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1、江苏省常州市新桥高级中学2020-2021学年高三上学期第一次学情调研考试数学试题学校:姓名：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _班级：考号：一、单选题1.已知集合4=凶 他(一2)1,集合8=卜,一2.3 b c B.a c b C.c a b D.c b a6.已知定义在&上的函数y =f(x)的导函数为尸(x),满足/(x)/(x),且/（0）=2,则不等式f（x）2 e，的解集为（)A.(-00,0)B.(O、+8)C.(-00,2)D.(2,+o o)7.已知函数“X)是定义在H上的奇函数，且/(x+4)=-/(x),当x e -2,0)时,F(x)=er,则/(2 01 8)
2、+2 02 1)+/(2 02 2)等 于()1 1A.-B.C.e D.e e*i2 x Y 08.已知函数x)=0A.B.(/C.-2,1 D.-2,0二、多选题9 .己 知 函 数=x+f -:的定义域为口,（“y0,卜列不等式成立的是（)A.Inx 1 2十 43 InxB.：凸身2 3X+1c.1 1x+y +y -X八 y y+4x x +41 1.对于函数“xbiVtaeR）,下列判断正确的是（）1 +因A./（-X+1）+/（X-1）=OB.当（0,1）时，方程/（x）=m有唯一实数解C.函数/（X）的值域为（9，+）D.V为R K,-v*-0%一工21 2.设定义在R上的函数
3、/（x）满足/（一x）+/（x）=x。且当xMO时,f（x）0,y0,且x+3y =盯，若-+f x+3 y恒成立，则实数f的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _.1 5.函数y =e 在区间(0,3上有两个零点，则”的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _f/(x)J(x)N g(x)1 6.已知函数/(刈=/a x+1,g(x)=3x 2,若函数F(x)=有三 g(X)J(X)0,集合6 =x|2 x 2+(2 k +5)x +5k 0),且满足(I )求函数f(x)的解析式及最小正周期；(II)若关于x的方程f(x)=l在 区 间 上 有 两 个 不 同 解，求实数，”的取值范闱.
4、从x)的最大值为1，/(x)的图象与直线)，=一3的两个相邻交点的距离等于右/(x)的图象过点(?,0).这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.1 9 .已知。，夕e(0,1)，且t a n(a-0 =g,t a n/7=-y求：(1)求t a na的值.(2)求的角2 a-/72 0.设函数/(.即=。/+(/?-2)x+31 4(1)若 f(l)=3,且 a 0,0,求 一+7 的最小值；a b(2)若/(1)=2,且/(x)2在(1,1)上恒成立，求实数”的取值范围.2 1 .设。，beR.函数/(x)=lnx-a r,g(x)=-.X(I )若/(x)=lnxa r与8(*)=
5、彳有公共点P(l,/)，且在P点处切线相同，求该切线方程；(I I)若函数/(X)有极值但无零点，求实数。的取值范围；(I I I)当a 0,b=l时,求尸(x)=/(x)g(x)在区间口,2 的最小值.2 2 .已知函数/(x X x -B x Q-O x,/(x)为/(x)的导函数，其中f e R.(1)当/=2时，求函数“X)的单调区间：(2)若方程x)=0有三个互不相同的根0,a,夕，其中。夕.是否存在实数f,使得 工 乎=/侬 成立？若存在，求出r的值：若不存在，说明理由.若对任意的xe a，切，不等式x)K1 6-，恒成立，求f的取值范围.参考答案1.c【分析】解不等式化简集合A
6、5,再进行并集运算，即可得答案；【详解】A=x1 g(x-2)1 =x 2 x1 2 ,8=4二-2 x-3 o =x|-l x 3 ,/.A U5 =(T,1 2),故选：C.【点睛】本题考查解不等式及集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.A【分析】由函数零点存在性定理结合/(1)0,即可得解.【详解】2因为函数/(x)=lnx-7+l在(0,+a)上单调递增，2 2且/(l)=lnl-+l=-l 0,所以函数刈的零点所在的大致区间为(1,2).故选：A.【点睛】本即考查了函数零点存在性定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础期.3.A【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x
7、=/r处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为/(x)=A C O Sx+s i nx,则 f (A)=xc o sxs i nx=/(x),即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称,据此可知选项。错误;且x=;r时，y =c o s +s i n =-0,据此可知选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以卜方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置：从函数的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势.（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.4.D【分析】没丫=
8、女匕目3-,利用当v=l/s时，鞋鱼的耗氧量的单位数为9 00求出k后可计算31 00v=2 m/s时鞋鱼耗氧量的单位数.【详解】设丫=女1。8 3 ，因为v=b/s时，。=9 00,Hil=klo g3=2 k,所以 k =L,故 v=2 m/s 时，2 =L o g、2 即 0 =8 1 00.2 2 51 00故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.5.D【分析】容易得出户,从而得出。，b.C的大小关系.【详解】,*由题得（1）3 （；户 1吗 3 =1 ；.c b a 故选：O.【点睛】本期主要考查幕函数、指数函数和对数函数的
9、单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.A【解析】分析：先构造函数g(x)=绰，再根据函数单调性解不等式.e详解：令g(x)=4 ,因为g(x)=/()2 e=g(x)g(0)=x0因此解集为(一8,0),选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究时应函数单调性，而时应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如r(x)/(X)构造g(x)=/段，e_f(x)+/(x)0 构造 g(x)=e 了 (x),xfx)f(x)构造 g(x)=区2.W)+/(x)0X构造 g(x)=xfx等7.A【分析】根据函数满足f(x+4)=-x),得到函数/(x)的周期是
10、8,再由x4-2,0)时，f(x)=ex,且函数/(x)是定义在R上的奇函数，将/(2018)+/(2021)+/(2022)转化求解.【详解】因为函数满足/(x+4)=-x),所以/(x+8)=-f(x+4)=/(x),所以函数/(x)的周期是8,又当xe-2,0)时，f(x)=ex,且函数x)是定义在R上的奇函数，所以 2018)+/(2021)+/(2022),=/(2)+/(5)+/(6),=/(2)-/(1)-/(2),=/(-!)-e故选：A【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，属于基础题.8.D【分析】作出函数y=|/(x)|的图像，和函数y=M的图像，结合图像可知直线=
11、介 于/与x轴之间，利用导数求出直线/的斜率，数形结合即可求解.【详解】由题意可作出函数y=/(x)|的图像，和函数y=的图像.由图像可知：函数)=依的图像是过原点的直线，当直线介于/与工轴之间符合题意，直线/为曲线的切线，且此时函数y=|/(x)|在第二象限的部分的解析式为y=x2-2x,求其导数可得y=2 x-2,因为XW O,故y 4-2,故直线/的斜率为-2，故只需直线y=4*的斜率。c-2,O.故选：D【点睛】本眶考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.9.AB【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，由正弦函数性质确定机,的可能值.【详解】f (x)
12、=sin x sin(x+g)一 :=sin x(sin x cos y +cos x sin y)-1-2 V3.1 G 1 ,1 c 巴=sin x+sin xcos x=sin lx cos2x=sm(2x)，2 2 4 4 4 2 6，由一wLsm(2x-2)K得一1 Wsm(2x-2)，2 2 6 4 6 2由周期性，在一个周期内有2-=,H=,-2m -,m-,6 6 6 6 6 2 2 67 Z 24 一 K -7 V-,3 3只有A、8 满足.故选：AB.【点睛】本题考查三角函数的值域问题，解题方法是把函数化为y=4sin(ox+e)形式，然后结合正弦函数性质求解.10.BCD
13、【分析】举反例判断A 选项错误：分离常数并利用基本不等式判断B 选项正确：利用不等式的性质判断C、D 选项正确.【详解】1 G 12 r7A选项，令X =-，得 =-0.C-.xz+3x+3(x+ir+(x+l)+l I I I c T所以-：=(x+l)+l2J(x+l)+1=3-B 正x+1 x+1 x+1 V x+1确；c 1 1 11C选项，因为x y。，则一 一,所以x*i y 0,所以 4.x+w4y+xy 即 x(y+4)y(x+4),、x(y+4)y(x+4)v v+4因为(x+4)x 0,所以/,八/9片 即 上，D正确.(x+4)x(x+4)x x x+4故选：BCD【点睛
14、】本题考查不等式的性质、基本不等式，属于中档题.11.ABD【分析】先根据奇函数的定义证得函数为奇函数，然后根据复合函数的单调性求得单调性及值域，逐项判断即可.【详解】解：+=+=0,故/(X)为奇函数，对于 A,令 f=x-l,即/H)+/(O=o,正确，故A正确：X1当x 0时，/(*)=-=1-1+x 1+x./(X)在(0,+8)上单调递增，又 0)=0，=且/(x)是奇函数，.“X)的值域为(一1,1).J(X)的单调增区间为(YO,y).故B正确，C错误，/(X)的单调增区间为(-00,田)，故V xrx,/(*)+(三)0正确 D正确；占一公故选：ABD.【点睛】本 考查了函数奇
15、偶性、单调性值域等性质，属于中档题.12.BCD【分析】构造函数函数7(x)=f(x)-g.p ,利用定义可知，T(x)为奇函数，根据导数可知T(X),T(x)在R上 单 调 递 减.结 合 己 知 可 得 利 用 导 数 可 知，函数g(x)在 时 单 调 递 减，根据函数g(x)=e*J Z x-a在(-s,有一个零点求出 手，+s ，根据四个选项可得答案.【详解】令函数,因为/(-X)+f(X)=%2,.T(x)+T(-x)=/(x)-1 x2+/(-x)-：(-x)2 =f(x)+f(-x)-x2=O,2 2T(x)为奇函数,当 x 4 0时，r(x)=r(x)-x 0,取x =-=0
16、,要 使g(x)在x W 9时有一个零点,2只需使 g(；)=&-g五-W0,解 得 碎 立，2。的取值范围为2故选：B C D.【点 睛】本意考查了由定义判断函数的奇偶性，由导数判断函数的单调性，考查了函数单调性的应用,考查了由函数有零点求参数的取值范围，属于中档题.413.5【分析】利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及齐次式即可求解.【详解】c o s 2 a+i=-si n 2 a =-2 si n a c o sa =I 2-2 si n a c o s aS H I2 a +c o s2 a一2 ta n a-2 x 2ta n2 a +1 22+14故答案为：-25【点 睛】45本题
17、考查了诱导公式、二倍角的正弦公式以及齐次式求三角函数值，需熟记公式，属于基础题.14.(-4,3).【分 析】在 等 式x+3y=孙 两 边 同 时 除 以“，得到将代数式x+3)，和相乘 展开后利用基本不等式求出x+3 y的最小值1 2,由题意得出产+/0 ,y 0,且x+3y=A y,在等式*+3丫 =孙 两 边 同 时 除 以 得 一+=1,X y由基本不等式得x+3y=(x+3y)(2+_ L =6+(x y)12当且仅当x =3y时，等号成立，所以，x+3y的最小值为12,由于不等式/+f x +3y恒成立，则产+f (x+3yL =12,即/+，一12 0，解得-4 f 3,因此，
18、实数，的取值范围是(-4,3),故答案为(T,3).【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问即，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.(eJl15.C,f(x)=可得x)在区间(1,3)上单调递增：在区X X X 间(0,1)上单调递减，所以当X =1时，函数/(X)取得极小值，同时也是最小值/(l)=e,因为当XT0时，/(x)-+8,当x =3时，/(3)=y ,所以要使得函数)，=-一优在e3区间(0,3 上有两个零点，所以实数川的取值范闱是e?0时，根据图时,像可知：当贝J|j N O时
19、，所 以F(x)至多两个零点；当K栏)V O,即0 列式八|)0,函数K x)在R上单调递增，F(x)至多两个零点，不满足题意.当。0 时，令/(x)=3 x 2。=0,解得 x=J；由 f(x)0,得x 或xC，由/(x)0,得_ 仁-福所 以 函 数 在(-8,+8)上单调递增，在(一)上单调递减,在同一坐标系中，分别作出函数/(X),g(X)的图像，根据图像可知:当人)2。时，所以尸(x)至多两个零点;2 2即()，一 针 +1 至 或 士匕所以八 逑.2 2 3 2故答案为:本题考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的零点，属于中档题.1 7.(1)
20、当人?时，8 =(-*，-：)：当&=：时，5 =0：当 时，B=；(2)k l.【分析】(1)分类讨论解不等式可得集合8：(2)求解集合A,根据充分不必要条件与集合包含之间的关系可求解.【详解】(1)2 x2+(2 k+5)x+5 k 0 ,则(2 x+5)(x+k)时，一k x ,火=二时，不等式无实解，当&二时，一二 x k.2 2 2 2 2时，5 =(k,/)：当k =j时，6 =0：当后/时，8 =(5，女)：(2)由已知A=x|x 2 若“x w 6”是“xe A”的充分不必要条件，则k N*时，显然满足&时，-kW-l，：.k).2 2 2综上【点 睛】本题考查解一元二次不等式
21、，考查由充分不必要条件与集合包含之间的关系求参数范围.属于基础题.解含参数的一元二次不等式时注意分类讨论.18.满足或或；(I)/(x)=2sm、兀2 x-1，最小正周期为产；(II)4乃7兀、6【分 析】(I)利用三角恒等变换思想化简函数y=f(x)的解析式，根据或或中的条件求得a=l可 得 出f(x)=2sii；2 x/-1,利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周 期；川)令/(x)=l,得sm(2 x-3)=1,解 得x=：+k/r,k&Z,可得出方程x)=l在 区 间 0*6上的实数根，进而可得出实数加的取值范围.【详解】(I)函 数/(x)=asin(2 x-?卜2cos二1+
22、)n=asin 2 x-+sin 2 x-166)=m+i)sm 2f1,若 满 足 x)的 最 大 值 为1,则。+1=2,解 得a=l.所以x)=2 s i n；2 x-3卜1，则函数x)的最小正周期为了二年(I I)令f(x)=l,得s i n(2 x-3=1,解得2 x-2 =2 +2女万，k e Z,即=2 +*乃，k eZ ：6 2 3若关于x的方程x)=l在区间0,问 上 有 两个不同解，则x=g或f:所以实数，”的取值范围是4万 上T Tj若满足，f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于兀,且/(x)的最小正周期为T =g =”，所以一(。+1)-1 =-3,解得。
23、=1：以卜解法均相同.若满足，x)的图象过点(，)，则d V =(a+l)s m/l=0,解得 =1：以卜,解法均相同.【点睛】本题考查利用正弦型函数的基本性质求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数方程的根的个数求参数，考查计算能力，属于中等题.1 9.(1)；(2)2 a (3=-.3 4【分析】(1)t ana=t an(a夕)+,利用两角和的正切公式展开即可求解.(2)根据t ana的值先求t an2 a值，再求t an(2 a-/7)的值，再利用2 a一尸的范围即可求解.【详解】(1)t ail a=t aii(a-P)P-t an(a-7 7)+t an 夕1-t an(a-/?)
24、-t aii 0(2)-2”t an a 2 x-?t an z ct =-；=-l a i r a 呢、-34一3 +一1t a n(2 a t a n(2 a)-t a n夕_4 7M a-)-i+t an2 at a 一 ,(3 1 一 1；t ana=；e（0,1）且a e （0,幻 二 a e 1 0,?卜.2 ae 0,/jV t an/7 =-3 （-1,0）且Z?e（0,乃）（彳，不）/.P e（-%,一 2 a 一0 e 1一乃,一工la-p 【点 睛】本题主要考查了两角和与差的正切公式，以及正切的二倍角公式，考查了给值求值、给值求角题型，属于中档题.92 0.（1）-I（2
25、）-1,1 .【分析】（1）由/（1）=3可 得a+b=2,再利用基本不等式中乘“1”法的应用计算可得：（2）依 题意可得。+占=1,即。/一（。+1+1 0在（-1,1）上恒成立，等价于是不等 式8（）=（依 一1）（-1）0解集的子集，再对参数 分类讨论，分别计算可得；【详解】解：（1）函 数/（乃=公 +侬一？）*+?,由/（1）=。+6-2 +3 =3 ,可得 a+=2,所h 4 a 2 4当巳=；时等号成立，因为a+b=2，a 0,b 0,解得“=士，力=工时等号成立,a b 3 31 4 9此时一+的最小值是一.a b 2(2)由/(I)=a+b-2 +3 =2,即a+Z?=l,又
26、由 ar2+(b-2)x+3 2 在(-1,1)上恒成立，即 ax,-(a+l)x+1 0 在(-1,1)上恒成立,等价于(-1,1)是不等式g(x)=(ax-l)(x-l)0解集的子集，当a=0时，不等式的解集为()，满足题意；当a 0时，不等式的解集为(5.1),则1,解得故有一l Wa 0：当0 1时，即：1时，不等式的解集为(口,)1 1(1,+8)，不满足题意，(舍去)，综上所述，实数。的取值范围是-L1 .【点睛】本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，属于中档题.-a-lj 0 -(3)F(x)=,.e 1 (1 A1 1 1 2-a l n 2+y I
27、【详解】试题分析：(1)利用切线的几何意义求切线的斜率；(2)利用导数分析函数的单调性，结合极值，只需极小值大于0或极大值小于。即可求出：(3)利用导数判断新函数的单调性及极值，再结合定义域分析函数再区间上的最小值.r(l)=g(l)-a=-b试题解析：(【)由,；，,得 ./(l)=g(l)-a=b1U-21;b=-2(i 1 i在点P L-彳 的切线方程为y+-=(x-1).即x-2 y-2 =0.k 2/2 2(11)当a40时，由r(x)=9 a 0恒成立，可知函数x)在定义域(O,+8)单调递X增，此时无极值.当 0时，由/(工)=!一4=0得x=1 0：由/(x)=L-a 0得xw
28、x a x a J0得 x (：,一).于是，X=为极大值点，且/max(x)=/7)=Inn 1.由于函数X)无零点，因 此 鼠(工)=/(5)=-11工一1 0,.=1+4a 0设(x)=0的两根为用,x,：且由/.乂=一 一0得玉0,占0且a1 +Jl+4a居=:2a 尸(x)=-可-X当尸(x)=0时x=&：当尸()0时，x2 x 0；当尸(x)x2./(x)在(0,毛 递增，毛,+8)递减._L i当00.尸(工)3 =尸(2)=必2；一 2a.当占2 2时，即6(2)40解得0。4：时，1,2=0,可，尸(x)在 1,2递增：尸(nun=/(1)=-。-当1七 2时，即a v Z时
29、，尸(x)在 1 6 递增，卜,2递减；.F(2)-F(l)=ln2-；-2a+a+l=ln2+；-a.(i)当 1112+4“2时，F(2)F(1),.-.F(x)mn=F(2)=hi2-1-2.(i i)当(a/，-F(xL=F(1)=-i-综合、得尸(x)=f(x)-g(x)在区间 1,2的最小值；a 1,(0。ln2+2 I 2)点睛：本题考查函数的单调性极值及切线问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然
30、后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22.见 解 析；实数f不存在：(-1，2)皿2,11.4【解析】分析：(1)直接利用导数求函数的单调区间.(2)根据已知得到a+=3,ap=2-t,a+fla）f（0）5/3-=5 +2 t,再化简得到，=一2.对t分类讨论，求Pa 2再解/（X）3t 0,得X 2或X 0，所以了（力的单调增区间为（一8,0）和（2,+8）:令/（X）=3X2-6X。,得。X。，得，-1.且 a+P =3,a/7 =2-/,a2+J32=5+2 t -所以这样的实数r不存在
31、.2 4 因 为 对 任 意 的,/（x）K l 6 T恒成立.由 a+/7 =3,a/3=2-t,且 a /7,1.当-：f 2时，有0 a /7,所以对/(A)0,所以0 4 1 6-h解得Y 1 6.所以一 2时，有。0 O.由/（x）0,得x33 +1）,3 3此时x）存在极大值点用 a,0）,且x =3-j 3（f毡1 3由题得 了（玉）=玉3-3 x：+（2T）玉 4 1 6 T ,将 占=3一 寸+1）代入化简得。+1）J 3 9 +1）7 2,解得r W1 1.因此2 Y 1 1.综上，f的取值范围是点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的最值和极值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.（2）解答本题的关键是求函数/（X）的最大值，求此最大值要分一！f 2讨论.