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1、第三章误差合成与分配 任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素共同作用的结果。如何正确地分析和综合这些误差因素，并正确地表述这些误差的综合影响以及解决测量方法的拟定和仪器设计中的误差分配、微小误差取舍及最佳测量方案确定等。这就是本章要研究的基本内容。本章重点和难点函数系统误差和函数随机误差的概念随机误差的合成未定系统误差和随机误差的合成误差分配微小误差取舍准则最佳测量方案的确定重点掌握：函数误差的计算方法；掌握：误差和成方法及系统误差与随机误差的异同点；了解：误差分配的基本步骤。第一节 函数误差 前面讨论的主要是直接测量的误差计算问题，但在有些情况下，由于被测对
2、象的特点，不能进行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度，需要采用间接测量。间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误差计算，也有称之为误差合成。函数误差的概念间接测量 函数误差 间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量 一、函数系统误差计算间接测量的数
3、学模型 与被测量有函数关系的各个直接测量值 y 间接测量值求上述函数 y 的全微分，其表达式为：（3-1）若已知各个直接测量值的系统误差x1，x2，xn 由 y 的全微分，函数系统误差 y的计算公式（3-2）和 的量纲或单位不相同，则 起到误差单位换算的作用 和 的量纲或单位相同，则 起到误差放大或缩小的作用 为各个输入量在该测量点 处的误差传递系数 函数系统误差计算公式 若已知各个直接测量值的系统误差x1，x2，xn 由 y 的全微分，函数系统误差 y的计算公式线性函数的系统误差计算函数形式为线性关系的函数系统误差为（3-3）线性关系的函数式中的各个误差传递系数ai为常数。当函数为各测量值之
4、和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和 正弦函数的系统误差计算公式 函数系统误差因则有（3-5）（3-6）同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。例1 用弓高弦长法间接测量大直径D 如图所示，直接测得其弓高h 和弦长s，然后通过函数关系计算出直径D。若弓高与弦长的测得值及其系统误差为求测量结果。求解：1.建立函数关系式若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径D0为 2.计算直径D0值3.计算直径D 的系统误差直径D 的系统误差公式为 4.计算各误差传递系数值将已知各误差值及误差传递系数代入直径的系统误差式，得 5.计算系统误差值 6.给出测量结果通过修正可消除所求得的直径系统误差D，则
5、被测直径的实际尺寸为 例用量块组做标准件的测量 相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基本尺寸如下：已知各尺寸偏差及其测量极限误差分别为试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差？解：量块组尺寸的系统误差为故量块组按基本尺寸使用时的修正值为0.4m使用该量块组做相对测量带来的测量误差为故量块组结相对测量带来的测量误差不会超出0.m二、函数随机误差计算 随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。因此，函数随机误差计算，就是研究函数y 的标准差与各测量值的标准差之间的关系。若以各测
6、量值的随机误差1，2，n代替各微分量dx1，dx2，dxn只能得到函数的随机误差y，而得不到函数的标准差y。对于式(31)函数随机误差的数学模型数学模型 变量中只有随机误差泰勒展开，并取其一阶项作为近似值函数的一般形式 得到 即：可得：函数标准差计算或 第i个直接测得量 的标准差 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 处的误差传递系数 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差 相关系数的讨论 若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N 适当大时，相关项 若定义则有 ij=0相互独立的函数标准差计算令若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 或（3-14）
7、则（3-15）由于各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，且当各相关系数很小时，也可近似地作不相关处理，因此式(314)或式(315)是较常用的函数随机误差公式。函数的极限误差公式 当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式 第i个直接测得量 的极限误差（3-16）ai1 情况下，函数的标准差和极限误差计算公式在多数情况下，ai1，且函数形式较简单，即则函数的标准差为函数的极限误差为（3-17）（3-18）三角函数的随机误差计算公式1）正弦函数形式为:函数随机误差公式为：2）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：3）正切函数形式为:函数随机误差公式为：4
8、）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：解：由误差传递公式 因f1、f2的测量值的随机误差是相互独立的，所以相关系数f1f20 则有标准差放大率的计算值（不含随机误差）为测量结果为置信概率？例 用弓高弦长法间接测量大直径D 若已知求直径的最后结果求解：1.建立函数关系式 2.计算直径D0值4.求直径的极限误差3.计算直径D 的系统误差 5.给出测量结果例用双圆球法检定高精度内锥角 已知：测得尺寸及系统误差为求检定结果。各测得值的标准差为求解：.建立函数关系式根据图所示的测量方法，可得函数关系为式中 2.计算角度值得3.计算系统误差因根据式（），有式中各个误差传递函数为代入角度的系统误差式，得4.
9、求角度的标准差.求极限误差取置信系数t，得.给出测量结果三、误差间的相关关系和相关系数 在函数误差及其他误差的合成计算时，各误差间的相关性对计算结果有直接影响。当各误差间相关或相关性不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数，然后才能进行误差合成计算。因此，正确处理误差间的相关问题，有其重要意义。例如，当ij=1 时，函数随机误差别具有线性的传递关系：（3-23）式(323)表明，当ij 1 时，函数随机误差别具有线性的传递关系。1 误差间的线性相关关系 误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系，这种依赖关系有强有弱。联系最强时，在平均意义上，一个误差的取值完全决定了另一个误差的取值。此时
10、两误差间具有确定的线性函数关系。当两误差间的线性依赖关系最弱时，一个误差的取值与另一个误差的取值无关，这是互不相关的情况。一般两误差间的关系是处于上述两种极端情况之间，既有联系而又不具有确定性关系。此时，线性依颜关系是指在平均意义上的线性关系，即一个误差值随另一个误差值的变化具有线性关系的倾向，但两者取值又不服从确定的线性关系，而具有一定的随机性。2 相关系数 两误差间有线性关系时，其相关性强弱由相关系数来反映，在误差合成时应求得相关系数，并计算出相关项大小。若两误差 与 之间的相关系数为，根据概率论可知，相关系数的取值范围是1+1 当0 1 时，两误差 与 正相关，即一误差增大时，另一误差的
11、取值平均地增大：当1 0 时，两误差 与 负相关，即一误差增大时，另一误差的取值平均地减少；当+1 时，称为完全正相关；P 1 时，称为完全负相关。此时两误差 与 之间存在着确定的线性函数关系；当 0 时，两误差间无线性关系或称不相关，即一误差增大时，另一误差取值可能增大，也可能减小。值得注意的是，相关系数只表示两误差的线性关系的密切程度，当 很小甚至等于0 时，两误差间不存在线性关系，但并不表示它们之间不存在其他的函数关系。3.确定两误差间的相关系数的方法 确定两误差间的相关系数是比较困难的，通常可采用以下几种方法。1 直接判断法 通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数。如两误差不可能有
12、联系或联系微弱时，则确定 0；如一个误差增大，另一个误差成比例地增大，则确定P 1。2 试验观察和简略计算法 在某些情况下可直接测量两误差的多组对应值(i，i)，用观察或简略计算法求得相关系数。3 理论计算法 有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求出。(1)观察法 作图与标准图形比对，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。(2)简单计算法 简单计算法是将点阵分为四部分(上下,左右均分)，计算简单计算法的作图（3-25）(3)直接计算法 按相关系数的定义直接计算（3-26）第二节 随机误差的合成 随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量的标准差或极限误差来表征其取值
13、的分散程度。随机误差的合成是采用方和根的方法，同时还要考虑到各个误差传递系数和误差间的相关性影响。一、标准差的合成 根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总标准差为（3-28）若各个误差互不相关，相关系数ij0，则有（3-29）式中，i,ai分别为各单项误差的标准差和对应的误差传递系数。二、极限误差的合成 在测量实践中，各个单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的形式来表示，因此极限误差的合成也较常见。用极限误差来表示随机误差，有明确的概率意义。极限误差合成时，各单项权限误差应取同一置信概率。按方和根法合成的总极限误差为（3-30）式中 ai各极限误差传递系数；ij任意两误差间的相关系
14、数应用极限误差合成公式时，应注意：根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成 各个置信系数、不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关 对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同 对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同 ij 为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。置信概率不同时的处理 一般情况下，已知的各单项极限误差的置信概率可能不相同，不能按式(330)进行极限误差合成。应根据各单项误差的分布情况，引入置信系数，先将误差转换为标准差，再按极限误差合成。一般的极限误差合成公式为（3-34）
15、各个单项随机误差均服从正态分布时的情况 当各个单项随机误差均服从正态分布时，各个置信系数完全相同，且当各个误差互不相关，相关系数ij0，则有（3-36）式(336)具有十分简单的形式。由于各单项误差大多服从正态分布或假设近似服从正态分布，而且它们之间常是线性无关或近似线性无关，因此式(336)是较为广泛使用的极限误差合成公式。第三节 系统误差的合成 系统误差的大小是评定测量准确度高低的标志，系统误差越大，准确度越低；反之，准确度越高。系统误差具有确定的变化规律，不论其变化规律如何，根据对系统误差的掌握程度，可分为已定系统误差和未定系统误差。由于两种系统误差的特征不同，其合成方法也不相同。一、已
16、定系统误差的合成 在测量过程中，若有r 个单项已定系统误差，其误差值分别为l，2，r相应的误差传递系数为a1，a2,，ar，则按代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为（3-37）在实际测量中，有不少已定系统误差在测量过程中均已消除，由于某些原因末予消除的己定系统误差也只是有限的少数几项，它们按代数和法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。二、未定系统误差的合成 未定系统误差在测量实践中较为常见，对于某些影响较小的已定系统误差，为简化计算，也可不对其进行误差修正，而将其作未定系统误差处理，因此未定系统误差的处理是测量结果处理的重要内容之一。若测量过程中存
17、在若干项未定系统误差，应正确地将这些未定系统误差进行合成，以求得最后结果。未定系统误差的特征 未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，或不必化费过多精力去掌握，而只能或只需估计出其不致超过某一极限范围ei的系统误差。也就是说，在一定条件下客现存在的某一系统误差，一定是落在所估计的误差区间(ei，ei)内的一个取值,其相应的取值在误差区间(ei，ei)内服从某一概率分布。关于未定系统误差的概率分布 理论上此概率分布是可知的，但实际上常常较难求得。目前对未定系统误差的概率分布，主要采用两种假设：一种是按正态分布处理；另一种是按均匀分布处理。这两种假设，在理论上与实践上往往缺乏根据，因此对未定系
18、统误差的概率分布尚属有待于作进一步研究的问题。对未定系统误差的评定 未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而不具有抵偿性，利用多次重复测量取算术平均值的办法不能减小它对测量结果的影响，这是它与随机误差的重要差别。但由于未定系统误差的取值在某一极限范围内具有随机性，并且服从一定的概率分布，这些特征均与随机误差相同，因而评定它对测量结果的影确也应与随机误差相同，即采用标准差或极限误差来表征未定系统误差取值的分散程度。用标准差或极限误差来评定其取值的分散程度。未定系统误差的合成 用随机误差的合成公式进行处理 由于未定系统误差的取值具有随机性，并且服从一定的概率分布，因
19、而若干项未定系统误差综合作用时，它们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似因而未定系统误差的合成，完全可以用随机误差的合成公式进行处理，这就给测量结果的处理带来很大方便。对于某一项误差，当难以严格区分为随机误差或未定系统误差时，因不论作哪一种误差处理，最后总误差的合成结果均相同，故可将该项误差任作一种误差来处理。1 标准差的合成 若测量过程中有s 个单项未定系统误差，它们的标准差分别为ui，相应的误差传递系数为ai，则合成后未定系统误差的总标准差为（3-38）当ij0 时，则有（3-39）2 极限误差的合成 因为各个单项未定系统误差的极限误差为总的未定系统误差的极限误差
20、为（3-41）按单项未定系统误差的标准差合成则有按单项未定系统误差的极限误差合成（3-42）（3-43）当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且ij0 时，则有（3-44）第四节 系统误差与随机误差的合成 当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应将其进行综合，以求得最后测量结果的总误差。常用极限误差来表示，也可用标准差来表示。一、按极限误差合成 若测量过程中有r 个单项已定系统误差，s 个单项未定系统误差，q 个单项随机误差，并设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的极限误差为（3-45）式中 R 各个误差间协方差之和。当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，则式（3
21、-45）可简化为（3-46）一般情况下，已定系统误差经修正后，超量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根，即（3-47）由式(346)和式(347)可以看出，当多项未定系统误差和随机误差合成时，对某一项误差不论作哪一种误差处理，其最后合成结果均相同。对多次重复测量时的处理 对于单次测量，可直接按上式求得最后结果的总误差，但对多次重复测量，由于随机误差具有抵偿性，而系统误差则固定不变，因此总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n，即测量结果平均值的总极限误差公式为（3-48）由式(348)可知，在单次测量的总误差合成中，不需严格区分各个单项误差为未定系统误差或随机误差
22、，而在多次重复测量的总误差合成中，则必需严格区分各个单项误差的性质。二、按标准差合成 若用标准差来表示系统误差与随机误差的合成公式，则只需考虑未定系统误差与随机误差的合成问题。为计算方便，设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的标准差为（3-49）式中R 为各个误差间协方差之和，当各个误差间互不相关时，则式(349)可简化为（3-50）对多次重复测量时的处理 与极限误差合成的理由相同，对单次测量，可直接按上式求得最后结果的总标准差，但对n 次重复测量，测量结果平均值的总标准差公式则为（3-51）例35 在万能工具显微镜上用影象法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为 l150.026mm
23、，l250.025mm，已知工件的高度H 80mm，求测量结果及其极限误差。解：两次测量结果的平均值为误差分析 1.已定系统误差 根据万工显光学刻线尺的刻度误差表，查得在50mm 范围的误差 0.0008mm，此项误差为已定系统误差，现予修正，则测量结果为 在万工显上用影象法测量平面工件尺寸，其主要误差分析计算如下 2.随机误差 该项误差由读数误差和工件瞄准误差所引起，其极限误差分别为读数误差10.8m;瞄准误差21m。3.未定系统误差 该项误差由阿贝误差等所引起,其极限误差分别为 阿贝误差光学刻尺刻度误差温度误差 光学刻尺的检定误差 上列各误差式中，L 为被测长度，H 为被测工件的测量面高出
24、平台玻璃面的距离，两者单位均为mm，而求得的误差单位为m。这四项误差在测量中都不具有抵偿性，也不随测量次数的增加而减小，故都属系统误差。但它们给出的数值只是一个范围，而不是确定的数值，因此它们又应属未定系统误差。各项误差汇总表 测量结果 设各误差都服从正态分布且互不相关，则测量结果(两次测量的平均值)的极限误差为当末修正刻尺刻度误差时的极限误差 测量结果应表示为 当已修正刻尺刻度误差时的极限误差 测量结果应表示为 小结：在实际工作中遇到的误差合成问题是非常复杂的。如果要提高测量结果的精度要求，需要解决的问题包括有以下几个方面：（1）误差性质的确定。（2）误差所遵循分布规律的确定。（3）各分项误
25、差相关程度的确定。（4）分项误差的划分和项数的确定。第五节 误差分配 任何测量过程皆包含有多项误差，而测量结果的总误差则由各单项误差的综合影响所确定。现在要讨论的是关于上述事实的一个逆命题问题，即给定测量结果总误差的允差，要求确定各个单项误差。在进行测量工作前，应根据给定测量总误差的允差来选择测量方案，合理进行误差分配，确定各单项误差，以保证测量精度。误差分配应考虑测量过程中所有误差组成项的分配问题。为便于说明误差分配原理，这里只研究间接测量的函数误差分配，但其基本原理也适用于一般测量的误差分配。对于函数的已定系统误差，可用修正方法来消除，不必考虑各个测量值已定系统误差的影响，而只需研究随机误
26、差和未定系统误差的分配问题。根据式(347)和式(350)，这两种误差在误差合成时可同等看待，因此在误差分配时也可同等看待，其误差分配方法完全相同。问题背景 问题背景 现设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，由式(314)可得式中 Di函数的部分误差若巳给定y，需确定Di或相应的i，使满足（3-53）显然，式中Di可以是任意值，为不确定解一、按等作用原则分配误差 等作用原则认为各个部分误差对函数误差的影响相等，即（3-54）由此可得（3-55）或用极限误差表示（3-56）式中 函数的总极限误差；i各单项误差的极限误差二、按可能性调整误差 按等作用原则分配误差可能会出现不合理情况，这是因为计算出
27、来的各个部分误差都相，对于其中有的测量值，要保证它的测量误差不超出允许范围较为容易实现，而对于其中有的测量值则难以满足要求，若要保证它的测量精度，势必要用昂贵的高精度仪器，或者要付出较大的劳动。另一方而，由式(355)、式(356)可以看出，当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传递系数成反比。所以各个部分误差相等，其相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。由于存在上述两种情况，对按等作用原则分配的误差，必须根据具体情况进行调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现测量的误差项尽可能缩小，而对其余误差项不予调整。三、验算调整后的总误差 误差分配后，应按误差合成公式计算实际总误差
28、，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再予缩小误差。若实际总误差较小，可适当扩大难以测量的误差项的误差。按等作用原则分配误差需注意，当有的误差已经确定而不能改变时(如受测量条件限制必须采用某种仪器测量某一项目时)，应先从给定的允许总误差中除掉，然后再对其余误差项进行误差分配。例37 采用间接测量圆柱直径D 及高度h 来测量一圆柱体的体积。若要求测量体积的相对误差为1，试确定直径D 及高度h 的测量精度?已知直径和高度的公称值为 并把 看作常数，取值为3.1416 间接测量函数式解：1.计算出体积v。2.体积的绝对误差 3.进行误差分析，并初步分配测量项目有两项，即n 2 按等作用原
29、则分配误差 按等作用原则分配误差 测量直径D 与高度h 的极限误差为 显然，测量直径D 的精度需要高些，而测量高度h 的精度可低些。4.按等作用原则分配误差的测量方案选择 若用量具测量，由各种量具的极限误差表查得，直径可用2 级千分尺测量，在20mm 测量范围内的极限误差为 0.013mm。高度只需用分度值为0.10mm 的游标卡尺测量，在50mm 测量范围内的根限误差为 0.150mm。用这两种量具测量的体积极限误差为 5.根据所选方案，计算体积极限误差6.方案优化 因为 显然，用这两种量具测量不够合理，需进行调整，可选用精度较低的量具。现改用分度值为0.05mm 的游标卡尺来测量直径和高度
30、，在50mm 测量范围内，其极限误差为 0.08mm，这时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允差，但可从测量高度允差的多余部分得到补偿。7.根据优化方案，计算体积极限误差 调整后的实际测量极限误差为 因为故调整以后用一把游标卡尺测量即能保证测量精度。第六节 微小误差取舍准则 测量过程包含有多种误差时，往往有的误差对测量结果总误差的影响较小。当这种误差数值小到一定程度后，计算测量结果总误差时可不予考虑，则称这种误差为微小误差。为了确定误差数值小到什么程度才能作为微小误差而予以舍去这就需要给出一个微小误差的取舍准则。微小误差定义 若已知测量结果的标准差y，将其中的部分误差Dk取出后的标
31、准差为y，若有 则称Dk为微小误差，在计算测量结果总误差时可予舍去。微小误差舍去准则 根据有效数字运算准则，对一般精度的测量，测量误差的有效数字取一位。在此情况下，若将某项部分误差舍去后，满足（3-57）则对测量结果的误差计算没有影响。换算为测量误差有一般可取（3-58）（3-59）对一般精度的测量微小误差舍去准则 对比较精密的测量对于比较精密的测量，误差的有效数字可取二位，则有换算为测量误差有 一般可取 微小误差舍去的意义 对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍去准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的1/3 至l/10。微小误差取舍准则在总误差计算和选择高一级标准量等方面都有实际
32、意义。计算总误差或误差分配时，若发现有微小误差，可不考虑该误差对总误差的影响。选择高一级精度的标准器具时其误差一般应为校验器具允许总误差的1/103/10。第七节 最佳测量方案的确定 当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差为最小，这就是最佳测量方案的确定问题。因为己定系统误差可用修正方法来消除，所以讨论最佳测量方案，只需考虑随机误差和未定系统误差对测量方案的影响。为便于介绍最佳测量方案确定的基本原理，只研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测量方案的各种途径，但这些途径同样也适用于其他情况的测量实践。欲使y 为最小,可有以下两个途径.一、选择最佳函数误差公
33、式 一般情况下，间接测量中的部分误差项数愈少，则函数误差也会愈小，即直接测量值的数目愈少，函数误差也就会愈小。所以 在间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则应选取包含直接测量值最少的函数公式。若不同的函数公式所包含的直接测量值数目相同，则应选取误差较小的直接测量值的函数公式。如测量零件几何尺寸时，在相同条件下测量内尺寸的误差要比测量外尺寸的误差大，应尽量选择包含测量外尺寸的函数公式。例38 测量某箱体零件的轴心距L 的三种方案 测量两轴直径d1、d2和外尺寸L1函数式为 测量两轴直径d1，d2和内尺寸L2函数式为调量外尺寸L1和内尺寸L 2函数式为已知测量的标准差分别为第三种方法第二种方法
34、第一种方法二、使误差传递系数等于零或为最小 由函数误差公式可知，若使各个测量值对函数的误差传递系数=0 或为最小，则函数误差可相应减小。根据这个原则，对某些测量实践，尽管有时不可能达到使等于零的测量条件但却指出了达到最佳测量方案的趋向。例39 用弓高弦长法测量直径D,已知其函数式为试确定最佳测量方案。解:测量直径的误差公式为欲使D为最小，必须1 使s/(2h)0 或为最小1 使s/(2h)0 或为最小 满足s/(2h)0，必须s 0，但由图中几何关系可知，此时有h 0 因而无实际意义。若满足s/(2h)为最小，则2h 值愈大愈好，即s 值愈接近直径愈好。2 使s2(4h2)l 0 满足此条件必须s 2h，即要求测量直径。由上述分析可知，欲使D为最小，必须测量直径，此时弓高的测量误差 h已不影响直径的测量精度，而只有弦长的测量误差s 影响直径的测量精度。但对大直径测量，此条件难以满足，不过它指出了当h值愈接近s/2值时，直径的测量误差也愈小。