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1、 第十一章 正交设计试验 资料的方差分析 在实际工作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种 高效率试验设计方法。下一张 主 页 退 出 上一张 第一节、正交设计原理和方法(一)正交设计的基本概念 正 交 设 计 是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。下一张 主 页 退 出 上一张 例如，例如，研究氮研究氮、磷、钾肥施用量、
2、磷、钾肥施用量对某小麦品种产对某小麦品种产量的影响：量的影响：AA因素是氮因素是氮肥施用量肥施用量，设，设AA11、AA22、AA33 3 3个水平个水平；BB因素是因素是磷肥施用量磷肥施用量，设，设BB11、BB22、BB33 3 3个水平个水平；CC因素是因素是钾肥施用量钾肥施用量，设，设CC11、CC22、CC33 3 3个水平。个水平。这是一个这是一个33因素因素每个因素每个因素33水平的试验水平的试验，各因素的，各因素的水平之间全部可能的组合有水平之间全部可能的组合有2727种。种。下一张 主 页 退 出 上一张 如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合
3、。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。下一张 主 页 退 出 上一张 正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。下一张 主 页 退 出 上一张 如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表 L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的
4、情况，找出最佳的生产条件。一、正交设计的基本原理 下一张 主 页 退 出 上一张 表11-1 33试验的全面试验方案C1C2C3A1B1A1B1C1A1B1C2A1B1C3B2A1B2C1A1B2C2A1B2C3B3A1B3C1A1B3C2A1B3C3A2B1A2B1C1A2B1C2A2B1C3B2A2B2C1A2B2C2A2B2C3B3A2B3C1A2B3C2A2B3C3A3B1A3B1C1A3B1C2A3B1C3B2A3B2C1A3B2C2A3B2C3B3A3B3C1A3B3C2A3B3C3 下一张 主 页 退 出 上一张 图图11-1 311-1 3因素每个因素因素每个因素33水平试验点
5、的均衡分布图水平试验点的均衡分布图 正 交 设 计 就 是 从 全 面 试 验 点（水 平 组 合）中 挑 选 出 有 代 表 性 的 部 分 试 验 点（水 平 组 合）来 进 行 试 验。图1中标有 9个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。即：(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3(4)A2B1C2(5)A2B2C3(6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2下一张 主 页 退 出 上一张 上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C 因 素的各个水平在试验中各搭配一次。从图1中可以看到，9个试验点分布是均衡的
6、，在立方体的每个平面上 有且仅有3个试验点；每两个平面的交线上有且仅有1个试验点。9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映全面试验的基本情况。下一张 主 页 退 出 上一张 二、正交表及其特性(一)正交表 表 11-2 是L8(27)正交表，其中“L”代表正交表；L 右下角的数字“8”表示有8行，用这张正交表安排试验包含8个处理(水平组合)；括号内的底数“2”表示因素的水平数，括号内 2的指数“7”表示有7列，用这张正交表最多可以安排7个2水平因素。下一张 主 页 退 出 上一张 下一张 主 页 退 出 上一张 表11-2 L8(27)正交表 2水平正交表还有L4
7、(23)、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(313)、等。(二)正交表的特性 1、任一列中，不同数字出现的次数相同 例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们各出现3次。下一张 主 页 退 出 上一张 2、任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相同 例如例如 LL88(2(277)的任两列的任两列中中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出现两次；各出现两次；LL99(3(344)任两列任两列中中(1,1),(1,2),(1,3),(1,1),(1,2),(1,
8、3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出现各出现11次。即次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀搭配是均匀的。的。下一张 主 页 退 出 上一张 用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素 水 平 组合在全部水平组合中的分布是均衡的。由 图11-1可以看出，在立方体中，任一平面内都包含 3 个 试验点，任两平
9、面的交线上都包含1个试验点。下一张 主 页 退 出 上一张 整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此抵消。如在A、B、C 3个因素中，A因素的 3 个水平 A1、A2、A3 条件下各有 B、C 的 3 个不同水平，即：下一张 主 页 退 出 上一张 在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水平间具有可比性。同样，B、C因
10、素3个水平间亦具有可比性。下一张 主 页 退 出 上一张 (三)正交表的类别 1、相同水平正交表 各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表。L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字为2，称为两水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称为3水平正交表。下一张 主 页 退 出 上一张 2、混合水平正交表 各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为 混合水平正交表。L8(4124)表中有一列最大数字为4，有4列最大数字为2。也就是说该表可以安排1个4水平因素和4个2水平因素。L16(4423)，L16(4212)等都混合水平正交表。下一张 主 页
11、 退 出 上一张 三、正交设计方法【例111】某水稻栽培试验选择了3个水稻优良品种(A)：二九矮、高二矮、窄叶青，3种密度(B)：15、20、25（万苗/666.7m2）；3种施氮量(C)：3、5、8（kg/666.7m2），试采用正交设计安排一个试验方案。(一)确定试验因素及其水平,列出因素水平表 下一张 主 页 退 出 上一张 水 平因 素品种(A)密度(B)施氮量(C)1 二九矮(A1)15(B1)3(C1)2 高二矮(A2)20(B2)5(C2)3 窄叶青(A3)25(B3)8(C3)表11-3 因素水平表下一张 主 页 退 出 上一张 (二)选用合适的正交表 根据因素、水平及需要考察
12、的交互作用的多少来选择合适的正交表。选用正交表的原则是：既要能安排下试验的全部因素(包括需要考查的交互作用)，又要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。下一张 主 页 退 出 上一张 一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包括需要考查交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选 正交表 的 总 自由度，以便估计试验误差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采用有重复正交试验来估计试验误差。下一张 主 页 退 出 上一张 此例有3个3水平因素，若不考察交互作用，则各因素自由度之和为因素个数(水平数-
13、1)=3(3-1)=6，小于L9(34)总自由度 9-1=8，故可以选用L9(34)；若要考察交互作用，则应选用L27(313)，此时所安排的试验方案实际上是全面试验方案。下一张 主 页 退 出 上一张 (三)表头设计 表头设计就是把挑选出的因素和要考察的交互作用分别排入正交表的表头适当的列上。在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按该正交表的交互作用列表安排 各 因 素与交互作用。下一张 主 页 退 出 上一张 表11-4 表头设计列 号 1 2 34因 素 A B C空 此例不考察交互作用，可将品种(A)、密度(B)和施氮量(C)依次安排在L9(34)的第1、2
14、、3列上，第4 列 为空列，见表2-4。因素数因素数 列列 号号 1 1 2 2 3 3 4 4 2 2 A A B BABAB11ABAB22 3 3 A A BC BC11 B BACAC11 C CABAB11ABAB22ACAC22BCBC22 4 4 A A BC BC11 BD BD11 CD CD11 B BACAC11ADAD11CDCD22 C CABAB11ADAD22BDBD22 D DABAB22ACAC22BCBC22 L9（34）表头设计 L8(27)表头设计因素数列 号1 2 3 4 5 6 73 A B AB C AC BC4 A B ABCDC ACBDBCA
15、DD4 A BCDAB CBDAC DBCAD5 ADEBCDABCECBDACBEDAEBCEAB(四)列出试验方案 把正交表中安排因素的各列(不包含欲考察的交互作用列)中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个正交试验方案。下一张 主 页 退 出 上一张 表11-5 正交试验方案试验号因 素A B C1 2 31 1(二九矮)1(15)1(3)2 1(二九矮)2(20)2(5)3 1(二九矮)3(25)3(8)4 2(高二矮)1(15)2(5)5 2(高二矮)2(20)3(8)6 2(高二矮)3(25)1(3)7 3(窄叶青)1(15)3(8)8 3(窄叶青)2(20)1(3)9 3(窄叶青)3(25)2(5)下一张 主 页 退 出 上一张