 4 J 077 1D.pf(p2dp得分 阅卷人二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)6.若x-0 时，无穷小量2 x 与3/+m x等价，则常数m=x2 y18.椭 圆 一+2=1 所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为4 39.微分方程e xy=2 的通解是10.函数Z=在点(e,e)处 的 全微分d z，=广东省2022年普通高等学校专升本招生考试 高等数学 第 2 页 共 4 页2/10三、计 算 题（本大题共8 小题，每小
4、题6 分，共 48分）得分 阅卷人/I XSx s i n 1 3.设函数 x ，利用导数定义/（）.0,x =0求不定积分J 2：+?已知 J ta n M x =-l n|c o s x|+C ,求、定积分/匹 xsec2xdx,1 6 .设Z =/（x,y）是由方程Z =2 x-/e z所确定的隐函数，计 算 1 7 .计算二重积分j j c o s x d b,其中。是曲线y =s i n x（0 工）和曲线y =0,n2广东省2022年普通高等学校专升本招生考试 高等数学 第 3 页 共 4 页3/10X=工围成的有界闭区域。218.判 断 级 数(二-之用勺敛散性。”=1 3 2四
5、、综合题(本大题共2小题，第19小题10分，第2 0小题12分，共22分)得分阅卷人19.设函数 f(x)=2 x ln x-X-，+2X(1)求曲线y=/(X)的 拐 点；(2)讨论曲线歹=/(幻上是否存在经过坐标原点的切线。20.设函数f(x)连续 证明女=(2)若/(x)满足/(%)=3 x+l+J t/(t)d t-x C f(x-t)d t,求/(x).广东省2022年普通高等学校专升本招生考试 高等数学 第4页 共4页4/10广东省2022年普通高等学校专升本招生考试高等数学参考答案一、单项选择题1 .【答案】D【解析】=l i m(x +l)=2,若 函 数 吧/(x)=/(x
6、j，则 l i m f(x)=2=/=a,所以a=2.2 .【答案】A 解析l i m(l-3 x)*=l i m (1 +(-3 x)3 x-l i m(l +(-3 x)3 x-e33 .【答案】B【解析】级数收敛，一般项趋于零；一般项趋于零，级数不一定收敛；一般项趋于零是级数收敛的必要条件，非充分条件。4 .【答案】Cr +oo 1 +oo 1 1【解析】J 1 /(X)公=7 1 1她”一广 一 15 .【答案】D【解析】作出积分区域广东省2022年普通高等学校专升本招生考试参考答案 高等数学 第 1 页 共 6 页5/10由图可知，s i n q=7 r =强 瓦=cs cq。已知。
7、的积分区域为 ，方,V的积分区域为1 ，盛,即1 ，e s c切，故/=j/x p/(+产 域=J y 可丁&os O f+(r sin)rdr4=J .可;力3 2)分4二、填空题6 .【答案】2 解析l i m至 土 地=1旧+竺=竺，又l i m 2=l为 等 价 无 穷，所 以W=2.【解斫】1 0 2x 1 2 2 2 a17 .【答案】2 1 n2dx dy _ 1【解析】了 =5-2/,%=痂,1 Hn 2_ 1 _ 1-5-4 -2 1 n2 -l n4-8 .【答案】8乃以所-4一小区一心1dy5 -2t dx【解析】展2-2句 孤J 202 7 r 2 3(1 -)dx=2
8、万 f-x2)dx=2(3%-L -2乃(6 2)=8万J 0 4 J 0 4 4 )9.【答案】y =2 e*+C广东省2022年普通高等学校专升本招生考试参考答案 高等数学 第 2 页 共 6 页6/1 0【解析】e-)=某=2,化简得=2 e,对等式两边积分得得y=2ex+C,即方式通解为y=2e*+C10.【答案】dx+dy,dz dz 解析d z =d x +d y法一：=Iny-xln v-1,=xny Inx,故dz=(In/xln,y-1)dx+(xln，In x dy,Ine=1dx dy ydz,e)=(In e-eln)dx+(eln In e )t/y=dx+dy.法二
9、：=elnlnv-l n y-,en yn x-n x-,d z|(ee)=(elnvlnA-Inj-g 办+dx x dy y 1*x(enyinx-nx-)dy=dx+dy.y三、计算题_.国3 .3x+6x 9.3(x+3)+(x 1).x+3.1 1.【答案】原 式=hm-=hm-=lim-=2e 3x2-3 3(x+l)+(x-l)f x+112.【答案】1由题7=；2=吕7 r1 +X 1 +X 2(l+x4)_ 2-6 x4=(1+x4)2=(l+x4)2.黑 I =T13.【答案】根据导数定义得2-In 八、x sin_+2x尸(0)=lim：)-=lim-=lim(x2-si
10、n +2)=2x 0 x X TO X x 0 x广东省2022年普通高等学校专升本招生考试参考答案 高等数学 第3页 共6页7/10【答案】原式=J +3 dx-2 J d x)+3/.1 dx-x2+3 ar cs i nx+C15.7 1【答案】，x s e c xdx产=J R xd t anx16.17.=x t an x-tan xdx=-+l n|cos x|=邛*加2n 4【答案】对方程E(x,y,z)=2x-y2e:-z=0,有 尸，=2/=一2抹&F、尸 _=-/-1,所 以 里=一 口dx F.-y2ez-1 y2ez+f-2ye:2ye办故 dxFdz-y2e:-1 y
11、2e:+1y=-dy y2ez+1一 .(.+4=2y2e+1 y2e+1 y2ez+1【答案】由题可知，区域D 为下图y=sinxX2&_ P yo222x广东省2022一年普通高等学校专升本招生考试参考答案.高等数学-第 4 页一共、6 速8/1 0所以 J J cos x d6 =公 cos xdyDJ,dxy cos xsinxZr0n2 s i n x cos xdxJ os i n2 x27 C _20121 8.【答案】由题意知z?为正项级数W=1令 既 干，程|=愿声三=K根据正项级数比值审敛法，号是收敛的。/?=1 38 2 1而 为 等 比 级 数，公比q=)l,也收敛。,
12、2n 2故由级数的线性性质可知级数 尤 玛 一币 是收敛的。?=1 3 2 四、综合题1 9.【答案】(1)由/(x)的定义域为(0,+8)/(x)=2 1n x+2-l+=2 1 n x+3+lX1 厂_.2 2.2(X2-1)x3-x3广东省2022年普通高等学校专升本招生考试参考答案 高等数学 第 5 页 共 6 页9/10令/(X)=O,即2-1=0 为=1,电=-1 (舍掉)代入原式/(x)=0,故曲线=(x)拐点为(1,0)(2)由于/(x)定义域为(0,+8),设y=A x是曲线y=/(x)的切线，切点为(xo,先)根据题意，可列出方程组2XQ I n -XQ-F 2 kxg%2
13、 I n XQ+1 H kx0消去左，可 得 和+-=1xo此方程无实数解，故不存在经过原点的切线。2 0.【答案】(1)证 令则 =一，dt-du令t =x,f =0,u=x故 I o f(x-t)dt=一=10故原命题成立(2)由(1)知/(x)=3 x+l +J(；/(f)力-(f)力 两边求导得/(X)=3 +xf(x)-M(x)=3 J；/力 求二阶导得 了(x)=/(x),故/(x)+/(x)=0其特征方程为r+1=0,解得尸=i二.f(x)=G c o s x+C2 s in x fx)-C1 s in x+C2 c o s x将x=0代入两式得，/(0)=l,/(0)=3并代入/(x)与/(x)得。=1,C2 =3故 f(x)=c o s x+3 s in x广东省2022年普通高等学校专升本招生考试参考答案 高等数学 第 6 页 共 6 页10/10