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1、洛阳创新发展联盟2023届高三摸底考试数 学（文科）（时间：120分钟 分值：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第 I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已 知 集 合 知=1,3,5,7,9 ,N=x3 x0）的焦点，尸（毛,1）是C上的一点，归月=4,则
2、。=（）A.2 B.4 C.6 D.87 T5.若圆锥的母线与底面所成的角为二，底面圆的半径为6,则该圆锥的体积为（）A.B.兀 C.2兀 D.3兀26.已知数据引，巧，的平均值为2,方差为1，若数据ax2+,a x,+l（a 0）的平均值为。，方差为4,则6=（）.A.57.函数/(元)=(12l+exB.4C.3D.2C O SX的图象大致形状是)y 0-3x+39x/(3-4)的解集为()1,+002B.(2,+8)C.(F,2)D.一71 10.已知函数/(x)=c o s GX +：+2s i n a x(0)的最小正周期为冗，将函数y=/(x)的图象向左平移g个单位长度后得到函数y
3、=g(x)的图象，则函数y=g(x)在 区 间 一,：6 3 6上的值域为()A.C.11.B.D.己知A B C的三个内角A,B,。的对边分别为，b,c,且 6a =5c+6c o s C ,则 c o s 3 =7 _I5B.-6C.D-16(A近12司V 3 G)3412.已知函数y=a 21n x,(x _ L 平面A B C。，A B/C D,AD CD,C D =2 A B =A,4 E是等边AW的中线.(1)证明：AE/T f f i P B C .(2)若R 4=4 0，求点E到平面P B C的距离.2 222.已知椭圆C：三+我=1(。8 0)的 离 心 率 为 椭 圆 的
4、右 焦 点F与抛物线V=4 x的焦点重合.(1)求椭圆C的方程.(2)如图，A,8是椭圆的左、右顶点，过点/且斜率不为0的直线交椭圆C于点M,N,直线AM与直线x=4交于点P.记%,PF,8 N的斜率分别为左，k2,%,是否存在实数X,使得匕+&=%&?若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合=1,3,5,7,9,N=x|3 x 7,则Mp|N=()A.5,7 B.3,5,7 C.3,5 D,1,3,5,7)【答案】C【解析】【分析】直接利用集合的交集运算即可.【详
5、解】解：因 为 集 合 知=1,3,5,7,9,N=x|3 4 x0)的焦点，P(小,1)是。上的一点，|P q=4,则夕=()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】由抛物线的定义可知，归耳=1+=4,所以p=6.故选：C.5.若圆锥的母线与底面所成的角为底面圆的半径为G，则该圆锥的体积为()6A.-B.兀 C.2兀 D.3兀2【答案】B【解析】【分析】设圆锥的高为儿 利用母线与底面所成角求出高即可得解.【详解】设圆锥的高为，7 1 7 1 h因为母线与底面所成的角为一，所以t an w =F，解得7 z =l.6 6 V3圆锥的体积丫 =1
6、*(6)2、1 =兀.故选：B6.己知数据4，x”的平均值为2，方差为1，若数据g+1,ax2+l,依“+l(a 0)的平均值为6,方差为4,则b=().A 5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】根据，若y =可得亍=4噎+/2,S y 2=a2 s j,代入数据，解得8的值.【详解】因为天，%的平均值为2,方差为1，由数据以1+1,ax2+l.办“+1(。0)的平均值为6,方差为4，Q2+1 =b所以2 .,解得。=2，b=5-/1 =4故选：A.【答案】D【解析】【分析】根据f的奇偶性和当X (O,时/(%)0可选出答案.【详解】由=一二二7 1c o s x=-J-C O
7、S X,I +e J 1+eex-l 1-e得 f(-x)-c o s(-x)=-c o s x=-/(x),1 +ex e+1则函数/)是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A,B,当时f(x)0,排除 C,故选：D.8.设X,y满足约束条件，则z=-x+的最小值为()x+2 j-5 0A.2 B.-1 C.-2 D.-3【答案】C【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，再将目标函数表示的一簇直线画出，向可行域平移即可求解.目标函数z =x +y的几何意义是直线y =x +z在y轴上的截距,z =_%+转化为y =x +z,令z =0,则x -y =(),作出直线x-y =0并平移使它经过可行
8、域的点，经过A时，x=3所 以 2一=。解得 x =3:，所以 A(3,l).y=此 时Z取得最小值，即Z m in =-3+1 =-2 .故 选：c.9.已知函数/（x）=3x+3?X v_ 2即 ，则 不 等 式/（4）/（3。-4）的 解 集 为（）A.1-,4-002B.(2,+o o)C.(-o o,2)D.一8,一：【答 案】B【解 析】【分 析】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式.【详 解】根据题目所给的函数解析式，可 知 函 数/（X）在（-8,”）上是减函数,所 以。3。一4,解 得。2.故 选：B10.已知函数/（尤）=c o s（s+看）+2 s in
9、 cox（o 0）的最小正周期为兀，将 函 数y =/（%）的图象向左平移?个单位长度后得到函数y =g（x）的图象，则 函 数y =g（x）在区间：6I 3 6上的值域为（）6A.B._V|百一丁5/C.D.27【答 案】C【解 析】【分 析】根据最小正周期为兀可得0 =2,再根据三角函数图象平移的性质可得y =g（x）,结合三角函数图象的性质即可得值域八 /兀【详 解】因 为/（无）=c o s x+z+2 s in s =6 s inCOX7 1H-6的最小正周期为兀，所 以0 =2.将n兀/（x）=Gs in 2 x +2的图象向左平移二个单位长度后得到函数66y=g(x)=#r /、
10、s i.n 2c x-.一71L I 6 J71+6=g c o s 2 x的图象，当x e兀 兀3?62 7 1 n,所以y二g(x)的 值 域 为 一 日,6.12,故选：c11.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为。，b,且 6Q=5c+6 bc o s C,则c o s B=()7 5 3 2A.-B.-C.-D.一8 6 4 3【答案】B【解析】分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得c o s B.【详解】由6 a=5c+6 bc o s C,边化角得6 s in A=5s in C+6 s in Bc o s C,又 s in A =s in(3+
11、C),所以 6 s in(8+C)=5s in C+6 s in 8 c o s C,展开得 6 s in Bc o s C+6 c o s Bs in C =5s in C+6 s in B c o s C,所以 6 c o s 3 s in C =5 s in C,因为s i n C 0,所以c o s 8 =.6故选：B.12.已知函数y =a-2 1n x,(L x e)的图象上存在点M,函数y =f +l的图象上存在点N,且M,eN关于x轴对称，则。的取值范围是()A.1 e),2 B.-3 7，+)【答案】A【解析】【详解】因为函数y =f+i与函数y =-1的图象关于x轴对称，根
12、据已知得函数y =a 2 1n x,(l e2,所以l-e 2 a0/0）的右焦点，A为C的左顶点，8为C上的点，且B尸垂直于x轴，若AB的斜率为2,则C的 离 心 率 为.【答案】3【解析】【分析】由双曲线的基本性质得A、B两点的坐标，利用斜率得关系式求解即可.（【详解】解:设双曲线焦距为2 c,则/（GO）,B c ,A（,（），因为AB的斜率为2,所以（a 7kB=i7 c=2,整理得c、2 2。一3 =0，解得所以e=3 矶 c+a）故答案为：3.16.在长方体ABC。-4 8 c q中，底面A8CZ）是边长为4的正方形，A A=3,过点片作平面a与ARAD分别交于M,N两点，且4 4
13、与平面a所成的角为30。，给出下列说法:异面直线A 8与BC所成角的余弦值为卷；4 8 平面B Q C；点B到平面Bg 的 距 离 为 拽 工；17截面A,M N面积的最小值为6.其中正确的是（请填写所有正确说法的编号）【答案】【解析】【分析】利用异面直线所成角的定义及余弦定理可判断，利用线面平行的判定定理可判断，利用等积法可判断，过点A作AE_LMN,连接A E,进而可得NA4.E为AA与平面AMN所成的角，结合条件及基本不等式可判断.【详解】依题意得C4=CR=5再口=4收，因为4B/C R,所以异面直线A 8与B C所成的角即N B g 或其补角,在 ACBQ 中，c o s ZB,CD
14、,=+5 4回:=_ 9 _,1 2 x 5 x 5 2 59所以异面直线48与BC所成角的余弦值为玄，故错误.由于 A B /C 2,2 M E-E N=2 6，当且仅当M E=E N,即E为朋N的中点时，等号成立,所 以 截 面 面 积 的 最 小 值 为，1 x 2 7 3 x 2 7 3=6,故正确.故答案为：.三、解答题：共 70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知直线/的参数方程为x=-l+旦,2V 2产 丁（f为参数）,以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2+3p2 s i n2 6 =4.（1）求直线/的普通方程
15、和曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线/与曲线C相交于P,。两点，点M的直角坐标为（-1,0）,求|P|+|M Q|.【答案】（1）x-y +l=0,+/=1；【解析】【分析】（1）直线/的参数方程消去参数r,即得/的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式,即得解；2（2）将直线/的参数方程代入二+y 2=,利用直线的参数方程的几何意义，可得4MP+MQ=t-t2,结合韦达定理，即得解.【小 问1详解】,6由（C为参数），-2可得/的普通方程为x-y +l =0；“2 2 2由曲线C的极坐标方程。2,+3/o2 s i no2 p =4及P =x 4-y,psinO=y,可得 Y +y
16、2 +3 y 2 =4 ,2整理得上+V=1,42所以曲线C的直角坐标方程为工+y2=1.4 -【小问2详解】易知点M在直线I上,将/的参数方程代入C的直角坐标方程,即5/一 2 a/6 =0，设 P,。对应的参数分别为此，则4+/2=竿,但=2，因为所以|M P|+=|A-r2|=九+5-4 伍=18 .已知数列 4 是公差不为零的等差数列，生+4=1 4,且卬，勺，现成等比数列（1）求 q 通项公式；（2）设=一,求数列他 的前项和S”.-1+1【答案】（1）4=3 -2；【解析】【分析】（I）根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式求解作答.（2）利 用（1）的结论，结合裂项相
17、消法计算作答.【小 问 1 详解】等差数列 4,中，2%=。2+。4=1 4,解得见=7,因q,4，牝成等比数列，即 片=64，设 4 的公差为d,于是得（7-d）2=（7 2d）（7 +3d）,整理得屋一34=o,而 d/0,解得d=3,所以 q,=%+（-3）d-3 n-2.【小问2 详解】.1 1,1 1 、由（1）知，bn 7 7 ,1、一小；丁），（3-2）（3 +1）3 3 -2 3/2+1”一 11、/1 1、z 1 1 、.1 八 1 H所以,=5（17+-7+（=）=（1一,）=19.已知函数+，+；.（1）求/（X）的图像在点（2,/（2）处的切线方程;求/(x)在1,2上
18、的值域.【答案】(1)7 x-4 y-2=0；(2)2,3.【解析】【分析】对于第一小问，把点(2,/(2)代入函数解析式，得切点坐标，通过函数求导，得到过切点的切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程.对于第二小问，解不等式r a)o,得函数增区间，解不等式r a)0,得 1X2；令/(x)0,得g 4 x l.所以/(X)在1,1上单调递减，在L2上单调递增，所 以 力,=1)=2 又吗局一=3，所以2 W/(x)_L 平面A B C。，A B/C D,AD CD,C D =2 A B =4,A E 是等边 Q 4 Z）的中线.(1)证明：A E U T f f i P B C .(2
19、)若R 4 =40，求点E到平面P8C的距离.【答案】(1)证明见解析也3【解析】【分析】(1)取P C的中点F,连接E F,B F,得/场/B F后可得线面平行；(2)连接B。，因为E是尸。的中点，所以点E到平面PB C的距离等于点。到平面PB C的距离的一半.然后利用体积法由V i c =VP-BDC求出。到平面P B C的距离即得.【小 问1详解】证明：如图，取尸C的 中 点 凡 连 接E F,BF.因为E是棱P。的中点，所以E F/C D,且2因为A B/C D,A B =-C D,所 以 砂/A B,E F =AB,2所以四边形A B FE是平行四边形，所以AE/BF.因为AEZ平面
20、PB C,B/u平面P8C,所以A E/平面P8C.平面平面A B C。，A B H C D,A D L C D,易知A B _L平面以力，平面出D因此平面P A D内的直线P A,P D都与A 3,8垂直，因为PA =P O =4 行，C D =2 A B =4,所以 P B =B C =+22=6，P C =（4V T 二4后，所以 S 咖=；x 4&x J3 6-1 2 =1 2 0.设D到平面P B C的距离为h,则VD_PBC=|x l 2 =4 V2 A.又以BCO=X4X4/=8及，三棱锥P-BCD的高即为2 4。的高，长为4&x走=2而，22所以 Vp-B C D =g X 8
21、&X 2 6=.由4=%,得 力=还，所以点E到平面PB C的 距 离 等 于 也.3 3 32 22 2.已知椭圆C：斗+2=乂。/,。）的 离 心 率 为 椭 圆 的 右 焦 点/与 抛 物 线V=4x的焦点重合.（1）求椭圆C的方程.（2）如图，A,8是椭圆的左、右顶点，过点尸且斜率不为0的直线交椭圆C于点M,N,直线AM与直线x =4交于点P.记 以，PF,B N的斜率分别为左，k2,%,是否存在实数几，使 得 匕+勺=：2?若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.2 2【答案】（1）4 3（2）存在；2 =2【解析】【分析】（1）由题意可知c =l,再根据离心率为g可求。=2,进而
22、可求椭圆方程；(2)设M(h,y),N(x”外)，直线M N的方程为=冲+1,与椭圆?+三=1联立，由韦达定理可得X+%，弘%的 值，联立直线A M与直线x=4,求出交点P的坐标，进而得到心的表达式，代入已知求解即可.【小 问1详解】解：设椭圆。的焦距为2c(c 0),因为椭圆的右焦点/与抛物线V=4 x的焦点重合，所以c=l.因为椭圆C的离心率为:，所 以 =,，解得a=2,2 a 2所 以 从=a2 c2=4 1 =3，2 2所以椭圆。的方程为土+二=1.4 3【小问2详解】设M(Xi，X),N(x2,y2),直线M N的方程为x=my+l,2 2与 椭 圆 土+二=1联立，4 3得(3/+4)V +6/敌-9 =0,因 为 直 线 交 椭 圆C于M,N两点，所以(),l l-6m 9所以y+%=一 丁 小，凶必=一二2;，3m+4 3m+43所 以 冲 1%=5(乂+%)直线A M：y=；(x+2)与直线x=4的交点P的坐标为则&=3；.%+2 1%+2 J 玉 +2-22 V.y.必假设存在满足条件的实数X,则 环=白=匕+%=白+言3所 以 刀=1+上 土2=1+小，叨：3)=+阳M+3%=+2+%)+3)，2%-2%(，孙2-1)乂 加必为-乂 3(y+y,)_ y=l+f cM=4,X+3%所以4=2.